2020届百校联考高考百日冲刺金卷(全国Ⅱ卷)理科数学试卷(一)及答案
2020年百校联考高考百日冲刺(理科)数学试卷(全国ⅱ卷) (Word 含解析)
2020年高考百日冲刺（理科）数学试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．632．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．53．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√234．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C处，乙向东行走到B处，甲向南行走到A处，甲看到乙，便从A走到B处，甲乙二人共行走1600步，AB比AC长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB，则判断框中应填入的条件为（）A．x2+z2＝y2？B．x2+y2＝z2？C．y2+z2＝x2？D．x＝y？5．已知袋中有3个红球，n个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n＝（）A．1B．2C．6D．76．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．839．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ+110．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．182911．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A ．2√3B ．2√2C ．3D ．√612．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝xlg（√x2+a+x）是偶函数，则f（2x﹣1）≤f（x）的解集为．14．已知x，y满足线性约束条件{x+y−2≥0，x≤2，kx−y+2≥0，目标函数z＝﹣2x+y的最大值为2，则实数k的取值范围是．15．已知点O（0，0），A（4，0），M是圆C：（x﹣2）2+y2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C处，测得仰角为θ．则tanθ＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足a1=13，a2=415，且数列{√a n4a n−1}是等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AD＝2，AB＝BC＝CD＝1，BC∥AD，∠PAD＝90°．∠PBA为锐角，平面PBA⊥平面PBD．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PCD与平面PAB所成的锐二面角的余弦值．19．直线l过点（4，0），且交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两点，∠AOB＝90°．（1）求p；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x＜6且x∈N*}，则A的非空真子集的个数为（）A．30B．31C．62D．63【分析】求出集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，由此能求出A的非空真子集个数．解：∵集合A＝{x|x＜6且x∈N*}＝{1，2，3，4，5}，故A的子集个数为25＝32，非空真子集个数为30．故选：A．2．复数z满足z•（1+i）＝1+3i，则|z|＝（）A．2B．4C．√5D．5【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．解：由z•（1+i）＝1+3i，得z=1+3i1+i=(1+3i)(1−i)(1+i)(1−i)=2+i，∴|z|=√5．故选：C．3．已知sin(3π2+α)=13，则cosα＝（）A．13B．−13C．2√23D．−2√23【分析】利用两角和与差公式直接求解．解：sin(3π2+α)=sin3π2cosα+cos3π2sinα=−cosα=13，故cosα=−1 3．故选：B．4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人．金元时期的数学家．与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”．在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质．李治所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何．翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到B 处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到B 处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为（ ）A ．x 2+z 2＝y 2？B ．x 2+y 2＝z 2？C ．y 2+z 2＝x 2？D ．x ＝y ？【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得判断框中应填入的条件．解：由题知，AC ＝x ，AB ＝y ，BC ＝z ， 由勾股定理可知x 2+z 2＝y 2． 故选：A ．5．已知袋中有3个红球，n 个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n ＝（ ） A ．1B ．2C ．6D ．7【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出结果． 解：袋中有3个红球，n 个白球， 有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则p =33+n ×n 3+n +n 3+n ×33+n =1225， 解得n ＝2． 故选：B ．6．已知双曲线C ：x 24−y 25=1，圆F 1：（x +3）2+y 2＝16．Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切，则以下命题正确的是（ ） A ．⊙Q 过双曲线C 的右焦点 B ．⊙Q 过双曲线C 的右顶点 C ．⊙Q 过双曲线C 的左焦点D ．⊙Q 过双曲线C 的左顶点【分析】根据两圆外切得到QF 1＝4+r ；再结合双曲线的定义即可求解结论． 解：如图；因为以Q 为圆心作圆Q 与圆F 1相外切， ∴QF 1＝4+r ；∵QF 1﹣QF 2＝2a ⇒QF 1＝2a +QF 2＝4+QF 2； ∴r ＝QF 2；故圆Q 过双曲线C 的右焦点； 故选：A ．7．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，△ABC 内有一点O ，满足：CO →=λCB →+μCA →，且λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2，则CO 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√2【分析】根据题意，易知△ABC 为直角三角形，CB →⋅CA →=0，根据题意，确定λ的取值范围，给CO →=λCB →+μCA →两边平方，化为关于λ的二次函数，求得最值再开平方即得答案．解：△ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2， ∴AC ⊥BC ， ∴CB →⋅CA →=0，||2=λ2CB →2+2λμCB →⋅CA →+μ2CA →=16λ2+9μ2，∵λ＞0，μ＞0，4λ+3μ＝2， ∴2﹣4λ＞0，解得λ＜12， ∴0＜λ＜12．||2=16λ2+9μ2＝16λ2+（2﹣4λ）2=32(λ−14)2+2，∴||2≥2， ∴CO 的最小值为√2． 故选：C ．8．已知函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6，且f （x ）在（π，4π3）上单调，则ω的最大值为（ ） A ．52B ．3C ．72D ．83【分析】首先利用正弦型函数的对称轴建立等量，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．解：函数y ＝sin （ωx +φ）（ω＞0，φ∈（0，2π））的一条对称轴为x =−π6， 整理得：x =kω6−π6（k ∈Z ）， 由于f （x ）在（π，4π3）上单调， 所以{k 0πω−π6≤π(k 0+1)πω−π6≥4π3，解得：67k 0≤ω≤23(k 0+1)，由于ω＞0，所以{k 0＞067k 0≤23(k 0+1)，解得0＜k 0≤72．所以k 0＝1，2，3，当k 0＝3时，ω的最大值为83． 故选：D ． 9．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为B ，右焦点为F ，延长BF 交椭圆E于点C ，BF →=λFC →（λ＞1），则椭圆E 的离心率e ＝（ ） A ．√λ−1λ+1B ．λ−1λ+1C ．√λ2−1λ2+1D ．λ2−1λ2+1【分析】设点C （x ，y ），利用条件BF →=λFC →可得{x =(1+λ)λcy =−b λ，代入椭圆方程整理即可求得e 的值．解：设C （x ，y ），根据BF →=λFC →可得：{c =λ(x −c)−b =λy，则{x =(1+λ)λcy =−b λ，因为C 在椭圆上，带入方程可得(1+λ)2λ2⋅e 2+1λ2=1，即e 2=λ2−1(1+λ)2=λ−1λ+1，则e =√λ−1λ+1．故选：A ．10．已知（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，其中a 0+a 1+…+a n ＝243，则a 01+a 12+a 23+⋯+a n n+1=（ ） A ．182B ．1823C ．913D ．1829【分析】（1+2x ）n＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，可得3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．利用（1+2x ）5的通项公式可得a k k+1=2k ∁5k k+1．代入即可得出．解：（1+2x ）n ＝a 0+a 1x +…+a n x n ，令x ＝1，则3n ＝a 0+a 1+…+a n ＝243，解得n ＝5．∴（1+2x ）5的通项公式T k +1=∁5k （2x ）k ＝2k ∁5k x k ，∴a k ＝2k ∁5k，∴a kk+1=2k ∁5k k+1． 则a 01+a 12+a 23+⋯+a nn+1=11+2∁512+25∁556=1+5+403+20+16+163=1823．故选：B ．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A．2√3B．2√2C．3D．√6【分析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，分别求出六条棱的长度得答案．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四面体ABCD，四面体所在正方体的棱长为2，则棱长分别为：AB＝CD=√5，AC=2√2，BC＝1，BD=√6，AD＝3．最长的棱的长度为3．故选：C．12．已知函数f（x）=a+lnxx，g（x）＝e x﹣1（e为自然对数的底数），∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，则实数a的最小值为（）A．1B．e C．2D．ln2【分析】∃x∈（0，+∞），使得f（x）≥g（x）成立，分离参数a，可转化为∃x∈（0，+∞），使得a≥xe x﹣x﹣lnx成立．构造函数g（x）＝xe x﹣x﹣lnx（x＞0），利用导数法可求得g（x）min，从而可得答案．解：∵f （x ）=a+lnxx，g （x ）＝e x ﹣1（e 为自然对数的底数），∃x ∈（0，+∞），使得f （x ）≥g （x ）成立， 即∃x ∈（0，+∞），使得a+lnx x≥e x ﹣1成立，即∃x ∈（0，+∞），使得a ≥xe x ﹣x ﹣lnx 成立． 令g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx （x ＞0）， 则a ≥g （x ）min ，∵g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x（x ＞0）， ∴g ″（x ）＝（2+x ）e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）＝（1+x ）e x ﹣1−1x 在（0，+∞）上单调递增， 又g ′（13）=43e 13−4＜0，g ′（1）＝2e ﹣2＞0，∴∃x 0∈（13，1）使得g ′（x 0）＝0，此时g （x ）＝xe x ﹣x ﹣lnx 取得极小值，也是最小值．令g ′（x 0）＝0，则（1+x 0）e x 0=1+x0x 0，即e x 0=1x 0．∴g （x 0）＝x 0e x 0−x 0﹣lnx 0＝1﹣x 0﹣ln e −x 0=1，即g （x ）min ＝1， ∴a ≥1，∴实数a 的最小值为1， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f （x ）＝xlg （√x 2+a +x ）是偶函数，则f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集为 [13，1] ．【分析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数，g （0）＝0，解得a ＝1，利用函数的单调性解不等式，即可求出f （2x ﹣1）≤f （x ）的解集．解：∵f （x ）为偶函数，y ＝x 为奇函数， ∴g(x)=lg(√x 2+a +x)为奇函数， ∴g （0）＝0，解得a ＝1，对0＜x 1＜x 2，可知0＜g （x 1）＜g （x 2），故0＜x 1g （x 1）＜x 2g （x 2）， ∴函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，∴f （2x ﹣1）≤f （x ）等价于|2x ﹣1|≤|x |，即（2x ﹣1）2≤x 2，解得13≤x ≤1，即f （2x﹣1）≤f （x ）的解集为[13，1]． 故答案为：[13，1]．14．已知x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，目标函数z ＝﹣2x +y 的最大值为2，则实数k 的取值范围是 （﹣1，2] ．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最大值，结合直线系结果的定点，转化求解实数k 的取值范围．解：x ，y 满足线性约束条件{x +y −2≥0，x ≤2，kx −y +2≥0，表示的可行域如图：目标函数化为y ＝2x +z ，z ＝2时，可知：最优解在直线2x ﹣y +2＝0上，而（0，2）在可行域内，且满足2x ﹣y +2＝0．故可知：实数k 的取值范围是（﹣1，2]． 故答案为：（﹣1，2]．15．已知点O （0，0），A （4，0），M 是圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝1上一点，则|OM||AM|的最小值为13．【分析】由题意画出图形，通过图形得到|OM |的最小值与|AM |的最大值，则答案可求． 解：如图，由图可知，当M 为（1，0）时，|OM |最小为1，|AM |最大为3． 则|OM||AM|的最小值为13．故答案为：13．16．公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B 处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为θ．则tan θ＝√7777． 【分析】画出示意图，知道边长和角度，然后利用cos ∠EAB =AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB=AE 2+AC 2−EC 22AE⋅AC⇒EC ，即可求出结论．解：如图；DE ⊥面ACE ，∠EAB ＝45°，∠EBD ＝30°； 由题可得：AE ＝DE ＝60；AB ＝BC ＝80； ∴EB =DEtan30°=60√3； ∴cos ∠EAB=AE 2+AB 2−BE 22AE⋅AB =AE 2+AC 2−EC22AE⋅AC⇒602+802−(60√3)22×60×80=602+1602−EC 22×60×160⇒EC ＝20√77；∴tan θ=2077=3√7777； 故答案为：3√7777．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }满足a 1=13，a 2=415，且数列{√a n4a n −1}是等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．【分析】（1）先由题设条件求√an 4a n −1，再求出a n ；（2）由（1）中求得的a n ，再利用裂项相消法求出S n ． 解：（1）由a 1=13，a 2=415，可得√a 14a 1−1=1，√a 24a 2−1=2，∵数列{√a n 4a n −1}是等差数列，且首项为1，公差d ＝1，∴√an 4a n −1=n ，∴a n =n 24n 2−1=14+14×14n 2−1=14+18(12n−1−12n+1)， ∴S n =n 4+18[（11−13）+（13−15）+…+（12n−1−12n+1）]=n 4+18−116n+8． 18．四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝1，BC ∥AD ，∠PAD ＝90°．∠PBA 为锐角，平面PBA ⊥平面PBD ． （1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）求平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）作AM ⊥PB 于M ，推出AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，通过{DB ⊥ABDB ⊥AM ⇒DB⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 法向量，平面PCD 法向量，利用空间向量的数量积求解即可．解：（1）证明：作AM ⊥PB 于M ，则由平面PAB ⊥平面PBD ⇒AM ⊥平面PBD ⇒AM ⊥BD ．取AD 中点为Q ，则BC ∥¯¯QD ⇒BQ =CD =1=QD =QA ⇒∠ABD =90°． 又∠PBA 为锐角，∴M 、B 不重合．{DB ⊥ABDB ⊥AM⇒DB ⊥平面PAB ⇒PA ⊥DB 与PA ⊥AD ⇒PA ⊥平面ABCD ．（2）取AQ 中点H ，如图建立空间直角坐标系（其中x 轴与HB 平行），则B(√32，12，0)，C(√32，32，0)，D （0，2，0），P （0，0，2）．由（1）的证明知：平面PAB 的法向量为BD →=(−√32，32，0)．设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅PD →=0m →⋅CD →=0即{2y −2z =0−√32x +12y =0． 令x =1⇒m =(1，√3，√3)，cos〈m →，BD →〉=m →⋅BD →|m →|⋅|BD →|=−√32+3√323⋅7=√77．平面PCD 与平面PAB 所成的锐二面角的余弦值：√77．19．直线l 过点（4，0），且交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A ，B 两点，∠AOB ＝90°． （1）求p ；（2）过点（﹣1，0）的直线交抛物线于M ，N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），运用向量垂直的条件和联立直线方程与抛物线的方程，解方程可得p ；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和斜率公式，计算可得结论． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由∠AOB ＝90°，即OA →•OB →=0， 可得x 1x 2+y 1y 2＝0，即有y 122p•y 222p+y 1y 2＝0，即y 1y 2＝﹣4p 2，设直线l 的方程为x ＝my +4，联立抛物线的方程y 2＝2px ，可得y 2﹣2pmy ﹣8p ＝0， 则y 1y 2＝﹣8p ＝﹣4p 2，可得p ＝2；（2）抛物线上假设存在定点Q ，使直线MQ ，NQ 斜率之和为定值．设Q （x 0，y 0），MN 的方程为x ＝ty ﹣1，代入抛物线的方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4ty +4＝0，则y M +y N ＝4t ，y M y N ＝4，则k MQ +k NQ =y M −y 0x M −x 0+y N −y 0x N −x 0=y M −y 0y M 24−y 024+y N −y 0y N 24−y 024=4y M +y 0+4y N +y 0=4(2y 0+y M +y N )y 02+y 0(y M +y N )+y M y N =4(2y 0+4t)y 02+4ty 0+4=16(t+y02)4y 0(t+y 02+44y 0)．当且仅当y 02=4+y 024y 0时，上式为定值．解得y 0＝±2．故Q （1，2）或（1，﹣2）．20．某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14～18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x （单位：只）的统计情况如表：x 14 15 16 17 18 频数4560756060这300天内（假设这7个饭店对这种土鸡的需求量一样），养鸡厂每天出栏土鸡7a （14≤a ≤18）只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56﹣a 元的价钱处理．（Ⅰ）若a ＝16，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y （单位：元）关于需求量x （单位：只，x ∈N *）的函数解析式；（Ⅱ）以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只？【分析】（Ⅰ）根据每只鸡的成本为40元，饭店给鸡场每只结算70元，如果每个饭店当天的需求量x ＜a ，剩下的鸡只能以每只56﹣a 元的价格处理，建立分段函数模型，再将a ＝16代入求解；（Ⅱ）根据离散型分布列的特点，分类讨论，分别求出出栏112与119只时的期望，比较大小得结论．解：（Ⅰ）当x ＜a 时，y ＝（70﹣40）x +（56﹣a ﹣40）（a ﹣x ）＝（14+a ）x +16a ﹣a 2， 当x ≥a 时，y ＝30a ，∴y ={(14+a)x +16a −a 2，x ＜a30a ，x ≥a (x ∈N ∗)， 由a ＝16，得y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）；（Ⅱ）若出栏112只，则a ＝16，y ={30x ，x ＜16480，x ≥16（x ∈N*）．记Y 1为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 1可求420，450，480．P （Y 1＝420）＝0.15，P （Y 1＝450）＝0.2，P （Y 1＝480）＝0.65， Y 1的分布列为：Y 1 420 450 480 P0.150.20.65E （Y 1）＝420×0.15+450×0.2+480×0.65＝465； 若出栏119只，则a ＝17，y ={31x −17，x ＜17510，x ≥17（x ∈N*）．记Y 2为养鸡场当天在一个饭店获得的利润， Y 2可求417，448，479，510．P （Y 2＝417）＝0.15，P （Y 2＝448）＝0.2，P （Y 2＝479）＝0.25，P （Y 2＝510）＝0.4， Y 2的分布列为：Y 2 417 448 479 510 P0.150.20.250.4E （Y 2）＝417×0.15+448×0.2+479×0.25+510×0.4＝475.9．∵E （Y 1）＜E （Y 2），∴养鸡场出栏119只时，或利润最大．21．已知函数f （x ）={x 24e 2，x ≥02x ，x ＜0，g （x ）＝ln （x +a ）．（1）若f （x ），g （x ）有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标； （2）判定函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在[0，+∞）上的零点个数．【分析】（1）设M （x 0，y 0），分x 0≥0 和x 0＜0 两种情况讨论，每种情况下利用两个函数在 x ＝x 0处的导数值和函数值相等建立方程求解；（2）结合（1）中得到的结论，分a ＝﹣e 、a ＜﹣e 、﹣e ＜a ≤1、a ＞1 四种情况讨论．解：（1）设M （x 0，y 0），则当x 0≥0时，{x 024e 2=ln(x 0+a)①x 02e 2=1x 0+a ②，由②得x 0+a =2e 2x 0，代入①得x 024e =ln 2e 2x 0=ln(2e 2)−lnx 0， 对函数φ(x)=x 24e 2−ln(2e 2)+lnx ，求导得φ′(x)=x 2e 2+1x ＞0， ∴φ（x ）为增函数，且φ（2e ）＝0，故x 0＝2e ；当x 0＜0时，{2x 0=ln(x 0+a)2=1x 0+a，则2x 0=ln 12，即x 0=−ln22； 综上，M 的坐标为（2e ，1）或(−ln22，−ln2)； （2）由（1）知，x 0＝2e 时，a =−e ，h(x)=x 24e2−ln(x −e)，则h′(x)=x2e2−1x−e ，h″(x)=12e 2+1(x−e)2＞0， 故h ′（x ）在定义域上单调递增，则易知h ′（x ）有唯一零点为x ＝2e ，则h （x ）≥h （2e ）＝0，故h （x ）有唯一零点；当a ＜﹣e 时，h(x)=x 24e2−ln(x +a)＞x 24e2−ln(x −e)≥0，h （x ）无零点；当﹣e ＜a ≤1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a在[0，+∞）上至多一个零点，h （x ）在（0，+∞）上至少两个零点，而h （0）＝﹣lna ≥0，h （2e ）＝1﹣ln （2e +a ）＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞， 故h （x ）在（0，2e ），（2e ，+∞）上各一个零点；当a ＞1时，h′(x)=x 2e 2−1x+a满足h ′（0）＜0，h ′（2e ）＞0， 故在（0，2e ）上，h ′（x ）仅一个零点，设为m ，在（0，m ）上，h （x ）为减函数，在（m ，+∞）上，h （x ）为增函数，而h(0)=−1a ＜0，h(m)＜h(0)＜0，x →+∞时，h （x ）→+∞，故仅在（m ，+∞）上有一个零点．综上可得，当a ＜﹣e 时，h （x ）无零点；当a ＝﹣e 或a ＞1时，h （x ）有1个零点；当﹣e ＜a ≤1时，h （x ）有2个零点．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+tcosφy =1+tsinφ（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=483cos 2θ+4sin 2θ． （Ⅰ）当φ=π3时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为M （2，1），求直线l 的斜率． 【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为：√3x −y +1−2√3=0； 椭圆C 的直角坐标方程为：x 216+y 212=1．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的直角坐标方程整理得：（3+sin 2φ）t 2+（12cos φ+8sin φ）t ﹣32＝0， 由题意得：t 1+t 2＝0，故12cosφ+8sinφ=0⇒k =tanφ=−32， 所以直线l 的斜率为−32． 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）f （x ）≤x 的解集为[2，m ]，求a 和m ．【分析】（Ⅰ）．根据绝对值三角不等式，由f （x ）＝|x ﹣a |+|x ﹣2|≥||=||，求得f（x）最小值，再由||≥3求解；（Ⅱ）不等式的解集与相应方程根的关系，当x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a ＝0或4．再分类求解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝|x﹣a|+|x﹣2|≥||=||，当且仅当（x﹣a）（x﹣2）≤0时取等号，故f（x）的最小值为||，∴||≥3⇔a≥5或a≤﹣1．（Ⅱ）由不等式解集的意义可知：x＝2时，f（2）＝2，即||=2，解得a＝0或4．a＝0时，如图所示：不合题意，舍去；a＝4时，如图所示：由y＝x与y＝2x﹣6，解得：x＝6．即m＝6，综上，a＝4，m＝6．。
金考卷—百校联盟—领航高考冲刺卷(理数答案)
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本题考查三角恒等变换｀三角函数的图象和性质’考
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14垫［考查目标］ 本题主要; α厕ˉl≠0,所以α″ˉα″ˉ｜＝1,又易知αl＝1 ’故数列｛α鹏｝是首项和公
本题主要考 查双曲线的离心率,考查了分析
一
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问题和解决问题的能力。
（—］）,警二（—］）馏（←击） ,则数列｜h鹏｜的煎2022项和
考生的逻辑椎理能力以及运算求解能力,考查的核心素养是逻辑椎
面积,再利用几何概型的概率计算公式求解即可。
≤沪 ［解析］ 如图所示,设AB＝α,连接CF,根据
题意可知乙CEF＝90°’乙CFE＝45°,EF＝
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÷』则cF＝粤α;正八边形的面积为α2＋4×
理｀数学运算。 ［解题思路］ 分公比是否为l进行讨论,再利用等比数列的前门项 和公式及定义求解即可。 ［解析］ 设等比数列｛α′』 ｝的公比为q’当q＝1时,S＂＿2α｜ ＝nαl
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2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(一)试题含详解
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 理数（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,5,100A B x x mx ==+-=，若{}5A B ⋂=，则A B ⋃=（ ） A.{}1,3,5- B.{}1,2,5-- C.{}1,2,5- D.{}1,3,5--2.若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A.65- B.65 C.152- D.152 3. 已知某地区在职特级教师、高级教师.中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ）A.2人B.18人C.40人D.36人4.已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ）A.100B.25C.50D.2525.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A.8B.3C.2log 3D.()22log log 36. 《九章算术(卷第五)商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为（注：1丈10=尺）A.45000立方尺B.52000立方尺C.63000立方尺D.72000立方尺7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9454,5S a ==，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A.20182019 B.10091010C.40362019D.20191010 8.()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A.296 B.296- C.1864- D.1376-9.如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.120+B.120+C.120+D.120+10.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r ，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.2C.32D.211.定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22x e f x -<的解集为（ ） A.(),0-∞ B.()0,+∞ C.(),1-∞- D.()1,-+∞12.已知数列{}n a n -前n 项和为n S ，且()21201811,1n i i i i a a n S +=⎡⎤+-==⎣⎦∑，则1a =（ ） A.32 B.12 C.52D.2 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题-第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.。
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)(含答案解析)
2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈R|x>1}，B={x∈R|x2≤4}，则A∪B=()A. [−2,+∞)B. (1,+∞)C. (1,2]D. (−∞,+∞)=()2.若复数z=m(m−1)+(m−1)i是纯虚数，其中m是实数，则1zA. −iB. 2iC. iD. −2i3.某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取()人．A. 56B. 28C. 11D. 54.过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1,−7)的圆交y轴于M，N两点，则｜MN｜等于()A. 2√6B. 8C. 4√6D. 105.执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出的S值为()A. 8B. 19C. 42D. 896.《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少？”这个问题的答案是()A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈7. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 7=4，则S 13= ( )A. 52B. 39C. 26D. 138. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 409. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 323B. 163C. 8√33 D. 16√2310. 如图，已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P 、Q ，若∠PAQ =60°，且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33 B. √72 C. √396D. √311. 已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(0)=12，则不等式f(x)−12e x <0的解集为( )A. (−∞,12)B. (0,+∞)C. (12,+∞)D. (−∞,0)12.已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a2n=n−a n，a2n+1=a n+1，则S100=()A. 1306B. 1308C. 1310D. 1312二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,−2)，则(a⃗+2b⃗ )⋅a⃗=______ ．14.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y−2≤0x+2≥0则z=|x−3y|的最大值是．15.函数f(x)=x2−2lnx的单调减区间是________．16.已知函数的部分图象如图所示，则f(0)=__________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.如图，在梯形ABCD中，已知AD//BC，AD=1，BD=2√10，∠CAD=π4，tan∠ADC=−2，(1)求CD的长；(2)求ΔBCD的面积。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷数学(理)(二)试题(解析版)
【解析】根据
x
，
y
满足线性约束条件
x
2
，且直线 kx y 2 0 过定点
kx y 2 0
0, 2 ，将目标函数化为 y 2x z ，平移直线 y 2x ，根据 z 2 时，最优解在直线
A． x2 z2 y2 ? B． x2 y2 z2 ? C． y2 z2 x2 ? D． x y ?
【答案】A
【解析】根据题意得， AC x , AB y , BC z, 则 x y z 1600,y x 80 ，所以 z 1520 2x ，再根据 ABC 为直角 三角形∠C 90 求解.
【答案】
1 3
,1
【解析】根据题意，利用复合函数的奇偶性，得出 g x lg x2 a x 为奇函数，
g 0 0 a 1 ，利用函数的单调性解不等式，即可求出 f 2x 1 f x 的解集.
【详解】
解：由题知， f x 是偶函数，
故 g x lg x2 a x 为奇函数， g 0 0 a 1，
1 3
，故 cos
1 3
.
故选：B. 【点睛】
本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题. 4．李冶，真定栾城（今河北省石家庄市栾城区）人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、 朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术（设未知数并列方程的 方法），用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李治所著《测圆海镜》中有一道题： 甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜
.
8．已知函数 y sin( x )( 0, (0, 2 )) 的一条对称轴为 x ，且 f (x) 在 6
,
4 3
上单调，则
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(理)(二)试题
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷•理数(二)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|6A x x =<且}*x ∈N ， 则A 的非空真子集的个数为（ ）A 、30B 、31C 、62D 、632.已知复数z 满足：(1)13z i i ⋅+=+，则||z =（ ）A 、2B 、4C 、D 、53.已知31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则cos α=（ ）A.13 B. 13- C. 3 D. 3-4.李冶，真定栾城(今河北省石家庄市栾城区)人.金元时期的数学家.与杨辉、秦九韶、朱世杰并称为“宋元数学四大家”.在数学上的主要贡献是天元术(设未知数并列方程的方法)，用以研究直角三角形内切圆和旁切圆的性质.李冶所著《测圆海镜》中有一道题：甲乙同立于乾隅，乙向东行不知步数而立，甲向南直行，多于乙步，望见乙复就东北斜行，与乙相会，二人共行一千六百步，又云南行不及斜行八十步，问通弦几何.翻译过来是：甲乙两人同在直角顶点C 处，乙向东行走到Ｂ处，甲向南行走到A 处，甲看到乙，便从A 走到Ｂ处，甲乙二人共行走1600步，AB 比AC 长80步，若按如图所示的程序框图执行求AB ，则判断框中应填入的条件为（ ）A 、 222?x z y += B 、 222?x y z += C 、 222?y z x += D 、 ?x y =5.已知袋中有3个红球，n 个白球，有放回的摸球2次，恰1红1白的概率是1225，则n = （ ） A 、1 B 、2 C 、6 D 、76.已知双曲线22:145x y C -=，圆221:(3)16F x y ++=.Q 是双曲线C 右支上的一个动点，以Q 为圆心作圆Q 与圆1F 相外切，则以下命题正确的是（ ）A 、 Q e 过双曲线C 的右焦点B 、 Q e 过双曲线C 的右顶点C 、 Q e 过双曲线C 的左焦点D 、 Q e 过双曲线C 的左顶点7.在ABC V 中，5AB =，3AC =，4BC =，ABC V 内有一点O ，满足：CO CB CA λμ=+u u u r u u u r u u u r， 且0λ>，0μ>， 432λμ+=，则CO 的最小值为（ ）A 、1B 、2C 、D 、8.已知函数sin()(0,(0,2))y x ωϕωϕπ=+>∈ 的一条对称轴为6x π=-，且()f x 在4,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A 、52 B 、3 C 、 72 D 、 839.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的上顶点为B ， 右焦点为F ， 延长BF 交椭圆E 于点C .(1)BF FC λλ=>u u u r u u u r，则椭圆E 的离心率e =（ ）A B 、 11λλ-+ C 、 D 、 2211λλ-+ 10.已知01(12)n nn x a a x a x +=+++L ，其中01243n a a a ++⋯+=，则0121231n a aa a n +++⋯+=+（ ） A.182 B.1823 C. 913 D. 182911.某几何体三视图如图所示，则该几何体中，最长的棱的长度为（ ）A 、B 、C 、3D 、12.已知函数ln ()a x f x x+=，()e 1(e xg x =-为自然对数的底数). (0,)x ∃∈+∞,使得()()f x g x …成立，则实数a 的最小值为（ ）A 、1B 、 eC 、2D 、 ln 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知())f x x x =是偶函数， 则(21)()f x f x -…的解集为 .14.已知x ，y 满足线性约束条件20220x y x kx y +-⎧⎪⎨⎪-+⎩………，目标函数2z x y =-+的最大值为2，则实数k 的取值范围是 .15.已知点(0,0)O ，(4,0)A ，M 是圆22:(2)1C x y -+=上一点，则||||OM AM 的最小值为16.公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点A 处测得楼顶的仰角为45°， 行走80米到点B 处， 测得仰角为30°， 再行走80米到点C 处， 测得仰角为θ.则tan θ= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足113a =，2415a =，且数列是等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S .18.如图， 在四棱锥P ABCD -中，2PA AD ==，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ︒∠=,PBA ∠为锐角，平面PAB ⊥平面PBD . (Ⅰ) 证明：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ) 求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.19.直线l 过点(4,0)， 且交抛物线22(0)y px p =>于,A B 两点，90AOB ︒∠=.(Ⅰ)求p ；(Ⅱ)过点(1,0)-的直线交抛物线于,M N 两点，抛物线上是否存在定点Q ，使直线,MQ NQ 斜率之和为定值，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，说明理由.20.某养鸡厂在荒山上散养天然土鸡，城里有7个饭店且每个饭店一年有300天需要这种土鸡，A 饭店每天需要的数量是14~18之间的一个随机数，去年A 饭店这300天里每天需要这种土鸡的数量x (单位：只)的统计情况如下表：7(1418)a a 剟只，送到城里的这7个饭店，每个饭店a 只，每只土鸡的的成本是40元，以每只70元的价格出售，超出饭店需求量的部分以每只56a -元的价钱处理.(Ⅰ)若16a =，求养鸡厂当天在A 饭店得到的利润y (单位：元) 关于需求量x (单位：只，x ∈N ) 的函数解析式；(Ⅱ)以表中记录的各需求量的频率作为各需求量发生时的概率，若养鸡厂计划一天出栏112只或119只土鸡，为了获取最大利润，你认为养鸡厂一天应该出栏112只还是119只?21.已知函数22,0()4e 2,0x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩…，()ln()g x x a =+.(Ⅰ)若()f x ，()g x 有公共点M ，且在点M 处有相同的切线，求点M 的坐标；(Ⅱ)判定函数()()()h x f x g x =-在[0,)+∞上的零点个数.22.【选修4一4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中， 直线l 的参数方程为2cos (1sin x t t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩为参数) ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为222483cos 4sin ρθθ=+ (Ⅰ)当3πϕ=时，把直线l 的参数方程化为普通方程，把椭圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且A ，B 中点为0(2,1)M ，求直线l 的斜率.23.【选修4一5：不等式选讲】已知函数()|||2|f x x a x =-+-.(Ⅰ)若()3f x …恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ) ()f x x …的解集为[2,]m ，求a 和m .2020届百校联考高考百日冲刺金卷。
2020届百校高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷 数学(理)(一) 含答案
已知函数 f(x)＝x2＋mln x 。
(I)若 m＝－12，证明：函数 f(x)在区间(2，3)上有且仅有 1 个零点；
(II)若关于 x 的不等式 2f(x)≥m2 在[1，2]上恒成立，求实数 m 的取值范围。
请考生从第 22、23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右
-1-
(A)8
(B)3
(C)log23
(D)log2(log23)
(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤
四丈，深六丈五尺，问积几何”。译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽 2 丈，
长 7 丈；下底宽 8 尺，长 4 丈，深 6 丈 5 尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：
调研，所得结果如下所示：
(I)是否有 99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； (II)小明回答单选题的正确率为 0.8，多选题的正确率为 0.75。
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(i)若小明选择方案一，记小明的得分为 X，求 X 的分布列以及期望；
(ii)如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由。
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(I)求不等式 f(x)>8 的解集； (II)若关于 x 的不等式 f(x)＋m>|x＋3|－x2 的解集为 R，求实数 m 的取值范围。
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方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：消费者全部选择单选题进行回答；
其中单选题答对得 2 分，多选题答对得 3 分，无论单选题还是多选题答错得 0 分；每名参赛
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷(一)数学(理)试题(解析版)
2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷（一）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,5,100A B x x mx =-=+-=，若{}5A B =I ，则A B =U （ ）A ．{}1,3,5-B ．{}1,2,5--C ．{}1,2,5-D ．{}1,3,5--【答案】B【解析】由题意，5是方程2100x mx +-=的解，可得3m =-，求出集合B ，即得A B U .【详解】{}5A B =Q I ，5∴是方程2100x mx +-=的解，255100m ∴+-=，3m ∴=-.解方程23100x x --=，得5x =或2x =-，{}5,2B ∴=-. 故{}1,2,5A B ⋃=--. 故选：B . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若m 为实数，且复数()()325z m i i =-+为纯虚数，则m =（ ） A ．65-B ．65C ．152-D ．152【答案】C【解析】根据复数的分类，实部为0，虚部不为0的复数是纯虚数，可得m 的值. 【详解】依题意()()()()3252561521556z m i i m mi i m m i =-+=+-+=++-为纯虚数，故2150560m m +=⎧⎨-≠⎩，则152m =-.故选：C. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3．已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人，900人，2000人，为了调查该地区不同职称的教师的工资情况，研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查，则被抽取的高级教师有（ ） A ．2人 B ．18人C ．40人D ．36人【答案】B【解析】求出该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例，从而得到高级教师的比例，即可得答案； 【详解】依题意，该地区在职特级教师、高级教师、中级教师的比例为1:9:20， 则随机抽取60人，高级教师有9601830⨯=人. 故选：B. 【点睛】本题考查分层抽样的特点，考查数据处理能力，属于基础题.4．已知圆C 过点()()()4,6,2,2,5,5--，点,M N 在圆C 上，则CMN ∆面积的最大值为（ ） A ．100 B ．25C ．50D ．252【答案】D【解析】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入，求出圆C 的方程，即可求出CMN ∆面积的最大值. 【详解】设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()()()4,6,2,2,5,5--代入可得，52460822050550D E F D E F D E F +++=⎧⎪--+=⎨⎪+++=⎩，解得2,4,20D E F =-=-=-. 故圆C 的一般方程为2224200x y x y +---=，即()()221225x y -+-=，故CMN ∆的面积11125sin 55sin 5512222S CM CN MCN MCN =∠=⨯⨯∠≤⨯⨯⨯=. CMN ∴∆面积的最大值为252.故选：D . 【点睛】本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为256，则输出x 的值为（ ）A ．8B ．3C ．2log 3D ．()22log log 3【答案】C【解析】根据程序框图一步一步往下执行，即可得答案； 【详解】运行该程序，第一次，8y =，2n =，8x =； 第二次，3y =，3n =，3x =；第三次，2log 3y =，4n =，2log 3x =；第四次，()22log log 3y =，5n =，()22log log 3x =； 第五次，()22log log 322log 3y ==，6n =，2log 3x =；第六次，()22log log 3y =，7n =，()22log log 3x =； 第七次()22log log 322log 3y ==，8n =，2log 3x =，此时输出x 的值为2log 3. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，属于基础题.6．《九章算术（卷第五）·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”.译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为（ ）（注：1丈10=尺.）A ．45000立方尺B ．52000立方尺C ．63000立方尺D ．72000立方尺【答案】B【解析】对几何体进行分割得到()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++，再利用体积公式计算，即可得到答案. 【详解】进行分割如图所示，面AEFD ⊥面1111A B C D ，AN EF ⊥，DQ EF ⊥，11AM A D ⊥，11DP A D ⊥，连结,PQ MN ，面//AEFD 面BCGH ，故()112A A MNE AMN DPQ D PQFD BCGH ADFE V V V V V ----=+++11(820)652156652651584032252000+⨯⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭立方尺.故选：B. 【点睛】本题考查利用割补法求多面体的体积，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若954S =，45a =，则数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前2019项的和为（ ） A ．20182019B ．10091010C ．40362019D ．20191010【答案】D【解析】求出数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的通项公式，再利用裂项相消法求和.【详解】由等差数列性质可知，95954S a ==，解得56a =；而45a =，故1d =，则1432a a d =-=，故2(1)3222n n n n nS n -+=+=， 2121121n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， 设1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，则111111112212233411121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-=-=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-+L ， 故2019220192019201911010T ⨯==+. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列基本量运算、裂项相消法求和，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8．()5211232x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为（ ） A ．296 B ．296-C ．1864-D ．1376-【答案】C【解析】写出二项式()532x -展开式的通项，即可求出2x 的系数. 【详解】二项式()532x -展开式的通项为()()51532rrrr T C x -+=-，所以2x 的系数为()()()3523252355532221327206410801864C C C ⨯⨯-+⨯--⨯⨯⨯-=---=-.故选：C . 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于基础题.9．如图，网格小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．1208286++B ．12085+C ．1208246++D ．120162+【答案】C【解析】根据三视图，画出几何体的直观图，即可求表面积. 【详解】在长方体中，沿平面ABD 和平面BCD 进行切割，得到该几何体的直观图为多面体ABD BCD EFGH --，如图所示则()14416,484242EFGH ADEH S S =⨯==⨯+⨯=, ()()1146420,6842822DEFC BCFG S S =⨯+⨯==⨯+⨯=,18432,442822ABGH ABD S S ∆=⨯==⨯⨯=12243462BCD S ∆=⨯=故所求表面积16242028328246S =+++++1208246=+. 故选：C . 【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为M ，以M 为圆心作圆，圆M 与直线0bx ay -=交于,A B 两点，若60,23AMB OB AB ∠=︒=u u u r u u u r，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C ．32D 【答案】B【解析】由60,AMB AM BM ∠=︒=，得AMB ∆为正三角形. 设圆M 的半径为r ，由23OB AB =u u u r u u u r ，得2r OA =u u u r .由勾股定理得222+2r r a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得r =再根据点(),0M a 到直线0bx ay -=2r =，整理可求双曲线C 的离心率. 【详解】因为60,AMB AM BM ∠=︒=，故AMB ∆为正三角形.设圆M 的半径为r ，则圆心M 到直线AB 的距离2d=. 由23OB AB =u u u r u u u r，得3OB OA =u u u r u u u r ，故2r OA =u u u r .因为OM a =u u u u r ，由勾股定理得222+r a ⎫=⎪⎪⎝⎭，解得r =又点(),0M a 到直线0bx ay -===化简可得2243b a =，故2c e a ===.故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于中档题. 11．定义在R 上函数()f x 的导函数为'()f x ，且'()2()2f x f x -<，若()01f =-，则不等式()22xef x -<的解集为（ ）A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞-D ．()1,-+∞【答案】A 【解析】令2()2(),xf xg x x R e+=∈，可求函数()g x 在R 上单调递减. 由2()2x e f x -<，可得()1g x >，从而可求不等式()22xe f x -<的解集.【详解】令2()2(),x f x g x x R e +=∈，则''2()2()4()xf x f xg x e--=， 由'()2()2f x f x -<，得'()42()0f x f x --<，'()0g x ∴<，∴函数()g x 在R 上单调递减.由2()2xef x -<，可得2()2x f x e +>，2()21xf x e +∴>， 即()()(0)(01,1,)g x g g x g =∴>>Q ， 又函数()g x 在R 上单调递减，0x ∴<. 故不等式2()2xe f x -<的解集为(),0-∞.故选：A . 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于中档题. 12．已知数列{}n a n -的前n 项和为n S ，且211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑，20181S =，则1a =（ ） A ．32B ．12C ．52D ．2【答案】A【解析】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，对n 分奇数和偶数进行讨论，利用数列的前n 项和公式可得关于1a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】依题意，221(1)(1)21n n n a a n n n ++-=--=-，故当n 为奇数时，12121,21,n n n n a a n a a n +++-=-⎧⎨+=+⎩22n n a a ++=， 当n 为偶数时，12121,21,n n n n a a n a a n ++++=-⎧⎨-=+⎩24n n a a n ++=， 2018122018(122018)1S a a a =+++-+++=L L ，即1220182018(12018)11009201912a a a ⨯+++⋅⋅⋅+=+=⨯+，又122018a a a ++⋅⋅⋅+()()13520172462018a a a a a a a a =+++++++++L L(12504(1620164)2504)2a a ⨯+⨯⎛⎫=+⨯++ ⎪⎝⎭([]112504)1252(1620164)a a =+⨯+++⨯+⨯11210082021a =++⨯，所以，11009201911210082021a ⨯+=++⨯，110092019100820212a ⨯-⨯=10082019201910082021322⨯+-⨯==.故选：A. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解的关键是对关系211(1)ni i i i aa n +=⎡⎤+-=⎣⎦∑的灵活运用.二、填空题13．已知向量()()2,3,24,7m m n =-+=-u r u r r ，则,m n u r r夹角的余弦值为_________.【答案】65【解析】求出,,n m n r u r r ，根据cos ,m n m n m n=u r ru r r g u r r 即得. 【详解】()()2,3,24,7,m m n m =-+=-=u r u r r u rQ()()21,2,52m n mn n +-∴==-=u r r u r r r，2132865cos ,135m n m n m n⨯+-⨯-∴===⨯u r ru r r g u r r .故答案为：865. 【点睛】本题考查两向量的夹角公式，属于基础题.14．已知实数,x y 满足1121x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≤+⎩，则3z x y =+的最小值为_________.【答案】1【解析】画出可行域，根据目标函数的几何意义即求z 的最小值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示由3z x y =+，可得3y x z =-+，则z 为直线在y 轴上的截距.平移直线3y x z =-+，当直线过可行域内的点()0,1A 时，3z x y =+最小，最小值为1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.15．当120x x m <<<时，不等式2112x x x x <恒成立，则实数m 的最大值为_________. 【答案】e【解析】设ln ()x f x x =，由2112ln ln x x x x <，得1212ln ln x x x x <，得函数ln ()x f x x=在()0,m 上为增函数，即求m 的最大值.【详解】设ln ()x f xx=，由2112ln lnx x x x<，得1212ln lnx xx x<，即当120x x m<<<时，都有()()12f x f x<，∴函数ln()xf xx=在()0,m上为增函数，'21ln()0xf xx-∴=≥，0x e∴<≤.故m的最大值为e.故答案为：e.【点睛】本题主要考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于中档题.16．已知函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω）的部分图象如图所示，其中,33Mπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象的一个最高点，4,03Nπ⎛⎫⎪⎝⎭是图象与x轴的交点，将函数()f x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后，再向右平移4π个单位长度，得到函数()g x的图象，则函数()g x的单调递增区间为________.【答案】5,93183k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k∈Z）【解析】根据图像得到()f x的解析式，再根据伸缩变换和平移变换得到()g x的解析式，进而求出单调区间.【详解】依题意，3A=，4433Tπππ=-=，即4Tπ=，故12ω=，1()3sin2f x xϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭；将,33π⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x 中，可知12232k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，故23k πϕπ=+，k ∈Z ；不妨设0k =，故函数1()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；将函数()f x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的112后， 得到3sin 63y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位长度， 得到()3sin 643g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33sin 63cos 6233x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 令26223k x k πππππ+≤+≤+（k ∈Z ），解得593183k k x ππππ+≤≤+（k ∈Z ），故函数()g x 的单调递增区间为5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 故答案为：5,93183k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质、伸缩变换与平移变换、单调区间，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题17．在ABC ∆中，4BAC π∠=，2AB =，2BC =，M 是线段AC 上的一点，且tan AMB ∠=-（1）求AM 的长度； （2）求BCM ∆的面积.【答案】（1）12AM =（2 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得sin AMB ∠，cos AMB ∠的值，再利用正弦定理求得AM 的长度；（2）根据AMB CMB π∠+∠=可得sin CMB ∠，再利用正弦定理求得BM ，进一步利用余弦定理求得CM ，最后代入三角形的面积公式，即可得答案； 【详解】（1）因为sin tan cos AMBAMB AMB∠∠==-∠且22sin cos 1AMB AMB ∠+∠=，联立两式，解得sin 3AMB ∠=，1cos 3AMB ∠=-，故sin sin()ABM AMB A ∠=∠+1432326-=-⨯=， 由正弦定理sin sin AM ABABM AMB =∠∠，所以sin 1sin 2AB ABM AM AMB ⋅∠==∠. （2）因为AMB CMB π∠+∠=，故1cos cos()cos 3CMB AMB AMB π∠=-∠=-∠=，所以sin 3CMB ∠=， 在ABM ∆中，由正弦定理sin sin BM ABA AMB=∠， 故sin 3sin 2AB A BM AMB ⋅==∠，在BCM ∆中，由余弦定理2222cos BC BM CM BM CM CMB =+-⋅⋅∠， 得21793124423CM CM =+-⨯⨯⨯， 解得2CM =或1CM =-（舍去）.所以BCM ∆的面积113sin 22223S BM CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【点睛】本题考查三角形的内角和、诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.18．如图所示，在三棱锥S BCD -中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，SBD ∆为等边三角形，30BCD ∠=︒，24CD DB ==.（1）若SA AD =，求证：SD CA ⊥； （2）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为419565，求AD 的长. 【答案】（1）见解析（2）12AD =或32. 【解析】（1）利用面面垂直性质定理可得BC ⊥平面SBD ，从而推出BC SD ⊥，再证明BA SD ⊥，进一步利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即可得到线线垂直； （2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，平面SCD 的一个法向量3,1)m =u r，利用向量的夹角公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，2BD =，在BCD ∆中，4CD =，30BCD ∠=︒， 由余弦定理可求得，23BC = ∴222CD BD BC =+，即BC BD ⊥，又平面SBD ⊥平面BCD ，平面SBD I 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ， ∴BC ⊥平面SBD BC SD ⇒⊥， 等边SBD ∆中，SA AD =， 则BA SD ⊥，且BC BA B =I ， ∴SD ⊥平面BCA ，∴SD CA ⊥.（2）以B 为坐标原点，BC ，BD 所在直线为x 轴，y 轴，过点B 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出则(0,0,0)B ，(23,0,0)C ，(0,2,0)D ，3)S ，故(23,2,0)CD =-u u u r ，(0,1,3)SD =u u u r，设平面SCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，则0,0,m CD m SD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即2320,30,x y y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 取1x =，则3y =1z =，所以3,1)m =u r，设(0,3),(01)DA DS λλλλ==-≤≤u u u r u u u r，故(0,23)A λλ-，则(0,23)BA λλ=-u u u r，故||sin cos ,||||m BA m BA m BA θ⋅==⋅u r u u u ru r u u u r u r u u u r 2223334195655(2)3λλλλ==⋅-+，解得14λ=或34，则12AD =或32. 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直性质定理的应用、已知线面角求线段长，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空.回馈活动设计了两种方案：方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品.为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如下所示：（1）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关；（2）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75.（ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X，求X的分布列以及期望；（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】（1）没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关.（2）（ⅰ）见解析，3.05（ⅱ）方案一，见解析【解析】（1）直接根据卡方公式将数据代入计算，并与6.635比较大小，即可得到结论；（2）（ⅰ）X的所有可能取值为0，2，3，4，求出概率值，进而得到分布列和期望；（ⅱ）分别计算两种方案获得奖品的概率，即可得答案；【详解】（1）依题意，完善列联表如下所示：22500(150********) 4.8312302703002006.635K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关. （2）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4， 则1111(0)455100P X ==⨯⨯=， 1148(2)2455100P X ==⨯⨯⨯=，375(3)4100P X ===，14416(4)455100P X ==⨯⨯=，故X 的分布列为：所以187516305()0234 3.05100100100100100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为1751691(3)0.91100100100P P X =≥=+==， 小明选择方案二获得奖品的概率为214444112896(3)20.896555551251000P P X =≥=⨯⨯⨯+⨯===，因为21P P <，所以小明选择方案一更有可能获得奖品. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用、卡方公式计算、随机变量的分布列和期望，考查阅读理解能力、运算求解能力.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F .（Ⅰ）若124PF PF +=，求点P 到点1,02M ⎛⎫⎪⎝⎭距离的最大值；（Ⅱ）若过点()4,0且不与坐标轴垂直的直线与椭圆C 分别交于,E F 两点，点()()0,,0,A B A y B y 分别在直线22,F E F F 上，比较22,F A F B 的大小关系，并说明理由.【答案】（Ⅰ）最大值52；（Ⅱ）22F A F B =，见解析. 【解析】（Ⅰ）根据122PF PF a +=，得点P 在椭圆C 上. 设点()00,P x y ，则2200143x y +=，可得[]220002,2113,44PM x x x =-+∈-，可求PM 最大值；（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.把直线EF 的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理证明220AF BF k k +=，可得22OF A OF B ∠=∠，即得线段22,F A F B 的大小关系.【详解】（Ⅰ）依题意，点P 在椭圆C 上.设点()00,P x y ，则2200143x y +=，故()22222220000000011311319322444444PM x y x x x x x x ⎛⎫=-+=-++-=-+=-+ ⎪⎝⎭，其中[]02,2x ∈-， 故当02x =-时，2max254PM=， PM ∴的最大值为52.（Ⅱ）设直线EF 的方程为()4y k x =-，()()1122,,,E x y F x y （11x ≠且21x ≠）.由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2222433264120k x k x k +-+-=.依题意()()()22223244364120kk k ∆=--⨯+->，即2104k <<，则212221223243641243k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 因为2222121211AF BF EF FF y yk k k k x x +=+=+-- ()()()()()1212121212258441111k x x x x k x k x x x x x -++⎡⎤--⎣⎦=+=---- ()()2222126412322584343011k k k k k x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎣⎦==-- 所以直线2AF 的倾斜角与直线2BF 的倾斜角互补，即22OF A OF B ∠=∠. 因为2OF AB ⊥，所以22F A F B =. 【点睛】本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于难题.21．已知函数2()f x x m =+（Ⅰ）若12=-m ，证明：函数()f x 在区间()2,3上有且仅有1个零点；（Ⅱ）若关于x 的不等式22()f x m ≥在[]1,2上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）⎡⎣.【解析】（Ⅰ）先判断函数()f x 在区间()2,3上的单调性，再根据零点存在定理即可证明；（Ⅱ）令()2()g x f x =，由题意只需[]2min )1,2(,g x m x ∈≥.对m 分类讨论即求.【详解】（Ⅰ）证明：函数()f x 的定义域为()0,∞+. 当12=-m 时，22()ln 6ln 2mf x x x x x =+=-， 则()('2622()23f x x x x x x x x=-=-=， 当()2,3x ∈时，'()0f x >，∴函数()f x 在()2,3上单调递增，又()()()()2346ln 296ln30f f =--<， 故函数()f x 在()2,3上有且仅有1个零点.（Ⅱ）令2()2()2ln g x f x x m x ==+，则[]2'4()4,1,2m x mg x x x x x+=+=∈；当16m ≤-时，'()0g x ≤对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递减，2min ()(2)8ln 2g x g m m ∴==+≥，又16m ≤-Q ，不等式无解，m ∴∈∅；当4m ≥-时，'()0g x ≥对[]1,2x ∈恒成立，()g x ∴在[]1,2上单调递增，2min ()(1)2g x g m ∴==≥，又4m ≥-Q，m ≤≤当16m -<<-4时，令'()0g x =，得()1,22x =，当12x <<时，'()0g x <；当22x <<时，'()0g x >， ()g x ∴在⎛ ⎝⎭上单调递减，在2⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增， ()2min ln 224m m m g x g m ⎛⎫∴==-+-≥ ⎪⎝⎭⎝⎭，11ln 242m m ⎛⎫∴-+-≤ ⎪⎝⎭； 令4m t =-()14t <<，则114ln 22t t +≤， 易知14ln 2y t t =+在()1,4t ∈上单调递增， 则14ln 2t t +4>，从而114ln 22t t +≤不可能成立，舍去. 综上所述，实数m的取值范围为⎡⎣.【点睛】本题考查零点存在定理，考查导数在函数中的应用，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为6cos ρα=.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线12,C C 交于,M N 两点，求直线MN 的极坐标方程以及,M N 的极坐标（要求写出的极径非负，极角在[)0,2π上）.【答案】（Ⅰ）26sin 360ρρθ--=；2260x y x +-=；（Ⅱ）极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,M N 的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程化为普通方程，再把普通方程化为极坐标方程.由6cos ρα=得26cos ρρα=，即得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）由曲线12,C C 的直角坐标方程求出直线MN 的直角坐标方程，再化为极坐标方程；先求出,M N 两点的直角坐标，再化为极坐标.【详解】（Ⅰ）依题意，曲线()221:345C x y +-=，故22636x y y +-= 即曲线1C 的极坐标方程为26sin 360ρρθ--=；曲线2C :26cos ρρα=，即2260x y x +-=，则曲线2C 的直角坐标方程为2260x y x +-=.（Ⅱ）联立222263660x y y x y x ⎧+-=⎨+-=⎩， 两式相减可得6-=x y ，即cos sin 6ρθρθ-=cos 64θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即直线MN 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 联立22660x y x y x -=⎧⎨+-=⎩故29180x x -+=，解得33x y =⎧⎨=-⎩或60x y =⎧⎨=⎩ 故,M N的极坐标为()7,6,04M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭或()76,0,4M N π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，属于中档题.23．已知函数()324f x x x =++-（1）求不等式()8f x >的解集；（2）若关于x 的不等式2()3f x m x x +>+-的解集为R ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()(),13,-∞-+∞U ；（2）()3,-+∞.【解析】（1）根据零点分段讨论求解不等式的解集；（2）分离参数等价转化为224m x x >---恒成立，求解2()24g x x x =---的值域即可得解.【详解】（1）依题意，3248x x ++->当3x <-时，原式化为3428x x --+->， 故73x <-，解得3x <-； 当32x -≤≤时，原式化为3248x x ++->故3x >，解得3x >；综上所述，不等式()8f x >的解集为()(),13,-∞-+∞U（2）依题意，23243x x m x x ++-+>+- 即224m x x >--- 224m x x >---Q 对x ∈R 恒成立 令2()24g x x x =---=()()222213,224,224,215,2x x x x x x x x x x ⎧---≤⎧-+-≤⎪=⎨⎨--+>-++>⎩⎪⎩ max ()(1)3,3g x g m ∴==->-故实数m 的取值范围是()3,-+∞【点睛】此题考查解绝对值不等式，根据不等式恒成立求参数取值范围，关键在于等价转化，通过求函数最值解决问题.。
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2020届百校联考高考百日冲刺金卷（全国Ⅱ卷）
理科数学试卷（一）
★祝考试顺利★
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.本试卷满分150分,测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合A＝{－1,5},B＝{x|x2＋mx－10＝0},若A∩B＝{5},则A∪B＝
(A){－1,3,5} (B){－1,－2,5} (C){－1,2,5} (D){－1,－3,5}
(2)若m为实数,且复数z＝(m－3i)(2＋5i)为纯虚数,则m＝
(A)－6
5
(B)
6
5
(C)－
15
2
(D)
15
2
(3)已知某地区在职特级教师、高级教师、中级教师分别有100人,900人,2000人,为了调查该地区不同职称的教师的工资情况,研究人员在该地区按照分层抽样的方法随机抽取了60人进行调查,则被抽取的高级教师有
(A)2人 (B)18人 (C)40人 (D)36人
(4)已知圆C过点(4,6),(－2,－2),(5,5),点M,N在圆C上,则△CMN面积的最大值为
(A)100 (B)25 (C)50 (D)25 2
(5)执行如图所示的程序框图,若输入x的值为256,则输出x的值为
(A)8 (B)3 (C)log
23 (D)log
2
(log
2
3)
(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈,袤七丈,下广八尺,袤四丈,深六丈五尺,问积几何”。
译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑,上底宽2丈,长7丈；下底宽8尺,长4丈,深6丈5尺,问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。
)
(A)45000立方尺 (B)52000立方尺 (C)63000立方尺 (D)72000立方尺
(7)已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n。
若S
9
＝54,a
4
＝5,则数列{
1
n
S n
)前2019
项的和为
(A)2018
2019
(B)
1009
1010
(C)
4036
2019
(D)
2019
1010
(8)(1＋2x2－1
x
)(3x－2)5的展开式中x2的系数为
(A)296 (B)－296 (C)－1864 (D)－1376
(9)如图,网格小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为。