渐开线与摆线 课件

令 r(1－cosφ)＝0 可得 cosφ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin2kπ)＝1. 所以 r＝21kπ. 又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r＞0. 所以，应有 k＞0 且 k∈Z，即 k∈N＋.
所以ห้องสมุดไป่ตู้所求摆线的参数方程是yx＝＝2211kkππφ1－－csionsφφ，
[思路点拨]
[解题过程] 令 y＝0，可得 a(1－cosφ)＝0， 由于 a＞0，所以 cosφ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝a(φ－sinφ)，得 x＝a(2kπ－sin2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，所以 a(2kπ－sin2kπ)＝2，解得 a＝k1π(k∈Z)． 又由实际可知 a＞0，所以 a＝k1π(k∈N＋)， 易知当 k＝1 时，a 取最大值π1代入，
除了我们已经了解的平摆线、内外摆线，还有各种各样的 摆线，它们已经被应用在图案设计、摆线齿轮、少齿差行星减 速器、摆线转子油泵、旋转活塞发动机的缸体曲线以及多边形 切削等方面．如果你有兴趣，可以查找相关资料，进一步了解 摆线的知识．
2．渐开线和摆线参数方程中参数的几何意义
根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字 母a是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定 点P相对于圆心的张角．
x＝cosφ＋φsinφ， y＝sinφ－φcosφ
(φ 为参数)
当 φ＝π2时，yx＝＝scionsπ2π2－＋π2π2csoinsπ22π＝＝1π2，，
∴Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， ∴B－32π，－1.∴|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12＝2 π2＋1.
(φ 为
参数)(其中 k∈N＋)．
圆的渐开线参数方程
已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应
的曲线上两点 A，B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间
的距离． [思路点拨]
渐开线的参数方程 ―代 参―入 数→ A，B两点的坐标
―距 公―离 式→ A，B两点的距离
[解题过程] 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
(φ 是参数)
2．摆线及其参数方程 (1)当一个圆沿着一条定直线__无__滑__动__地_滚动时，圆周上的 _定__点__运__动__的轨迹叫做_半__摆__线__，简称_摆__线__，又叫做_旋__轮__线__． (2)设圆的半径为 r，圆滚动的角为 φ，那么摆线的参数方 程是xy＝ ＝rrφ1－－csionsφφ (φ 为参数)
得圆的摆线的参数方程xy＝＝π1π1φ1－－csionsφφ，
(φ 为参数)
[规律方法] 根据圆的摆线的参数方程xy＝ ＝rrφ1－－csionsφφ， (φ 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方程即可写 出．也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的．
平摆线和渐开线参数方程的应用
4．已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数 方程．
解析： 根据圆的摆线的参数方程的表达式
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ 为参数)可知，只需求出其中的 r，也
就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把
点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式．
[规律方法] 求渐开线的参数方程方法，对于圆的渐开线， 我们以基圆圆心 O 为原点，一条直径所在直线为 x 轴建立直角 坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到，圆 的渐开线的参数方程为xy＝ ＝rrcsionsφφ－＋φφcsoinsφφ， (φ 为参数)．
圆的摆线方程
已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的 半径最大时该摆线的参数方程．
设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴 相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置， 写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线 上纵坐标y的最大值，说明该曲线的对称轴．
[思路点拨] (1)列出轨迹方程； (2)根据图象找出最大值点； (3)得曲线的对称轴
[解题过程]
那么其横坐标可能是( )
A．π
B．3π
C．6π
D．12π
解析： 根据条件可知圆的摆线的参数方程为
x＝3φ－3sinφ， y＝3－3cosφ
(φ 为参数)，把 y＝0 代入，得 cosφ＝1，
所以 φ＝2kπ(k∈Z)．而 x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z)．
答案： C
3．已知圆的渐开线的参数方程是xy＝＝csionsθθ－＋θθcsoinsθθ， (θ 为 参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________；当参数 θ＝ π4时，对应的曲线上的点的坐标为________．
轨
迹
曲
线
的
参
数
方
程
为
x＝8t－sint y＝81－cost
(0≤t≤2π)
即 t＝π 时，即 x＝8π 时，y 有最大值 16.
第一拱(0≤t≤2π)的对称轴为 x＝8π.
[规律方法] 摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑 其性质与三角函数的性质有类似的地方．
1．在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力．由于渐开 线齿形的齿轮磨损少，传动平稳制造安装较为方便，因此大多 数齿轮采用这种齿形．设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开 线方程．
同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母a是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一 定点运动所张开的角度大小．
1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线 B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一 样，所以才得到了不同的图形 C．正方形也可以有渐开线 D．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不 同，画出的渐开线形状就不同
解析： A．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆，正方形 也有渐开线
渐开线与摆线
1．渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离 开_圆__周__，保持线与圆相切，_线__头__的轨迹就叫做圆的渐开线， 相应的_定__圆__叫做渐开线的_基__圆__．
(2)设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程为
x＝rcosφ＋φsinφ y＝rsinφ－φcosφ
解析： 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从
方程不难看出，基圆的半径为 1，故直径为 2.欲求当 φ＝π4时对
应的坐标只需把 φ＝π4代入曲线的参数方程，得 x＝ 22＋ 82π，y
＝ 22－ 82π，由此可得对应的坐标为 22＋ 82π， 22－ 82π.
答案：
2
22＋
82π， 22－
2π 8
B两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同 的，因此得到的图形也不相同
C．同A项解析 D．对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系， 画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同 答案： C
2．圆xy＝＝33csionsθθ， (θ 为参数)的摆线上一点的纵坐标为 0，