四年级奥数：极值问题、方阵问题的解决思路

四年级奥数：极值问题、方阵问题的解决思路

生活中，人们都热衷于追求“事半功倍”的效果，以不断提高我们学习、工作、生活的效率和质量，这在数学中就体现了数学上的“极值”问题----最多、最少、最大、最小、最长、最短等。

极值问题涉及知识面广，题型灵活多样，因此，解题时要善于运用所学知识、甚至生活常识，由于没有统一的方法，所以针对不同题型需要采取不同的策略。一般来说，主要有以下几个突破口：

（1）采用枚举法进行比较，来确定最佳；

（2）通过估算并构造出具体的对象，确定最值；

（3）从最不利或最有利的情况出发，通过分析和推理确定最值。

例题1

例题2

数字可以重复，数字和一定，没有最大数；求数最小，则数位越少，数字9越多越好；

数字可以重复，若数位一定，求数最小，则高位上数字越小越好。

例题3

例题4

各位上的数字之和一定，且数字不能重复，求最小数，先按照从大到小的顺序选择数字，再按照从小到大的顺序排列数字；

各位上的数字之和一定，且数字不能重复，求最大数，先按照从小到大的顺序选择数字，再按照从大到小的顺序排列数字。

例题5

几个数的和一定，要使其中的一个数最小，那么其他的数必须最大，要使其中的一个数最大，那么其他的数必须最小；

求平均数中的极值，一般分为四个步骤：根据份数标序号；假设最高；去掉已知数，求剩下的平均数；调整。

在数学问题中，我们把若干人或物排列成正方形的队列的形式后，再根据排列规律引出的计算统称为方阵问题。方阵问题分为实心方阵和空心方阵两种，其特点是：同边上相邻两条边的数量相差2，相邻两层的数量相差8。实心方阵和空心方阵的关系式为：

1、实心方阵：（1）每边数×每边数=总数；（2）（每边数-1）×4=每层数；（3）每层数÷4+1=每边数；

2、空心方阵：（1）答实心方阵-小实心方阵=总数；（2）（每边数-层数）×层数×4=总数；

例题1

例题2

方阵中，最外层个数=最外层每边个数×4-4，总人数=行数×列数。

例题3

例题4

实心方阵中，一行和一列的个数和=最外层每边个数×2-1；最外层每边个数=（一行和一列的个数和+1）÷2。

例题5

方阵中相邻两层相差8，相邻的两层每边相差2；空心方阵总数=（最外层每边数-层数）×层数×4.