华东理工大学线性代数期末试卷2

6）（9 分）设二次曲面的方程
axy + 2xz + 2byz = 1 （ a > 0 ）
经正交变换 化成
⎡ x⎤ ⎡ξ ⎤
⎢ ⎢
y⎥⎥
=
Q⎢⎢η
⎥ ⎥
⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ζ ⎥⎦
求 a 、 b 的值及正交矩阵 Q 。
ξ 2 + η 2 − 2ζ 2 = 1
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试卷二
1)填空题 （每小题 4 分，共 20 分）
（1）设 A, B,C 皆为 n 阶矩阵，已知 det(I − A) ≠ 0 。若 B = I + AB ， C = A + CA ，则
B−C =
⎡ 2 −1 −1⎤
（2）设
A
为三阶非零矩阵，
B
=
⎢ ⎢
3
−1 − 2⎥⎥
⎢⎣−1 1 a ⎥⎦
且 ( AB)T = O ，则 a =
(3)设三阶方阵 A=[α ,γ 1,γ 2 , ] ，B=[ β ,γ 1,γ 2 , ]其中α , β ,γ 1,γ 2 均为三维列向量，且已知
detA=3， detB=4,则 det(5A-2B)=
0 x y ⋅⋅⋅ 0 0
Dn =
⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅
0 0 0 ⋅⋅⋅ x y
y 0 0 ⋅⋅⋅ 0 x
9)(8 分)已知 A 是任一 n 阶方阵，试证：若有 n 维向量 x∗ 使
则向量组 必线性无关。
An x∗ = 0但An－1 x∗ ≠ 0 x∗ , Ax∗ , A2 x∗ ,⋅ ⋅ ⋅, An−1x∗
,则
A41
+
A42
+
A43
+
A44
=
⎢ ⎣
5
4 3 7⎥⎦
2) 选择题（每小题 3 分，共 15 分）
（1）设 A 为 n 阶矩阵， x 为 n 维向量，则以下命题成立的是（ ）。 A) 若 Ax = 0 有解时， AT Ax = 0 也有解，则 A 必可逆 B) 若 AT Ax = 0 有解时， Ax = 0 也有解，则 A 必可逆 C) AT Ax = 0 的解必是 Ax = 0 的解 D) AT Ax = 0 的解与 Ax = 0 的解无任何联系 (2)若 A 是 m × (m + s) 矩阵， B 是 (m + s) × m 矩阵，下列命题不成立的是（ ）。
⎡− 3⎤
β2
=
⎢ ⎢
−
1⎥⎥
，
⎢⎣− 2⎥⎦
（1）试证α1,α 2 ,α 3 及 β1, β 2 , β 3 分别线性无关；
（2）设 A = [α1,α 2 ,α 3 ]， B = [β1, β 2 , β3 ]，若有
A = BC 问 C 是否可逆？若可逆，求出 C −1 .
⎡1⎤ α 3 = ⎢⎢1⎥⎥
表达式。
4）（9 分）给定两组向量，α1,α 2 ,α 3 ； β1, β 2 , β 3 其中
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⎡1⎤
α1
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
，
⎢⎣− 1⎥⎦
⎡2⎤ α 2 = ⎢⎢1⎥⎥ ，
⎢⎣1⎥⎦
⎡− 1⎤
β1
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
，
⎢⎣ 0 ⎥⎦
量的线性组合。
C) AB = O, 且 r(B) = m ，则 A 的行向量组线性无关
D) AB = O, 且 r( Aห้องสมุดไป่ตู้ = m ，则 B 的任意 s + 1个行向量必线性相关
（3）设η1,η2 ,⋅ ⋅ ⋅,ηn−r 是 Ax = 0 的基础解系，则在下列向量组中也是基础解系的是（ ）。
A) η1 − η2 ,η2 − η3 , ⋅ ⋅⋅, ηn−r − η1
(4)已知二次型 f = x12 + x22 + 5x32 + 2tx1x2 − 2x1x3 + 4x2 x3 是正定的，则 t 的取值范围是
（ ）。
（A） t > 0 （B） t < 0
(C) − 4 < t < 0 (D) 0 < t < 4
5
5
(5)若 n 阶矩阵 A 、 B 、 C 满足 AB = CB ，则必有（ ）。
⎢⎣1⎥⎦
⎡− 1⎤
β3
=
⎢ ⎢
0
⎥ ⎥
⎢⎣− 1⎥⎦
5）（9 分）给出四个 n 维向量组 （A）α1,α 2 ,α 3 ；
（B）α1,α 2 ,α 3 ,α 4 ；
（C）α1,α 2 ,α 3 ,α 5 ；
（D）α1,α 2 ,α 3 ,α 5 − α 4 .
设已知组（A）与（B）的秩均为 3，而组(C)的秩为 4，试问向量组（D）的秩等于多少？为 什么？
7）（9 分）设 A 是一已知的 n 阶矩阵，满足 A2 = A ，试证 2I − A 可逆，并求出 (2I − A)−1 。
8）（6＋6＝12 分）计算行列式
1 −1 1 x −1
1 (1) D4 = 1
−1 x +1 −1
; (2)
x −1 1 −1
x +1 −1 1 −1
x y 0 ⋅⋅⋅ 0 0
。
(4)已知齐次线性方程组
⎪⎧bx1 ⎨
+
(2 + − x1
b − a)x2 + (ab2 − 2a)x3 + (a − 3)x2 + abx3 = 0
=
0
⎪ ⎩
x1 + x2 + ax3 = 0
的解空间是二维的，则 a =
,b =
⎡ 1 1 1 1⎤
(5)设
A
=
⎢ ⎢
2
⎢− 2
3 7
4 2
5⎥⎥ 3⎥
A) 若 AB = C, 则 C 的第 j 列（ j ＝1，2，...,m）是以 B 第 j 列的元素为系数作 A 的列向
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量的线性组合。
B) 若 AB = C, 则 C 的第 i 行（ i ＝1，2，...,m）是以 A 第 i 行的元素为系数作 B 的行向
（A） A = C
（B） B = O
（C） r( AB) = r(C)
（D）若 A 、 B 、 C 皆可逆，则 1 = 1 AC
3）（9 分） 设线性方程组
⎧ ax + y + z = 4
⎪ ⎨
x
+
by
+
z
=
3
⎪⎩x + 2by + z = 4
问 a 、b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无限多组解，试写出无限多组解的通解
B) η1,η1 + η2 ,η1 + η2 + η3 ,⋅ ⋅ ⋅,η1 + η2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ηn−r
C) η1 + η2 ,η1 − η2 ,η1 + 3η2 ,η4 ,η5 , ⋅ ⋅⋅, ηn−r
D) 与η1,η2 ,⋅ ⋅ ⋅,ηn−r 等价的向量组α1,α 2 ,⋅ ⋅ ⋅,α n