小学初级奥数第18讲-方阵问题
人教版小学数学四年级奥数训练第18讲 方阵问题
第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
数学专项复习小升初典型奥数之方阵问题
数学专项复习小升初典型奥数之方阵问题在小升初的数学考试中，方阵问题是一个常考的知识点，也是奥数中的典型题型。
对于即将面临小升初的同学们来说，掌握方阵问题的解题方法和技巧至关重要。
接下来，让我们一起来深入了解方阵问题。
首先，我们要明白什么是方阵。
方阵就是行数和列数相等的正方形队列。
比如，一个 5 行 5 列的队列就是一个方阵。
方阵问题主要包括以下几个方面：一、方阵的基本特点1、方阵不论在哪一层，每边上的数量都相等。
每向里一层，每边上的数量就减少 2。
2、每层数量相差 8（除了最里层）。
3、实心方阵的总数＝每边数量×每边数量二、方阵的层数、每层数量与总数的关系假设一个方阵有 n 层，最外层每边有 a 个，那么从外往里第二层每边数量为 a 2，第三层每边数量为 a 4，以此类推。
每层数量＝每边数量×4 4总数＝最外层每边数量×最外层每边数量三、常见的方阵问题类型及解题方法1、已知方阵总数，求每边数量比如，一个实心方阵的总数是 64 人，求每边有多少人？我们知道实心方阵的总数＝每边数量×每边数量，因为8×8 ＝64，所以每边有 8 人。
2、已知每边数量，求方阵总数若一个方阵每边有 9 人，求这个方阵的总人数。
总数＝ 9×9 ＝ 81（人）3、求方阵的层数及每层的数量例如，一个方阵总数为 144 人，最外层每边有 12 人，求方阵的层数和每层的数量。
首先，最外层数量＝ 12×4 4 ＝ 44（人）因为每层数量相差 8，所以从外往里第二层数量为 44 8 ＝ 36（人），第三层为 36 8 ＝ 28（人），第四层为 28 8 ＝ 20（人），第五层为 20 8 ＝ 12（人）。
所以这个方阵一共有 5 层。
四、解题技巧和注意事项1、画图辅助理解在解决方阵问题时，通过画图可以更直观地看出方阵的结构和数量关系，有助于我们找到解题的思路。
2、找准关键信息认真审题，确定题目中给出的是方阵总数、每边数量还是其他相关信息，根据已知条件选择合适的公式进行计算。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2-最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
小学奥数关于方阵问题的计算公式
【导语】让学⽣体会到数学源于⽣活、⽤于⽣活的同时，更应该让学⽣体会到数学⾼于⽣活，体会到数学可以带动社会的发展，带动⽣活质量的提⾼，这样更能激发学⽣学好数学。
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⽅阵问题公式
（1）实⼼⽅阵：（外层每边⼈数）2=总⼈数。
（2）空⼼⽅阵：
（最外层每边⼈数）2-（最外层每边⼈数-2×层数）2=中空⽅阵的⼈数。
或者是
（最外层每边⼈数-层数）×层数×4=中空⽅阵的⼈数。
总⼈数÷4÷层数+层数=外层每边⼈数。
例如，有⼀个3层的中空⽅阵，最外层有10⼈，问全阵有多少⼈？
解⼀先看作实⼼⽅阵，则总⼈数有
10×10=100（⼈）
再算空⼼部分的⽅阵⼈数。
从外往⾥，每进⼀层，每边⼈数少2，则进到第四层，每边⼈数是
10-2×3=4（⼈）
所以，空⼼部分⽅阵⼈数有
4×4=16（⼈）
故这个空⼼⽅阵的⼈数是
100-16=84（⼈）
解⼆直接运⽤公式。
根据空⼼⽅阵总⼈数公式得
（10-3）×3×4=84（⼈）。
小学数学《方阵问题》
小学数学《方阵问题》方阵问题[含义]将若干人或物依一定条件排成正方形(简称方阵)，根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。
[数量关系](1)方阵每边人数与四周人数的关系:四周人数=(每边人数-1)x4每边人数=四周人数÷4+1(2)方阵总人数的求法:实心方阵:总人数=每边人数x每边人数空心方阵:总人数=(外边人数)-(内边人数)内边人数=外边人数-层数x2(3)若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则:总人数=(每边人数-层数)x层数x4[解题思路和方法]方阵问题有实心与空心两种。
实心方阵的求法是以每边的数自乘;空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。
例1 在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人?解22x22=484(人)答:参加体操表演的同学一共有484人。
例2 有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。
解10*10-(10-3x2)*(10-3x2)=84(人)答:全方阵84人。
练习题1.同学们围成一个正方形做游戏，每边站20人，四个顶点都有人，最外圈一共有()人.A. 72B.76C.802.一个8x8的方阵(每列8人，有8列)，如果想增加两行、两列，排成一个10x10的方阵，那么需要增加()人。
A.32B. 36C.40D.443.王大爷在一个正方形鱼池边上植树，每隔4米种一棵，每边等距离植10棵树(四个角上都植有树)，鱼池的一周长()米。
A.160B.156C.164D.1444.四年级同学举行队列表演，共组成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。
最外圈的同学穿蓝色运动服，其余同学穿红色运动服。
一共要准备()套红色运动服。
A.80B.64C. 36D. 165.若干名学生排成8列长方形的队列，若增加120人或减少120人都能组成一个新的正方形队列，那么，原有学生()人.A.902B.136C.240D.3606.一张正方形餐桌配4把椅子，一张圆形餐桌配6把椅子，某饭店买了5张正方形餐桌配把椅子，又买了4张圆形餐桌配-_把椅子，两次一共配了____把椅子。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
小学奥数之方阵问题—例题习题及含答案
方阵问题知识导航学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列。
如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。
核心公式：一、实心方阵1．方阵总人数=最外层每边人数的平方（方阵问题的核心）=每边数×每边数2．方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数÷4）＋13．方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24．去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－15、每层数=（每边数-1）×4二、空心方阵1、外边人数=总人数÷4÷层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2=（最外层每边数-层数）×层数×4=（最外层数+最内层数）×层数÷23、内层数=外层数-84、每层数=（每边数-1）×45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。
例1 四年级同学参加广播操比赛，要排列成每行8人，共8行方阵。
排列这个方阵共需要多少名同学？解题分析这是一道实心方阵问题，求这个方阵里有多少名同学，就是求实心方阵中布点的总数。
排列成每行8人点，共8行，就是有8个8点。
求方阵里有多少名同学，就是求8个8人是多少人？解：8×8=64（人）答：排列这个方阵，共需要64名同学。
例2 有一堆棋子，刚好可以排成每边6只的正方形。
问棋子的总数是多少？最外层有多少只棋子？解题分析依题意可以知道：每边6只棋子的正方形，就是棋子每6只1排，一共有6排的实心方阵。
根据方阵问题应用题的解题规律，求实心方阵总数的数量关系，总人数=每边人数×每边人数，从而可以求出棋子的总数是多少只。
而最外层棋子数则等于每边棋子数减去1乘以行数4，即（6-1）×4只。
解：（1）棋子的总数是多少？6×6=36（只）（2）最外层有多少只棋子？（6-1）×4=20（只）答：棋子的总数是36只，最外层有20只棋子。
六年级下小升初典型奥数之方阵问题
六年级下小升初典型奥数之方阵问题在六年级下册的小升初奥数中，方阵问题是一个较为常见且重要的知识点。
对于即将面临小升初的同学们来说，掌握方阵问题不仅能够提升数学思维能力，还能在考试中应对自如。
什么是方阵呢？简单来说，方阵就是行数和列数相等的正方形队列。
比如，一个 5 行 5 列的队列就是一个方阵。
方阵问题中有几个关键的概念需要我们理解。
首先是“最外层人数”，它指的是方阵最外层一周的人数。
其次是“方阵总人数”，也就是整个方阵包含的人数。
还有“相邻两层人数差”，相邻两层每边人数相差 2，所以相邻两层人数相差 8（四个角的人数会重复计算）。
我们先来看一个简单的例子。
一个方阵最外层每边有 6 个人，那么这个方阵的最外层人数是多少呢？我们可以这样计算：每边有6 个人，四条边就有 6×4 ＝ 24 个人。
但是这样计算的话，四个角的人都被重复计算了一次，所以要减去 4，即 24 4 ＝ 20 人。
所以这个方阵的最外层人数是 20 人。
那方阵的总人数怎么计算呢？如果方阵每边有 n 个人，那么总人数就是 n×n ，也就是 n 的平方。
比如一个每边有 8 个人的方阵，总人数就是 8×8 ＝ 64 人。
接下来我们再深入探讨一些稍微复杂的情况。
如果在一个方阵中，去掉一行一列，那么去掉的人数怎么计算呢？假设原来方阵每边有 n个人，去掉一行一列，就去掉了 2n 1 个人。
比如一个每边有 7 个人的方阵，去掉一行一列，就去掉了 2×7 1 ＝ 13 个人。
还有一种情况，如果在方阵的外层增加一层，那么增加的人数是多少呢？我们知道相邻两层人数相差 8，所以增加一层就增加 8 个人。
为了更好地理解方阵问题，我们再来看几个具体的例题。
例 1：学校举行团体操表演，五年级学生排成一个方阵，最外层每边站 15 人。
请问这个方阵最外层一共有多少人？整个方阵一共有多少人？最外层人数：15×4 4 ＝ 56（人）方阵总人数：15×15 ＝ 225（人）例 2：一个正方形花坛，原来摆成一个 9 行 9 列的实心方阵。
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课后作业
<作业3>
晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个。晶晶摆 这个方阵共用围棋子多少个？
课后作业
<作业4>
军训的学生进行队列表演，排成了一个5行5列的正方形队列，如果去掉一行 一列，要去掉多少人？
课后作业
<作业5>
一队战士排成三层空心方阵多出16人，如果空心部分再增加一层又缺少28人， 这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？
今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花。请你给出一种设计方案， 画图时用点表示花，用直线表示行。
课后作业
<作业1>
四年级一班同学参加了广播操比赛，排成每行8人，每列8人的方阵，问方阵 中共有多少学生？如果去掉一行一列，还剩多少同学？
课后作业 <作业2>
100名同学排成一个方阵，后来又减去一行一列，问减少多少人？
课后作业
<作业6>
校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多 少人？这个方阵共有三年级学生多少人？
课后作业
<作业7>
四年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外 层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？
课后作业
<作业8>
晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，外层每边有14个 棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？
在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个10行10列的方 阵，求原来两个方阵各有多少人？
小华观看团体操表演，他看到表演队伍中的一个方阵变换成一个正三角形实心 队列，他估计队伍中人数大概30至50人之间，你能告诉他到底有多少人吗？
学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11 个人，问这个方阵共有多少人？
育新小学召开秋季运动会，准备在正方形的操场周围插上彩旗．如果4个角上 都要插上一面彩旗，要使每边有7面彩旗，那么一共要准备多少面彩旗才行？
ห้องสมุดไป่ตู้
某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人．问方阵外层每边有 多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
新学期开始，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵， 最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人？
学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13 人，问这个方阵共有多少人？
三年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的 需要，又增加一行一列，增加的人数正好是17人，那么原来准备参加健美操 表演的有多少人？
某部队战士排成方阵行军，另一支队伍共17人加入他们的方阵，正好使横竖 各增加一排，请问现在共有多少战士？
节日来临，同学们用盆花在操场上摆了一个空心花坛，最外层的一层每边摆 了12盆花，一共3层，一共用去多少盆花？
在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有64人，最内层有32人，参加 团体操表演的共有多少人？
用120个棋子摆成一个三层空心方阵，最内层每边有多少棋子？
有一群学生排成三层空心方阵，多9人，如空心部分增加两层，又少15人， 问有学生多少人？