渐开线与摆线ppt
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高中新课程数学选修《 渐开线与摆线》课件2(与“渐开线”有关文档共9张)
设 在基机圆械直的 工线半 业径 中上为 ，的广r，泛绳一地子个使外用端位齿M轮置的传坐为递标动为原力（点。x，，y）建。 立直角坐标系。
设圆的半径为r。
y 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
显然，点M由角 唯一确定。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
第1页，共9页。
1、渐开线
第2页，共9页。
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线 段 O A 的 长 等 于 M A 的 长 ， 即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
第7页，共9页。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是 参 数 )。 B
M
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 显然，点M由角 唯一确定。
显然，点M由角 唯一确定。 因此大多数齿轮采用这种齿形。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
O
A
x
渐开线的应用： 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
渐开线与摆线ppt
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
|AM|＝ 0 ＝4θ AM 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知
识，得 OA ＝(4cos θ，4sin θ)，
由几何知识知∠MAB＝θ，
AM ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，
得 OM ＝ OA ＋ AM
5 2 4π －π＋2.
本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几 年的高考题中还未出现过.2012 年惠州模拟以填空题的形式对 圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题． [考题印证]
x＝t－sin t (2012· 惠州模拟)摆线 y＝1－cos t
(0≤t≤2π)与直线 y＝1 的交点的直角坐标为________．
[悟一法] 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角
函数的性质有类似的地方．
[通一类]
x＝cos φ＋φsin φ π 3． φ＝2、 时， 当 π 求出渐开线 上对应的点 A、 y＝sin φ－φcos φ
B，并求出 A、B 间的距离．
x＝cos φ＋φsin φ， π 解：将 φ＝2代入 y＝sin φ－φcos φ，
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
上点的纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
[悟一法] 解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归
结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到 OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲线 的参数方程．
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)(2)
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)
(1)圆的渐开线方程：
．
(2)摆线的参数方程：
x＝rφ－sin φ y＝r1－cos φ
(φ 为参数)
．
[小问题·大思维]
1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角． 2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？ 提示：字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．
因此 OM ＝ OB ＋ BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量 OM ＝(x，y)．
x＝2α－sin 所以 y＝21－cos
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
[研一题] [例2] 求半径为2的圆的摆线的
参数方程．(如图所示，开始时定
点M在原点O处，取圆滚动时转过 的角度α，(以弧度为单位)为参数) [精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答
本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数 据代入即可． 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点
x＝r[θ－sin φ＋θ] 的参数方程为 y＝r[1－cos φ＋θ]
∴点 M
(θ 为参数)
[研一题] [例3] 设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴
相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线
高三数学渐开线与摆线(共8张PPT)
B 所以，摆线的参数方程为：
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
M C 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
动点（笔尖）满足什么几何条件？
O D A 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
Ex
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
思考：P44
在摆线的参数方程中，参数
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
因此大多数齿轮采用这种齿形。 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
4、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线在曲它线与？定直线的两
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
上一个定点的轨迹是什么？
直线上的一个位在置为机原械点，工建立业直角中坐，标系广。 泛地使用齿轮传递动力。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
这而就逐是 渐由圆展的开于渐，渐开那线么开的铅参笔线数会方画齿程出。一行条的曲线齿。 轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
2.4 渐开线与摆线 课件(人教A选修4-4)
返回
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆
叫做 基圆 ．
2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫 旋轮线 ． 返回
[思路点拨]
量知识和三角的有关知识建立等式关系．
返回
[解]
以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M
0
的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
的长相等，记 O A 和
0
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧 A M
2cos t＋tsin t， 2sin t－tcos t
π 上与 t＝ 对应的点直角 4 ( )
坐标为 π π A．(1＋ ，1－ ) 4 4 π π C．(－1－ ，1－ ) 4 4
π π B．(1－ ，1＋ ) 4 4 π π D．(1＋ ，－1－ ) 4 4
答案：A
返回
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
迹方程．
π 解：xM＝r· φ－r· φ－2 cos
＝r(φ－sin φ)， π yM＝r＋r· sin(φ－ ) 2 ＝r(1－cos φ)． 即点 M 的轨迹方程为 x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ.
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用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
渐开线与摆线 课件
解析：令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r>0， 所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，解得 r＝k1π(k∈Z)．
又由实际意义 r>0，所以 r＝k1π(k∈N*)， 所以 k＝1 时，r 取得最大值为1π.此时摆线的参数方程为
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，由圆的半径
唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为 3，欲求 φ＝π2时对应的坐标，只需把 φ
＝π2代入曲线的参数方程可得 x＝32π，y＝3，所以参数 φ 取π2时，对应的曲线上点的坐
标是32π，3.
考点二 摆线
假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的 切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过 φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA 的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M 绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动 地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆 沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M 的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参 数是非常自然的．
位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
(φ 为参数)．
•考点一 渐开线
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步 骤
(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的 坐标； (2)取定运动中产生的某一角度为参数； (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达 式； (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程．
渐开线与摆线 课件
[解] 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量
O M 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意
点 M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为 A，故 OA⊥AM，按渐
开线定义，弧A M 0 的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴 正向所夹的角为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝A M 0 ＝4θ.
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端 系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的 渐开线 ，相应的定圆 叫做 基圆 ． 2．摆线的概念及产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时 圆周上一个 定点 的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线 ．
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)，
BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
因此OM ＝OB＋BM
＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝ ＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步 骤：
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y)． (2)取定运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式． (4)用向量运算得到OM 的坐标表达式，由此得到轨迹曲 线的参数方程．
作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角函数 和向量知识，得
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动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A， ， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB 的长， 展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
M
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
A
渐开线
M
B
上的对应点A,B,并求出A，B的距离.
x (cos sin ) 解：把 , 代入渐开线 ， 2 2 y (sin cos )
3
3 , 1) ， 求得 A、B 两点坐标分别为（ ,1 ）和 ( 2 2
所以根据两点间距离公式可得：
与 AM 的长相等，故点 M1 与点 M′重合， ∴小圆的两段圆弧 AM 1
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
y
C
B
M
A
O
D
x
P44 内摆线（星形线） 4:1
小
结：
1.圆的渐开线，渐开线的参数方程；
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
2. 平摆线、摆线的参数方程.
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是：当 一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 圆周上一个定点的轨迹是什么？
讲授新课
如图，假设 B 为圆心，圆周上的定点为 M， 开始时位于 O 处.圆在直线上滚动时， 点 M 绕圆 心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相 的长，即 OA=r. 切于 A，线段 OA 的长等于 MA 这就是圆周长上的定点 M 在圆 B 沿直线滚动过 程中满足的几何条件.我们把点 M 的轨迹叫做平 摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
一圈半
y
两圈
M
M
M N
2
N
x
一圈
N
半圈
2:1时 一个点的 内摆线
4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O. 设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
与小圆圆弧 AM 相等． 则大圆圆弧 AM 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1， 以切点 A 在劣弧 MB 记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ. 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM 的长为 l2＝2θ×1＝θ，即 l1＝l2， 大圆圆弧 AM 1 2
e1 e2 (cos ， sin ) (sin ， cos ) cos sin sin ( cos ) 0. e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线 思考：
φ
O A
讲授新课
2、渐开线的参数方程 根据动点满足的几何条件:
BM AB
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴， 建立平面直角坐标系(图). 设基圆的半径为r， 绳子外端M的坐标为(x,y). 显然，点M由角惟一确定.
O B y
Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A x
由于向量 e (cos ,sin )是与OB 同方向的单位向量， 1 因而向量e2 (sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。
BM ( x r cos , y r sin ) r (sin , cos )
从而 BM ( x r cos ， y r sin ) ， | BM | r .
取 为参数，则点B的坐标为( r cos ， r sin )，
讲授新课
因此, 摆线的参数方程是
x r ( sin ) ,(是参数) y r (1 cos )
思
考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r (其中 r 是滚动圆的半径).
思考
[2011· 江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直径 为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条 固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁 的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
M O D
B C A E x
设点 M 的坐标为( x， y )取 为参数，根据点M 满足的几何条件 x OD OA DA OA MC r r sin，
所以，摆线的参数方程为：
y DM AC AB CB r r cos .
x r ( sin ) ( 为参数). y r (1 cos )
225 解：根据题意可知，基圆半径为 r ，故参数方程为 2
225 x (cos sin ) 2 y 225 (sin cos ) 2
， （ 为参数） 。
2.当
3
2 , 2
时，求出渐开线
x cos sin , (是参数) y sin cos
所以BM (r )e2 ,即
解得
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
这就是圆的渐开线的参数方程。
讲授新课
圆的渐开线的参数方程 :
x r (cos sin ) (是参数) y r (sin cos )
3 2 | AB | ( ) (1 1)2 2 1 2 ． 2 2
3.有一个半径是a的轮子沿着直线轨道滚动,在轮辐上有一 点M，与轮子中心的距离是b(b<a),求点M的轨迹方程.
y
M
B B C x
O
D
A
４.一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C相内切. 当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点M(开始 时在点A)的轨迹的参数方程.
四、渐开线与摆线
杜贤中
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1. 渐开线
探 究：P40 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一 条曲线.这条曲线的形状 怎样？能否求出它的轨 迹方程？
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1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
渐开线的应用： 在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力. 由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动 平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助 圆的渐开线方程。
思
考：
在探究圆的渐开线的参数方程的过程中用到 “向量e2 (sin ， cos )与向量 BM有相同方向” 这一结论，你能说明这个结论为什么成立吗?
y
摆线在它与定 直线的两个相邻 交点之间的部分 叫做一个拱。
B M
O D
A
C
E
x
我们取定直线为x轴，定点M 滚动在定直线上的 一个位置为原点，建立直角坐标系，
从点M 分别作AB，x 轴的垂线，垂足分别为C，D，
y
设圆的半径为r， 设开始时定点M 在原点， 圆滚动了 角后与x轴相 切于点A，圆心在点B，