渐开线与摆线 课件

(φ 为参数)关于直线 y＝x 对称
的曲线的参数方程为__________________．
x＝r1－cos φ， 8.y＝rφ－sin φ
(φ 为参数)
9．求摆线xy＝ ＝22φ1－－csions
φ， φ，
0≤φ≤2π 与直线 y＝2 的交
点的直角坐标．
C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同， 画出的渐开线形状就不同
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化 为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是 转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关 系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆 的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴 选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( C )
定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 aφ，从而得点 B 的坐标为(aφ，a)，
向量O→B＝(aφ，a)，
向量M→B＝(asin φ，acos φ)，
B→M＝(－asin φ，－acos φ)，
φ－φcos
φ， φ
(φ 为参数)的基圆的圆
心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，
得到的曲线的焦点坐标为__(_6__3_，_0_)_和__(－__6__3_，__0_)___． 8．我们知道关于直线 y＝x 对称的两个函数互为反函数，
则圆的摆线x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情
况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)进行对照，可求 r 的值，
然后把 φ＝2π代入方程，即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ，
22＋
82π， 22－
2π 8
6．如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线 AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG， GH…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则 曲线AEFGH长是( C )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
7．渐开线xy＝ ＝66csions
又∵OM =(x，y)，
因此有∴
x
y
acos asin
sin cos
，(φ
是参数)
这就是圆的渐开线的参数方程．
利用向量来建立摆线的参数方程．
解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时
定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位)
为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，
位)，则|AM| AMO==at. 作 AB 垂直于 x 轴，过点 M 作 AB 的垂线．
由三角及向量知识，得
OA=(acos φ，asin φ)．
由几何知识，知∠MAB=φ， AM =(atsin φ，-atcos φ)，
得OM =OA + AM =(acos φ+aφsin φ，asin φ-aφcos φ) =(a(cos φ+φsin φ)，a(sin φ-φcos φ))．
5．已知圆的渐开线的参数方程是xy＝＝csions
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数
φ＝π4时，对应的曲线上的点的坐标为________________．
x＝cos φ＋φsin φ， 4.y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数)
5．2
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
3．已知一个圆的参数方程为xy＝ ＝33csions
φ， φ
(φ 为参数)，
那么圆的摆线方程中与参数 φ＝2π对应的点 A 与点 B32π，2之
间的距离为( C )
A.2π－1
B. 2
C. 10
D. 32π－1
4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
y＝3sin φ－φcos φ，
所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝π2
代入方程，可得 x＝3cos π2＋π2sin π2， y＝3sin π2－π2cos π2，
即x＝32π， y＝3.
所以当参数 φ 取π2时，对应的曲线上的点的坐标是32π，3. 答案：3 32π，3
按照给出的渐开线的直观定义，用初等方法推
设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为
x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
(φ 为参数)．
给出圆的渐开线的参数方程
x
y
3cos 3sin
3sin 3cos
，(
为参数)，根据参数方程可以看
出，该渐开线的基圆半径是________，当参数 取 π 时，
2
对应的曲线上的点的坐标是________．
＝(aφ－asin φ，a－acos φ)
＝(a(φ－sin φ)，a(1－cos φ))．
动点 M 的坐标为(x，y)，向量O→M＝(x，y)，
∴xy＝＝aaφ1－－csoins
φ， φ
(φ 是参数)．
这就是摆线的参数方程．当点 M 的位置与上图不同时，
可导出同样的表达式．
1．下列关于渐开线和摆线的叙述中，正确的是( C ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不 一样，所以才能得到不同的图形
导圆的渐开线的参数方程．
解析：设基圆的半径为 a，以圆心为原点 O，绳端点的 初始位置为 M0，向量OM 0 的方向为 x 轴正方向，建立坐标 系(如图所示)．设渐开线上的任意点 M(x，y)，绳拉直时和圆 的切点为 A，故 OA⊥AM.按渐开线定义，弧 AM0 的长和线段
AM 的长相等，记OA和 x 轴正向所成的角为(以弧度为单
渐开线与摆线
1．以基圆圆心 O 为原点、直线 OA 为 x 轴，建立平面直 角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
(φ 为参数)．（其中 r 为基的半径）
2．在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 x 轴，定点
M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，