高等代数课件--第三章 线性方程组§3.5 线性方程组有解判别定理
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5
6
5.5重因式
5.6多项式的根，多项 式函数，复数域上的不
可约多项式
第五章一元多项 式环
第五章一元多 项式环
0 1 阅读材料1拉格朗日（Lagrange） 插值公式
0 2 5.7实数域上的不可约多项式
0 3 5.8有理数域上的不可约多项式
04
5.9模m剩余类环，域，域的特 征
0 5 阅读材料2一元分式域
补充题七
10 第八章具有度量的线性空间
第八章具有度量的线性空间
8.1实线性空间的内积，
1
实内积空间的度量概念
8.2标准正交基，正交矩
阵
2
8.3正交补，实内积空间
3
的保距同构
8.4正交变换 4
8.5对称变换，实对称矩
5
阵的对角化
阅读材料6二次曲线的类
型，二次曲线的不变量
6
第八章具有 度量的线性
空间
01 阅 读 材 料 7二次曲面 02 8 .6 酉 空间
的类型
03
04 8 . 7 酉 变 换 ， H e r m i t e 变
8.8*线性变换的伴随
换，Hermite型
变换，正规变换
05 8 .9 * 正 交空间与 辛空 06 补 充 题 八
间
11 第九章n元多项式环
第九章n元多项式 环
9.1n元多项式环的概念和通用性 质 9.2对称多项式，数域K上一元多 项式的判别式 9.3结式
09 第七章双线性函数，二次型
第七章双线性函数，二次型
7.1双线性函数的表达式
1
和性质
7.2对称和斜对称双线性
函数
2
7.3双线性函数空间，
北大高等代数 第三章 线性方程组
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的（证明）， 故这三种变换是同解变换．
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其 中cii 0，i 1,2, , n.
这 时 （1） 有 唯 一 解 ；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1） 还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2） 无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次 线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II） 如 果dr1 0， 方 程组 （1） 有 无穷 多 组解.
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其 中cii 0，i 1,2, , n.
这 时 （1） 有 唯 一 解 ；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1） 还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2） 无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次 线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II） 如 果dr1 0， 方 程组 （1） 有 无穷 多 组解.
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
线性方程组有解的判别定理
§3－5 线性方程组有解的判别定理
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程 组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn
b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs
b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解).
0
dr1
0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解； 当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。 当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（ ）独立 方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（ 同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量 可以表示成向量组 线性组合。
，
1
2
，
的
n
记系数矩阵 为
a11 a12 a1n
A
a 21
a
s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程 组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn
b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs
b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解).
0
dr1
0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解； 当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。 当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（ ）独立 方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（ 同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量 可以表示成向量组 线性组合。
，
1
2
，
的
n
记系数矩阵 为
a11 a12 a1n
A
a 21
a
s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn
高等代数3.5 线性方程组有解判别定理
1 , 2 , …, r 也是 1 , 2 , …, r , 的一个级大线 性无关组，因此向量 可以经 1 , 2 , …, r 线性 表出，它当然可以经1 , 2 , …, n 线性表出.
因此，方程组 (1) 有解.
证毕
这个判别条件与消元法的关系
三、一般线性方程组的解法
同解.
当 r = n 时，由克拉默法则，方程组(4)有唯一
解，也就是方程组 (1) 有唯一解.
当 r < n 时，将方程组 (4) 改写为
a11x1 a1r xr b1 a1,r1xr1 a1nxn ,
a21x1 a2r xr
b2 a x 2,r1 r1 a2nxn ,
程组的增广矩阵化为行阶梯形
1 1 1 1 1 0
A
2
3 1
2 3 1
1 0 2
0 1 1 初等行变换
1 1
2 0
1 1
1 1 1 1 1 0 0 0 3 2 1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00
因为系数矩阵和增广矩阵的秩均为 2 ，所以方
a11 a12 a1n
A
a21 as1
a22 as2
a2n
asn
与增广矩阵
a11 a12 a1n b1
A
a21 as1
a22 as2
a2n asn
b2
bs
有相同的秩.
证明 先证必要性. 设线性方程组 (1) 有解,
就是说， 可以经向量组 1 , 2 , …, n 线性表出. 由此立即推出，向量组1 , 2 , …, n 与1 , 2 , …, n , 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别
第3章 线性方程组 3PPT课件
4 3x5 2
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程 法组 解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能 取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到 三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无 解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退 化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组， 即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方 程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟 一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程 法组 解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能 取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到 三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无 解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退 化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组， 即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方 程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟 一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.
高等代数课件(北大版)第三章 线性方程组§3-3
8）向量组线性相关的基本性质定理 定理2 设 1 , 2 ,, r 与 1 , 2 ,, s 为两个 向量组，若 i) 向量组 1 , 2 ,, r 可经 1 , 2 ,, s 线性表出； ii) r s. 则向量组 1 , 2 ,, r必线性相关.
相关，则向量组 1 , 2 , , s 也线性相关. 注：向量组 1 , 2 ,, s 常称为向量组 1 , 2 , , s 的延伸组； 而 1 , 2 , , s 称为 1 , 2 ,, s
的缩短组.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
（1）
对方程组(1)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵
1 2 A 3 1
5 5 12 11
1 3 6 3
1 2 1 0 0 3 0 4
5 3 0 0
1 1 0 0
2 1 0 2 1 3 3 1 1 0 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
证明： 1 , 2 , 3 线性无关.
证：设 x11 x2 2 x3 3 0, 即
( x1 x3 )1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0
x1 x3 0 由于 1 , 2 , 3 线性无关，于是有 x1 x2 0 x2 x3 0 解之得 x1 x2 x3 0.
§3.3 线性相关性
2013-8-8 数学与计算科学学院
2、性质
向量组之间的等价关系具有：
1) 反身性 2) 对称性 3) 传递性
§3.3 线性相关性
2013-8-8
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例１ 讨论线性方程组
ax1 x2 x1 bx2
x3 x3
4 3
x1 2bx2 x3 4
何时有解？何时无解？在有解的时候 求出它的一般解．
例２ 讨论线性方程组是否有解？
x1 x2 x3 1
a
ax1 bx2 2 x1 b2 x2
所以，(1)有解的充要条件是向量可由向量 组1,2,…, n线性表出．
即有
定理 线性方程组(1)有解的充分必 要条件是它的系数矩阵与增广矩阵 的秩相等，即
r( A) r( A)
证：若(1)有解，则可由向量组1,2,…, n线性表出，于是向量组1,2,…, n与 1,2,…, n ,等价，所以．
§3.5 线性方程组有解判别定理
设线性方程组为
a11x1 a12x 2 L a1n xn b1
a2L1 x1LLa2L2)
as1x1 as2x2 L asn xn bs
引入向量
a11
a12
a1n b1
1
a21
M
,
2
a22
M
,
...,
n
a2n
,
M
b2
M
as1
as2
asn bs
于是（1）可表为
k11 k22 +L +knn
cx3 d c2 x3 d
2
a3x1 b3x2 c3x3 d 3
其中a,b,c,d各不相同。
r( A) r( A)
若r( A) r( A)，即二者的列向量组1,2,…,n 与1,2,…, n ,等秩，令其秩为r，不妨 设1,2,…, n的一个极大线性无关组为 1,2,…, r，则1,2,…, r也是1,2,…, n ,的一个极大线性无关组，因此可由 向量组1,2,…, n线性表出，即是方程 组(1)有解．