(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案
高三一轮复习--平面向量的综合应用学案
高三一轮复习--------专题研究 平面向量的综合应用学案一、考向分析1.以客观题形式命制考查向量的概念、线性运算、数量积及几何意义的题目，解答这类题目只需熟悉基本概念、运算、公式即可获解，一般为容易题，这是主要考查方式．2．向量与三角函数、函数、数列、解析几何等的综合．其中对向量的考查仍然是基本运算，通过向量运算，把题目从向量中“脱”出来，转化为其他知识解答．客观题、主观题都可能出，一般为容易题或中等题. 二、例题讲解题型一、向量与平面几何例1、已知ABC ∆的三边长345AC BC AB ===，，, P 为AB 边上任意一点，则()CP BA BC ⋅-u u r u u r u u u r的最大值为 ． 思考题1（1）已知直角梯形ABCD 中，//,90,21AD BC ADC AD BC P ∠===o ，，是腰DC上的动点，则|3|PA PB +u u r u u r的最小值为 ．（2）如图所示，在ABC ∆中，,,||1AD AB BC AD ⊥=u u u r u u r u u u r，则AC AD ⋅=uu u r uuu r ( )A.B.C.D.题型二、向量与三角函数例2、在平面直角坐标系xoy中，已知向量(sin ,cos ),(0,)2m n x x x π==∈u r r .（1） 若m n ⊥u r r ，求tan x 的值；(2)若m u r 与n r 的夹角为3π，求x 的值.题型三、向量与解三角形例3、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量(2sin ,2cos2),m B B =-u r2(2sin (),1)42B n π=+-r ，m n ⊥u r r .（1） 求角B 的大小；(2)若1a b =，求c 的值.思考题3、在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，32,cos 4C A A ==. （1） 求cos ,cos C B 的值；（2）若272BA BC ⋅=uu r uu u r ,求边AC 的长.题型四、向量与解析几何例 4 、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP FP ⋅uu u r uu r的最大值为（ ）A.2B. 3C. 6D. 8思考题4 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线焦点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若,48AF FB BA BC =⋅=u u u r u u r u u r u u u r,则抛物线的方程为（ ）A. 28y x =B. 24y x =C. 216y x =D. 2y =自主阅读高考调研P97-98 对应训练:1、若O 为空间中一定点，动点P 在,,A B C 三点确定的平面内且满足 ()()0OP OA AB AC -⋅-=u u u r u u r u u u r u u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心2、已知非零向量AB uu u r 与AC uuu r 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r 且12||||AB AC AB AC ⋅=uu u r uuu ruu u r uuu r ,则ABC ∆为（ ）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形3、已知O 是平面上一点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++u u u r u u r u u u r u u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心 4、在ABC ∆中，动点P 满足222CA CB AB CP =-⋅u u r u u r u u u r u u r,则点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ）A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心。
高三数学一轮复习教案――平面向量(附高考分类汇编)
高三数学一轮复习精品教案――平面向量一、本章知识结构：二、重点知识回顾1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、b等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。
任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+ ，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)= 。
a =；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，A B =3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。
即：a -b = a+ (-b )；差向量的意义： OA = a, OB =b, 则BA =a- b③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，则a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ= 。
④向量加法的交换律：a +b =b +a ；向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )7．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa =0；（3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa。
高三数学一轮复习备考教学设计：平面向量的应用
《平面向量》一轮复习（文科）教学设计一．考纲要求平面向量是高中数学的新增内容是高考命题的基本素材和主要背景之一，也是近几年高考的热点。
向量有着极其丰富的实际背景，是近代数学中重要和基本的概念之一。
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它同时具有代数的运算性和几何的直观性，是数形结合的典范。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇。
（一）、2016考试说明及解读（二）近三年全国卷部分考题展示：平面向量与解三角形交汇的题目3个选择题和7个填空题，其中有3道题是平面向量与解三角形的交汇（四）考情分析1．考查题型主要是以选择、填空为主，分值为10分左右，基本属容易题，也可以为中档的解答题．2．考查内容主要是平面向量的共线与垂直的充要条件，平面向量的线性运算和数量积运算，平面向量的应用等．（五）高考预测1．预计本章在今后的高考中，还将以向量的线性运算、向量的夹角、模、数量积为命题热点，将更加注重向量与其他知识的交汇，以考查基础知识、基本技能为主．2．题型主要以选择、填空为主，因此训练题的难度多数应该控制在中档即可，要适当增加以向量为载体考查平面几何，三角函数，解析几何，数列，不等式等问题的综合训练．3．对于能力型高考题的准备，向量具有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识，更要立足基本知识，基本方法，基本技能。
二．复习目标1、通过平面向量的线性运算和数量积运算，强化对平面向量基本概念的理解及提高向量运算求解能力。
2、通过向量与其它知识交汇的题型，体会向量的工具性作用。
特别是要关注向量与三角函数、解三角形、解析几何的结合。
3、关注数学思想方法在本章中的渗透：思想方法：数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、化归的思想、函数与方程的思想等。
解题方法：基向量法、坐标法、待定系数法、几何作图法、函数法等。
三．专题知识体系构建的方法与总体构思（复习计划）（一）进度安排本专题共有四讲内容：第一讲平面向量的概念及其线性运算第二讲平面向量基本定理及坐标表示第三讲平面向量的数量积第四讲平面向量应用举例前三讲每讲3课时，第四讲4课时，包括作业评讲，测试及评讲，共需两周时间。
高三数学一轮复习优质教案5：5.1 平面向量的概念及线性运算教学设计
5.1 平面向量的概念及线性运算『课前 考点引领』考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. ② 掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理. ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.『知识清单』1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 又有 的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的 (或模)，记作|AB →|.(2) 零向量： 的向量叫做零向量，其方向是 的． (3) 单位向量：长度等于 的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量．平行向量又称为 ，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量 ．(5) 相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度 且方向 的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则． ③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则． 3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝ ；② 当 时，λa 与a 的方向相同；当 时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. (2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝ ；② (λ＋μ)a ＝ ；③ λ(a ＋b )＝ ． 4. 向量共线定理向量b 与a (a≠0)共线的充要条件是 一个实数λ，使得 ．『课中 技巧点拨』『题型精选』题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号)备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP→＝QA →，试确定λ的值．『疑难指津』1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．答案『知识清单』1. (1)大小 方向 长度 (2) 长度为0 任意 (3) 1个单位长度(4) 相同 相反 非零 共线向量 平行 (5) 相等 相同 (6) 相等 相反3. (1)① |λ||a| ②λ>0 λ<0 (2)① (λμ)a ②λa ＋μa ；③λa ＋λb4.有且只有 b ＝λa 例1『答案』①②③⑥『解析』两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享） 『答案』3『解析』向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.例2解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋m CF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .例3备选变式（教师专享） 『答案』λμ＝1『解析』由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.例4 『答案』12『解析』如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.。
高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案
高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案第三讲平面向量【最新考纲透析】1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。
【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（ ） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙apn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。
高中数学第一轮复习教案第五章 平面向量
一．课题：向量与向量的初等运算二．教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 三．教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 四．教学过程： （一）主要知识：1．向量的概念及向量的表示；2．向量的加法、减法与实数乘向量概念与运算律； 3．两向量共线定理与平面向量基本定理． （二）主要方法：1．充分理解向量的概念和向量的表示； 2．数形结合的方法的应用；3．用基底向量表示任一向量唯一性； 4．向量的特例0和单位向量，要考虑周全．（三）基础训练：1．下列个命题中，真命题的个数为 （ ） ①若||||a b =，则a b =或a b =- ②若AB CD =，则,,,A B C D 是一个平行四边形的四个顶点 ③若,a b b c ==，则a c = ④若//,//a b b c ，则//a c()A 4 ()B 3 ()C 2 ()D 12．在ABC ∆中，已知3BC BD =，则AD = （ ）()A 1(2)3AC AB + ()B 1(2)3AB AC + ()C 1(3)4AC AB + ()D 1(2)4AC AB + 3．化简AB AC BC --= 。
4．边长为1的正方形ABCD 中，设,,AB a AD b AC c ===，则||a b c -+＝ 。
5．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底； ③零向量不可为基底中的向量。
其中正确的说法是：（ ） A ．①，②；B ．②，③；C ．①，③；D ．①，②，③。
（四）例题分析：例1．已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，NAM D CNB分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）1122eDC AB == （2）211122BC BA AC AB AC AD DC AB AD AB e e =+=-+=+-=-=- （3）1211114244MN MD DA AN AB AD AB AB AD e e =++=--+=-=-例2．（1）设两个非零向量1e 、2e 不共线，如果1223AB e e =+,12623BC e e =+1248CD e e =-,求证：,,A B D 三点共线.（2）设1e 、2e 是两个不共线的向量，已知122AB e ke =+,12123,2CB e e CD e e =+=-,若,,A B D 三点共线，求k 的值. （1）证明：因为1212623,48BC e e CD e e =+=-所以121015BD e e =+,又因为1223AB e e =+,得5BD AB = 即//BD AB ,又因为公共点B ,所以,,A B D 三点共线； （2）解：121221324DB CB CD e e e e e e =-=+-+=-122AB e ke =+,因为,,A B D 共线,所以//AB DB设DB AB λ=,所以212k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 即12k =-； 例3． 经过OAB ∆重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB ==，,m n R ∈，求11n m+的值。
书稿：高考数学一轮复习教案word文档(文),第五章平面向量
将以上三式相加，得
→ AD
＋
→ BE＋
→ CF
＝－
1→ 3BC
.故选
A.
方程思想在平面向量的线性运算中的应用
典例： (14 分 )如图所示，在△
ABO
中，
O→C
＝
1→ 4OA
，
O→D
＝
1→ 2OB
，
AD
与
BC 相交于点
M
，设
→ OA
＝
a，
O→B＝
b.试用
a和
b 表示向量
O→M .
审题视角 (1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基
解析
a |a
|表示与
a 同向的单位向量，
|bb|表示与
b 同向的单位向量，只要
a 与 b 同向，就
ab 有 |a|＝ |b|，观察选项易知 C 满足题意．
题型一 平面向量的概念辨析
例 1 给出下列命题： ①若 |a|＝ |b|，则 a＝ b；②若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 A→B＝ D→C 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝ b， b＝ c，则 a＝ c；④ a＝ b 的充要条件是 |a|＝ |b|且 a∥ b. 其中正确命题的序号是 ________． 答案 ②③
(2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1，λ2，使 λ1a＋ λ2b＝0 成立，若 λ1a＋ λ2b＝
0，当且仅当 λ1＝ λ2＝0 时成立，则向量 a、 b 不共线．
设 D、 E、 F 分别是△
ABC 的三边
BC、 CA、AB 上的点，且
→ DC
＝
2B→D
，C→E
＝ 2E→A， A→F＝ 2F→B，则 A→D＋ B→E ＋C→F与 B→C
高三数学第一轮复习教案(平面向量3)
4.2 平面向量的坐标表示教学内容：平面向量的坐标表示（2课时）教学目标：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的线性运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．教学重点：用坐标表示平面向量、平面向量的线性运算和平面向量共线的条件． 教学难点：平面向量运算的代数化． 教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1. 平面向量的坐标表示：),(y x y i x =+=.注：要把点的坐标与向量的坐标区别开来，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才与 该向量终点的坐标一致；当向量的起点不在原点时，向量的坐标是用终点坐标减去起点坐标， 即：若),(11y x A ，),(22y x B ，则),(),(),(12121122y y x x y x y x --=-=.AB OA OB =- 0时, a λ与, a a λ与异向；0a =.)()a a μλμ=向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，从而可使向量的运算代数化，将数与形紧密结合起来．3.重要定理、公式的坐标表示（1）向量长度（模）的坐标表示：若),(11y x =，则22||y x a +=.（2）相等向量的坐标表示：),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x . 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量相等.（3）向量共线定理：若),(11y x a =，),(22y x b =，则∥⇔01221=-y x y x . （4）两点的距离：若),(11y x A ，),(22y x B ，则212212)()(||y y x x -+-=.二、典型例示例1 （1）已知)4,2(-A 、)6,0(B 、)10,8(-C ，求2+，AC BC 21-的坐标. （2）已知 ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为)1,2(-、)3,1(-、)4,3(，求顶点D 、AC 、DB 的坐标．注：运用向量的坐标表示将向量的运算代数化，使得运算更加简捷流畅．例2 （1）若)3,2(=，)1,4(-=y ，且∥，求实数y 的值.（2）若)12,(k =，)5,4(=，)10,(k -=，若A ，B ，C 三点共线， 求实数k 的值.注：本例（2）的切入点是将三点共线的条件转化成向量共线的条件，然后再运用向量共 线定理的坐标表现形式求解.例3平面内给定三个向量)2,3(=，)2,1(-=，)1,4(=， （1）求满足c n b m a +=的实数m 、n 的值； （2）若)(k +∥)2(-，求实数k 的值；（3）若满足)(-∥)(+，且5||=-，求.注：由向量的坐标表示确定向量线性运算的结果，再根据条件列出方程（组）求解． 例4已知)3,2(A 、)4,5(B 、)10,7(C ，若)(R AC AB AP ∈+=λλ，试问λ取何值时，点P 在第三象限？解：设),(y x P ，则)3,2(--=y x AP ，)1,3(=AB ，)7,5(=AC ，由条件有)71,53()7,5()1,3()3,2(λλλ++=+=--y x ，∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x ，即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x ，要使点P 在第三象限，必须有⎩⎨⎧<+<+074055λλ，解得1-<λ，即为所求.注：由向量的坐标表示确定向量线性运算的结果，再根据条件列出不等式（组）求解．三、课堂练习1．已知向量)2,3(=a ，)2,1(-=b ，则b a -2的坐标是（ ） A ．)2,5( B ．)2,7( C ．)6,5( D ．)6,7( 2. 若)2,4(=，)3,(x =，且∥，则x 的值是（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．93．已知向量)4,3(=，)cos ,(sin αα=，且∥，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ． 43 D ． 43- 4. 设向量)3,1(-=a ，)4,2(-=b ，若表示向量4，23-，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（ ）A ．)1,1(-B ．)1,1(-C ．)6,4(-D ．)6,4(-4．已知点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，)3,2(-=，)5,2(=，则的 坐标为 ；的坐标为 ；的坐标为 ．5．已知)2,1(--A ，)8,4(B ，),5(x C ，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是 .四、课堂小结 五、课外作业1．若)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则= （ ）A ．1322a b -+B ．1322a b - C ． 3122a b - D ． 3122a b -+2. 设)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 31=，3=，则C 、D 的坐标分别是（ ） A ．)311,1(，)9,7(- B ．)35,1(，)8,5(-- C ．)37,21(，)7,5(- D ．)38,1(，)9,7(-3. 若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(-x C 共线，则x 的值是 （ ）A ．1-B ．3C ．92D ．51 4. 已知向量)3,2(=a ，)6,(x b =，且a ∥b ，则x 的值为__________．5. 已知向量)12,(k OA =，)5,4(=OB ，)10,(k OC -=，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是 ．6. 已知向量)2,2(-=，),5(k =，若||+不超过5，则k 的取值范围是7. 已知点)2,1(-A ，若向量AB 与)3,2(=同向, ||AB =则点B 的坐标为 . 8. 若)2,1(-A ，)1,2(B ，)2,3(C 和)3,2(-D ，以，为基底表示++. 9. 已知)3,2(--A ，)1,2(B ，)4,1(C 和)4,7(--D ，试问： （1）与是否共线？（2）线段AB 与CD 有怎样的位置关系？ 10. 已知)0,1(=a ，)1,2(=b ， （1）求|3|b a +；（2）当k 为何值时，k -与3+平行，平行时它们是同向还是反向？ 11. 已知向量),(y x u =与)2,(x y y v -=的对应关系用)(f =表示，（1）证明：对于任意向量a ，b 及常数m ，n 恒有)()()(b nf a mf b n a m f +=+成立； （2）设)1,1(=a ，)0,1(=b ，求向量)(f 及)(f 的坐标；（3）求使),()(q p c f =（p ，q 为常数）的向量c 的坐标.。
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平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。
注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。
知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1） 定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是 （ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是 （） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（ ）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为 。
【同步练习】1．在四边形ABCD 中，AB =a+2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形2.已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ）A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22)C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22) 3.已知两点()3,2M ，()5,5N --12MP MN =，则P 点坐标是 （ ） 4.已知△ABC 中，c AB b CA a BC ===,,，若a c c b b a ⋅=⋅=⋅，求证：△ABC 为正三角形.5.已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证OE OD OC OB OA 4=+++.第二课时 平面向量的线性运算【重要知识】知识点一：向量的加法（1）定义已知非零向量,a b ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b +＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则以点O 为起点作向量a OA =，OB b =，以OA,OB 为邻边作OACB ，则以O 为起点的对角线所在向量OC 就是,a b 的和，记作a b +=OC 。
说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型．③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=，（3）特殊位置关系的两向量的和①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |.（4）向量加法的运算律①向量加法的交换律：a +b =b +a②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )知识点二：向量的减法（1）相反向量：与a 长度相同、方向相反的向量.记作-a 。
（2）①向量a 和-a 互为相反向量，即 –(-a ).②零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a ＋(-a )＝(-a )＋a ＝0．④如果向量,a b 互为相反向量，那么a ＝-b ，b ＝-a ，a ＋b ＝0．（3）向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差.即：a -b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.（4）向量减法的几何作法在平面内任取一点O ，作,OA a OB b ==，则BA a b =-．即a b -可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量，这就是向量减法的几何意义． 说明：①AB 表示a b -.强调：差向量“箭头”指向被减数②用“相反向量”定义法作差向量，a -b = a + (-b )， 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.知识点三：向量数乘的定义（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：⑴|λa |＝|λ||a |⑵当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反． 当0λ=时，λa ＝0（2） 向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设λ、μ为实数，那么 (λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa a ；λ(a ＋b )＝λa b ．知识点四：向量共线的条件向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa ．【典型例题】1. 下列各式正确的是（ ）A ．若a ，b 同向，则|a +b |=|a |+|b |B ．a b +与|a |+|b |表示的意义是相同的C ．若a ，b 不共线，则|a +b |＞|a |+|b |D ．a a b <+永远成立2．AO OB OC CA BO ++++等于（ ）A ．B ． 0C ．D ．3．下列命题①如果a ，b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同。
②△ABC 中，必有0 ③若0，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。
④若a ，b 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。
其中真命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a ，b ，c ，则向量等于（ ）A ．a b c ++B ．a b c -+C ．a b c +-D ．a b c --5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===，则等于（ ）A ． a b c -+B ．()b a c -+C ．a b c ++D ．b a c -+6．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ）A ．a 与b 的长度必相等B ．a ∥bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的相反向量7．AC 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④8.如图所示，在 ABCD 中，已知,AB a DB b ==，用a 与b 表示向量AD 、。
【同步练习】1.在以下各命题中，不正确的命题个数为（ ） ①|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件；②任一非零向量的方向都是惟一的；③|a -b |＜|a |+|b | ④若|a -b |=|a |+|b |，则0b =；⑤已知A 、B 、C 是平面上的任意三点，则0。
A ．1B ．2C ．3D ．42．某人先位移向量a ：“向东走3km”，接着再位移向量b ：“向北走3km”，则a b +（ ）A．向东南走km B．向东北走km C．向东南走km D．向东北走km3．若，则BC的取值范围是（）A．B．（3，8）C．D．（3，13）4．设ABCDEF为一正六边形，,AB m AE n==，则5．化简：第三课时平面向量的基本定理【重要知识】知识点一：平面向量基本定理 ⑴平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ使a =1122e e λλ+。
我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)运用定理时需注意：①1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量。
②该平面内的任一向量都可用1e ，2e 线性表示，且这种表示是唯一的。
③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。
知识点二：两向量的夹角与垂直（1） 定义：已知两个非零向量,a b ，作,OA a OB b ==,则∠AOB=θ叫做向量a b 与的夹角。