小学四年级奥数植树和方阵问题
植树问题(两端都种)
植树与方阵问题奥数知识点植树问题专题分析：要想了解植树问题中的数学并学会怎样解决植树问题，首先要牢记三要素①总路长、②树间距、③棵数。
只要知道这三要素中的任意两个要素，就可以求出第三个要素。
解题的关键是要先求出间隔数，题目一般不会直接给出来。
关于植树的路线，有封闭和不封闭两种路线。
解决植树问题的基本数量关系：每份数（树间距）×份数（间隔数）＝总数（路长）总数（路长）÷份数（间隔数）＝每份数（树间距）总数（路长）÷每份数（树间距）＝份数（间隔数）一、不封闭路线有3种，两端都种、两端都不种、一端种另一端不种。
1、两端都种重要公式：棵数－1=间隔数间隔数+1=棵数路长÷树间距＝间隔数这两三公式是解答两端都种的植树问题的关键。
由此推出：树间距×（棵数－1）＝路长路长÷（棵数－1）＝树间距路长÷树间距＋1＝棵数例1、同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。
一共要栽多少棵树？分析：要以两棵树之间的距离作为分段标准，公路全长可分成若干段，由于公路两端都要求栽树，所以植树的棵数比分成的段数多1。
间隔数：100÷5=20（个）路长÷树间距＝间隔数一边棵数： 20+1=21（棵）间隔数+1=棵数答：一共要栽种21棵。
例2、在花园小区一条320米的小路的两边上栽树，从起点到终点每隔16米栽一棵，一共栽了多少棵？注意审题看清是“一边”栽，还是“两边”栽间隔数：320÷16=20（个）路长÷树间距＝间隔数一边棵数： 20+1=21（棵）间隔数+1=棵数两边棵数： 21×2=42（棵）答：一共要栽种42棵。
例3、园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。
从第1棵到最后一棵的距离有多远？间隔数：36－1=35（个）棵数－1=间隔数路长：6 ×35=210（米）树间距×间隔数＝路长答：从第1棵到最后一棵的距离有210米。
植树问题和方阵问题
一、 植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、 解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．知识框架植树问题和方阵问题例题精讲一、不封闭植树问题【例1】大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？【巩固】在一条长240米的水渠边上植树，每隔3米植1棵。
两端都植，共植树多少棵？【例2】从小熊家到小猪家有一条小路，每隔45米种一棵树，加上两端共种53棵；现在改成每隔60米种一棵树．求可余下多少棵树?【巩固】从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔60米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆?【例3】马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【巩固】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树，问汽车每小时走多少千米？【例4】晶晶上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶．如果从第一层走到第六层需要走多少级台阶?(各层楼之间的台阶数相同)【巩固】丁丁和爸爸两个人比赛跑楼梯，从一层开始比赛，丁丁到四层时，爸爸到三层，如此算来，丁丁到16层时，爸爸跑到了几层？【例5】有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒．如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒．现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？【巩固】有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟就敲几下，六点时，5秒钟敲完，那么十二点时，几秒钟才能敲完？【例6】元宵节到了，实验中学学校大门上挂了红绿两种颜色的彩灯，从头到尾一共挂了21只，每隔30分米挂一只红灯，相邻的2只红灯之间挂了一只绿灯，问实验中学学校的大门有多宽？【巩固】校门口放着一排花，共10盆．从左往右数茉莉花摆在第6，从右往左数，月季花摆在第8，一串红花全都摆在了茉莉花和月季花之间．算一算，一串红花一共有多少盆？【例7】有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开一处需用3分钟，全部锯完需要多少分钟?【巩固】一根木料在24秒内被锯成了4段，用同样的速度锯成5段，需要多少秒？【例8】有一根180厘米长的绳子，从一端开始每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？【巩固】大头儿子和小头爸爸一起攀登一个有300级台阶的山坡，爸爸每步上3级台阶，儿子每步上2级台阶，从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少级不同的台阶？二、封闭植树问题【例9】公园内有一个圆形花坛，绕着它走一圈是120米．如果沿着这一圈每隔6米栽一棵丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花，可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？两株相邻的丁香花之间的2株月季花相距多少米？【巩固】一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药？多少棵月季？两棵月季之间的株距是多少米？一、 方阵问题（1） 明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2） 每边的个数＝总数÷41 ”；（3） 每向里一层每边棋子数减少2；（4） 掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
小学四年级奥数举一反三专题第14讲 植树问题
小学四年级奥数举一反三专题第14讲植树问题一、知识要点1．线段上的植树问题可以分为以下三种情形:（1）如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1.即:棵数=段数＋1；（2）如果一端植树,另一端不植树,那么棵数与段数相等,即:棵数=段数；（3）如果两端都不植树,那么棵数应比段数少1.即:棵数=段数－1。
2．在封闭的路线上植数,棵数与段数相等,即:棵数=段数。
二、精讲精练【例题1】城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵,每隔6米栽一棵。
这条路长多少米？【思路导航】题中已知栽树28棵,28棵树之间有28－1=27段,每隔6米为一段,所以这条大路长6×27=162米。
练习1:1.在一条马路一边从头至尾植树36棵,每相邻两棵树之间隔8米,这长马路有多长？2.同学们做早操,21个同学排成一排,每相邻两个同学之间的距离相等,第一个人到最后一个人的距离是40米,相邻两个人隔多少米？3.一条路长200米,在路的一旁从头至尾每隔5米植一棵树,一共要植多少棵？【例题2】在一个周长是240米的游泳池周围栽树,每隔5米栽一棵,一共要栽多少棵树？【思路导航】这道题是封闭线路上的植树问题,植树的棵数和段数相等。
240÷5=48（棵）练习2:1.一个鱼塘的周长是1500米,沿鱼塘周围每隔6米栽一棵杨树,需要种多少棵杨树？2.在圆形的水池边,每隔3米种一棵树,共种树60棵,这个水池的周长是多少米？3.在一块长80米,宽60米的长方形地的周围种树,每隔4米种一棵,一共要种多少棵？【例题3】在一座长800米的大桥两边挂彩灯,起点和终点都挂,一共挂了202盏,相邻两盏之间的距离都相等。
求相邻两盏彩灯之间的距离。
【思路导航】大桥两边一共挂了202盏彩灯,每边各挂202÷2=101盏,101盏彩灯把800米长的大桥分成101－1=100段,所以,相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
天下无双的公考必考题数量关系植树方阵类问题
天下无双的公考必考题数量关系植树方阵类问题必考神题把每类必考题总结出来，学会一道题就能会一类题，这才是学霸的不传之秘，高效备考的方法。
01植树方阵类公式：1.单边直线型：棵树=总长÷间隔＋12.单边楼间型：棵树=总长÷间隔－13.环形植树公式：棵树=总长÷间隔方阵问题3个结论：N阶方阵总人数N某N最外层人数4N－4相邻两圈相差8人【例1】为了把2023年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。
单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的（不相交）两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗（）。
A．8500棵B．12500棵C．12596棵D．13000棵【例2】一块三角地，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米、186米、234米，树与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵？A．90棵B．93棵C．96棵D．99棵【例3】条道路的一侧种植了25棵杨树，其中道路两端各种有一棵，且所有相邻的树距离相等。
现在需要增种10棵树，且通过移动一部分树（不含首尾两棵）使所有相邻的树距离相等，则这25棵树中有多少棵不需要移动位置（）。
A．3B．4C．5D．6【例4】若干学校联合进行团体操表演，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内第二层有104人，则该方阵共有学生（）人。
A．625B．841C．1024D．1369【参考答案】DCAB已有资料如何获得所有资料加入星球：考进体制内或。
植树问题(方阵问题)
2011年1月15日植树问题（方阵问题）课堂讲解1、方阵的概念：横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵。
2、方阵的基本特点：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比个一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数二最外层的一边个数X最外层一边的个数；（每边数一1） X4二每层数；每层数4-4+1=每边数空心方阵中物体的个数二（最外层一边的个数一层数）X层数X44、方阵中其它特性问题：1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的话，会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为2,相邻两层相差总个数为8。
2、每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：四周人（或物）数二【每边人（或物）数-1】X4：每边人（或物）数二四周人（或物）数宁4+13、中实方阵的总人数（或物）二每边人（或物）数X每边人（或物）数4、观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：中空方阵的总人（或物）数二（最外层每边人（或物）数一中空方阵的层数）X 中空方阵的层数X4课堂练习题例题1：学生排成12人一行共12行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需要去掉多少人？解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数X2-1”，即12X2-1=23 人。
例题2：小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑子，黑子共有81枚，这个方阵共有多少枚棋子？解：可以画个图。
并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋子是对齐的。
81枚黑子，则每边是9枚，所以黑棋每行梅列都是9枚，最上层的棋子数就是（9+2）=11 （枚），那么这个方针共有棋子：11X11=121 （枚）。
例题3：游行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一层每边15人，那么彩车周围共有少先队员多少人？解：这是个空心方阵。
小学奥数模块教程四年级杯赛备战讲义——植树问题
一、 植树问题分两种情况：（一）不封闭的植树路线.①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-)株距=全长÷(棵数1-)②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距；株距=全长÷棵数.③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+).全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、 解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．知识引入 植 树 问 题精讲【例1】小明家门前有一条10米长的水沟，在沟的一侧每隔2米栽一棵树，一共可栽几棵?(两端都植树)【巩固】一条马路长200米，在马路两侧每隔4米种一棵树，则一共要种树___________棵。
（两端都植树）【例2】一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？【巩固】贝贝要去外婆家，他家门口有一根路灯杆，从这根杆开始，他边走边数，每50步有一根路灯杆，数到第10根时刚好到外婆家，他一共走了_____步．【例3】从甲地到乙地每隔40米安装一根电线杆，加上两端共51根；现在改成每隔20米安装一根电线杆．求还需要多少根电线杆?【巩固】插一排红旗共26面。
原来每两面之间的距离是4米，现在改为5米。
如果起点一面不移动，还可以有几面不移动？【例4】马路的一边，相隔8米有一棵杨树，小强乘汽车从学校回家，从看到第一棵树到第153棵树共花了4分钟，小强从家到学校共坐了半小时的汽车，问：小强的家距离学校多远？【巩固】马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树，问汽车每小时走多少千米？(两端植树)【例5】一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树）【巩固】小君从第1棵树走到第5棵树用了20秒，小君如果走1分钟，可以走到第几棵树？【例6】有一座高楼，小红每上登一层需1.5分钟，每下走一层需半分钟，她从上午8：45开始不停地从底层往上走，到了最高层后又立即往下走，中途也不停留，上午9：17第一次返回底层。
小学奥数：植树问题(二).专项练习
1．封闭与非封闭植树路线的讲解及生活运用。
2．掌握空心方阵和实心方阵的变化规律． 3．几何图形的设计与构造一、植树问题分两种情况： （一）不封闭的植树路线.① 若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1+=全长÷株距1+全长=株距⨯(棵数1-) 株距=全长÷(棵数1-)② 如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：全长=株距⨯棵数；棵数=段数=全长÷株距； 株距=全长÷棵数.③ 如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数1-=全长÷株距1-.株距=全长÷(棵数1+). 全长=株距⨯(棵数+1)（二）封闭的植树路线.在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所以种树的棵数等于分成的段数.全长、棵数、株距之间的关系就为：棵数=段数=周长÷株距.二、解植树问题的三要素（1）总路线长（2）间距（棵距）长（3）棵数，只要知道这三个要素中任意两个要素，就可以求出第三个．三、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别. （2）每边的个数＝总数÷41+”； （3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
知识点拨教学目标5-1-3.植树问题（二）例题精讲模块一、封闭图形的植树问题【例 1】小强家附近的公园里有一个圆形池塘，它的周长1500是米，每隔3米栽种一棵树．问：共需树苗多少株？【巩固】周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？【例 2】在一个长345米、宽240米的长方形草坪四周等距离地栽一些松树，要求四个顶点和每边中点都正好栽一棵松树，则最少要买松树苗棵。
植树问题中的方阵问题
一个方阵最外层每边站8人。最外层一共站多少人？
8 - 1= 7
7×4 = 28
最外层的总数=（每边的人数-1）×4
只栽一端
（封闭图形）
运用规律
围棋盘的最外层每边能放19 个棋子。最外层一共可以摆放 多少棋子？
19－1= 18（个）
18×4 = 72（个）
答：最外层一共可以摆放72个棋子。
运用规律
（6－1）×3 = 15
（6－1）×6 = 30
（6－1）×10 = 50
解决问题
圆形体育馆的一周全长是150米，如果沿着这一圈每隔 15米安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
150÷15=10（盏）
答：一共需要装10盏灯。
拓展运用
要在正五边形的水池边上摆上花 盆，使每一边都有4盆花，可以 怎样摆放？最少需要几盆花？ 五个顶点不摆 五个顶点处要摆
（封闭图形）棵数=间隔数
最外层的总数=每边的间隔数×边数
要在五边形的水池 边上摆花盆，使每 边都有4盆花，可 以怎样摆放？最少 需要几盆花？
4－1= 3（盆）
3×5= 15（盆）
答：最少需要15盆花。
五 在一个 四边形的边上摆棋子，每个顶点都摆一个。
1.如果最外层每边能放100个，最外层一共可 以摆放多少个棋子？
（100-1）×4 （100-1）×5
2.如果最外层每边能放200个，最外层一共可 以摆放多少个棋子？
（200-1）×4 （200-1）×5
运用规律
下列空心队列，每边站6人，各顶点 都只站一人。一圈最少需要站多少人？
5 学习要求： ①在作业纸上圈一圈，要 求能让人一眼就看出你是 怎么想的。 ②把你的想法用算式表示 出来。 ③把你的想法和同桌交流 交流。再想想看还有没有 不同的算法。
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小学四年级奥数植树和方
阵问题
The following text is amended on 12 November 2020.
植树与方阵问题
一、植树问题
解决植树问题，首先要牢记三要素：①总路线长.②间距（棵距）长.③棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素.就可以求出第三个。
关于植树的路线，有封闭与不封闭两种路线。
1.不封闭路线
例：如图
①若题目中要求在植树的线路两端都植树，则棵数比段数多1.如上图把总长平均分成5段，但植树棵数是6棵。
全长、棵数、株距三者之间的关系是：
棵数=段数+1=全长÷株距+1
全长=株距×（棵数-1）
株距=全长÷（棵数-1）
②如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数就比在两端植树时的棵数少1，即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为：
全长=株距×棵数；
棵数=全长÷株距；
株距=全长÷棵数。
③如果植树路线的两端都不植树，则棵数就比②中还少1棵。
棵数=段数-1
=全长÷株距-1. （如右图所示.段数为5段，植树棵数为4棵）株距=全长÷（棵数+1）。
2.封闭的植树路线
例如：在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树，因为头尾两端重合在一起，所
以种树的棵数等于分成的段数。
如右图所示。
棵数=段数=周长÷株距.
二、方阵问题
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
计算组成实心方阵、空心方阵的物体的个数是主要的方阵问题。
方阵的基本特点是：
方阵中,里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比外一层物体总个数少8个。
①每边数和数的关系：
四周数=（每边数—1）×4；
每边数=四周数÷4＋1。
②实心方阵总数=每边数×每边数。
③空心方阵总数=最外层过数×最外边数-（最外边数- 层数×2）×（最外边数- 层数×2）
例题详解
例1 有一条公路长900米，在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆，可栽多少根电线杆
例2 马路的一边每相隔9米栽有一棵柳树.张军乘汽车5分钟共看到501棵树.问汽车每小时走多少千米
例3一个圆形花坛，周长是180米.每隔6米种一棵芍药花，每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药多少棵月季两棵月季之间的株距是多少米
例4 某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人
例5 某小学有学生576人，排成一个三层的空心方阵队列训练，求这个空心方阵外层每边上的人数。
例6 晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个
练习题
1.一个圆形池塘，它的周长是150米，每隔3米栽种一棵树.问：共需树苗多少株
2.有一正方形操场，每边都栽种17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵
3.在一条路上按相等的距离植树.甲乙二人同时从路的一端的某一棵树出发.当甲走到从自己这边数的第22棵树时，乙刚走到从乙那边数的第10棵树.已知乙每分钟走36米.问：甲每分钟走多少米
4.在一根长100厘米的木棍上，从左向右每隔6厘米点一个红点.从右向左每隔5厘米点一个红点，在两个红点之间长为4厘米的间距有几段
5.一个正方形方队，外层有100人，问此方队共有多少人
6.在一块正方形草地四周种树，四个角都种一棵，每边种13棵，这块草地四周共种树多少棵
7.三年级的学生组成一个正方形方队，共12行，每行12人，后来由于服装不够只好去掉一行一列，问去掉了多少名学生
8.某学校三年级同学180人，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边多少人
9.一个正方形水池，每边有12棵树，相邻两棵之间相距4米。
这个水池四周共长多少米
复习练习题
—1991这1991个自然数中,所有的奇数之和与所有的偶数之和的差是___
2.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米
3.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元
4.甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍。