Mathematica5.2线性代数
用软件Mathematica 求解线性代数
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Ⅱ求解线性代数问题
LOGO 一、软件的操作规范
1.求解行列式 1.求解行列式 Det 2.矩阵之间的乘法 2.矩阵之间的乘法
二、求解线性代数问题
3.求矩阵的逆矩阵 3.求矩阵的逆矩阵 Inverse 4.求矩阵的秩 MatrixRank； 4.求矩阵的秩 MatrixRank； 化简矩阵为行最简形矩阵
LOGO
中计算行列式， 在Mathematica中计算行列式，用内建函 中计算行列式 数命令Det[ ]，在中括号里键入行列式， 数命令 ，在中括号里键入行列式， 确认执行即可。 确认执行即可。
对于行列式的键入，有以下办法： 对于行列式的键入，有以下办法： 1.在方括号里，按组合键“Ctrl+Enter”来增加行列式的行数； 在方括号里，按组合键“ 来增加行列式的行数； 在方括号里 来增加行列式的行数 按组合键“ 按组合键“Ctrl+，”来增加行列式的列数。 ， 来增加行列式的列数。 2.点击系统菜单 点击系统菜单File（文件）－ ）－Palettes(面板 面板) 点击系统菜单 （文件）－ 面板 －BasicInput（基本输出）， 来输入一个方阵（行列式） （基本输出）， 来输入一个方阵（行列式）
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2.矩阵之间的乘法 2.矩阵之间的 矩阵之间的乘法
符号“.”是两个矩阵相乘的运算符。 符号“.”是两个矩阵相乘的运算符。 是两个矩阵相乘的运算符
1 2 3 −1 0 1 例 已知矩阵A = 4 5 6 , B = 2 1 8 , 求矩阵AB的乘积. 7 8 9 1 3 7
Mathematica中初等代数与线性代数使用
U[[i,j]]
矩阵U的第i行、第j列元素
U[[i]]、U[[i,All]
U的第i行n个元素
U的第j列元素 由行{i1,i2,…ip}和列{j1,j2,…jq}组成的子矩阵
U[[All,j]]
U[[{i1,i2,…ip]},{j1,j2,…jq}]]
U[[Range[{i0,i1}],[Range[{j0,j1}]]
A的全部（准确解、数值解）的特征向量
Eigensystem[A] Eigensystem[N[A]]
A的所有(准确解、数值解)的特征值和特征向量
06年建模B题
z = Import["f:\\z1.txt", "Table"]; s0 = s1 = s2 = s3 = s4 = 0; n0 = n1 = n2 = n3 = n4 = 0; For[i = 1, i <= Length[z], i++, If[z[[i, 2]] == 0 || z[[i, 2]] == 1, s0 = s0 + z[[i, 3]]; n0++]; If[z[[i, 2]] >= 2 && z[[i, 2]] <= 6, s1 = s1 + z[[i, 3]]; n1++]; If[z[[i, 2]] >= 7 && z[[i, 2]] <= 13, s2 = s2 + z[[i, 3]]; n2++]; If[z[[i, 2]] >= 14 && z[[i, 2]] <= 32, s3 = s3 + z[[i, 3]]; n3++]; If[z[[i, 2]] >= 33 && z[[i, 2]] <= 45, s4 = s4 + z[[i, 3]]; n4++]; ] t = {{0, s0*1./n0}, {4, s1*1./n1}, {8, s2/n2}, {24, s3/n3}, {40, s4/n4}}
mathematica
一、Mathematica 的主要功能
1、符号运算功能：Mathematica 最突出的特点就是具有强大 、符号运算功能： 的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算， 的符号运算功能，能和人一样进行带字母的运算，得到精确 的结果。 大类： 的结果。符号运算功能可以分成 4 大类：
（1）初等数学：进行各种数和初等函数式的计算与化简。 ）初等数学：进行各种数和初等函数式的计算与化简。
（2）微积分：求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、 ）微积分：求极限、导数（包括高阶导数和偏导数等）、 不定积分和定积分（包括多重积分），将函数展成幂 不定积分和定积分（ 包括多重积分），将函数展成幂 ）， 级数，进行无穷级数求和及积分变换。 级数，进行无穷级数求和及积分变换。
•例:fun= Sin[x y] • Dt[fun,{x,2}]
§7.4 一元和多元不定积分
•不定积分：Integrate[ f，x ] •多重不定积分： Integrate[ f，x1，x2，…] 例: Integrate[Sqrt[x]+6 x , x]
§7.5 一元和多元定积分
•定积分： Integrate[ f , {x , a , b }] •多重定积分： Integrate[ f , { x1 , a , b } , …]
表达式 • 在Mathmatica中，表达式与 数学中的表达式相同，其书写 与运算规则与数学中相同。
• 注意：乘号“*”或“×”或
“空格”不可省略。
§3.2 数学常数
• • • • • E： 自然对数的底 Pi： 圆周率 Degree：角度制的单位 Infinity：无穷大 I： 虚数单位
§3.2 变量及其表示
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
mathematica中eigensystem求解出的特征值和特征向量的对应关系
mathematica中eigensystem求解出的特征值和特征向量的对应关系1. 引言1.1 概述特征值和特征向量作为线性代数的重要概念，被广泛应用于各个学科领域中。
在数学和物理问题中，找到特征值和特征向量可以帮助我们更好地理解矩阵或线性变换的性质。
而Mathematica作为一种强大的计算软件，提供了Eigensystem 函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
1.2 文章结构本文将从以下几个方面探讨Mathematica中Eigensystem函数求解出的特征值和特征向量之间的对应关系。
首先，我们将介绍特征值和特征向量的定义与意义，以及它们在实际问题中的应用场景。
然后，我们将详细介绍Mathematica 中Eigensystem函数的使用方法、结果格式与含义，并通过实际案例来分析其应用。
接着，我们将讨论线性代数理论中的特征对角化定理，并使用Mathematica中的Eigensystem函数验证这一定理。
最后，对于不可对角化矩阵，我们会探究如何理解其特征向量之间的对应关系。
1.3 目的本文旨在介绍和探究Mathematica中Eigensystem函数求解的特征值和特征向量之间的对应关系。
通过深入分析特征值和特征向量的性质及其在实际问题中的应用，我们可以更好地理解这一概念，并能够运用Mathematica进行特征值和特征向量的计算与分析。
通过验证特征对角化定理并研究不可对角化矩阵的特征向量对应关系，我们可以进一步拓展对于特征值和特征向量之间关联的思考，为相关领域的研究提供新的启示和方向。
2. 特征值和特征向量的定义与意义：2.1 特征值的定义与性质特征值是一个矩阵在线性代数中的重要概念。
给定一个n x n的方阵A，如果存在非零向量v使得满足Av = λv，其中λ为实数或复数，则称λ为矩阵A的特征值，v称为对应于特征值λ的特征向量。
这个方程可以重写为(A-λI)v = 0，其中I为单位矩阵。
Mathematica教程第五章线性代数运算命令与例题
北京交通大学
5.1向量与矩阵的定义
数学上矩阵是这样定义的: 由个数排成m行n列的数表:
称为m行n列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。 记作:
两个矩阵称为同型矩阵。
nSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5Sin4SinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6inS5inS4inS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nSi3nS8inS7inS6in5S4inSinS6inS5inS4Sini3nSi2nS7inS6inS5Sini4nS
{{d,b}{,c, a}
Out[20]:={a + 2 b， 3 a + 4 b， 5 a + 6 b}
1 2 3
4
bacdbacdbac{d{bdac,db}{,c, a}
例15:求矩阵
2 1
3 1
1 1
与 2
1
的乘积。
bacdbacdbacdbacd
1
Mathematica教程用Mathematica求解线性代数基本问题
Module[{x,y,...},body] Module[{x=x0,y=y0,…},body] lhs:=Module[vars,rhs/:cond] Block[{x,y,... },body] Block[{x=x0,y=y0,…},bddy]
具有局部变量x,y… 的模块
具有初始值的局部变 量的模块 rhs和cond共享局部 变量 运用局部值x,y, …计 算body 给x,y,..赋初始值
Do循环结构
Do[expr,{i,imax}] 循环计算expr,以步长1,i从 1增加到imax
循环计算expr,以步长di,i Do[expr,{i,imin,imax,di}] 从imin增加到imax Do[expr,{n}] 循环计算expr n次
•
•
•
键入
t0={{1，2，3}，{4，5，6}}
则得到一个名为t0的2行3列的矩阵。
• 2、也可利用工具栏或菜单输入矩阵 • 点击工具栏上的矩阵输入的工具，就会得到一个 二行二列的矩阵输入框，若不是二行二列的矩阵， 可通过按Ctrl+Enter键增加一行，按Ctrl+,键增加 一列，用鼠标选定一行（或一列），按Del键可删 除一行(或一列）。通过这样的操作，就可输入任 意一个矩阵。下面的图演示了这个过程。
Out[5]=True
ln[6]:=TrueQ[x==y]
Out[6]=false
用“===”可直接测试两个表达式的等同性:
In[7]:=x===y
Out[7]:=False
一般情况下,“===”返回值为真(True)或假(False), 而“==”为符号形式输出,表示一个符号等式。 在 特殊情况下可用“===”测试一个表达式的 结构,而用“==”测试数学上的等同性。
Mathematica的主要功能
3、数
Mathematica 以符号运算为主，这与一些语言有所不同，例如源自, e, 2 ,3
2 等符号表示准确数，近似数用带小数点的数表示，例如
1.2，2.3*10^5 等。Mathematica 中求近似值以及近似值的精度控制
函数为函数“N”，其调用格式如下：
N[表达式] 计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16 位有 效数字），但是按标准输出只显示前 6 位有效数字
每次运行结束后，Mathematica 会自动在输入的式子前面加上 “In[n]：=”（n 表示输入命令的序列号），在输出的答案前面加上 “Out[n]=”（n 表示输出结果的序列号），以便分清输入和输出并 自动加上编号。可以用“%”表示前一个输出的内容，“%%” 表 示倒数第 2 个输出的内容，依此类推，“% n”表示第 n 个（即 Out[n]）输出的内容。也就是说 Mathematica 输出的内容被系统 记忆，它们可以像其它变量一样在后面的计算中引用。
四、编程基础
1、自定义函数
前面介绍了 Mathematica 本身自带的内置函数，下面我们以实 例来说明定义函数的方法。例如，要定义函数 f (x) ex (sin x 1) ln x2 ， 我们只要键入命令 f[x_]:=Exp[x]*(Sin[x]+1)+Log[x^2] 运行即可。
注意：在函数的自变量后面有一个下划线“_”，这表示 x 为自变量， 可以把 x 代入为任何的值进行计算；等号前面的有个冒号，表示定 义函数。同样可以定义多变量函数。定义了函数 f[x]后，可以直接 地调用 f[x]来进行符号数学运算（例如积分、微分等）
三、基本代数运算
下面介绍一些实现基本代数运算的函数，用于变换数学表达式、解 方程和解不等式。Mathematica 具有强大的符号运算功能，下面列 举的函数均可代入具有字母的表达式进行计算，得到精确解。
用Mathematica做线性代数Ⅱ线性代数高级运算
万方数据
－７ － １
科 技 论 坛
中国 科技信息２０ 年第２ 期 ０５ ３
ＥＨ Ｏ Ｏ 丫 ＷＯ ＭＡ ＩＮ ． ５ ｅ ０ ＣＩ ＳＩ Ｃ ＡＮＤ ＴＣ Ｎ Ｌ Ｇ ！ Ｒ ＴＯ Ｄｃ２０ Ｈ Ａ Ｅ Ｅ Ｎ ＣＮ
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刘蕾 东北财经大学
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， 一１８ ５ 一６ ，． 一９ ０ ０ １ ｛９ 。 ｛３ ）？
２０
注２利用这里的算法不难设计利用正交变 ： 换 化二次性为标准型的算法。
四 、总 结
０
ｗｅ
、 、
０
作为一个高校的教育工作者，笔者常常在思 考，在科技高速发展，经济生活极为活跃，高 等教育发展及其迅猛的时代，我们应该如何施行 （ 下转 第 ８１页）
＋ ２ ｘ＝ ０ ＋ ２ ｘ＝ ０
＝０
２ 、求向量组的秩及其极大无关组
例如， 量组ａ （，，，， ，ａ 求向 １ １１ ２１ ＝ ２ ）’ ２ ＝ （，，，，１ ， ３ （，，， １３ ， ４ （，， ０２１ 一 ）‘ａ ２０３一 ， ５ ＝ ）’ａ ＝１１ ０ ，１ 的 ， －）’ 一个极 ４ 大无关组 第一步 输人， 按行输人后再转置 Ａ ｛ ，２ ， ， ， ， －｝２ ， － ， ， ， ， １ ｛ ２１ ，１ ｛０ ，１ １ １ ＝｛ １ ２ １０ ，５ ， ， ３ ３ ｛ １， １ ，，１ ； ｒ ｓｏ ［］ ， ４一 １ Ａ Ｔａ ｐｓＡ ０ １ ｎ ｅ ＝ 第二步 利用行初等变换。
摘 要：本文探讨了用Ｍｔｍｔａ 性代数解题的算法，主要给出了 ａ ｅａｃ于线 ｈ ｉ 利用Ｍｔ ｍｔａ ａ ｅａｃ进行矩阵初等变 ｈ ｉ 换的算法在求矩阵和向量组的枚，解线性方程组以 及求解矩阵特征值和特征向量中的应用， 进而彰显解题过程， 有利于提高学生的学习兴趣。 关键词： ａｈｍ ｔ ａ Ｍ ｔｅ ａｉ ；算法；学习兴趣。 ｃ 《 线性代数》是工科院校一门必修课，其重 要性从近几年来它在考研中所占的比重而不言而 喻。在 《 线性代数》的学习中，学生往往认为 线性代数概念太抽象，而相应的算法又显得太繁 琐。即使是对概念和算法有了比较清楚的认识， 但是一旦动手做题时就会出 现计算错误， 导致信 心不足，从而影响下面的学习，伤害学生的学习 积极性。作者认为， 可以利用Ｍａ ｅ ａｉ 软 ｔ ｍ ｔａ ｈ ｃ 件包，将学生从繁琐的数字运算中解脱出来，而 将注意力集中在基本概念和基本算法的学习上， 从而增加学习兴趣， 激发学习热情， 进而引导学 显然， 此矩阵的秩为３ 。根据矩阵的秩等于 矩阵行向量组的秩，也等于矩阵列向量组的秩， 所以原向量组 （ 列向量组）的秩为３ 。那么， 其极大无关组应该由３ 个向量组成。此３ 个向量 的选取方法为： 在这个阶梯形矩阵的每个平台上
第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt
x1 c11 y1 c12 y2
x
2
c21 y1
c22 y2
c1n yn , c2n yn , 即 x cy
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由x1, x2, , xn到y1, y2, , yn的线性变换 .
若C可逆，称之为可逆线性变换； 若C是正交矩阵，称之为正交线性变换.
x2 ,
x3
)
x1 ,
x2
,
x3
1
0
1 2 3
0 3 2
x1 x2 x3
1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)
x1
,
x2
,
x3
0
1
0
x2
0 0 4 x3
问题： 如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线
f x12 3 x32 2x1 x2 4x1 x3 2x2 x3 ( x12 2x1 x2 4x1 x3 ) 3x32 2x2 x3 ( x1 x2 2x3 )2 x22 2x2 x3 7 x32
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线性代数项目
【项目内容】
现有一个木工，一个电工和一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作10天（包括给自己家干活在内）；（2）每人的日工资根据一般的市价60~80元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等．表1是他们协商后制定出的工作天数的分配方案，如何计算出他们每人应得的工资？
【相关知识点】
1. a={a1,a2,…,an}
功能: 定义一个一维向量{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an是数或字母。
2. k*A
功能：求常数k与A的数乘，这里A是矩阵或向量。
【模型假设与分析】
设x
1表示木工的日工资；x
2
表示电工的日工资；x
3
表示油漆工的日工资．根据协议中每人
总支出与总收入相等的原则，分别考虑木工、电工及油漆工的总收入和总支出。
首先由表
的在木工家工作数据，因为木工的日工资为x
1，则木工的10个工作日总收入为10x
1
，而木
工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天，1天，6天，则木工的总支出为
2x
1+x
2
+6x
3
．于是木工的收支平衡关系可描述为：2x
1
+x
2
+6x
3
=10x
1
．类似地可以得到另外两个
方程，于是我们得到如下三元一次齐次线性方程组：
2x
1+x
2
+6x
3
=10x
1
4x
1+5x
2
+x
3
=10x
2
4x
1+4x
2
+3x
3
=10x
3
整理后，得
-8x
1+x
2
+6x
3
=0
4x
1-5x
2
+x
3
=0
4x
1+4x
2
-7x
3
=0
求出如上齐次线性方程组后，在根据每人的日工资范围即可获得本问题的解。
【模型建立】
-8x
1+x
2
+6x
3
=0
4x
1-5x
2
+x
3
=0
4x
1+4x
2
-7x
3
=0
【模型求解】
a={{-8,1,6},{4,-5,1},{4,4,-7}} NullSpace[a]
{{31,32,36}}
k{31,32,36}/.k->1.9355
{60.0005,61.936,69.678}
k{31,32,36}/.k 2.222
{68.882,71.104,79.992}
k{31,32,36}/.k 2
{62,64,72}
【结论及分析】
因此如果要求日工资的最小单位都为元，则可以选k =2，此时有木工、电工、油漆工每人每天日工资应为
x
1=62 元 x
2
=64元 x
3
=72元
【心得与体会】通过这次事件我们学会了用线性代数解决生活中的实际问题
【参考文献】
1.线性代数.吴赣昌主编.北京：中国人民大学出版社，2006.4
2.线性代数.赵树嫄主编.北京：中国人民大学出版社，2008.6
3.线性代数历年真题详解与考点分析.姚孟臣编著.北京：机械工业出版社，
2002.4。