最新四年级奥数：方阵问题
【奥数专项】人教版小学数学奥数思维拓展四年级上册方阵问题(试题)含答案与解析
奥数专项——方阵问题（试题）一．选择题（共8小题）1．在一个正方形花坛四周种树，每边种5棵（四个顶点也要种），一共要种（）棵．A．20B．28C．16D．152．一个方阵每边站20人，（四个顶点都有人），那么这个方阵一共有（）人．A．400B．76C．361D．803．一个方阵共有49人，那么这个方阵最外层有（）A．28人B．24人C．30人D．36人4．用花盆摆一个方阵，最外层共有60盆花，方阵最外层每边有（）盆花．A．14B．13C．15D．165．同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有（）人．A．72B．76C．806．学校要美化校园，要在正方形水池四周摆花，四个角都摆一盆，每边都摆5盆，那么一共要准备（）盆花．A．16B．20C．24D．267．同学们做操，站成7行，每行6人，现在要求站成方队，最少要去掉（）人．A．5B．6C．78．在一个正方形的操场上四周植树，要求4个角各植1棵，每边都植12棵，一共要植树（）棵．A．40B．44C．48二．填空题（共7小题）9．为美化校园，同学们在学校正方形花圃四周摆放菊花，如果每边摆5盆，至少要准备盆。
10．团体操方阵表演，最外层每边15人，最外层一共有人，这个方阵一共有人。
11．小芳用黑棋在围棋盘的左上方和右下方各摆了一个方阵，每个方阵每行摆5粒，摆5行，再在每个方阵的最外面摆一圈白棋。
白棋一共摆了粒，黑棋一共摆了粒。
12．儿童节前夕，学校后勤人员在童话广场用盆花摆出了一个8×8的方阵，外三层用的是蝴蝶兰，里面用的是大叶海棠．蝴蝶兰要准备盆，大叶海棠要准备盆．13．运动会开幕式上，“花环”队同学在操场上排成方队表演，每行7人，有7行，“花环”方队最外边一圈有人。
14．同学们排成一个正方形方阵，这个方阵的最外层每边都有10人，最外层一共有人。
15．四年级同学举行队列表演，共组成8个方队。
每个方队排成5行，每行5人。
四年级奥数50道及答案
第四讲方阵问题［同步巩固演练］1、121人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？2、每边站13人，可以排成一个共有多少人的实心方阵？3、一个正方形花坛，原来放了一些花，组成一个实心方阵，后来又运来21盆花添上去，使每行、每列各增加一排，成了一个大一点的实心方阵，问原来放了多少盆花？4、给一个方形建筑物插彩旗，每边插了7面彩旗，共插了多少面彩旗？5、用棋子排成一个二层空心方阵，里层每边6个棋子，求这个空心方阵的棋子总数。
6、用棋子摆成一个三层空心方阵，中间一层每边棋子数为9个，求一共用了多少个棋子。
[能力拓展平台]1、有若干枚棋子，若排成三层空心方阵，则多出5枚；若中空增加一层，则少11枚。
这堆棋子共有多少枚？2、同学们用小红花排成一个四层空心方阵，最外层每边12朵，共有红花多少朵？3、街心雕塑四周用432盆鲜花摆成了一个六层空心方阵，最内层共有多少盆鲜花？4、64名同学在游行彩车的四周排成了一个二层空心方阵，若外面再增加一层，还需要多少名同学？4、用一堆棋子摆成空心方阵，最外层共有棋子52枚，最内层共有棋子28枚。
这堆棋子共有多少枚？5、用一堆棋子摆成一个五层空心方阵，最内层每边12枚，求这堆棋子的总数。
[全讲综合训练]1、军训的学生进行队列表演，排成了一个7行7列的正方形队伍，如果去掉一行一列，要去掉多少人？还剩下多少人？2、幼儿园小朋友在教师的指导下，把棋子排成3个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横、竖各一排，则这个方阵少了13枚棋子，那么这个方阵共有多少枚棋子？3、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男生，男生共有84人，其余是女生，问参加组成这个方队的学生共有多少人？4、在一块正方形草地四周种树，四个角上都种一棵，每边种13棵，这块草地四周共种多少棵？5、军训师生进行队伍表演，排成一个正方形队列，如果这个队列横、竖再增加一排，还需要补充15人，问原来参加队列表演的师生有多少人？6、棋子若干枚，恰好可以排成每边9枚的方阵，棋子总数是多少？7、一堆一分硬币排成正方形，多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问这堆硬币有多少枚？8、三年级广播操比赛时排成一个正方形方阵，后来因场地原因减少了一行一列共39人。
方阵 奥数 四年级
方阵（教师版）知识点精讲方阵问题应用题就是把人或物按照一定的条件排成正方形，再根据已知条件求出人或物的数量的应用题。
特点是：方阵每边的实物数量相等，同边上相邻两层的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差8。
数量关系：（1）方阵每边人数和四周人数的关系：（每边人数-1）×4=四周人数四周人数÷4+1=每边人数（2）方阵总人数的计算方法：实心方阵：每边人数×每边人数=总人数空心方阵：1.外边人数×外边人数-内边人数×内边人数=总人数2.若将空心方阵分成4个相等的矩形计算，则：（外边人数-层数）×层数×4=总人数3.逐层相加，则：第一层人数+第二层人数+第三层人数+…=总人数课堂例题与练习1.四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析：这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
2.有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
3.一堆棋子排成一个实心方阵，共有8行8列，如果去掉一行一列，要去掉多少只棋子？还剩下多少只棋子？解题分析排成方阵的棋子，无论排在任何地方，都既是其中一排的棋子，也是其中一行的棋子，所以，无论去掉哪一行和哪一列，总会有一只棋子被重复去掉1次，因此，要求出去掉一行一列去掉多少只棋子，就是要求出比原来方阵中2行的棋子数少1只。
人教版四年级下册奥数专讲：方阵问题教案
教学资源准备
1.教材：确保每位学生都有人教版四年级下册的奥数专讲教材，以便他们能够跟随教学进度，积极参与课堂学习和练习。
2.辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源，以直观地展示方阵的定义和性质，以及实际应用问题。这些资源将有助于学生更好地理解和掌握方阵知识。
3.实验器材：如果课程中涉及实验操作，确保实验器材的完整性和安全性。例如，准备一些小卡片或骰子，让学生亲自制作和操作方阵，增强他们的实践能力。
学习者分析
1.学生已经掌握的相关知识：在四年级之前的学习中，学生已经掌握了简单的数学运算、图形认识和逻辑推理等基础知识。他们对方程、图形的排列和组合等方面有一定的了解，这将为学习方阵问题打下良好的基础。
2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：对于四年级的学生来说，数学学科的兴趣逐渐增加，他们具有较强的学习能力和好奇心。在学习风格上，他们更倾向于通过实践和动手操作来理解和掌握知识。因此，在教学过程中，我将注重通过具体的例题和实践活动来激发学生的学习兴趣，引导他们主动探索和解决问题。
最后，我注意到有些学生在课堂中注意力不集中，容易分心。为了提高课堂效果，我计划采取一些措施，例如设置小奖励鼓励学生认真听讲和积极参与，以及通过引入与学生生活实际相关的问题，激发他们的学习兴趣和动力。
板书设计
①方阵概念：用简洁的语言定义方阵，强调方阵是由m×m个数组成的矩阵，其中m为方阵的阶数。
②方阵性质：列出方阵的主要性质，如对角线相等、相邻两数之和为定值等，用图示或符号表示，帮助学生理解和记忆。
四年级奥数-教师版-方阵问题
第三讲方阵问题知识导航学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,那么正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵〔亦叫乘方问题〕.核心公式：1.方阵总人数=最外层每边人数的平方〔方阵问题的核心〕2.方阵最外层每边人数=〔方阵最外层总人数+ 4〕 + 13.方阵外一层总人数比内一层总人数多24.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2 — 1例1：学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数.根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数+ 4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了.方阵最外层每边人数：60+4+1=16 〔人〕整个方阵共有学生人数：16 X 16=256 〔人〕.【稳固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人这个方阵共有五年级学生多少人解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数书周人数+ 4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了.解：方阵最外层每边人数：60 + 4+1=16〔人〕整个方阵共有学生人数：16X16=256 〔人〕答：方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人.【稳固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个解析：方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就可以求出各层总数.解法1 :最外边一层棋子个数：〔14-1 〕X 4=52 〔个〕第二层棋子个数：〔14-2-1 〕X 4=44 〔个〕第三层棋子个数：〔14-2 X 2-1 〕X 4=36 〔个〕.摆这个方阵共用棋子：52+44+36= 132 〔个〕解法2:还可以这样想：中空方阵总个数=〔每边个数一层数〕x层数X 砧行计算.〔14-3〕 X 3X4=132 〔个〕答：摆这个方阵共需132个围棋子.【稳固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人解析：依据：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2- 1可知每边的人数是：〔27+1〕+ 2 = 14 〔人〕原人数是：14M14 = 196 〔人〕答：略.【稳固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚,最外边的一层共多少枚棋子解析：这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一个数的平方数由于10x10=100 〔人〕,并且是实心的方阵,所以最外层有10人.例2：参加中学生运动会团体操比赛的运发动排成了一个正方形队列.如果要使这个正方形队列减少一行和一列,那么要减少33人.问参加团体操表演的运发动有多少人解析：如以下图表示的是一个五行五列的正方形队列.从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5,去一行、一列那么一共要去9人,因而我们可以得到如下公式：去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数X2- 1• , • • •解：方阵问题的核心是求最外层每边人数. ••• ••原题中去掉一行、一列的人数是33,♦♦♦♦♦那么去掉的一行〔或一列〕人数=〔33+1〕.2 =17 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方,所以总人数为17M17 =289 〔人〕【稳固】参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列, 如果去掉一行一列,请问：要去掉多少名学生还剩下多少名学生解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点：〔1〕正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数X每列人数.〔2〕去掉横竖各一排时,有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点A所示.因此去掉的总人数=原每行人数X 2—1,或去掉的总人数=减少后每行人数X 2+1.此题中所求,即去掉的人数=7X2—1 = 13 〔人〕或去掉的人数=〔7—1〕 X 2+1 = 13〔人〕还剩的人数=〔7—1〕 X 〔7—1〕 = 36 〔人〕或还剩的人数=7X 7— 13=49— 13=36 〔人〕答：如果去掉一行一列,要去掉13名学生,还剩下36名学生.例3:解放军战士排成一个每边12人的中空方阵,共四层,求总人数解法1:这样想：把中空方阵的总人数,看作中实方阵总人数减去空心方阵人数.〔1〕中实方阵总人数：12X12=144 〔人〕〔2〕第四层每边人数：12-2 X 〔4-1 〕 =6 〔人〕〔3〕空心方阵人数：〔6-2〕 X 〔6-2〕 =16 〔人〕〔4〕中空方阵人数：144-16=128 〔人〕答：总人数是128人.小结：中空方阵总人数=外边人数X外边人数-〔内边人数-2〕X 〔内边人数-2〕解法2:这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形.〔1〕每个长方形的长=外边人数-层数12-4=8 〔人〕〔2〕每个长方形的宽是层数：4人〔3〕总人数：8X4X 4=128 〔人〕答：总人数是128人.小结：中空方阵总人数=〔每边人数-层数〕X层数X 4【稳固】学校开展联欢会,要在正方形操场四周插彩旗.四个角上都插一面,每边插7面.一共要准备多少面旗子解析：依据求外层个数的公式：〔边数-1〕X4〔7-1〕X4 =24 〔面〕答：略.例4：一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成 .从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花整个花园中共栽多少棵花解析：①从条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍.又知道每个小三角形的边上均匀栽9株,那么大三角形边上栽的棵数为：9M2-1 =17 〔棵〕.②又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的,所以大三角形三条边上共栽花：〔17-1〕^3 = 48 〔棵〕.③.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已经计算过一次,所以小三角形每条边上栽花棵数为：9 — 2=7 〔棵〕解：大三角形三条边上共栽花：〔9^2-1 -1〕x3 = 48 〔棵〕中间画斜线小三角形三条边上栽花：〔9-2〕父3 = 21 〔棵〕整个花坛共栽花：48 +21=69 〔棵〕答：大三角形边上共栽花48棵,整个花坛共栽花69棵.【稳固】同学们做早操,排成一个正方形的方阵,从前、后、左、右数,小明都是第5个,这个方阵共有多少人Q解析：如图,实心圆表示小明的位置,可以知道,$这个队列每行都是9人.解：每行每列数：5 M2—1=9 〔人〕§共有：9 M9 =81 〔人〕?例5:小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了200枚棋子,请问：最外边一层每边有多少枚棋子解析1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差8〞的特点,可知最外层共有棋子数：〔200+8+8X 2+8X 3+8X4〕 + 5= 56 〔个〕最外层每边的棋子数：56+4+1= 15 〔个〕解析2:如练习中的图,把棋子分成相等的四局部.每一局部的棋子数：200+4=50 〔个〕每一局部每排的棋子数：50+5=10 (个)最外层每边的棋子数：10+5=15 (个)综合列式为：200-4-5+5= 15 (个)答：最外边一层每边有15枚棋子.【稳固】游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边12人,请问：彩车周围的少先队员共有多少人解析1:请同学们自己画一个图,以下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现, 有如下特点：(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;(2)每相邻两层之间,点的总数相差8个.最外层队员的总数：12 M 4—4=44 (人)三层共有队员的总数：44 (44 -8) (44 -8 2)=44 36 28(12 — 3) X 3 = 9X 3=27 (人)三层共有队员数：27X4= 108 〔人〕答：彩车周围的少先队员共有108人.这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下.课后作业1、假设干名同学排成中实方阵那么多12人,假设要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵那么还差9人排满,请问：原有学生多少人解析：由于纵横两个方向各增加1人,因此不但将剩余12人摆上,而且还差9人,说明一横行与一竖彳T的人数总和是12+9=21人.又由于纵横两个方向各增加1人,因此只有1人同属于横行与纵行,在数每边上的人数时,总被多数一次,因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2,也就得到每边人数.列式为〔21 + 1〕 +2=11人.求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为11X11 = 121人,用121人减去差的9人就是原来人数,列式为121 —9= 112人.也可以根据原来的方阵再加上12,请你试一试.答：原有学生112人.2、有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有100人,请问：方阵中一共有士兵多少人解析：要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人. 方阵最外一层有100人,用100 + 4= 25人,每边是不是25人呢不是的,因为平均分成4份后,还需要再加上1,才正好是每边上的人数,列式应该为100 + 4+ 1=26人.因此方阵中一共有26X26= 676人.答：一共有676人.说明：这道题关键是求出每边人数.在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长〞一样,还必须要加上1.3、小刚用假设干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆6枚,请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子最外一层的棋子总数是多少解析：如图,最外一层每边摆6枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有6X6=36枚棋子.最外一层每边有6枚,如果用6X4= 24枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了.由于正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就被多数了一次,这样的顶点一共有4个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果.列式是6X4—4= 20枚.说明：这道题还可以这样想：数每边棋子时,可以按上图先划分成4个相等的块,这样每边就有5枚了,因此用5X 4= 20枚,也可以得到正确答案.根据划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试.4、一队学生站成20行20列方阵,如果去掉4行4列,那么要减少多少人解析1 :把去掉4行4列转化为一行一列的去掉,就可用例6的结论：去掉一行一列的总人数=原每行人数X2—1反复利用4次这个公式,只要注意“原每行人数〞的变化,即可列式为：去掉4行4歹U的总人数= 20X2— 1+ (20— 1) X 2 — 1 + ( 20 — 2) X 2 — 1+ (20 — 3) X 2 — 1 = 40-1=38- 1+36-1+34- 1=144 (人)解析2:我们还可以这样想：原来是一个7行7列的方阵,假设去掉4行4列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉4行4列的总人数=原正方形方阵每边人数一4,即去掉的总人数= 20X 20— ( 20—4) X ( 20—4)= 400-256=144 (人)答：去掉4行4列,要减少144人.5、正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏解析(1):自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为：12X4-4=44(盏)(2):还可以把彩灯分成相等的四局部,因此彩灯总数为：(12—1) X 4=44 (盏)答：这个舞厅四周共装彩灯44盏.6、“六一〞儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆解析：分析思路参见例6,最外层每边人数=总数+4+层数+层数204 - 4- 3+3=20(盆)答：最外面一层每边有鲜花20盆7、四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,请问：方阵最外层每边的人数是多少这个方阵共有多少人解析：根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数=四周人数+ 4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了.解：〔1〕方阵最外层每边的人数：20 + 4+1=5+1=6 〔人〕〔2〕整个方阵共有学生人数：6X6=36 〔人〕答：方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人.8、明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子解析：〔1〕方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数.〔2〕根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个中空方阵共用棋子多少个.解：〔1〕最里层一周棋子的个数是：〔15-2-2-1 〕X 4=40 〔个〕〔2〕这个空心方阵共用的棋子数是：〔15-3〕 X 3X4=144 〔个〕答：这个方阵最里层一周有40个棋子；摆这个中空方阵共用144个棋子.9、假设干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有12人,请你求出总人数.解析：我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行.解：由于最外层每边有12人,因此最外层一共有〔12—1〕 X 4=44人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多8的特点,因此第二层有44-8=36人,第三层有36-8=28 A,第四层有28-8=20 人.因此一共有44+36+28+20= 128 人.还可以这样想,把四层中空方阵划分如例5的形状,我们发现每个长方形可以看成四排战士,每排有8人组成.因此一个长方形有8X4 = 32人,一共有4个长方形,32X4= 128 人.当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边12人,因此一共有12X 12= 144人.又由于在方阵中相邻两个正方形每边人数相差2,因此第二层每边有12—2= 10人,第三层每边有10—2= 8人,第四层每边有8—2=6人,第五层每边有6 —2=4人.因此小的中实方阵有4X4=16人.144—16= 128人就表示一共有战士的人数.答：一共有128人.10、有假设干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层共摆48盆,最内层共摆24盆,请 问：共摆了多少盆鲜花解析：由于方阵中相邻两个正方形每边相差 8,因此第二层应摆鲜花 48-8 = 40 盆,第三层有花 40—8= 32盆,第四层有花 32 —8= 24盆.这样通过枚举方法求出 一共有四层花,及中间两层花的总数.因此一共摆了48+ 40+ 32+24= 144盆.答：一共摆了 144盆.11、有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成 7行7列的方阵,问这个方阵最外一层 有杨树和柳树各多少棵 方阵中共有杨树,柳树各多少棵解析：根据条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图〔1〕 〔 2〕不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层 的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的.因而杨树和柳树的 棵数相等.即最外层杨,柳树分别为〔7-1 〕 X 4 + 2=12 〔棵〕.・0•□•日•OBOOO«C•oooooo OBOOO«C图(2)当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树；当杨树种在方阵最外层 的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差1棵.解：〔1〕最外层杨柳树的棵数分别为：〔7-1〕 X 4+2=12 〔棵〕〔2〕当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多1棵：杨树：〔7X7+1〕 + 2=25 〔棵〕柳树：7X 7-25=24 〔棵〕〔3〕当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多1树柳树〔7X7+1〕 + 2=25 〔棵〕杨树 7X 7-25=24 〔棵〕答：在两种方法中,方B ^最外层都有杨树12棵,柳树12棵,方阵中总共有杨^25棵,柳树24棵,或者有杨树24棵,柳树25棵. oeoeoeo•ceooo#图(1)。
小学三四年级奥数之方阵问题
同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4例1.三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数÷4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解:(1)方阵最外层每边的人数:20÷4+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人数:6×6=36(人)答:方阵最外层每边的人数是6人,这个方阵共有36人。
例2.明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个,知道最外面一层,每边放15个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。
(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个空心方阵的层数,再乘以层数,再乘以4,计算出这个空心方阵共用棋子多少个。
解:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)×4=40(个)(2)这个空心方阵共用的棋子数是:(15-3)×3×4=144(个)答:这个方阵最里层一周有40个棋子;摆这个空心方阵共用144个棋子。
四年级奥数方阵问题
思考一
在这个长方阵相邻的两层里,外一层每边的人数比里一层每边的人数多〔 人.
思考二
2004÷3＋8=676〔人
676＋4×2＝684〔人
在这个长方阵相邻的两层里,外一68层4÷每4层＋的1＝人1数72比〔里人一层每层的人数多〔 人.
答：此方阵最外层长边上有172人.
1. 用一些棋子摆成一个每边12枚棋子的实心方阵,如果要改成一 2. 个三层的空心方阵,那么它的最外层每边有多少枚棋子？
答：如果去掉了3行3列,要减少45人.
1.植树节,育才小学的少先队在一块荒地上进行植树活动,把小 树苗种成一个正方形的实心方阵,最外层每边有14棵树.一共 植树多少棵？
2.144人排成一个实心的方阵,这个方阵每边有多少人？
3. 一个正方形花坛,原来摆了一些花,组成了一个实心方阵,后来运 走了11盆花,使行、列都减少了一排.原来摆了多少盆花？
思考二
在相邻的两层里,外一层每层的圆片数比里一层每层的圆片数多〔 .
一个正方形的棋盘,四边各放5枚棋子〔四个角上都要有1枚,问：一共要 放多少枚棋子？
5×4－4＝16〔枚 答：一共要放16枚棋子.
四年级同学排成一个三层的空心方阵,最里面一层每边站5人,则这个方 阵一共有多少人？你能用不同的方法解决吗？
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方阵问题
下面这些有关方阵的美丽图片里,你能将它们分为两类吗？你是怎样想的？ 空心方阵
实心方阵
摆一摆：请你用学具中的小圆片尝试摆出几个不同的实心方阵,仔 细观察后填写下表,看看你能发现什么.
四年级的部分小朋友排成一个实心方阵进行团体操表演,已知最 外层每边有7个小朋友,那么这个实心方阵共有多少个小朋友？
答：这个鲜花方阵的最外层每边有12人.
四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题
第三讲方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行,竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队,也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心)2．方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)＋13．方阵外一层总人数比内一层总人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1例1：学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数.根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。
方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256(人）。
【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人.问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了.解：方阵最外层每边人数:60÷4＋1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）答：方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。
【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个。
晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析:方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个。
知道最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数。
知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
解法1：最外边一层棋子个数：(14-1）×4=52（个）第二层棋子个数：（14-2-1)×4=44（个）第三层棋子个数：（14—2×2—1）×4=36(个）。
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方阵问题
例题讲练
例1 学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，间这个方阵共有学生多少人?
1.某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为56人，间方降外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人?
2.晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?
3.一个正方形的队列横竖各减少一排共27人，求这个正方形列原来有多少人?
例2 参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。
如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。
问参加团体操表演的运动员原来有多少人？
1.参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列，请问：要去掉多少名学生？还剩下多少名学生？
2.参加军训的学生排成一个8×8的正方形队列，如果去掉一行一列，还剩下多少名学生?
例3 解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数?
1.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。
最外层每边10人，问彩车周围的少先队员共有多少人?
2.小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子，问最外边一层每边有多少个棋子?
3.解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层?一共有多少人?
例4 一个街心花园如右图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花。
间大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？
1.同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人?
2.同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第8个，这个方阵共有多少人？
3.同学们做早操，排成一个长方形的方阵，从前、后数，小明都是第8个，从左、右数，小明都是第5个，这个长方形的方阵共有多少人？
课堂检测
1.小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子？
2.学校开展联欢会，要在正方形操场四周插彩旗。
四个角上都插一面，每边插7面。
一共要准备多少面旗子?
3.一队学生站成10行10列方阵，如果去掉2行2列，那么要减少多少人?
4.小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：
要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少？
5.若干战士排成一个四层中空方阵，只知道最外一层每边有16人，请你求出总人数。
6.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？
7.有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请间：方阵中一共有士兵多少人?
8.有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少个圆片?。