奥数方阵问题
奥数-14方阵问题+答案
方阵问题方阵是古代军队作战时采用的一种队形，方阵平面一般呈现“回”字形状，是把军队在野外开阔地上排列成方形阵式。
数学中的方阵是指行数与列数一样多的矩阵。
n×n阶矩阵被称为n阶方阵。
将若干人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总数，求每条边个数或层数等，这类问题就叫做方阵问题。
1.方阵每边人数相邻两层物体总数相差8，每边相差2。
每边人数＝一层总数÷4＋1 或一层总数＝（每边人数－1）×42.方阵总人数①实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数②空心方阵：总人数＝外边方阵人数－内边方阵人数内边人数＝外边人数－层数×2若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：空心方阵总人数＝（外边人数－层数）×层数×43.方阵问题思维方法：①重叠点思维：若有边与边的重叠情况，把各边点数相加时重叠点计算了两次，因此需要再减去重叠点个数，才是最终的全部数目；②逆向法思维：如已知空心方阵的总数求外层每条边的数目，可逆用求总数公式：外边人数＝空心方阵总人数÷4÷层数＋层数。
【例1】在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？解：22×22＝484（人）练习一1、小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵，最外层每边摆6枚，请问：要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子？最外一层的棋子总数是多少？2、同学们做早操，排成一个方阵，从前、后、左、右数，王强都是第5个，这个方阵共有多少人？3、花坛最外层一条边上有18盆花，最外层有多少盆花？【例2】有一队士兵排成一个中实方阵，最外一层有100人，请问：方阵中一共有士兵多少人？解析：100÷4＋1＝26（人），因此方阵中一共有26×26＝676（人）。
练习二1、四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？2、某学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人？3、正方形舞厅四周均匀的装彩灯，如果四个角都装一盏且每边装12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏？4、五年级有4个班级，每个班级有36人，要组成一个方阵，最外层有几个人？【例3】121人的方阵，现要增加1行1列，需要增加多少人？解析：因为11×11＝121，所以现有的方阵每条边是11人。
三年级奥数--方阵问题
方阵问题姓名：成绩：【例1】有一个正方形操场，每边都栽17棵树，四个角各种1棵，共种树多少棵?【例2】某校四年级的同学排成一个方阵，最外一层的人数为80人，问最外一层每边上有多少人？这个方阵共有四年级学生多少人？【例3】妈妈用围棋棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16个，妈妈摆这个方阵共用了多少个围棋子？【例4】一堆棋子，排成一个实心方阵，后来又添进21只棋子，使横竖各增加一排，成为一个实心方阵，求原来实心方阵用了多少只棋子？【例5】一个街心花园如图所示。
它由四个大小相等的等边三角形组成。
已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花，问大三角形边上再有花多少棵？【例6】有一堆棋子排成实心方阵多余3只，如果纵、横各增加一排，则缺8只，问一共有棋子多少？综合练习1．四（3）班同学参加广播操比赛，排成了8人一排方阵，体育委员在方阵前领操，四（3）班共有多少个同学参加广播操比赛？2．学校开运动会，要在正方形操场的四周插上彩旗，如果四个角都插上一面彩旗，每边插10面彩旗，那么一共要插多少面彩旗？3．百货商店售出彩色电视机，上午售出总数的一半又3台，下午售出余下的一半又7台，还剩4台，问商店里原来有电视机多少台？4．有一袋苹果，甲取走了其中的一半少1个，乙取走了余下的一半多1个，丙又取走了余下的一半，这时还剩一个，如果这袋苹果共5元钱，那么每个苹果多少钱？5．商店里原来有煤若干吨，第一天上午运出总数的一半，下午运出5吨；第二天上午运出剩下煤的一半，下午也运出5吨；第三天上午又运出剩下的煤的一半，下午再运出5吨，这时，仓库里的煤正好运完。
这个仓库原有煤多少吨？6．从第一工程队抽调一半的人去支援第二队，抽调75人支援第三队，又抽剩下人的一半支援第四队，后来又调进6人，这时第一队还有44人。
求第一工程队原来有多少人？7．水果店卖西瓜，第一次卖掉总数的一半多1个，第二次卖掉剩下的一半多1个，第三次卖掉再余下的一半多1个，这时还剩1个西瓜。
四年级奥数：第18讲 方阵问题
第18講方陣問題一、知識概要1、方陣可以分為實心方陣和空心方陣。
2、方陣的基本特點是：方陣中，裏一層總比外一層的一邊少2個物體，裏一層物體的個數一定比上一層物體總個數少8個。
3、實心方陣中，物體個數=最外層的一邊個數×最外層一邊的個數；（每邊數—1）×4=每層數；每層數÷4+1=每邊數4、空心方陣中物體的個數=（最外層一邊個數—層數）×層數×45、去掉一行、一列的總人數=去掉的每邊人數×2-1二、典型例題1、有一個正方形的稻田，四個角上都放1個稻草人，如果每邊放5個，四邊共放多少個稻草人？2、有一個正方形池塘，四個角上都栽1棵樹，一共栽了28棵樹，那麼每邊栽多少棵？3、同學們排成一個兩層空心方陣，外層每邊8人，這個方陣一共有多少人？4、把若干個棋子擺成一個三層的空心方陣，最外層每邊12個棋子，求這個方陣共有多少個棋子？5、同學們在軍訓時排成了一個由204人組成的三層空心方陣，求最外面一層每邊有多少人？6、某小學舉行運動會，同學們排成正方形佇列參加團體操表演。
如果在這個正方形佇列中減少一行一列，則要減少15人，問參加團體操表演的有多少同學？7、在兒童公園的一次菊花展上，用120盆菊花擺成一個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊有多少盆花？8、一個中空方陣的佇列，最外層每邊18人，最內層每邊10人。
這個佇列共有多少人？9、用64枚棋子擺成一個兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？10、學校組織一次團體操表演，把男生排列成一個實心方陣，又在這個實心方陣四周站一排女生。
女生有72人參加表演，男生有多少人？三、針對練習1、在正方形的廣場四周裝彩燈，四個角上都裝一盞，每邊裝25盞，問這個廣場一共需裝彩燈多少盞？2、小強用棋子排成了一個每邊11枚的中空方陣，共2層，求這個方陣共用多少枚棋子？3、小剛在用棋子擺好的實心陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點的實心方陣，求原來實心方陣有多少枚棋子？4、解放軍進行排隊表演，組成一個外層有48人，內層有16人的多層中空方陣，這個方陣有幾層？一共有多少人？5、有一個用圓片擺成的兩層中空方陣，外層每邊有16個圓片，如果把內層的圓片取出來，在外層再擺一層，變成一個新的中空方陣，應再增加多少圓片？6、用棋子擺成方陣，恰好每邊24粒的實心方陣，若改為3層的空心方陣，它的最外層每邊應改放多少粒?7、有學生若干名，排成中實的方陣則多2人，若在這正方陣縱橫兩個方向個增加一行還缺五人，問有學生多少人？8、儀仗隊員組成兩個實心方陣，甲方陣每邊12人，後來兩隊合在一起排成一個中空方陣的丙方陣，丙方陣最外層一邊人數比乙方陣最外層一邊人數多4人，又原來甲方陣的人正好填滿丙方陣空心。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题附答案解析
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
三年级奥数方阵问题
方阵问题知识结构一、方阵问题（1）明确空心方阵和实心方阵的概念及区别.（2）每边的个数＝总数÷41+”；（3）每向里一层每边棋子数减少2；（4）掌握计算层数、每层个数、总个数的方法，及每层个数的变化规律。
例题精讲【例 1】小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心队列，他估计队伍中人数大概在30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？【考点】方阵问题【难度】3星【题型】解答【解析】方阵总人数的特点:它是两个相同自然数的积，而三角形队列总人数的特点是:总数是从1开始若干个连续自然数的和，我们只要在3050～的范围内找出同时满足这两个条件的数就可以得出总人数．由于队伍可以排成方阵，在30至50人的范围内人数可能是66=36⨯人或77=49⨯人，又因为=++++⋯+=++++⋯++，所以总人数是36人．，361234849123494【答案】36人【巩固】在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方阵，求原来两个方阵各有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】根据时间多少和学生具体情况可考虑教给学生平方数的概念，并记住一些简单的平方数.10行10列的方阵由100人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过10人，大方阵人数应该在50100～之间，可取64或81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有64人，小方阵有36人．【答案】大方阵有64人，小方阵有36人【例 2】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学．每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】带领学生画图求解．一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5317+-=（列）一共有多少人？列式：11777⨯=（人）【答案】77人【巩固】一群小猴排成整齐的队伍做操，长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴．长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴．小朋友，你能算出有多少只猴子在做操吗？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）一共有多少只猴子？11999⨯=（只）．【答案】99人【例 3】四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵中共有多少学生？如果去掉一行一列．还剩多少同学？【考点】方阵问题【难度】2星【题型】解答【解析】可以根据“实心方阵总人数＝每边人数×每边人数”得到8行8列的实心方阵人数为：8864⨯＝（人），去掉一行一列后，还剩7行7列，也可通过同样的方法得出总人数为：77=49⨯（人）．【答案】8行8列的实心方阵人数为64人，去掉一行一列后，还剩49人。
小学三年级奥数第7讲 方阵问题(含答案分析)
第7讲方阵问题一、【知识要点】1、方阵问题：把若干人或物排列成正方形队列的形式，根据排列规律，引出的计算问题就叫做方阵问题2、方阵问题的特点是：方阵每边的实物数量相等，相邻两边的实物数量相差2，相邻两层的实物数量相差83、方阵问题的解题思路是：（1）实心方阵：每边数×每边数＝总数（每边数－1）×4＝每层数每层数÷4＋1＝每边数（2）空心方阵：大实心方阵－小实心方阵＝总数（每边数－层数）×层数×4＝总数二、【典型题解】例1：四年级同学举行广播操比赛，排成了8行8列。
如果去掉一行一列，要去掉几人？还剩多少人？针对练习11、同学们排队，要排成每行10人，共10行的方阵，共需要多少人？2、同学们排成十行十列的方阵，如果去掉一行一列，要去掉多少人？3、小明用棋子摆了一个实心方阵，后来他又加上15个棋子，使横竖各增加一排，成为一个大的实心方阵，原来的实心方阵每排有几个棋子？例2：菊花展上，园丁李师傅要摆一个正方形空心花坛，已知四边各摆5盆菊花，且四个角上都有一盆，请计算李师傅摆这个花坛共要用多少盆菊花？针对练习21、一个正方形池塘四周栽满了树，已知每边栽了9棵，并且四个角上都有一棵，这个池塘四周一共栽了多少棵树？2、学校的升旗台成正方形，在四周共放了40盆花，每个角放一盆，每边放花多少盆？3、沿一个正方形水池的四周栽树一行，四角都要栽1棵，共载树152棵。
问每边栽多少棵树？例3：某校180名学生，排成一个三层空心方阵，这个方阵外层每边有多少名学生？针对练习31、一个两层空心花盆阵，最外层每边放了10盆，一共用花多少盆？2、由24人组成两层中空方阵，现在外面增加2层，要增加多少人？3、一个三层的中空方阵，最内层共有80人，这个方阵共有多少人？例4：某班抽出一些学生参加节日活动表演，如果排成一个正方形实心方阵多7人，如果每行每列增加1人，就少4人，共抽出学生多少人？三、能力训练题：1、同学们站队，一共站了15行，如果要去掉2行2列，一共要去掉多少人？2、一些战士排成一个方阵，横竖各增加一人，就要增加11人。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
方阵问题
小学奥数---方阵问题士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵（亦叫乘方问题），分为实心方阵和空心方阵。
方阵的基本特点：（1）行列相等，每边人数相差2，每层人数相差8（但是仅有实心奇数阵最内层和由内向外第二层差7）（2）每边人数和四周人数的关系：四周总人数＝（每边人数－1）×4每边人数＝四周总人数÷4＋1（3）方阵总人数的计算：实心方阵：（每边人数）×（每边人数）＝总人数空心方阵：（最外层每边人数－空心方阵的层数）×层数×4＝总人数基础例题：一个实心方阵，最外一层每边18人（1）那么整个方阵一共多少人？（2）最外面一层有多少人？（3）从外向内数，第2层每边有多少人？（4）第二层一共有多少人？（5）如果考虑最外面三层，那么这三层共有多少人？（6）如果将方阵外面增加一层，那么一共增加多少人？【分析】（1）18×18=324（人）（2）17×4=68（人）或18×4－4=68（人）（3）18-2=16（人）（4）（16-1）×4=60（人）（5）（18-3）×3×4=180（人）或60×3=180（人）（6）（18+2-1）×4=76（人）例题1：三年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少？这个方阵共有多少人？【分析】根据四周人数与每边人数的关系可知：每边人数＝四周人数÷4＋1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求了。
解：（1）方阵最外层每边的人数：20÷4＋1＝5＋1＝6（人）（2）整个方阵共有学生人数：6×6＝36（人）答：方阵最外层每边的人数是6人，这个方阵共有36人。
例题2：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个，晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，最外面一层每边放14个，就可以求第二层及第三层每边个数．知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。
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4×12＝48（人）
3、育才小学三年级（2）班做团体操表演排成一个正方形 队列，每行7人，问三年级（2）班有多少人？
最外层人数：(13－1)×4＝48(人) 第二层人数：(13 － 2－ 1)×4=40(人)
48＋40＝88(人 )
实心方阵人数=每边人数×每边人数
6×6=36
（8-3）×3×4 =5×3×4 =15×4 =60
中空方阵总人数=（外层每边人数-层数）×层数×4
聪聪用棋子摆空心方阵，最外面一 层每排摆12个，共摆了3层，一共用 了多少个棋子？
第四讲 方阵问题
多个方阵图形
多个方阵组成
长方形方阵
实心方阵
例1、光明小学四年级原准备排成一个正方 形队列参加广播操表演，每行10人每列也是10 人，问四年级多少人参加表演 ？
分析：用图分析。
10×10＝100（人）
答：这个方阵一共有100人。
实心方阵人数＝每边人数×每边人数
练习
某部队排成方阵行军，另 一支部队17人加入他们的方 阵后，正好使这个方阵横竖 各增加一行，现在共有多少 人？
每边人数：（17+1）÷2=9（人） 总人数： 9×9=81（人）
游行队伍中,手持气球的少先队员 在周围的少先 队员有多少人?
24 ÷4＝6（颗） √ 24 ÷4＋1＝7（颗）
哪种方法对？
最外层棋子数÷4+1=每边棋子数
练习： 小明在一个正方形的棋盘里摆棋子。 他最先把最外层摆满，用了36个棋子。 求最外层有多少个棋子？如果全部摆满 共需要多少棋子？
①36÷4＋1＝10（个）
②10×10＝100（个）
答：省略
典型例题： 军训的学生进行队列表演，排成了 一个7行7列的正方形队列，如果去 掉一行一列，要去掉多少人？还剩 下多少人？
（每边彩旗数-1）×边数=最外层彩旗数
练习： 小明在一个正方形的棋盘里摆棋子。他最先把最外层 摆满，每一面用了7个棋子。共摆了多少颗棋子？
（7-1）×4＝24（颗） √ 7×4＝28（颗）
哪种方法对？
小明在一个正方形的棋盘里摆棋子。他最先把最外层 摆满，共用了24个棋子。求最外层每一面有多少个棋子？
7×7＝49（人）
4、奥数初级（2）班做团体操表演排成一个长方形队列， 每行5人，每列也是6人，其余两人在领操。问奥数初级 （2）班有多少人？
5×6＋2＝32（人）
空心方阵
例2、学校开运动会，要求正方形操场四周 插彩旗，并且每边插六面，共需要多少面彩旗？
（6-1）×4=20
封闭图形四周有几 个空，就有几面彩 旗。每边有5个 空，4边有20个空。
中空方阵总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4
（12-3）×3×4 =9×3×4 =27×4 =108（个）
中空方阵总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4
运用倒推法求 最外层每边人数=中空方阵总人数÷4÷层数+层数
练习 一个方阵用400个棋子，摆成一 个5层的中空方阵，这个方阵最 外层每边有多少个棋子？
400÷4÷5+5 =100÷5+5 =20+5
解决方阵问题关键是什么？ 是求实心方阵总人数； 还是求方阵最外层总人数； 还是求中空方阵总人数； 还是求中空方阵最外层每边人数。 根据具体问题选择合适的方法解答