合水一中第二讲(四)渐开线与摆线
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线课前导引素材 新人教A版选修4-4
四 渐开线与摆线
课前导引
问题导入
给出某渐开线的参数方程⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取2π时
,对应的曲线上的点的坐标是_______.
解析:与渐开线的参数方程对照,可知r=3,即基圆半径是3,然后把φ=2
π代入y,可得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,23y x π
故基圆半径是3,坐标为(2
3π,3). 上述问题即是生产实践和生活中一类常见曲线的方程.本节讨论圆的渐开线与摆线的参数方程.
知识预览
1.圆的摆线的参数方程是⎩
⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (t a y t t a x (φ是参数). 2.圆的渐开线的参数方程是
⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x (t 是参数). 3.圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.
4.我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如图).。
《渐开线与摆线》课件
渐开线的数学表达式和图形表示
数学表达式
r = aθ
图形表示
以极坐标系表示的渐开线图形呈螺旋状，随着角度的 增加，半径呈线性增长。
渐开线的应用领域
机械设计
渐开线广泛用于设计高精度的歯轮副，提供平稳传力和 低噪音的性能。
核反应堆设计
渐开线加速器作为核反应堆中的控制元件，可确保精确 的核燃料供应和快速的停机。
《渐开线与摆线》PPT课 件
探索渐开线和摆线的奇妙之旅。从历史背景到应用领域，深入了解定义、特 点、数学表达和图形表示，以及其在机械设计、钟表制造和数学研究中的重 要性。
什么是渐开线和摆线？
渐开线
一种曲线，其半径在沿着曲线固定方向的移动中逐 渐增大。
摆线
由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转而形成的 曲线。
摆线的定义和特点
1 定义
摆线是由一个定点绕着一条固定直线作匀速旋转，其运动轨迹所形成的曲线。
2 特点
摆线为闭合பைடு நூலகம்线，其对称性和周期性使其特别适于制造精确的时钟和钟表机芯。
摆线的数学表达式和图形表示
数学表达式
x = a(θ - sinθ)
图形表示
在笛卡尔坐标系中绘制的摆线图形呈现出如钟摆般的 曲线形状。
摆线的应用领域
钟表制造
摆线作为钟表机芯的基本曲线形状，使钟表能够精确计 时并保持稳定运行。
机械工程
摆线可用于制造凸轮机构，实现复杂运动轨迹和精确的 控制功能。
渐开线与摆线的区别和联系
1
区别
渐开线是螺旋状的曲线，摆线是钟摆状的闭合曲线。
2
联系
两者都是由圆周运动产生的曲线，具有重要的数学性质和广泛的应用。
渐开线与摆线的三维建模
【精选】_高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
-8-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
33((csions������������-���+���c���o���ss���i���n)���,���),所以基圆半径
D.
������ ������
= =
22((1������--scions������������)),(φ
为参数)
答案：C
-6-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
-4-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做1 半径为2的圆的渐开线的参数方程为( )
A.
������ ������
= =
22((���1���--scions������������)),(θ 为参数)
所以 r=21������π(k∈Z).又根据实际情况可知 r 是圆的半径,故 r>0.所
以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆线的参数方程是
������ ������
= =
1 2������π
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线学案(含解析)4-4
四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线,又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1）圆的渐开线方程：错误!（φ为参数）．(2)摆线的参数方程：错误!（φ为参数)．求圆的渐开线的参数方程求半径为4的圆的渐开线的参数方程．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y）,绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧错误!的长和线段AM的长相等,记错误!和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则｜AM｜＝错误!＝4θ。
作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得错误!＝（4cos θ，4sin θ）．由几何知识知∠MAB＝θ，错误!＝（4θsin θ，－4θcos θ），得错误!＝错误!＋错误!＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ）＝（4（cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又错误!＝(x,y）,因此有错误!(θ是参数）．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤（1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．（2）取定点运动中产生的某一角度为参数．(3）用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到错误!的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线错误!(t是参数)上与t＝错误!对应的点的直角坐标为（)A.错误!B。
错误!C。
错误!D。
错误!答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5。
高中数学教案 选修4-4教案 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学
难点
圆和摆线的渐开线参数1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（ 为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
三、分层练习
1、当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线 与直线 的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线目标导引素材 新人教A版选修44
四渐开线与摆线一览众山小三维目标1.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成的原理,加深对渐开线概念和含义的理解,感受其中的变化规律,培养科学探究精神.2.体会研究渐开线问题也是数学的一个重要的任务,感受数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础.3.通过实例体会摆线在生产和实际中有着广泛的应用,感受这些曲线的美,体验用数学知识解释生活问题的乐趣.学法指导由于渐开线和摆线的图形比较复杂,其参数方程也不易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反之,根据图形也不容易得到其相应的参数方程.因此,学习本节内容时要注重理论与实际的联系.1.成立兴趣小组,合作研究摆线的性质,收集摆线应用的实例.由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,因此可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来研究.此外,摆线还在美术设计中被广泛应用,因此可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来观察渐开线和摆线.2.可以在网上搜索相关资料,学习渐开线和摆线问题的发展过程及其相关的性质.此外,可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来观察渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些几何画板等软件,观察渐开线和摆线图形的形成过程.同时也可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线等.诱学导入材料：1599年,著名的物理学家伽利略(1564年～1642年,意大利人)曾经试图用天平来量摆线与直线AB之间所围成弓形的面积.他用同样的材料做了摆线弓形及圆盘.他发现一个摆线弓形和三个圆盘在天平上大约能够平衡.所以弓形面积大约是圆盘的三倍大.虽然这个答案是正确的,Galileo总以为两者之比应该是无理数,因此猜测是π倍.正确的答案直到1634年才由法国数学家Roberval(1602年-1675年)用理论性的计算求得.Roberval于1628年来到巴黎,成为Mersenne(1588年-1648年)讨论会的一员.那时候没有学术性的刊物,也没有国际学术会议.Mersenne却一个人挑起了穿针引线的工作.他和欧洲主要的科学家都有信件来往,把一个人的想法与进展转知给另一个人,又一星期两次邀请当地科学家聚在家里谈论共有的兴趣.Roberval就是在这种集会中从Mersenne得知了摆线这样的曲线.摆线一拱的面积,是Roberval在1634年最先求得的.他在1638年还找到摆线之切线的作法.约在同一时期,笛卡儿(1596年-1650年,法国人)与费玛(P.deFermat,1601年-1655年,法国人)也找到切线的作法.另外,Roberval也讨论过摆线的一拱,绕其底线旋转所得旋转体的体积.摆线在力学方面的性质,等时性系Huygens所发现的,而最速降性质则是贝努力(J.Bernoulli,1654年-1705年,瑞士人)在1690年发现的.问题：根据材料分析,现代摆线的定义是怎么演变过来的?根据文中提到的数学家对待科学发现的态度,讨论我们该在学习中具有什么样的探索精神?导入：通过阅读材料,借助模型或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线）,了解平摆线和渐开线的生成过程.体会渐开线和摆线在生产和实际中有广泛的应用,正确理解它们的性质就非常重要,建立曲线的方程也是把几何问题转化为代数问题的前提.所以建立渐开线和摆线的方程就非常重要和关键.。
高中数学 第二讲 参数方程 四 渐开线与摆线导学案 新
四渐开线与摆线庖丁巧解牛知识·巧学一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1).图2-4-1也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程.在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题.深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质.二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线.市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2).图2-4-2摆线在生产和实际中有着广泛的应用.最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门,少齿差行星减速器,摆线转子油泵,旋转活塞发动机的缸体曲线,以及多边形切削等等,都与摆线是分不开的.其实沿着倒放的摆线弧不仅速度最快,而且有一个奇怪的性质,如果在这条曲线不同的高度放一个小球使其沿曲线下滑,你会惊奇地发现他们同时到达了底端,这就是摆线的等时性.这个性质是物理学家惠更斯发现的,并用这个原理巧妙地设计出了摆线时钟.摆线这个名词正是由于这种曲线被用来改进钟摆而得名.摆线也有很多种类型,我们课本中给出的只是其中一种类型,它是由圆上的一个定点在一条定直线上的运动轨迹,也叫平摆线或者旋轮线.除此之外还有很多种摆线.知识拓展 比如,当一个小圆在一个大圆的外部沿着大圆作不滑的滚动时,小圆圆周上的点所描绘的旋轮线称为外摆线；小圆内部与外部的点所描绘的旋轮线称为外次摆线.它们都是很优美的图形,在很多绘图和设计中经常用到.圆的外摆线根据两个圆的半径关系也有很多种类型,在设计中有不同的用处.三、圆的渐开线的参数方程我们以基圆圆心O 为原点,一条直径所在的直线为x 轴建立直角坐标系,根据动点满足的条件和向量的有关性质,可以得到圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (φ为参数).根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r 是指基圆的半径,参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角.方法归纳根据圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (φ为参数)消去参数φ,可以得到圆的渐开线的普通方程：xcos(2221r y x r -+)+ysin(2221r y x r-+)=r. 四、圆的摆线的参数方程根据摆线上任意一点的运动轨迹,取定直线为x 轴,动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系,根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数). 根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r 是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小. 用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.根据方程画出曲线十分费时；而利用参数方程把两个变量x 、y 间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难.而对于参数方程,我们可以根据参数的取值求出坐标的关系,相比之下比普通方程更为直观.所以,在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程.问题·探究问题1 我们知道,在直线的参数方程中,参数t 具有相应的几何意义,根据其几何意义可以给我们研究问题带来很多方便.那么,圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ是否也具有一定的几何意义呢?探究:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母r 是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角.如图2-4-3,其中的∠AOB 即是角φ.显然点M 由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r 是指定圆的半径,它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图2-4-4,根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况.图2-4-3 图2-4-4问题 2 对渐开线和摆线的理解是本节学习的关键,要理解其形成过程和图象的特点及在实际中的应用,还应该从多方面收集信息.那么,我们可以从哪些方面来加强对渐开线和摆线的理解?探究:由于渐开线和摆线的图形比较复杂,对应的参数方程也不容易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反过来,根据图形也不容易得到相应的参数方程.因此,要理解渐开线和摆线的有关性质可以结合实际从以下几方面进行考虑：首先,由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,我们可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来加深对概念和性质的理解.摆线还在美术设计中被广泛应用,我们可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来理解数学中的美感.其次,根据现代信息技术的发展的特点,可以在网上搜索相关资料,通过这些资料来了解渐开线和摆线问题的发展过程,和同学讨论一些相关的性质.另外,我们可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来理解渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些像几何画板等类似软件来描述渐开线和摆线图形的形成过程,认识其有关的性质.典题·热题例1给出某渐开线的参数方程⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取2π时对应的曲线上的点的坐标是__________.思路解析：本题考查对渐开线参数方程的理解.根据一般情况下基圆半径为r 的渐开线的参数方程⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (φ为参数)进行对照可知,这里的r=3,即基圆半径是3.然后把φ=2π分别代入x 和y,可得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23y x π即得对应的点的坐标.答案：3 (23π,3) 误区警示 本题易错的解法是:把摆线的参数方程当作渐开线的参数方程,把相应的值代入摆线方程,或者把参数当成横坐标x 的值,令x=2π再求出y 值. 例2已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数)可知,只需求出其中的r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定,因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解：令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=2k π(k∈Z ).代入x=r(φ-sin φ)可得x=r(2k π-sin2k π)=1.所以r=πk 21.又根据实际情况可知r 是圆的半径,故r>0.所以,应有k>0且k∈Z ,即k∈N *. 所以,所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k∈N *).误区警示 本题易错点是误把点(1,0)中的1或0当成φ的值,代入参数方程中求出x 和y 的值,再计算r 的值；或者在求出cos φ=1时,直接得出φ=0,从而导致答案不全面. 例3给出半径为3的圆,分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.思路分析：首先根据条件建立直角坐标系,对于渐开线可以以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x 轴,对于摆线可以以圆上的某一定点为圆心以那条定直线所在直线为x 轴,建立直角坐标系.圆的渐开线的参数方程和摆线的参数方程由圆的半径唯一确定.解：先求圆的渐开线方程,以圆的圆心为原点,一条半径所在直线为x 轴,建立直角坐标系,又根据条件圆的半径是3,所以,渐开线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数)；再求圆的摆线方程,以圆上的某一定点为圆心,以定直线所在直线为x 轴,建立直角坐标系.又根据条件圆的半径是3,所以摆线的参数方程是⎩⎨⎧-=-=ϕϕϕcos 33,sin 33y x (φ为参数). 例4已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π,求A 、B 两点的距离. 思路分析：首先根据圆的直径可知半径为1,写出渐开线的标准参数方程,再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标,然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解：根据条件可知圆的半径是1,所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数),分别把φ=3π和φ=2π代入,可得A 、B 两点的坐标分别为A(633,633ππ-+),B(2π,1). 那么,根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB|=,633366)3613(61)1633()2633(222++--=--+-+πππππ即点A 、B 之间的距离为,633366)3613(612++--ππ. 深化升华 本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程,还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程,根据参数方程能写出某对应参数的坐标,从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查,要注意前后知识的联系,特别是两点之间的距离公式也要熟记.。
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教a选
探究一
探究二
思维辨析
变式训练 2
(φ 为参数).
根据参数方程可以看出该渐开线的基圆的半径是
,当
参数
φ
取π时对应的曲线上的点的坐标是
2
.
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆
半径为
r
的渐开线的参数方程
������ ������
= =
������������((csions������������-���+���c���o���ss���in���)������),(φ
为参数)可
求 r 的值,然后把 φ=π2代入方程,即得对应的点的坐标.
探究一
探究二
思维辨析
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
������ ������
= =
33((csions������������-���+���c���o���ss���i���n)���,���),所以基圆半径
r=3.
把 φ=π2代入方程,可得
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
-
√2π 8
【例2】 已知生成摆线的圆的直径为80 mm,则摆线的参数方程
为
.
分析：直接代入摆线的参数方程即可.
解析：由题意知圆的半径为 40 mm,所以所求的摆线的参数方程
为
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的
曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.