新人教版必修4高中数学2.1.1《平面向量的概念及几何表示》word练习题
高中数学必修四平面向量知识点总结及训练题
必修四 平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1︒数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母→a 、→b 等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；坐标表示法：,(y x yj xi a =+=→3、向量的模：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与→a 长度相同、方向相反的向量记作 -→a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量→a 与b 相等，记作→→=b a ； 7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作→→b a //平行向量也称为共线向量规定零向量与任意向量平行。
8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量→a 与→b ，作OA ＝→a ，OB ＝→b ，则()πθθ≤≤=∠0AOB 叫→a 与→b 的夹角说明：（1）当0=θ时，→a 与→b 同向；（2）当πθ=时，→a 与→b 反向；（3）当2πθ=时，→a 与→b 垂直，记→a ⊥→b ；规定零向量和任意向量都垂直。
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒9、实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作→a λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）→→=a a λλ； （Ⅱ）当0>λ时，→a λ的方向与→a 的方向相同；当0<λ时，→a λ的方向与→a 的方向相反；当0=λ时，→→=0a λ，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量→a 与→b ，它们的夹角为θ，则θcos ||||→→→→⋅=⋅b a b a叫做→a 与→b 的数量积（或内积） 规定00=⋅→→a11、向量的投影：定义：|→b |cos θ叫做向量→b 在→a 方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |→b |；当θ = 180︒时投影为 -|→b |R a b a b ∈⋅=→→→→||cos θ，称为向量→b 在→a 方向上的投影投影的绝对值称为射影二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：→1e ，→2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使→→→+=2211e e a λλ（1）．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i 、→j 作为基底→a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得→→→+=j y i x a …………○1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作),(y x a =→…………○2 其中x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示→a →a →a与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．,(y x 特别地，)0,1(=→i ，)1,0(=→j ，0,0(0=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量→b 与非零向量→a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使→→=a b λ 设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则0//1221=-⇔=⇔→→→→y x y x b a b a λ3、两个向量垂直的充要条件设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则 002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a4、平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a =→，则222||y x a +=→或22||y x a +=→（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A ),(11y x 、B ),(22y x ，那么()()221221||y y x x AB -+-=→(平面内两点间的距离公式)5、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0） 222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a ++++=⋅⋅=→→→→θ三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质11(,)a x y =，22(,)b x y =运算类型 几何方法坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则2三角形法则（首尾相接，首尾连）),(2121y y x x b a ++=+→→→→→→+=+ab b a )()(→→→→→→++=++c b a c b a→a →a特别注意：（1）结合律不成立：→→→→→→⋅⋅≠⋅⋅c b a c b a )()( ；（2）消去律不成立→→→→⋅=⋅ca b a 不能得到→→=c b（3）0=⋅→→b a 不能得到a =0或b =0乘法公式成立：2222||||))((→→→→→→→→-=-=-+b a b a b a b a 22222||2||2)(→→→→→→→→→→+⋅±=+⋅±=±b b a a b b a a b a线段的定比分点公式: 设点P 分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则(线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：＝（＋）或平移公式： 设点P (x ，y )按向量→a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′），则＝+a 或曲线y ＝f （x ）按向量→a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为：y －ｋ＝f （x －ｈ)正弦定理其中R 表示三角形的外接圆半径）： （1）2sin sin sin a b cR A B C=== （2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC （3）sin ,sin ,sin ,222a b c A AB C R R R=== 余弦定理（1）2b =222cos a c ac B +-（2）bca cb A 2cos 222-+=（3）12a S a h =⋅；②1sin 2S bc A =B ac C ab sin 21sin 21==；21P P P P 12PP ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x OP 211OP 2OP ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x P O 'OP ⎩⎨⎧+='+='.,k y y h x x附：△ABC 的判定：△ABC 为直角△∠A + ∠B =＜△ABC 为钝角△∠A + ∠B ＜＞△ABC 为锐角△∠A + ∠B ＞附：证明：，得在钝角△ABC 中，22222200cos c b a c b a C <+⇔<-+⇔< 在△ABC 中，有下列等式成立. 证明：因为所以，所以，结论！三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量aa 方向上的单位向量⇔+=222b a c ⇔2π2c ⇔+22b a ⇔2π2c ⇔+22b a ⇔2πabc b a C 2cos 222-+=C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++,C B A -=+π()()C B A -=+πtan tan C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+∴练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量a 、b 满足b a b a +=+，则a 与b 必须满足的条件为 b a ,方向相同2、若c AC b AB ==,，则BC 等于（ B ）A ．c b -B ．b c -C ．c b +D ．c b -- 3、正六边形ABCDEF 中，=++EF CD BA （ D ）A ．0B ．BEC ．CD D ．CF4、在边长为1的正方形ABCD 中，设c AC b AD a AB ===,,，则c b a +-= 25、在ABC ∆中，已知BD BC 3=，则AD 等于（ A ）A ．)2(31AB AC + B ．)2(31AC AB + C ．)3(41AB AC +D ．)2(41AB AC +6、在ABC ∆中，E 、F 分别是AB 和AC 的中点，若b AC a AB ==,，则EF 等于（ C ）A ．)(21b a + B ．)(21b a - C ．)(21a b - D ．)(21b a +-7、已知：向量b a , 同向，且7,3==b a ，则=-b a 2 1二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若115,3e CD e AB -===ABCD 是（ C ）A ．是平行四边形B ．菱形C ．等腰梯形D ．不等腰梯形9、已知)4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且CB CN CA CM 2,3==，试求点、N M 和MN 的坐标 199页（答案：)18,9(),2,9(),20,0(--=MN N M ）10、已知向量)4,3(--=a ，则与a 同向的单位向量是（ A ）A ．)54,53(-- B ．)54,53( C ．)4,3(-- D ．)4,3(11、已知)0,8(),2,3(=-AB A ，则线段AB 中点的坐标是 （1，2） 12、若三点)9,(),4,2(),1,1(--x B A P 共线，求x （答案：3=x ）13、若向量)43,3(2--==x x x a 与AB 相等地，已知)2,1(),2,1(B A -，则x 的值为（ A ） A ．-1 B ．-1或-4 C ．4 D ．1或4三、线段的定比分点14、已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且A （3，-6），B （-5，2），若点C 的横坐标为6，求点C 分AB 所成的比及点C 的纵坐标（答案：9,113--=λ） 15、若线段AB 的端点)3,6(),lg ,(lg -B y x A ，中点)0,2(-M ，则=x 100 、 16、已知)0,0(O 和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且PA OP 21=，又P 是OB 的中点，则点B 的坐标为 （4，2）17、已知直线l 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，AOB ∆的重心为（-1，3），则AB 中点坐标为)29,23(-18、已知三个点)3,4(),4,1(),1,2(--D B A ，点C 在AB 上，且CB AC =2，连结DC 并延长至E ，使DE CE 41=，则E 点的坐标为（ D ） A ．（0，1） B ．（-8，35-） C ．（0，1）或)311,2( D ．（38-，311）19、已知点A )5,(x 关于),1(y P R 对称点是)3,2(--B ，则点),(y x 到原点的距离是（ D ） A ．13 B ．15 C ．4 D ．17四、平面向量的数量积20、已知，33,3,2=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角等于 o 30 21、已知ABCD 为菱形，则)()(AD AB BC AB -⋅+的值为 0 22、已知5=b ，且12=⋅b a ，则向量a 在b 方向上的投影为 51223、已知向量a 与b 的夹角为o 120，且2,4==b a ， （1）求a 在b 方向上的投影 （2）求b a 43+（3）若向量kb a +与b a +5垂直，求实数k 的值 （答案：（1）-2，（2）74，（3）419） 24、已知a 、b 满足1,1==b a 且3)(2=-b a ，则=⋅b a 21- 25、若b a b a -=+，且a 与b 不共线，则a 与b 的夹角为 o 90 26、已知 )3,2(,132-==b a ，且b a ⊥ ，求a 的坐标27、已知)1,(),1,2(λ=--=b a ，若a 与b 的夹角为钝角，则λ 的取值范围是（ A ） A ．),2()2,21(+∞⋃- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 28、已知)5,5(),0,6(-==b a ，则a 与b 的夹角为 o 13529、已知)1,1(),2,3(--B A ，若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则x =47 五、平移30、把点A （3，4），按 )2,1(=a 平移，求对应点A ' 的坐标),(y x '' （答案（4，6）） 31、把函数312-=x y 的图象l 按)2,1(-=a 平移得到l '，求l '的函数解析式（答案372+=x y ） 32、一个向量把点（2，-1）平移到（-2，1），它把点（-2，1）平移到（ A ）A ．)1,2(-B ．（-2，1）C ．（6，-3）D ．（-6，3）33、若向量a 使点（3，-9）平移到点（1，1），则将函数21232+-=x x y 的图象，按a 平移后的解析式为（ A ）A ．23x y =B ．2)2(3-=x yC ．10)2(32--=x yD ．10)2(32++=x y 34、已知A （5，7）、B （2，3），将AB 按向量)1,4(=a 平移后的坐标为 （-3，-4）六、解斜三角形35、在ABC ∆中，已知22,30,45===a A C o o ，求b （ 答案：232+） 36、在ABC ∆中，已知1,2,45===c b B o ，求a （答案226+） 37、在ABC ∆中，已知2,33,150===c a B o ，求b （答案7） 38、在ABC ∆中，（1）5,3,120===c b A o ，求C B sin sin + （2）ab c b a c b a 3))((=-+++，求C （答案：（1）734（2）o C 60=） 39、若三角形的三边长分别为，5，6，则此三角形一定是（ A ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形 40、在ABC ∆中，若C b a cos 2=，则ABC ∆为（ B ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形 41、在ABC ∆中，1,60,3===∆b A S o ABC ，则a 的值为（ C ） A ．13 B ．13 C ．3 D ．9 42、已知三点A （1，2），B （3，1），C （-1，0） （1）若ABCD 为平行四边形，求D 点坐标；（2）若P 在直线AB =，求P 的坐标 （3）求A 的大小（用反三角表示）（答案：（1）（-3，1）；（2）)45,25(P 或)21,4(P ；（3）1010arccos -=πA ）1143、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设向量),(b a c a m --=，),(c b a n +=且n m //（1）求B ∠（2）若3,1==b a ，求ABC ∆的面积（答案：（1）3π； （2）23）44、设函数)()(c b a x f +⋅=，其中向量R x x x c x x b x x a ∈-=-=-=),sin ,cos (),cos 3,(sin ),cos ,(sin ，求函数)(x f 的最大值和最小正周期（答案：（1）22+； （2）π）。
()高一数学必修4平面向量练习题及答案(版)
平面向量练习题一、选择题1、假设向量a=(1,1),b=(1,－1),c=(－1,2),那么c等于()A、1a+3bB、1a3bC、3a 1D、3a+1b b222222222、，A〔2，3〕，B〔－4，5〕，那么与AB共线的单位向量是〔〕A、e(310,10)B、e(310,10)或(310,10)101010101010C、e(6,2)D、e(6,2)或(6,2)3、a(1,2),b(3,2),kab与a3b垂直时k值为〔〕A、17B、18C、19D、204、向量OP=(2，1)，OA=(1，7)，OB=(5，1)，设X是直线OP上的一点(O为坐标原点)，那么XAXB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、假设向量m(1,2),n(2,1)分别是直线ax+(b－a)y－a=0和ax+4by+b=0的方向向量，那么a,b的值分别可以是〔〕A、－1，2B、－2，1C、1，2D、2，16、假设向量a=(cos,sin)，b=(cos ,sin)，那么a与b一定满足〔〕A、a与b的夹角等于－B、(a＋b)⊥(a－b)C、a∥bD、a⊥b7i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP3cos i3sin j，(0,),OQ i。
假设用来表示OP、设2与OQ的夹角，那么等于〔〕A、B、C、D、228、设02，两个向量OP1cos,sin，OP22sin,2cos，那么向量P1P2长度的最大值是〔〕A、2B、3C、32D、二、填空题9、点A(2，0)，B(4，0)，动点P在抛物线y2＝－4x 运动，那么使AP BP取得最小值的点P的坐标1是、10、把函数y3cosxsinx的图象，按向量vm,n〔m>0〕平移后所得的图象关于y轴对称，那么m的最小a正值为__________________、11、向量OA(1,2),OB(3,m),假设OA AB,那么m、三、解答题12、求点A〔－3，5〕关于点P〔－1，2〕的对称点 A/、13、平面直角坐标系有点P(1,cosx),Q (cosx,1),x [ , ].4 4〔1〕求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x)；〔2〕求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x)，OB ( cosx，1)，其中x∈[0，]、2(1)求f(x)=OA·OB的最大值和最小值；uuur uuur uuur(2 )当OA⊥OB，求|AB、|15、定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P满足：APBP k|PC|2、1〕求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2〕当k2时，求|APBP|的最大值和最小值、2参考答案一、选择题1、B；2、B；3、C；4、B；5、D；6、B；7、D；8、C二、填空题9、(0，0)10、m11、45 6三、解答题3x12、解：设A/〔ｘ，ｙ〕，那么有21x1、所以A/，解得〔1，－1〕。
(word完整版)高中数学必修4平面向量综合练习题
数学必修 4 平面向量综合练习题一、选择题【共 12 道小题】1、以下说法中正确的选项是 ()A. 两个单位向量的数量积为1B. 假设 a·b=a·c且 a≠0, 那么 b=cC.D. 假设 b⊥c, 那么(a+c) ·b=a·b参考答案与解析 : 解析： A 中两向量的夹角不确定 ;B 中假设 a⊥b,a ⊥c,b与 c 反方向那么不成立 ;C 中应为;D 中 b⊥c b·c=0, 所以 (a+c) ·b=a·b+c·b=a·b.答案： D主要考察知识点 : 向量、向量的运算2、设 e 是单位向量 ,=2e,=-2e,||=2, 那么四边形 ABCD是()A. 梯形B. 菱形C. 矩形D. 正方形参考答案与解析 : 解析：, 所以 ||=||,且 AB∥CD,所以四边形ABCD是平行四边形 .又因为 ||=||=2,所以四边形 ABCD是菱形 .答案： B主要考察知识点 : 向量、向量的运算3、 |a|=|b|=1，a 与 b 的夹角为90°, 且 c=2a+3b ，d=ka-4b, 假设 c⊥d, 那么实数 k 的值为 ()参考答案与解析 : 解析：∵ c⊥d, ∴c·d=(2a+3b) ·(ka-4b)=0, 即 2k- 12=0, ∴k=6.答案： A主要考察知识点 : 向量、向量的运算4、设 0≤θ＜ 2π, 两个向量=(cos θ， sin θ),=(2+sin θ， 2- cosθ) ，那么向量长度的最大值是 ()A. B. C.D.参考答案与解析 : 解析：=(2+sin θ - cosθ,2 - cosθ - sin θ),所以 ||=≤=.答案： C主要考察知识点 : 向量与向量运算的坐标表示5、设向量 a=(1,-3) ， b=(-2,4)， c=(-1,-2)，假设表示向量4a、 4b-2c 、 2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，那么向量 d 为 ()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析: 解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示6、向量a=(3 ， 4) ， b=(-3 ，1) ， a 与 b 的夹角为所以θ, 那么d=-6a+4b-4c=(-2 tan θ等于 (， -6).)A.参考答案与解析: 解析：由得a·b=3×(- 3)+4 ×1= -5 ， |a|=5 ， |b|=，所以 cosθ=.由于θ∈［ 0，π］ ,所以 sin θ=.所以 tan θ==-3.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示7、向量 a 与b 不共线,=a+kb,=la+b(k、l ∈R),且与共线 , 那么k、l 应满足() A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析:解析：因为与共线,所以设=λ( λ∈ R) ,即la+b= λ(a+kb)= λa+λkb, 所以(l- λ)a+(1 - λk)b=0.因为 a 与 b 不共线 , 所以 l- λ=0 且 1- λk=0, 消去λ得 1-lk=0,即kl-1=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算8、平面内三点A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且AP=λPB,那么λ 的值为()C. D.参考答案与解析: 解析：因为=λ, 所以 (4 ，4)= λ(2 ，2).所以λ=.答案： C主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量a1，a2，a3 的和 a1+a2+a3=0，如果平面向量时针旋转30°后与bi 同向，其中i=1 ， 2， 3，那么 ()b1，b2，b3满足 |bi|=2|ai|，且ai顺A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0D.b1+b2+b3=0参考答案与解析: 解析：根据题意, 由向量的物理意义, 共点的向量模伸长为原来的 2 倍, 三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的 2 倍 , 原来的合力为零, 所以由 a1+a2+a3=0, 可得 b1+b2+b3=0.答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算10、设过点P(x ， y) 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A、 B两点，点Q与点 P 关于y 轴对称，O为坐标原点，假设, 且·=1, 那么P 点的轨迹方程是()A.3x2+y2=1(x ＞ 0,y ＞0)y2=1(x ＞ 0,y ＞ 0)C. x2-3y2=1(x ＞ 0,y ＞0)参考答案与解析 : 解析：设P(x,y),那么Q(-x,y).D.设x2+3y2=1(x ＞0,yA(xA),xA,B(0,yByB0,＞ 0)=(x,y-yB)=(xAx,-y).∵=2PA,∴x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=x,yB=3y(x ＞0,y ＞ 0).又∵·=1,(- x,y) ·(-xA,yB)=1,∴(- x,y) ·(x,3y)=1,即x2+3y2=1(x ＞ 0,y ＞0).答案： D主要考察知识点: 向量、向量的运算11、△ ABC 中，点 D 在 BC边上，且，假设, 那么 r+s 的值是 ()A. C.D .-3参考答案与解析: 解析：△ ABC 中，== ()=-，故r+s=0.答案： B主要考察知识点: 向量、向量的运算12、定义 a※b=|a||b|sinθ，θ 是向量 a 和b 的夹角， |a|、|b|分别为a、b 的模，点A(-3,2)、B(2,3),O是坐标原点，那么※等于 ()参考答案与解析 : 解析：由题意可知=(-3,2),=(2,3),计算得·=- 3×2+2×3=0，另一方面·=||||cos θ，∴c osθ=0,又θ∈ (0,π) ，从而sin θ=1，∴※=||||sinθ=13.答案： D主要考察知识点: 向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共 4 道小题】1、 a+b+c=0, 且 |a|=3,|b|=5,|c|=7,那么向量a 与参考答案与解析: 解析：由得a+b=-c, 两边平方得b 的夹角是 ____________.a2+2a·b+b2=c2,所以2a·b=72 -32-52=15.设a 与b 的夹角为θ,那么cosθ===,所以θ=60°.答案： 60°主要考察知识点: 向量、向量的运算2、假设=2e1+e2,=e1-3e2,=5e1+λe2, 且 B、 C、 D 三点共线 , 那么实数λ=___________.参考答案与解析: 解析：由可得=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,=(5e1+λe2) -(e1-3e2)=4e1+(λ+3)e2.由于 B、 C、 D 三点共线 , 所以存在实数m使得,即-e1-4e2=m ［4e1+(λ+3)e2］ . 所以 -1=4m 且 - 4=m(λ+3), 消去 m得λ=13.答案： 13主要考察知识点: 向量、向量的运算3、 e1、 e2 是夹角为60°的两个单位向量, 那么 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是 __________.参考答案与解析: 解析：运用夹角公式cosθ=，代入数据即可得到结果.答案： 120°。
新人教版必修4高中数学2.1.1《平面向量的概念及几何表示》练习题
§2．1.1平面向量的概念及几何表示【学习目标、细解考纲】了解向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及向量的几何表示。
【知识梳理、双基再现】1、向量的实际背景有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都是既有_______________又有_________________的量.路程,速率,质量,密度都是____________________的量.2、平面向量是_________________________的量,向量__________比较大小.数量是_________________________的量,数量_____________比较大小.3、向量的几何表示(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的点表示不同的数量.(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的____________,箭头的指向表示向量的________________.(3)有象线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面.有向线段AB的长度,记作___________________.有向线段包含三个要素________________________________________________知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定.(4)向量可以用有向线段表示.也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_____________4、向量的模的向量向量AB的大小,也就是向量AB的长度,称_____________,记作__________.5、零向量是_____________的向量,记作____________.零向量的方向任意.6、单位向量是____________的向量.7、平行向量_________________________叫做平行向量,向量a与b平行,通常记作______________我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有_________________________.【小试身手、轻松过关】1、判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
高一数学必修四平面向量基础练习题及答案
平面向量的基本定理及坐标表示、选择题1、若向量a=（1,1）,b=(1, - 1), c =( —1,2),则c 等于()13 1 3 . 3 1 -3 1 ,A、一a+ —bB、一a — bC、 a — bD、a+ b22 2 2 2 222 2、已知，A (2, 3), B （—4, 5）,则与AB共线的单位向量是( )—r 3.10.10 3.10 10 , 3 1010、A、e (, ---- -)B、e (——, ------ )或( -------- ,)101010 10 1010C、e (6,2)D、e ( 6,2)或(6,2)—*3、已知a，(1,2),b(3,2),ka b与a3b垂直时k值为( )A、171B、18C、19D、204、已知向量OP=(2, 1), OA =(1 , 7), OB =(5 , 1),设X是直线OP上的一点（O为坐标原点），那么XA XB的最小值是()A、-16B、-8C、0D、45、若向量m (1,2),n（2,1）分别是直线ax+(b —a)y —a=0 和ax+4by+b=0 的方向向量，贝U a,b的值分别可以是( )A、 1 , 2B、—2 , 1C、 1 , 2D、2 , 16、若向量a=(cos,sin),b=(cos ,sin）,则a与b 一定满足( )A、a与b的夹角等于一B、(a + b)丄(a —b)C、a// bD、a 丄b7、设i , j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP 3cos i3sin j ,(0,?),OQ i。
若用来表示OP与OQ的夹角，贝U 等于（）A、B、—2c、—2D、8、设0 2 ，已知两个向量OR cos , sin , OP2 2 sin , 2 cos ，则向量P-l P2长度的最大值是( )A、、2B、.3C、32D、二、填空题9、已知点A(2 , 0), B(4 , 0)，动点P在抛物线y2=- 4x运动，则使AP BP取得最小值的点P的坐标是____________________________________ 、10、把函数y 、.3cosx si nx的图象，按向量a m,n (m>0)平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为____________________ 、11、_____________________________________________________________ 已知向量OA ( 1,2),OB (3,m),若OA AB,则m ________________________________ 、三、解答题12、求点A (- 3, 5)关于点P (- 1, 2)的对称点A、13、平面直角坐标系有点P(1, cosx), Q (cosx,1), x [,].4 4(1)求向量OP和OQ的夹角的余弦用x表示的函数f(x);(2)求的最值、14、设OA (2sinx,cos2x),OB ( cosx, 1)，其中x€ [0, 卜2(1)求f(x)= OA OB的最大值和最小值;um uuu uuu⑵当OA丄OB，求| AB卜215、已知定点A(0,1)、B(0, 1)、C(1,0)，动点P 满足：AP BP k|PC|、量P-l P2长度的最大值是( )(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的图形；(2)当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小值、4min14、解：⑴ f(x)= OAOB = -2sinxcosx+cos2x= 2cos(2x、选择题参考答案I 、 B ; 2、B ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、D ; 8、C 二、 填空题 9、 (0, 0)510、 m 一 6II 、 4 三、 解答题12、解：设A3 x2，则有L 25 y 2解得1、所以 A/(1，- 1)o13、解：(1)OP OQ 2cosx,|OP||OQ| 12cos x, cosOP OQ |OP| |OQ|2cosx 1 cos 2 xf (x)(2) COSf(x)2cosx 1 2cos2 cosxcosxcosx2T 1]2 cosx3.2cosx◎ f(x) 1,即 口33cos 1max2(2 arccos一 3AP BP(x, y1) (x, y 1) (2x,2y) •••I AP BP |5■/ 0$w ,_w2+— <— 2 4 4 4• ••当 2X+ —= 一，即 x=0 时，f(X )max =1 ；4 4当 2x+ 一= n,即 x= — n 时，f(x) min =- 2、4 8⑵ OA OB 即 f(x)=0 , 2x+ 一 = — , • x= 一、428此时 | AB |, (2sinx cosx)2 (cos2x 1)2=.4sin 2 x cos 2 x 4sin xcosx (cos2x 1)27 72— —cos2x 2sin2x cos 2x 2 22 7cos — 2sin — cos2 — 2 2 4 44=1 ■16 3.2、2的圆、|1 k|, 方 程化 为 (x 2)2 y 2115、解:(1 ）设动点P 的坐标为(x, y),则AP(x,y 1) , BP(x,y 1),PC (1 x,y)AP BP k | PC |2,• x 2y 21 k (x2 21) y即 (1 k)x 2(1 k)y 22kx k 10。
(word版)高一数学必修四第二章平面向量测试题及答案,文档
一、选择题:(本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1．设点P〔3，-6〕，Q〔-5，2〕，R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，那么R点的横坐标为〔〕。
A、-9B、-6C、9D、62．=(2,3),b=(-4,7)，那么在b上的投影为〔〕。
A、B、C、D、3．设点A〔1，2〕，B〔3，5〕，将向量按向量=〔-1，-1〕平移后得向量为〔〕。
A、〔2，3〕B、〔1，2〕C、〔3，4〕D、〔4，7〕4．假设(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=sinBcosC，那么ABC是〔〕。
A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形5．||=4,|b|=3,与b的夹角为60°，那么|+b|等于〔〕。
A、B、C、D、6．O、A、B为平面上三点，点C分有向线段所成的比为2，那么〔〕。
A、B、C、D、7．O 是ABC所在平面上一点，且满足条件，那么点O是ABC的〔〕。
A、重心B、垂心C、内心D、外心8．设、b、均为平面内任意非零向量且互不共线，那么以下4个命题：(1)(·b)2=2·b2(2)|+b|≥|-b|(3)|+b|2=(+b)2(4)(b)-(a)b与不一定垂直。
其中真命题的个数是〔〕。
A、1B、2C、3D、49．在ABC中，A=60°，b=1，，那么等于〔〕。
A、B、C、D、10．设、b不共线，那么关于x的方程x2+bx+=0的解的情况是〔〕。
A、至少有一个实数解C、至多有两个实数解二、填空题：〔本大题共4小题，每题B、至多只有一个实数解D、可能有无数个实数解4分，总分值16分.〕.11．在等腰直角三角形ABC中，斜边AC=22，那么ABCA=_________ 12．ABCDEF为正六边形，且AC=a，AD=b，那么用a，b表示AB为______. 13．有一两岸平行的河流，水速为1，速度为的小船要从河的一边驶向对岸，为使所行路程最短，小船应朝________方向行驶。
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(0, ),OQ i 。若用 来表示 OP 与 OQ 的夹角，则 等于 （ ） 2
A、
B、
C、
D、
2
2
8、设 0
2 ，已知两个向量 OP1 cos , sin ， OP2 2 sin , 2 cos ，则向
量 P1P2 长度的最大值是（
）
A、 2
二、填空题
B、 3
C、 3 2
D、
9、已知点 A(2 ，0) ，B(4 ，0)，动点 P 在抛物线 y2＝－ 4x 运动，则使 AP BP 取得最小值的点
（）
3 10 10
A、e (
,)
B、 e
3 10 10 3 10
(
, )或 (
,
10 )
10 10
10 10
10 10
C、 e ( 6,2)
D、 e ( 6,2)或(6,2)
3、已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b与a 3b垂直时 k 值为
A 、17 B 、 18 C、 19 D、20
（ 2）当 k 2 时，求 | AP BP | 的最大值和最小值、
参考答案
一、选择题 1、 B； 2、 B； 3、 C； 4、 B； 5、D ； 6、 B； 7、 D ；8、 C 二、填空题 9、 (0， 0)
5 10、 m
6
11、 4 三、解答题
12、解：设 A/ （ｘ，ｙ），则有
3x 2 5y 2
| AP BP | 2 x2 y 2 2 5 4cos
∴当 cos 1时， | AP BP | 的最大值为 6 ，当 cos
1时，最小值为 2 。
（）
4、已知向量 OP =(2 ， 1)， 是直线 OP 上的一点 (O 为坐标
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∵ |A→D |＝ 2，
∴ |E→G|＝ |B→H |＝ 2.
又
|B→C
|＝
5，
∴
→ |HC
|＝
3.
又 E、 F 分别为腰 AB、 DC 的三等分点．
∴ G 为 DH 的三等分点，
∴
G→F
∥
Hห้องสมุดไป่ตู้C
且|G→F
|＝
1 3|
→ HC
|，
∴ |G→F |＝ 1，
∴
|E→F
|＝
→ |EG
|＋
→ |GF
|＝
2＋
2
鸡西市第十九中学高一数学组 3
鸡西市第十九中学高一数学组
答案
1． D 2.C 3.C 4.B 5.C 6.①③④ 7.菱形
8． 解 (1) 与 a 的模相等的向量有 23 个．
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有
→ OD
，
B→C
，
A→O
，
F→E.
(3)与
a 共线的向量有
→ EF
，B→C
，O→D
1＝
3.
11．解 (1) 向量 A→D， D→C，C→B ，A→B如图所示．
(2)由题意知 A→D＝ B→C，
∴ AD 綊 BC ，则四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ A→B＝ D→C，则 B 地相对于 A 地的位置向量为 “北偏东 60°， 6 千米 ”． 12． 证明 (1) ∵AA→′＝ B→B′ ，
与 b 都是单位向量．其中能使 a∥ b 成立的是 ________． (填序号 )
7．
在四边形
ABCD
中，
→ AB
＝
D→C
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§2．1.1平面向量的概念及几何表示
【学习目标、细解考纲】
了解向量丰富的实际背景，理解平面向量的概念及向量的几何表示。
【知识梳理、双基再现】
1、向量的实际背景
有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都是既有_______________又有_________________的量.路程,速率,质量,密度都是____________________的量.
2、平面向量是_________________________的量,向量__________比较大小.
数量是_________________________的量,数量_____________比较大小.
3、向量的几何表示
(1)由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常用_____________________表示,而且不同的点表示不同的数量.
(2)向量常用带箭头的线段表示,线段按一定比例(标度)画出,它的长短表示向量的____________,箭头的指向表示向量的________________.
(3)有象线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面.
有向线段AB的长度,记作___________________.
有向线段包含三个要素________________________________________________
知道了有向线段的起点,长度,和方向,它的终点就惟一确定.
(4)向量可以用有向线段表示.也可以用字母_________表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,例如字母_____________
4、向量的模的向量
向量AB的大小,也就是向量AB的长度,称_____________,记作__________.
5、零向量是_____________的向量,记作____________.零向量的方向任意.
6、单位向量是____________的向量.
7、平行向量
_________________________叫做平行向量,向量a与b平行,通常记作______________
我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b,都有_________________________.
【小试身手、轻松过关】
1、判断下列命题的真假:
（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.
（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.
（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.
（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.
（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b
（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（7）如果a=b，则a与b长度相等。
（8）如果a=b，则与a与b的方向相同。
（9）若a=b，则a与b的方向相反。
（10）若a=b，则与a与b的方向没有关系。
【基础训练、锋芒初显】
11 请写出初中物理中的三个向量_________________________
12 关于零向量，下列说法中错误的是（）
A零向量是没有方向的。
B 零向量的长度是0
C 零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的。
13 如果对于任意的向量a，均有a b ,则b为_________________
14 给出下列命题：
①向量的大小是实数②平行响亮的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④向量就是有向线段正确的有_________________________
【举一反三、能力拓展】
15 把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_________________________
16 把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______________
【名师小结、感悟反思】
1 通过对既有大小，又有方向的一些量的认识，了解向量的实际背景。
2掌握向量的表示法，可以用有向线段来表示向量，也可以用字母表示向量。
用有向线段AB 表示一个向量，显示了图形的直观性，为用向量处理几何问题和物理问题打下了基础。
同时
提供了一种几何方法，它也体现了数形结合的数学思想。
另外，应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。
用字母表示向量便于向量运算。
3 理解向量，零向量，单位向量，平行向量的概念。
因为向量即有大小，又有方向，所以向量不同于数量。
数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对于数量是适用的。
向量由模和方向确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对于向量来说是没有意义的，向量不能比较大小，向量的模可以比较大小。
任何一门数学分支，不管它如何抽象，总有一天会在现实世界的现象中找到应用。
第二章平面向量
§2．1平面向量的实际背景及基本概念
§2．1.1平面向量的概念及几何表示
【小试身手、轻松过关】
1．√ 2．× 3．× 4．× 5．× 6．× 7．√ 8．× 9．× 10．√
【基础训练、锋芒初显】
11．力、位移、速度 12．A 13．零向量O 14．①③
【举一反三、能力拓展】
15．直线 16．圆。