甘肃省宁县二中2019届高三上学期第一次月考数学(文)----精校 Word版答案全
甘肃省兰州二中2018-2019学年高三(上)第一次月考数学试卷(文科)精品解析
5.
A. 6
【答案】D
B. 2 3
C. 3
D. 3 3
【解析】解：根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱； 它的底面三角形的面积为 ������底面 = 2 × 2 × 3 = 3
1
，
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棱柱高为ℎ = 3； ∴ 棱柱的体积为������棱柱 = ������底面ℎ = 3 × 3 = 3 3； 故选：D． 根据三视图得出几何体是一个三棱柱，求出它的底面积与高，即得体积． 本题考查了根据三视图求几何体的体积的问题，解题的关键是由三视图得出几何体是什么几何体，从而作答．
D. ������ + ������ ‒ 4 = 0
2 2 【解析】解： ∵ 圆������ + ������ ‒ 4������ + 2 = 0与直线 l 相切于点������(3,1)， ∴ 直线 l 过(3,1)且与过这一点的半径垂直，
∵ 过(3,1)的半径的斜率是3 ‒ 2 = 1， ∴ 直线 l 的斜率是 ‒ 1， ∴ 直线 l 的方程是������ ‒ 1 =‒ (������ ‒ 3) 即������ + ������ ‒ 4 = 0 故选：D． 2 2 根据圆������ + ������ ‒ 4������ + 2 = 0与直线 l 相切于点������(3,1)，得到直线 l 过(3,1)且与过这一点的半径垂直，做出过这一 点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程． 本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是根据圆的切线具有的性质，做出圆的切线的斜率，本题是一 个基础题． 已知{������������}是公差为 1 的等差数列，������������为{������������}的前 n 项和，若������8 = 4������4，则������10 = ( )
甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题含解析
高二数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题1. 设集合{}2|430A x x x =-+<，{}|230B x x =->，则AB =（ ）A. 33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 31,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式得到集合,A B ，然后再求出A B 即可．【详解】由题意得{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，32B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∴333,322A B x x ⎧⎫⎛⎫⋂=<<=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 故选：D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算能力，解题的关键是是通过解不等式得到集合，属于基础题．2. 已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =（ ） A. －8B. －6C. 6D. 8【答案】D 【解析】 【分析】首先计算a b +的坐标，再根据()a b b +⊥即可得到m 的值. 【详解】由题知：()()4,2=-a b m +，因为()a b b +⊥，所以()432(2)0⨯⋅=--=m a b b +，解得8m = 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题.3. 已知两条直线()1:1210l a x y -++=,2:-50l x ay +=平行,则a =( ) A -1 B. 2 C. 0或-2 D. -1或2【答案】D 【解析】 【分析】根据直线平行的等价条件建立方程关系进行求解即可．【详解】解：当0a =时，两直线分别为210x y -++=，和50x -=，此时两直线不平行， 当0a ≠时，若两直线平行，则12115a a -=≠-， 由121a a-=得220a a --=，得1a =-或2a =， 当1a =-时，215a ≠-成立， 当2a =时，215a ≠-成立， 综上1a =-或2， 故选D ．【点睛】本题主要考查直线平行的判断，根据直线平行的等价条件是解决本题的关键． 4.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 己知2a =，b =，4A π=，则B =（ ） A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理直接求解即可【详解】解：因为2a =，b ，4A π=，所以由正弦定理得，sin sin a b A B =， 得sin 42sin 22b AB aπ====因为4A π=，b a >，所以3(,)44B ππ∈，所以B =3π或23π, 故选：D【点睛】此题考查正弦定理的应用，属于基础题5. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ） A. (),2-∞ B. ()2,2-C. (,2)(2,)-∞⋃+∞D. (2,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可知函数()f x 在[0,)+∞上递增，再由(2)0f =，()0f x <，可得()(2)f x f <，则()(2)f x f <，从而可求得结果【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是减函数， 所以()f x 在[0,)+∞上递增，因为(2)0f =，()0f x <，所以()(2)f x f <，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()(2)f x f <， 所以2x <，解得22x -<<， 故选：B【点睛】此题考查偶函数性质的应用，考查函数的单调性的应用，属于基础题 6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ） A. 5 B. 7C. 9D. 11【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可求出3a ，再利用等差数列求和公式及等差数列的性质即可求出5S .【详解】因为135333a a a a =++=，所以31a =，所以153535()525522a a a S a +⨯====. 故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的求和公式，属于基础题. 7. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 （ ）A. 25B. 30C. 31D. 61【答案】C 【解析】试题分析：输入60x =，判断50?x ≤，否，250.6(6050)31y =+⨯-= ， 输出31y = 故选C ．考点：算法语句．8. 函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ）A. 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦D.13,2⎛⎤--⎥⎝⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后换元，利用复合函数“同增异减”进行求解即可【详解】由题意知()f x 的定义域为()3,2-． 令26t x x =--+，则函数t 在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减．又13log y =在其定义域上递减．故由复合函数的单调性知原函数的递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭故选：B【点睛】此题考查求复合函数的单调区间，利用“同增异减”的法则求解，属于基础题 9. △ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB BC ⋅的值为（ ） A. 19 B. 14 C. -18 D. -19【答案】D 【解析】 【分析】运用余弦定理，求得cos B ，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值． 【详解】解：由于7AB =，5BC =，6CA =， 则25493619cos 25735B +-==⨯⨯，则||||cos()AB BC AB BC B π=- 1975()1935=⨯⨯-=-． 故选：D ．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．10. 在ABC 中，a ，b 是A ∠，B 所对的边，已知 a cosB bcos A =，则ABC 的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】【分析】由正弦定理得sin sinA cosB Bcos A=，化简得in0()s A B-=,即得解.【详解】由正弦定理得sin sinA cosB Bcos A=，所以sin sin0A cosB cos A B-=，所以in0()s A B-=,因为,(0,)A Bπ∈,所以0,A B A B-=∴=.所以三角形是等腰三角形.故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，考查差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8πC.12D.4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .12. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22017OA a OB a OC =+且A ，B ，C 三点共线（该直线不过原点O ），则2018S 的值为（ ） A. 1007 B. 2018C. 1009D. 2007【答案】C 【解析】 【分析】由三点共线可得向量BA 与BC 共线，再结合共线定理及平面向量基本定理可得220171a a +=，根据等差数列求和公式及等差数列的下标性质即可求出2018S .【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以向量BA 与BC 共线，所以有且只有一个实数λ，使得BA BC λ=，所以()OA OB λOC OB -=-， 所以(1)OA λOB λOC =-+，又22017OA a OB a OC =+，由平面向量基本定理可知21a λ=-，2017a λ=，所以220171a a +=， 所以120182201720182018()2018()100922=a a a a S ++==.故选：C【点睛】本题主要考查了共线定理、平面向量基本定理、等差数列的性质及等差数列的求和公式，属于中档题.二、填空题13. 实数a ，b 满足：1，a ，3成等差数列，1，a ，b 成等比数列，则b =___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由1，a ，3成等差数列，可得24a =，求得2a =，再由1，a ，b 成等比数列，可得2b a =，从而可求得结果【详解】解：因为1，a ，3成等差数列，所以2134a =+=，解得2a =，所以1，a ，b 成等比数列，所以214b a ⨯==，即4b =， 故答案为：4【点睛】此题考查等差中项和等比中项的应用，属于基础题14. 在ABC ∆中, 若13,cos 2a A ==-,则ABC ∆的外接圆的半径为 _____.【答案】3 【解析】 【分析】由题意求出sin A ，利用正弦定理直接求出△ABC 的外接圆的半径． 【详解】因为在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝﹣12，所以sin A ＝3， 由正弦定理2sin a R A=，可得：2sin aR A =＝32⨯＝3． 故答案为3．【点睛】本题是基础题，考查正弦定理的应用，同角三角函数的基本关系式，考查计算能力．15. 已知向量(4,3)a =，(sin ,cos )b αα=，且a b ⊥，那么tan2=α__________． 【答案】247- 【解析】 【分析】根据a b ⊥可得0a b ⋅=，然后根据向量的数量积的坐标运算可求出tan α，再利用正切的二倍角公式即可求出tan 2α. 【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，所以4sin 3cos 0αα+=，所以3tan 4α=-，所以22322tan 244tan 21tan 7314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 故答案为：247-. 【点睛】本题主要考查了向量的垂直的坐标表示及正切的二倍角公式的简单应用，属于基础题.16. 已知直线:0l ax by c ++=，若,,a b c 成等差数列，则当点(2,1)P 到直线l 的距离最大时，直线l 的斜率是____. 【答案】13- 【解析】 【分析】由已知得直线l 过定点，根据点到直线距离定义求解. 【详解】根据题意得2b a c =+即2c b a =-， 直线l的方程为20ax by b a ++-=，可化为()()21b y a x +=--， 所以直线l 过点()1,2Q -，若点(2,1)P 到直线l 的距离最大，则直线l PQ ⊥ ， 所以1l PQ k k ⋅=-，解得13l k =-.【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系.三、解答题17. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.18. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin 0C c A -=． （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC 的面积为c 的值．【答案】（1）3C π=；（2）c =【解析】 【分析】（1cos sin 0C c A -=中的边统一成角，化简可求出角C 的大小；（2）由ABC 的面积为4b =，可求出6a =，再利用余弦定理可求出c 的值．【详解】（1）在ABC cos sin sin 0A C C A -= 因为0A π<<，所以sin 0A >sin C C =，又cos 0C ≠所以tan C =3C π=．（2）在ABC 中，14sin 23ABC S a π=⨯⨯=△6a =． 由余弦定理得：22264264cos 283c π=+-⨯⨯=．所以c =【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，属于基础题19. 已知函数()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭x ∈R ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）最大值为14，最小值为12-． 【解析】【分析】 （Ⅰ）由两角和与差的正弦公式，二倍角公式化函数式为一个角的一个三角函数形式，然后 结合正弦函数性质得周期；（Ⅱ）求出23x π-的范围，利用正弦函数性质可得最值．【详解】（Ⅰ）由已知，()f x =21sin cos cos 224x x x -+1sin2cos 244x x - =1sin(2)23x π-， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==． （Ⅱ）∵44x ππ-≤≤， ∴52636t x πππ-≤=-≤， 由sin y t =的图像知，1-1sin(2)32x π≤-≤ ∴11()24f x -≤≤， ∴函数()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为14，最小值为12-． 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、二倍角公式，考查正弦函数的周期与最值，解决此类问题的一般方法是利用三角函数恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式：()sin()f x A x k ωϕ=++，然后结合正弦函数性质求解．20. 如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin α的值．【答案】（1）14海里/小时； （2）.【解析】【详解】（1）12,20,120AB AC BAC ︒==∠=, ∴∴, ∴V 甲海里/小时 ； （2）在中， 由正弦定理得∴∴.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.21. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ; （2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积 34V =，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2） A 到平面PBC 的距离为31313【解析】 【详解】试题分析：（1）连结BD 、AC 相交于O ，连结OE ，则PB ∥OE ，由此能证明PB ∥平面ACE ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A 到平面PBD 的距离试题解析：(1）设BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB又EO 平面AEC ，PB 平面AEC所以PB ∥平面AEC ．（2）1366V PA AB AD AB =⋅⋅= 由，可得. 作交于．由题设易知，所以故， 又31313PA AB AH PB ⋅==所以到平面的距离为法2：等体积法136V PA AB AD AB =⋅⋅=由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d ，又因为PB=所以 又因为(或)， ，所以考点：线面平行的判定及点到面的距离22. 已知向量()2cos ,1a x =，(cos 32)b x x m =+，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 在[0,]π上的单调增区间 （2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()44f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围． （3）当[0,]x π∈时，讨论函数()f x 的零点情况【答案】（1）20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）61-<<m ；（3）分类讨论，答案见解析． 【解析】【分析】（1）先化简()f x ，然后采用整体替换法求解出()f x 的单调递增区间，最后得到()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）求解出()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，利用最值与4,4-的关系求解出m 的取值范围；（3）采用换元法令=26u x π+，根据sin y u =的图象对m 作分类讨论从而分析出()f x 的零点情况.【详解】（1）()22cos 2f x a b x x m =⋅=+2cos 212sin 216x x m x m π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭ 由222262k x k πππππ-≤+≤+，()k Z ∈ 得(),36k x k k Z ππππ-≤≤+∈∵[]0,x π∈ ∴06x π≤≤或23x ππ≤≤ ∴()f x 在[]0,π上的单调增区间是20,,,63πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）由（1）知()f x 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴当6x π=时，()max 3f x m =+；当0x =时，()min 2f x m =+由题设可得3424m m +<⎧⎨+>-⎩解得61-<<m ∴m 的取值范围是61-<<m（3）令()0f x =得：2sin 216x m π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 得：1sin 262m x π--⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∵[]0,x π∈ ∴132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦令13=2,666u x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2m u --=．由图知①当112m -->或112m --<-， 即3m <-或1m 时，0个零点 ②当112m --=或112m --=-， 即3m =-或1m =时，1个零点 ③当11122m --<<或11122m ---<<， 即32m -<<-或21m -<<时，2个零点 ④当1122m --=即2m =-时，3个零点 综上：①3m <-或1m 时，0个零点②3m =-或1m =时，1个零点③32m -<<-或21m -<<时，2个零点④2m =-时，3个零点【点睛】本题考查平面向量与三角函数综合应用，其中涉及到向量的数量积、正弦型函数的单调区间、根据三角函数值域求参数范围、三角函数的零点问题，主要考查的是学生的综合运用能力，难度较难.。
精选2019届高三数学上学期第一次月考(开学)考试试题文(含解析)
宁夏石嘴山市第三中学2019届高三上学期第一次月考考试数学（文）试题第I卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合，，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：集合，。
考点：1．解不等式；2．集合的交集运算．2.【2018年理新课标I卷】设，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据复数的运算法则，将其化简得到，根据复数模的公式，得到，从而选出正确结果.详解：因为，所以，故选C.点睛：该题考查的是有关复数的运算以及复数模的概念及求解公式，利用复数的除法及加法运算法则求得结果，属于简单题目.3.若，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由公式可得.【详解】,故选：B.【点睛】本题考查二倍角余弦函数公式，属于基础题.4.函数的图像大致为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.5.已知向量满足，则A. 4B. 3C. 2D. 0【答案】B【解析】【分析】把向量的数量积展开，再代入模与数量积即可求值。
【详解】由=，选B.【点睛】本题考查向量的数量积运算，同时运用了向量数量积的分配律和向量平方与向量模的关系公式，属于基础题。
6.已知，则的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可. 详解：由指数函数的性质可知：，，，且，，据此可知：，综上可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设等差数列的首项为，公差为.∵，∴∴ ∴，则∴数列的前项和为故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.8.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】第一次循环,第二次循环,第三次循环,第四次循环,第五次循环,第六次循环,第七次循环,第八次循环,第九次循环满足题意,此时输出k 为9,故选C.9.在△中，为边上的中线，为的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.10.在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：为、的等比中项，则，由韦达定理，求出，从而求出，因为数列为正项数列，则取正数.详解：因为、为方程的两根，由韦达定理，，为、的等比中项，则，解得，因为数列为正项数列，所以，故选C点睛：本题主要考察等比中项的公式，当结果为两个时，需要进行分析，防止多解，。
2019-2020学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列各组对象不能构成集合的是( ) A ．拥有手机的人 B ．某校高一(1)班成绩优秀的学生 C ．所有有理数 D ．小于π的正整数【答案】B【解析】根据集合元素的“确定性”，可知B 项中的对象不符合集合的定义，而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项． 【详解】对于A ，“拥有手机的人”其中的对象是明确的，能构成集合； 对于B ，“成绩优秀的学生”其中对象是不明确的，不能构成集合； 对于C ，“所有有理数”其中对象是明确的，能构成集合； 对于D ，“小于π的正整数”其中对象是明确的，能构成集合. 故选：B. 【点睛】本题考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题.2．已知集合{}10A x x =≤，a =a 与集合A 的关系是（ ）A ．a A ∈B ．a A ∉C ．a A =D ．{}a A ∈【答案】A【解析】10≤，所以a A ∈，故选A. 3．将集合(){5,|21x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭表示成列举法，正确的是( )A ．{2，3}B ．{(2，3)}C ．{x ＝2，y ＝3}D ．(2，3)【答案】B【解析】集合表示的是方程组的解构成的集合，其中的元素是数对，且只有一个元素，所以选B .点睛：本题考查了集合的描述法，属于中档题 .当集合是描述法的形式给出时，一定要注意理解集合中的元素，首先分清是数还是数对（点），其次要看清楚元素的特征性质，在判断元素与集合关系时，必须把握住，在改变集合写法时，必须保证集合相等 . 4．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为所以.【考点定位】集合的表示，集合的运算.5．集合{}{}{}202,1,1A a B a A B ==⋂=，，，若，则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．-1D ．±1【答案】C【解析】{}{}221,02,1,A B A a a⋂==⇒=，又{}1,B a = ，1a ∴=- ，故选C.6．设{}13A x x =≤≤，B ={|0x x <或2}x ≥,则A B =( )A ．{|0x x <或1}x ≥B ． {|0x x <或3}x ≥C ． {|0x x <或2}x ≥D ． {}|23x x <<【答案】A【解析】利用并集定义直接求解. 【详解】由{}13A x x =≤≤，B ={|0x x <或2}x ≥，得{|0A B x x ⋃=<或}1x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查并集的定义，属于基础题.7．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数个D ．至多一个【答案】D【解析】试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量x 都有唯一的函数值对应，直线x a =与函数()y f x =的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D. 【考点】1.函数的概念；2.函数图像.8．下列函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．2y x =与4y =B ．y =与yC ．xy x =与()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩D ．2y x =与2S a = 【答案】D【解析】对于A ，B ，C 三个选项中函数定义域不同，只有D 中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论． 【详解】对于A ，2y x =的定义域为R ，4y =的定义域为{}0x x ≥，定义域不同，故不为同一函数；对于B ，y =的定义域为{}1x x ≥，y ={}11x x x ≥≤-或，定义域不同，故不为同一函数；对于C ，xy x =定义域为{}0x x ≠，()()1010x y x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的定义域为R ，定义域不同，故不为同一函数；对于D ，2y x =与2S a =定义域和对应法则完全相同，故选D. 【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题．9．函数y ＝ax ＋1(a<0)在区间[0，2]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，2a ＋1 B ．2a ＋1，1 C ．1＋a ，1 D ．1，1＋a【答案】A【解析】函数y ＝ax ＋1(a<0)在区间[0，2]上单调递减,所以最大值、最小值分别是a ⨯0＋1=1,2a+1,选A.10．函数y =的定义域为（ ） A ．(,1]-∞B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(,2]-∞D ．11,,122⎛⎫⎛⎤-∞-- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【答案】D【解析】根据分式的性质和二次根式性质求解即可 【详解】要使函数有意义，则应满足2102320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，解得11,,122x ⎛⎫⎛⎤∈-∞-- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦故选：D 【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于基础题11．若函数(),y f x x R =∈是偶函数,且(1)(2)f f <,则必有( )A ．(1)(2)f f -<-B ．(1)(2)f f ->-C ．(1)(2)f f -=-D ．不确定 【答案】A【解析】根据偶函数的定义，可得(1)(1)f f =-，(2)(2)f f =-，即可得到答案. 【详解】因(),y f x x R =∈是偶函数，则(1)(1)f f =-，(2)(2)f f =-， 又(1)(2)f f <，所以(1)(2)f f -<-. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，属于基础题.12．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-,若当[]0,5x ∈时，函数()f x 图象如图所示，则不等式()0f x ≤的解集为( )A ．[][]5,22,5--B ．[][]2,02,5-C ．[]22-,D ．[][]5,20,2--【答案】B【解析】利用奇函数的图象关于原点对称即可得到答案. 【详解】当[]0,5x ∈时，由题中图象可得()0f x ≤的解集为[]2,5，()0f x ≥的解集为[]0,2， 因()f x 为奇函数，且定义域为[]5,5-，其图象关于原点对称， 所以，当[]5,0x ∈-，()0f x ≤的解集为[]2,0-， 故()0f x ≤的解集为[][]2,02,5-.故选：B. 【点睛】本题考查奇函数的图象关于原点对称，数形结合思想，属于基础题.二、填空题13．已知函数f (x )若f (a )＝3，则实数a ＝__________. 【答案】10【解析】根据函数解析式得()3f a ==，解得10a =，故填10.14．集合{1,0,1}-共有 个子集. 【答案】8【解析】 因为集合{1,0,1}-中有3个元素，其子集有328=个.15．.已知()f x 是偶函数, 0x ≥时, 2()24,f x x x =-+求0x <时, ()f x 的解析式_________.【答案】2()24f x x x =--【解析】设0x <，则0x ->，利用0x ≥时，2()24f x x x =-+，求得()f x -的解析式，再利用偶函数的定义即可得到()f x 的解析式. 【详解】由题意，设0x <，则0x ->，()()22()2424f x x x x x ∴-=--+-=--，又()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，()2()24f x f x x x ∴=-=--,故()f x 的解析式为2()24f x x x =--. 故答案为：2()24f x x x =--. 【点睛】本题考查偶函数的性质求函数的解析式，属于基础题.16．已知函数()f x 是R 上的增函数，()()0,1,3,1A B -是其图像上的两点，那么()11f x +<的解集的补集是_______________【答案】(][),12,-∞-⋃+∞【解析】化简绝对值不等式，根据函数的单调性和其图像上两点的坐标列不等式，由此求得不等式的解集，进而求得其补集. 【详解】由()11f x +<得()111f x -<+<.由于()f x 为R 上的增函数，且过()()0,1,3,1-，故013x <+<，解得12x -<<，故其补集为(][),12,-∞-⋃+∞. 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，考查函数的单调性，考查补集的求法，属于中档题.三、解答题17．（1）求值323649⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）化简21113333243x yx y ---⎛⎫÷- ⎪⎝⎭【答案】（1）216343；（2）-6x . 【解析】（1）利用有理数指数幂的运算性质即可得到答案； （2）利用分数指数幂的性质和运算法则求算. 【详解】（1）33232236662164977343⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）21211121113333333333113324466323x yx yx y x y x x y ----+-+--⎛⎫÷-==-=- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题考查有理数指数幂，分数指数幂的运算性质，是基础的计算题，属于基础题. 18．根据如图所示的函数()f x 的图象，（0x ≥），（1）写出f (x )的解析式. （2）写出f (x )的值域。
甘肃省庆阳市宁县第二中学2019-2020学年高一第一学期9月份月考模拟测试卷
D．
与 y loga x 的图象是( )．
6、已知函数 f(x)＝
A．－2
B．－1
7、已知函数
A．
B．
，则 f(－10)的值是( ).
C．0
D．1
，且
，则函数 的值是（ ）
C．
D．
8、若函数 A． 9、设偶函数
的定义域为 B． 满足
，值域为
，则 的取值范围是（ ）
C．
D．
，则 x | f (x 2) 0 （ ）
①
;②
.
17、已知集合 （1）求 （2）若
,集合
.
；
，且
，求实数 的取值范围.
18、已知定义在 上的奇函数
，当
时，
（1）求函数
在 上的解析式；
（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数 的取值范围。
19、已知函数 （1）判断函数的
20、定义在 R 上的函数
，当
，且对任意
，有
.
（1）求证：对任意
，都有
；
（2）判断
在 R 上的单调性，并用定义证明；
（3）求不等式
的解集.
人教版 2019--2020 学年甘肃省庆阳市宁县二中高一第一学期 9 月份月考模拟测试卷
数学
注意事项： 1、本试卷共两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟； 2、考生作答时，须将答案写在试卷对应位置上，选择题和填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
第Ⅰ卷(选择题部分）
时函数
B． D．
是减函数，则
，
，
的大小关
12、 13、
,则 的单调减区间是
甘肃省宁县二中2019届高三数学上学期第一次月考试题理201810310225
甘肃省宁县二中 2019届高三数学上学期第一次月考试题 理一、选择题（12*5分）1.集合 A x N 0 x 4 的真子集个数为( )A.3B.4C.7D.82.对于集合 A,B,A B 不成立的含义是( ) A.B 是 A 的子集 B.A 中的元素都不是 B 的元素 C.A 中至少有一个元素不属于 B D.B 中至少有一个元素不属于 A3.已知3x 10 ,则这样的 x ( ) A.存在且只有一个 B.存在且不只一个C.存在且 <2.D.根本不存在x1 x4.已知函数 f x若 f (a ) b .则 f ( a ) ( )( ) lg ,1 xA. bB. bC. 1D.b1 b5.函数 y a x 2 1 (a 0 且 a 1) 的图象必经过点( ) A.(0,1) B.(1,1) C.(2,0) D.(2,2)6已知函数 f(x)的定义域是(0，1)，那么 f(2x )的定义域（ ）A ．(0，1) C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)B ．( ，1)7若 log a 2=m ,log a 5=n ,则 a 3m+n 等于( ) A.11 B.13 C.30 D.40 8.函数的单调递增区间是()f (x ) ln x 2x 82A. , 2B. ,1C. 1,D. 4,9.函数的定义域是()f x log x 2x 322A. 3,1B. 3,1C. , 3 1,D.( , 3) (1, )10.设函数则 ( )1 log2 x , x 1,f x f ( 2) f (log 12){ 22x, x 1.21A.3B.6C.9D.1223e 1x在区间上的最大值为, 最11.已知函数k,k k 0M f x ln x 1 xe1x小值为m,则M m ( )- 1 -A. 2B. 4C. 6D. 83x b,x1,512.设函数若,则( )f(x) {f f4b2x,x 1,61731A. B. C. D.284二、填空题(4*5分)13.已知集合 ,若,则__________.M a N x x2 x x Z M N a,0,250,14.偶函数y f x 的图像关于直线x 2对称, f(3) 3,则f( 1) __________.x2 1f x lg x 0,x R15.函数 有如下命题:x(1)函数y f x 的图像关于y轴对称;(2)当x 0时, f x 是增函数,当x 0时, f x 是减函数;(3)函数f x 的最小值是lg2;(4) f x 无最大值,也无最小值.其中正确命题的序号是__________.116.（普通班学生做）, 若 ,则 p对应的x的集合为________.p:0x x22ax 116. (春晖班学生做）,若f x 在区间 2, 上是增函数, 则a的取值范围是x 2__________.三、解答题（17题10分，18题，19题，20题，21题，22题各12分）17.已知p:x2 4x 5 0,q:x 3 a(a 0).若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.x2 2x a18.已知函数f x ,x [1, ),x1a f(x)（1）当时,求函数的最小值;2（2）若对任意x [1, ), f(x) 0恒成立,试求实数a的取值范围.- 2 -19.已知曲线: ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的参数方程化为普通方程,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设为曲线上的点,点的极坐标为,求中点到曲线上的点的距离的最小值.4xa20.已知函数f x 是奇函数.2x（1）.求实数a的值;（2）.用定义证明函数f x 在R上的单调性;（3）.若对任意的x R,不等式 恒成立,求实数的取值范围.f x2 x f2x2 k 0kf x12x2|x| x21.已知函数 .2（1）用分段函数的形式表示该函数.（2）画出该函数的图像. （3）写出该函数的值域.22（普通班学生做）已知函数 .f x log ax2 2x 34（1）若f 1 1,求f x 的单调区间;（2）是否存在实数a,使f x 的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.22（春晖班学生做）已知函数()12(21)2ln()f x ax a x x a R2（1）若曲线y f(x)在x 1和x 3处的切线互相平行,求a的值;（2）求f(x)的单调区间（3）设g(x) x2 2x,若对任意x ,均存在 ,使得, 求x20,2f x g xa 10,2()()12的取值范围.- 3 -2019界高三级第一次月考数学试卷（理）参考答案一、选择题（12*5分）1 C2 C3 A4 B5 D6 C7 D8 D9 D 10 C 11 B 12 A11.答案：B解析：∵ 是奇函数,∴而在时取最大值,g x x x g( x) g(x) 0f x x kln12x k M f(k),m f( k)时取最小值,∴3e13e13e+13ek k k k∴M m f(k) f( k) 4e1e1e1e1k k k k12.答案：A5b 33 5 47解析：,若,即时, ,解得,不符合题意,f 5 5 bb1b b b6 22 2 82553 1b故舍去;若b1,即时,得,解得.故选A.b 224b222二、填空题(4*5分)13.答案a 1或2. 14.答案：f( 1) 3.15.答案：(1)(3)解析：x21f x lgf x,所以(1)正确;xf xx2 11lg lgxx x, 时是减函数, 时是增函数,x 0,1 f x x 1, fxx 0,1 f x x 1,f x11所以(2)错; ,(3)正确,(4)错.x 2,lg x lg2x x16.答案：{x| 1 x 2}16.(春晖) 2 1212为增函数,则，所以.a x a a1 2a 01 f x aax 2x 22三、解答题（17题10分，18题，19题，20题，21题，22题各12分）17.答案：a 41118.答案（1）当时, f x x 2,22xa∵f x 在区间 1, 上为增函数,- 4 -∴f x 在区间 1, 上的最小值为 1 7.f2x2 2x a（2）在区间 1, 上f x 0恒成立 x2 2x a 0恒成立,xa x2 2x恒成立.又∵x [1, ),a x2 2x恒成立∴a应大于u x2 2x,x [1, )的最大值∴ , 时取得最大值,∴.a x x 1u a 311219.答案：(1)曲线普通方程为;曲线的直角坐标方程为;(2).解析：(2)点的直角坐标为,设,故, 为直线, 到的距离,从而当时, 取得最小值.20.答案：（1）∵函数f x 的定义域为R,且f x 是奇函数,∴f(0) 0,解得a 1,此时f x 2x 2 x满足f x f x ,即f x 是奇函数,∴a 1.x x1 11 2 （2）任取 ,且,则, ,x,x - , x x2x 2x1212122 2x xf x x 2 1f222201111于是 x x x x,121 212x x22 2 212即f x f x ,故函数f x 在R上是增函数.12（3）∵f x x f x k , ;2220f x2 x f2x2 k- 5 -∵f x ^是奇函数,∴ .f x2 x f k 2x2又由f x 在R上是增函数,得.x2 x k 2x2即对k<3x2-x ,任意的x R恒成立,x 13x2 x 11k∵当时, 取得最小值,∴.61212x xf x221.答案：（1）当0 x 2时, 11,x x当 2 x 0时, 11,f x x2∴f xx1,021 x,2 x（2）.函数f x 的图像如图所示（3）由2知, f x 在 2,2 上的值域为 1,3 .22.答案：（1）∵f x ax x 且f 1 1,log2324∴ .log a 1 2 1 3 1 a 5 4 a 124可得函数 . ∵真数为,f x log x 2x 3 x2 2x 3 0 1 x 324∴函数定义域为( 1,3). 令 可得:t x2 2x 3 x 1 42当x 1,1 时, t为关于x的增函数;当x 1,3 时, t为关于x的减函数.∵底数为4 1∴函数f x x x 的单调增区间为 1,1 ,单调减区间为 1,3 .log2324（2）设存在实数a,使f x 的最小值为0,由于底数为4 1,可得真数t ax2 2x 3 1恒成立,且真数t的最小值恰好是1,- 6 -1即a为正数,且当x 时, t值为1.aa 0a 01所以{121,{1 a2 02 a231a aa1a f x0 所以,使的最小值为.222（春晖）.答案：（1）∵函数()12(21)2ln(),f x ax a x x a R22∴f'(x) ax (2a 1) (x 0)x∵曲线y f x 在x 1和x 3处的切线互相平行,∴f' 1 f'(3),2a (2a 1) 2 3a (2a1)即,32a解得.3（2）(ax 1)(x 2)f'(x) (x 0)x①当a 0时, x 0,ax 1 0,在区间(0,2)上, f'(x) 0在区间(2, )上, f'(x) 0故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2, ).112 ②当时, ,2a1在区间(0,2)和(,)上, ;f'(x) 0a1在区间(2,)上.f'(x) 0a故f x 的单调递增区间是 0,2 和(1, ),单调递减区间是(2,1)a a(x2)2 1a f'(x) f(x)(0, ) ③当时, ,故的单调递增区间是.22x- 7 -a 0121 (0,1)(2, )④当时, ,在区间和上,2a a1在区间(,2)上,f'(x) 0a1(2, )(1,2) 故f(x)的的单调递增区间是(0,)和上,单调递减区间是a a（3）.由已知,在(0,2]上有f(x) g(x).m a x m a x由已知, ,由2可知,g(x) 0max1a f(x) 0,2①当, 在上单调递增,2故f(x) f(2) 2a 2(2a 1) 2l n2 2a 2 2l n2 m a x所以, 2a 2 2ln2 0,解得a l n2 1,1ln2 1 a故.2a 1f(x)(0,1]②当时, 在上单调递增,2 a1在[,2]上单调递减,a11故f(x) f() 2 2l n a.m a xa2aa ln ln1ln111由可知a ,22e2l n a 2, 2l n a 2.1所以, 2 2l n a 0,f(x) 0，故a .m a x2综上所述, a ln2 1.- 8 -。
甘肃省宁县第二中学2019届高三上学期第一次月考英语试题
2019届高三数学专题练习之函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则的取值范围是（ ） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数 的值是（ ） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是________________．三、解答题17．关于的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求的取值范围．答案1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析 【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea <<3．零点的性质例3：已知定义在上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6- C ．7- D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称， 由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
2018-2019学年甘肃省庆阳市宁县二中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年甘肃省庆阳市宁县二中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为()A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】解：∵集合A={x∈N|0<x<4}={1,2，3}，∴真子集的个数是：23−1=7个，故选：C．先求出集合的元素的个数，再代入2n−1求出即可．本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n个，则子集的个数是2n个，真子集的个数是2n−1个，本题是一道基础题．2. 对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是()A. B是A的子集B. A中的元素都不是B的元素C. A中至少有一个元素不属于BD. B中至少有一个元素不属于A【答案】C【解析】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．3. 已知3x=10，则这样的x()A. 存在且只有一个B. 存在且不只一个C. 存在且x<2D. 根本不存在【答案】A【解析】解：由3x=10得，x=log310是一个确定的实数，由对数函数的性质得log310>log39=2，故选：A．根据指数式与对数式的互化将“3x=10”化为：“x=log310”，由对数函数的性质判断log310的范围即可．本题考查指数式与对数式的互化，以及对数函数的性质，属于基础题．4. 已知函数f(x)=lg1−x1+x，若f(a)=b，则f(−a)等于()A. bB. −bC. 1b D. −1b【答案】B【解析】解：由1−x1+x>0，得−1<x<1，f(−x)=lg1−(−x)1+(−x)=lg1+x1−x=lg∖&1−x1+xlg1−x1+x=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(−a)=−f(a)=−b．故选：B．判断函数的奇偶性，利用奇偶性求解函数值即可．本题考查函数的奇偶性的判断与应用，基本知识的考查．5. 函数y=a x−2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点()A. (0,1)B. (1,1)C. (2,0)D. (2,2)【答案】D【解析】解：∵当X=2时y=a x−2+1=2恒成立故函数y=a x−2+1(a>0且a≠1)的图象必经过点(2,2)故选：D．根据a0=1(a≠0)时恒成立，我们令函数y=a x−2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=a x−2+1(a>0且a≠1)的图象恒过点的坐标．本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，其中指数的性质a0=1(a≠0)恒成立，是解答本题的关键．6. 已知函数f(x)的定义域是(0,1)，那么f(2x)的定义域是()A. (0,1)B. (−∞,1)C. (−∞,0)D. (0,+∞)【答案】C【解析】解：∵函数f(x)的定义域是(0,1)，∴0<2x<1，解得x<0，故选：C．根据函数f(x)的定义域是(0,1)，而2x相当于f(x)中的x，因此得到0<2x<1，利用指数函数的单调性即可求得结果．此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性，体现了整体代换的思想，是一道基础题．7. 若log a2=m，log a5=n，则a3m+n=()A. 11B. 13C. 30D. 40【答案】D【解析】解：∵log a2=m，log a5=n，∴a m=2，a n=5∴a3m+n=a3m⋅a n=23⋅5=40故选：D．由已知中log a2=m，log a5=n，我们根据指数式与对数式的转化方法，可得a m=2，a n=5，进而根据指数的运算性质，a m+n=a m⋅a n，a mn=(a m)n，可计算出a3m+n的值．本题考查的知识点是对数的运算性质，及指数的运算性质，其中根据指数式与对数式的转化方法，将已知转化为a m=2，a n=5，将问题转化为指数运算，是解答本题的关键．8. 函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是()A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (4,+∞)【答案】D【解析】解：由x2−2x−8>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=x2−2x−8，则y=ln t，∵x∈(−∞,−2)时，t=x2−2x−8为减函数；x∈(4,+∞)时，t=x2−2x−8为增函数；y=ln t为增函数，故函数f(x)=ln(x2−2x−8)的单调递增区间是(4,+∞)，故选：D．由x2−2x−8>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=x2−2x−8，则y=ln t，结合复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．本题考查的知识点是复合函数的单调性，对数函数的图象和性质，二次数函数的图象和性质，难度中档．9. 函数f (x )=log 2(x 2+2x −3)的定义域是( )A. [−3,1]B. (−3,1)C. (−∞,−3]∪[1,+∞)D. (−∞,−3)∪(1,+∞) 【答案】D【解析】解：由题意得：x 2+2x −3>0，即(x −1)(x +3)>0 解得x >1或x <−3所以定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞) 故选：D ．利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．本题主要考查函数的定义域的求法.属简单题型.高考常考题型．10. 设函数f (x )= 1+log 2(2−x ),x <12x−1,x ≥1，则f (−2)+f (log 212)=( )A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】解：函数f (x )= 2x−1,x ≥11+log 2(2−x ),x <1，即有f (−2)=1+log 2(2+2)=1+2=3， f (log 212)=2log 212−1=2 log 212×12=12×12=6，则有f (−2)+f (log 212)=3+6=9． 故选：C ．先求f (−2)=1+log 2(2+2)=1+2=3，再由对数恒等式，求得f (log 212)=6，进而得到所求和． 本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．11. 已知函数f (x )=ln(x + 1+x 2)+3e x +1e +1在区间[−k ,k ](k >0)上的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =( ) A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】解：函数f (x )=ln(x + 2)+3e x +1e +1=ln(x + 1+x 2)+e x −1e +1+2，可设g (x )=ln(x + 1+x 2)+e x −1e +1，x ∈R ，g (−x )+g (x )=ln(−x + 1+x )+ln(x + 1+x )+e −x −1e −x +1+e x −1e x +1=ln(1+x 2−x 2)+1−e x1+e x +e x −1e x +1=ln1+0=0，则g (x )为奇函数，可得g (x )在[−k ,k ]的最大值和最小值之和为0， 即有f (x )的最值之和为M +m =4． 故选：B ．由函数变形可设g (x )=ln(x + 2)+e x −1e x +1，x ∈R ，判断奇偶性，即可得到所求最值之和．本题考查函数的最值，注意运用转化思想和奇函数的性质，考查运算能力，属于中档题．12. 设函数f (x )= 2x ,x ≥13x−b ,x <1，若f (f (56))=4，则b =( )A. 1B. 78C. 34D. 12【答案】D【解析】解：函数f (x )= 2x ,x ≥13x−b ,x <1，若f (f (56))=4， 可得f (52−b )=4，若52−b ≥1，即b ≤32，可得252−b =4，解得b =12．若52−b <1，即b >32，可得3×(52−b )−b =4，解得b =78<32(舍去)．故选：D ．直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，函数值的求法，考查分段函数的应用．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）13. (文) 已知集合M ={a ,0}，N ={x |2x 2−5x <0,x ∈Z }，若M ∩N ≠⌀，则a =______． 【答案】1或2【解析】解∵2x 2−5x <0的解是0<x <2.5，又∵x ∈Z ，∴N ={1,2} ∵M ∩N ≠⌀，∴a =1或2 故答案为：1或2题目中利用一元二次不等式的解法化简集合N ，结合它与集合M 有公共元素即可求得a 值．本题考查集合与集合交集的运算，解答的关键是分清集合和元素的关系，注意不等式的解法，属于基础题．14. 偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称，f (3)=3，则f (−1)=______． 【答案】3【解析】解：法1：因为偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称， 所以f (2+x )=f (2−x )=f (x −2)， 即f (x +4)=f (x )，则f (−1)=f (−1+4)=f (3)=3，法2：因为函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称， 所以f (1)=f (3)=3， 因为f (x )是偶函数， 所以f (−1)=f (1)=3， 故答案为：3．根据函数奇偶性和对称性的性质，得到f (x +4)=f (x )，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和对称性的性质得到周期性f (x +4)=f (x )是解决本题的关键，比较基础．15. 函数f (x )=lgx 2+1|x |(x ≠0,x ∈R )有如下命题：(1)函数y =f (x )图象关于y 轴对称．(2)当x >0时，f (x )是增函数，x <0时，f (x )是减函数． (3)函数f (x )的最小值是lg2．(4)f(x)无最大值，也无最小值．其中正确命题的序号是______．【答案】(1)(3)【解析】解：(1)函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，又满足f(−x)=f(x)，∴函数y=f(x)的图象关于y轴对称，(1)正确．(2)x>0时，f(x)=lg(x+1x )，令t=x+1x(x>0)，在(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数，(2)不正确．(3)∵t=x+1x≥2，又f(x)是偶函数，∴函数f(x)的最小值是lg2，(3)正确．(4)由(3)知，(4)不正确．故答案为：(1)(3)．(1)判断函数是否为偶函数即可．(2)将复合函数转化为两个基本函数，令t=x+1x(x>0)，易知在(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数．(3)由t=x+1x≥2(x>0)及偶函数性质可知(3)正确．(4)由(3)可作出判断．本题通过多个命题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心．16. 已知命题P：1x−x−2>0，则￢P对应的x的集合为______．【答案】[−1,2]【解析】解：由1x−x−2>0得x2−x−2>0，解得x>2或x<−1，即P：x>2或x<−1，∴￢P：−1≤x≤2，故答案为：[−1,2]．根据不等式的解法先求出命题P，然后即可求出命题的否定．本题主要考查不等式的解法，以及命题的否定，本题学生容易出错在利用￢P：1x2−x−2≤0来直接求解．17. 已知函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2,+∞)上为增函数，则a的取值范围是______．【答案】{a|a>12}【解析】解：∵函数f(x)=ax+1x+2=a+1−2ax+2，结合复合函数的增减性，再根据f(x)在(−2,+∞)为增函数，可得g(x)=1−2ax+2在(−2,+∞)为增函数，∴1−2a<0，解得a>12，故答案为：{a|a>12}.把函数f(x)解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g(x)的和的形式，由函数g(x)在(−2,+∞)为增函数得出1−2a<0，从而得到实数a的取值范围．本题考查利用函数的单调性求参数的范围，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共65分）18. 已知p：x2−4x−5≤0，q：|x−3|<a(a>0)．(1)求p对应不等式的解集；(2)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围．【答案】解：(1)∵x2−4x−5≤0，∴(x+1)(x−5)≤0，即−1≤x≤5．即p对应不等式的解集A={x|−1≤x≤5}；(2)由|x−3|<a(a>0)，得3−a<x<3+a，记集合B={x|3−a<x<3+a}，若p是q的充分不必要条件，则A⊊B，即3−a<−1a+3>5，∴a>4a>2，即a>4．∴a的取值范围a>4．【解析】(1)根据一元二次不等式的解法即可求p对应不等式的解集；(2)根据p是q的充分不必要条件的定义，即可求a的取值范围．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式以及绝对值不等式的解法是解决本题的关键．19. 已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1,+∞)，(1)当a=12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1,+∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为f(x)=x+12x+2，f(x)在[1,+∞)上为增函数，所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=72.…(6分)(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0，在[1,+∞)上恒成立．即a>−(x+1)2+1在[1,+∞)上恒成立．令g(x)=−(x+1)2+1，则g(x)在[1,+∞)上递减，当x=1时，g(x)max=−3，所以a>−3，即实数a的取值范围是(−3,+∞).…(6分)【解析】(1)a=12时，函数为f(x)=x+12x+2，f在[1,+∞)上为增函数，故可求得函数f(x)的最小值(2)问题等价于f(x)=x2+2x+a>0，在[1,+∞)上恒成立，利用分类参数法，通过求函数的最值，从而可确定a的取值范围本题以函数为载体，考查对勾函数门课程二次函数的最值，考查恒成立问题的处理，注意解题策略．20. 已知曲线C 1： y =3sin tx =8cos t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=7cos θ−2sin θ．(Ⅰ)将曲线C 1的参数方程化为普通方程，将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)设P 为曲线C 1上的点，点Q 的极坐标为(4 2,3π4)，求PQ 中点M 到曲线C 2上的点的距离的最小值． 【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1： y =3sin t x =8cos t(t 为参数)，消去参数可得：x 264+y29=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=7cos θ−2sin θ.化为ρcos θ−2ρsin θ=7，它的普通方程为：x −2y −7=0． (Ⅱ)设P 为曲线C 1上的点，点Q 的极坐标为(4 3π4)，Q 的直角坐标为：(−4,4)，设P (8cos t ,3sin t )，故M (−2+4cos t ,2+32sin t )，PQ 中点M 到曲线C 2上的点的距离d = 5|4cos t−3sin t−13|5=5|5sin (t +β)−13|5(其中tan β=−43)，当sin t =−35，cos t =45时，PQ 中点M 到曲线C 2上的点的距离最小值为：8 55．【解析】(Ⅰ)消去参数t ，可得曲线C 1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)设出Q ，求出M ，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．21. 已知函数f (x )=4x −a 2是奇函数．(Ⅰ)求实数a 的值；(Ⅱ)用定义证明函数f (x )在R 上的单调性；(Ⅲ)若对任意的x ∈R ，不等式f (x 2−x )+f (2x 2−k )>0恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)∵函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数， ∴f (0)=0，解得a =1此时f (x )=2x −2−x ，满足f (−x )=−f (x )，即f (x )是奇函数． ∴a =1. …(4分)(Ⅱ) 任取x 1<x 2，则2x 1<2x 2，2−x 1>2−x 2，于是f (x 1)−f (x 2)=(2x 1−2−x 1)−(2x 2−2−x 2)=2x 1−2x 2−(2−x 1−2−x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，故函数f (x )在R 上是增函数.…(8分)(Ⅲ)不等式f (x 2−x )+f (2x 2−k )>0可化为：f (x 2−x )>−f (2x 2−k )=f (−2x 2+k ) 又由f (x )在R 上是增函数， 得x 2−x >−2x 2+k ，即k <3x 2−x 对任意的x ∈R 恒成立 ∵当x =16时，3x 2−取最小值−112， ∴k <−112.…(12分)【解析】(Ⅰ)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，故f (0)=0，解得a 值； (Ⅱ) 任取x 1<x 2，作差判断f (x 1)与f (x 2)的大小，根据函数单调性的定义，可得函数f (x )在R 上的单调性；(Ⅲ)若对任意的x ∈R ，不等式f (x 2−x )+f (2x 2−k )>0恒成立，本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．22. 已知函数f (x )=1+|x |−x 2(−2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数；(2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【答案】解：(1)函数f (x )=1+|x |−x 2= 1,x ∈[0,2)1−x ,x∈(−2,0),(2)函数的图象如图：．(3)函数值域为：[1,3)．【解析】(1)取得绝对值，即可求出函数的解析式． (2)画出函数的图象即可．(3)利用函数的图象，写出函数的值域．本题考查分段函数的应用，函数的图象的画法，值域的求法，考查计算能力．23. 已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3)(1)若f (1)=1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 【答案】解：(1)∵f (x )=log 4(ax 2+2x +3)且f (1)=1，∴log 4(a ⋅12+2×1+3)=1⇒a +5=4⇒a =−1可得函数f (x )=log 4(−x 2+2x +3) ∵真数为−x 2+2x +3>0⇒−1<x <3 ∴函数定义域为(−1,3)令t =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4可得：当x ∈(−1,1)时，t 为关于x 的增函数； 当x ∈(1,3)时，t 为关于x 的减函数． ∵底数为4>1∴函数f (x )=log 4(−x 2+2x +3)的单调增区间为(−1,1)，单调减区间为(1,3) (2)设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，由于底数为4>1，可得真数t =ax 2+2x +3≥1恒成立， 且真数t 的最小值恰好是1，即a 为正数，且当x =−22a =−1a 时，t 值为1．∴ a >0a ( −1)2+2(−1)+3 =1 ⇒ a >0−1+2 =0⇒a =12因此存在实数a =12，使f (x )的最小值为0．【解析】(1)根据f (1)=1代入函数表达式，解出a =−1，再代入原函数得f (x )=log 4(−x 2+2x +3)，求出函数的定义域后，讨论真数对应的二次函数在函数定义域内的单调性，即可得函数f (x )的单调区间； (2)先假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，根据函数表达式可得真数t =ax 2+2x +3≥1恒成立，且真数t 的最小值恰好是1，再结合二次函数t =ax 2+2x +3的性质，可列出式子： a >0f (−1a) =0，由此解出a =12，从而得到存在a 的值，使f (x )的最小值为0．本题借助于一个对数型函数，求单调性与最值的问题，着重考查了函数的单调性与值域和二次函数的图象与性质等知识点，属于中档题．24. 已知函数f (x )=12ax 2−(2a +1)x +2ln x (a ∈R )．(Ⅰ)若曲线y =f (x )在x =1和x =3处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求f (x )的单调区间； (Ⅲ)设g (x )=x 2−2x ，若对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ)∵函数f (x )=12ax 2−(2a +1)x +2ln x (a ∈R )， ∴f′(x )=ax −(2a +1)+2x (x >0)．∵曲线y =f (x )在x =1和x =3处的切线互相平行，， 即a −(2a +1)+2=3a −(2a +1)+23， 解得a =23． (Ⅱ)f′(x )=(ax −1)(x−2)x(x >0)．①当a ≤0时，x >0，ax −1<0，在区间(0,2)上，0'/>； 在区间(2,+∞)上， 故f (x )的单调递增区间是(0,2)， 单调递减区间是(2,+∞)． ②当0<a <12时，1a >2， 在区间(0,2)和(1a ,+∞)上， 0'/>；在区间(2,1a )上，故f (x )的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞)，单调递减区间是(2,1a ) ③当a =12时，f′(x )=(x−2)22x，故f (x )的单调递增区间是(0,+∞)．④当a >12时，0<1a <2，在区间(0,1a )和(2,+∞)上，0'/>；在区间(1a ,2)上，故f (x )的单调递增区间是(0,1a )和(2,+∞)，单调递减区间是(1a ,2)． (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有f (x )max <g (x )max ．由已知，g (x )max =0，由(Ⅱ)可知， ①当a ≤12时，f (x )在(0,2]上单调递增，故f (x )max =f (2)=2a −2(2a +1)+2ln2=−2a −2+2ln2， 所以，−2a −2+2ln2<0，解得a >ln2−1， 故ln2−1<a ≤12．②当a >12时，f (x )在(0,1a ]上单调递增， 在[1a ,2]上单调递减，故f (x )max =f (1a )=−2−12a −2ln a ． 由a >12可知ln a >ln 12>ln 1e =−1， 2ln a >−2，−2ln a <2，所以，−2−2ln a <0，f (x )max <0， 综上所述，a >ln2−1．【解析】(Ⅰ)由函数f (x )=12ax 2−(2a +1)x +2ln x (a ∈R )，知f′(x )=ax −(2a +1)+2x (x >0).由曲线y =f (x )在x =1和x =3处的切线互相平行，能求出a 的值． (Ⅱ)f′(x )=(ax −1)(x−2)x(x >0).根据a 的取值范围进行分类讨论能求出f (x )的单调区间．(Ⅲ)对任意x 1∈(0,2]，均存在x 2∈(0,2]，使得f (x 1)<g (x 2)，等价于在(0,2]上有f (x )max <g (x )max .由此能求出a 的取值范围．本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综合性强，难度大，是高考的重点.易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。
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宁县二中2019届高考复习第一次月考试卷（文科数学）姓名：___________班级：___________总分：___________一、 选择题（5*12=60）1.设集合{}{}21,2,4,40A B x x x m ==-+=,若{}1A B ⋂=,则 B = ( )A. {}1,3-B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,52.设集合{}|22A x x =-≤≤,集合{}2230B x x x =-->,则A B ⋃= ( )A. (,1)(3,)-∞-⋃+∞B. (]1,2-C. [2,1)--D. (](),23,-∞-⋃+∞ 3.已知全集U R =,集合{|21}x M x =>,集合2{|log 1}N x x =<,则下列结论中成立的是( )A. M N M ⋂=B. M N N ⋃=C. ()U M C N ⋂=φD. ()U C M N ⋂=φ 4.有下列四个命题:①“若0x y +=,则,x y 互为相反数”的逆命题;②“若两个三角形全等,则两个三角形的面积相等”的否命题; ③“若1q ≤,则220x x q ++=有实根”的逆否命题;④“若ABC ∆不是等边三角形,则ABC ∆的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为( )A.①②B.②③C.①③D.③④5.命题:p x R ∃∈使sin x =;命题:q x R ∀∈都有210x x ++>.则下列结论正确的是( )A.命题p q ∧是真命题B.命题p q ∧⌝是真命题C.命题p q ⌝∧是真命题D.命题p q ⌝∧⌝是假命题 6.若p q ∧是假命题,则( )A. p 是真命题, q 是假命题B. ","p q 均为假命题C. ","p q 至少有一个是假命题D. ","p q 至少有一个是真命题7.设命题2:230p x x +-<,:51q x -≤<,则命题p 成立是命题q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.式子25123lg lg lg +-= ( )A.2B.1C.0D.﹣2 9.下列函数既是偶函数又是幂函数的是( ) A. y x = B. 23y x = C. 12y x = D. y x =10.函数1()f x x x=-的图象关于( ) A. y 轴对称 B.直线y x =-对称 C.坐标原点对称 D.直线y x =对称11.已知132a -=,21log 3b =,121log 3c =,则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. c a b >>12.定义在R 上的函数f ()x 满足()(),(2)(2)f x f x f x f x -=--=+,且(1,0)x ∈-时,()125x f x =+ ,则2(log 20)f = ( )A.-1B. 45-C. 1D. 45二、填空题（5*4=20）13.命题“x R ∀∈,0x e >”的否定是__________.14.若命题“x R ∃∈,使得22390x ax -+<成立”为假命题,则实数a 的取值范围是 __________15.函数2log y x =的定义域是[)1,64,则值域是__________16.给出下列函数①;②;③;④;⑤.其中满足条件的函数的序号有__________三、解答题（要有必要的步骤过程）17. （10分）已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[]1,3有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.18. （12分）已知2:450p x x --≤,:3(0)q x a a -<>.若p 是q 的充分不必要条件,求a的取值范围19.（12分）已知集合1211|216,|log ,,3248x A x B y y x x -⎧⎫⎧⎫⎡⎤=≤≤==∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭. （1）.求集合A B ⋂（2）.若{}()|121,C x m x m C A B =+≤≤-⊆⋂,求实数M 的取值范围.20. （12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(Ⅰ)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．21.（12分）设a R ∈,命题2:,10q x R x ax ∀∈++>,命题p:存在x 属于[1,2],满足(1)10a x -->（1）.若命题p q ∧是真命题,求a 的范围（2）. ()p q ⌝∧为假, ()p q ⌝∨为真,求a 的取值范围22. （12分）设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．宁县二中2019届高考复习第一次月考答案选择题填空题13.0x R ∃∈,00xe ≤ 14. a -≤≤ 15. [0，6) 16.④⑤解答题（要有必要的步骤过程）17. （10分）已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[]1,3有最大值5和最小值2,求a 、b 的值.答案：解:对称轴1?x =,[]1,3是f ()x 的递增区间,……………………………….2分max ()(3)5,f x f ==即335a b -+=………………………………………..4分 min ()(1)2f x f ==,即32a b --+= ………………………………………….6分 ∴321a b a b -=⎧⎨--=-⎩…………………………………………………………….8分得31,.44a b ==…………………………………………………………….10分 18. （12分）已知2:450p x x --≤,:3(0)q x a a -<>.若p 是q 的充分不必要条件,求a的取值范围 答案：4a >解析：设{}{}245015A x x x x x =--≤=-≤≤,…………………………………….3分{}33B x a x a =-+<<+…………………………………………………………6分因为p 是q 的充分不必要条件,从而有A 并B .故3135a a -+<-⎧⎨+<⎩,……………………10分解得4a >……………………………………………………………………….12分19.（12分）已知集合1211|216,|log ,,3248x A x B y y x x -⎧⎫⎧⎫⎡⎤=≤≤==∈⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭. （1）.求集合A B ⋂（2）.若{}()|121,C x m x m C A B =+≤≤-⊆⋂,求实数M 的取值范围.答案：（1）. [][]1,5,3,5A B =-=-……………………………………………4分{}|1 5 A B x x ⋂=-≤≤………………………………………………………6分（2）.①若C ϕ=,则121m m +>-,……………………………………………….7分 ∴2m <………………………………………………………………………8分②若C ϕ≠,则12111215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩…………………………………………………10分∴23m ≤≤,…………………………………………………………………………11分 综上: 3m ≤…………………………………………………………………12分20. （12分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(Ⅰ)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 【解】 (Ⅰ)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．…….1分 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ……………………………………………….3分 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．……………………..4分 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．………………………………6分 (Ⅱ)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3………………………………………8分 ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋3…………………………………………………….10分当α＝－π12时，S 取得最大值2＋3……………………………………………..11分所以△OAB 面积的最大值为2＋3………………………………………………12. 分21.（12分）设a R ∈,命题2:,10q x R x ax ∀∈++>,命题p:存在x 属于[1,2],满足(1)10a x -->（1）.若命题p q ∧是真命题,求a 的范围（2）. ()p q ⌝∧为假, ()p q ⌝∨为真,求a 的取值范围 22.答案：(1). p 真,则102(1)10a a ->⎧⎨-->⎩或101(1)10a a -<⎧⎨⋅-->⎩得32a >;…………….3分q 真,则240a -<,得22?a -<<…………………………………………………5分 ∴p q ∧真,322a <<………………………………………………………….6分 (2).由()p q ⌝∧为假, ()p q ⌝∨为真,p q ⇒同时为假或同时为真,若p 假q 假,则……………………………………………………….8分若p 真q 真,则33,22222a a a ⎧<⎪⇒<<⎨⎪-<<⎩………………………………………10分 综上2a ≤-或322a <<………………………………………………………..12分 22. （12分）设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．【解】 ∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1………1分 (1)∵f (1)＞0，∴a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，f (x )＝a x －a －x ，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x 在R 上均为增函数，∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，………………………………………………...5分 ∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．…………………………………………….6分 (2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32.即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)．…………………………………..7分∴g (x )＝22x ＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t ＝2x －2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)， 即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，⎝⎛⎭⎫t ≥32……………………………………………..9分 ∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)，……………………………….11分 当x ＝log 2(1＋2)时，g (x ) 有最小值－2……………………………………………12分。