26.1二次函数有关符号的判断
26.1.2二次函数图像和性质00
向上
顶点从(0,0)移到了 (0,–2)，即x=0时， y取最大值–2
5 4 3 2 1
y
顶点从(0,0)移到了 (0, 2)，即x=0时， y取最大值2
x 1 2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5
1 2 y x 2 3 1 2 y x 3
下 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____，对称轴 (-1,0) 是____________，顶点坐标是________，当 直线x=-1
大 < -1 0 -1 x=____时，函数有最____值为____；当x_____
> -1 时，y随x的增大而增大，当x_____时， y随x的 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 形状 的_______相同，_______不同。抛物线y=3x2-4 是由抛物线y=3x2向____平移____单位而得到； 下 4 右 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____平移 1 ____单位而得到。
y=a(x-h)2 (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
a>0
a<0
向上 (h ,0) x=h
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。
向下 (h ,0) x=h
当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
极值
x=h时,y最小值=0
1y 2x 3
2
向上
2
直线x=3 直线x= –1
直线x=0 (Y轴)
26.1二次函数教案[修改版]
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第一篇：26.1二次函数教案26．1 二次函数[本课知识要点]通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．[创新思维]（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm）是多少？s = a（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．y = (4+x)(3+x)−4×3 = x+7x222请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．二次函数的概念：形如ax+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．2[实践与探索]例题：补充例题：1．m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？分析若函数．解若函数解得因此，当，且，且时，函数．．是二次函数，须满足的条件是：是二次函数，则是二次函数．的函数只有在的条件下才是二次函数．回顾与反思形如探索若函数值？是以x为自变量的一次函数，则m取哪些2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S（cm）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．解（1）由题意，得，其中S是a的二次函数；222（2）由题意，得（3）由题意，得其中y是x的一次函数；，其中y是x的二次函数；（x≥0且是正整数），（4）由题意，得数．，其中S是x的二次函3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S（cm）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．2解（1）（2）当x = 3cm时，；（cm）．2[当堂课内练习]1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）（2）（3）（4）为二次函数？2．当k为何值时，函数3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数．[本课课外作业]A组1．已知函数2．已知二次函数是二次函数，求m的值．，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x 为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．B．C．（D．6．下列函数关系中，可以看作二次函数A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系）模型的是（）B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）圆的周长与圆的半径之间的关系典型例题1．下列各式中，y是x的二次函数的是( ) A．x+y−1 = 0 B．y = (x+1)(x−1)−xC.y = 1+22D.2(x−1)+3y−2 = 0 答案：D2 4说明：选项A、C都不难看出关系式中不含x的平方项，因此，都不满足二次函数的定义，选项B，y = (x+1)(x−1)−x可化简为y = −1，也不满足二次函数的定义，只有选项D是正确的，答案为D．2．下列函数中，不是二次函数的是( )2A．y = 1−x B．y = 2(x−1)+4 C．y =2222(x−1)(x+4) D．y = (x−2)−x22答案：D说明：选项D，y = (x−2)−x可化为y = −4x+4，不是二次函数，而选项A、B、C中的函数都是二次函数，答案为D．3．函数y = (m−3)是二次函数，则m的值为：（答案：−3）说明：因为y = (m−3)且m≠3，即m = −3．4．已知函数y = ( 4a ＋3)是二次函数，所以m2−7 = 2，且m−3≠0，因此有m = ±3，＋x−1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：∵y = ( 4a ＋3)＋x−1是一个二次函数，∴，解得a = 1．习题精选21．在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x(cm)的小圆，剩下的圆环面积为y(cm)，则y与x之间的函数关系式为( ) A．y = πx−4 B．y = π(2−x)C．y = −(x+4) D．y = −πx+16π答案：D说明：半径为4cm的圆，面积为16π(cm)，挖去的小圆面积为πx(cm)，所以剩下的圆环222面积为(16π-πx)(cm)，即有y =-πx+16π，答案为D．2．若圆锥的体积为Vcm，高为6cm，底面半径为rcm．写出V与r之间的函数关系式，并判断它是否是二次函数?此题考查圆锥的体积公式及二次函数的概念．32222222解：由题意得：V=n+2πr×6，即V=2πr，此函数是二次函数．223．若函数y=2x+1是二次函数，求n的值．此题考查二次函数概念中关于自变量的二次式．解：由题意得：n+2=2 ∴n=04．若函数y=(a−1)x+x+1是二次函数，求a、b的取值范围．b+12 5此题综合考查二次函数的概念，分三种情况讨论：（1）(a−1)x是二次项（2）(a−1)x是一次项（3）(a−1)x是常数项．解：分三种情况：b+1b+1b+1（1）∴b = 1，a≠1（2）∴b = 0，a≠1（3）a−1 = 0 ∴a = 1∴a = 1；b = 0且a≠1且b = 15．一个长方形的周长为50cm，一边长为x(cm)，求这个长方形的面积y(cm)与一边长x(cm)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围答案：y=−x+25x，0说明：由已知不难得出，该长方形的另一边长为50÷2−x，即25−x，长方形的两边长则分别为x、25−x，而这两边长都应该大于0，即x>0且25−x>0，同时，该长方形的面积为22x(25−x)=−x+25x，即有y=−x+25x，06．小明存入银行人民币200元，年利率为x，两年到期，本息和为y元(以单利计算)．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若年利率为2.25%，求本息和．(3)若利息税率为20%，求到期时，小明实际所得利息．答案：(1)y=200+400 (2)209 (3)7.2元说明：(1)两年到期的利息应该是2×200x，即400x，所以本息和y=200+400x(2)当x=2.25%时，y=200+400×2.25%=209(3)实际所得利息为2×200×2.25%×(1−20%)=7.2．22 6第二篇：《26.1二次函数》教学反思《26.1二次函数》教学反思龙潭镇第一初级中学黄海东这节课是安排在学了一次函数、反比例、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。
26.1二次函数(第1课时)
在上面的问题中， 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．
的函数，叫做二次函数．其中， 是自变量 是自变量， 的函数，叫做二次函数．其中，x是自变量， 二次函数 a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数 分别是函数表达式的二次项系数、 分别是函数表达式的二次项系数 和常数项．
y = ax2 + bx + c( a, b, c是 数 a ≠ 0) 常 ，
y = 20x + 40x + 20
2
思考： 思考： 这三个关系式中， （ ）是不是x 这三个关系式中，y（d）是不是 （n）函数？为什么？ ）函数？为什么？
有什么共同点？ 有什么共同点？ y = 6x2 1 2 3 d= n − n 2 2
① ② ③
函
数
y = 20x2 + 40x + 20
一般地， 一般地，形如
M
N
即
1 d = n(n − 3) 2
1 2 3 d= n − n 2 2
②
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件 问题 ：某工厂一种产品现在的年产量是 件，计划今后两 年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍 年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加 倍，那么两 年后这种产品的产量y将随计划所定的 的值而确定， 与 之 将随计划所定的x的值而确定 年后这种产品的产量 将随计划所定的 的值而确定，y与x之 间的关系应怎样表示？ 间的关系应怎样表示？
｛
a − b + c = 10 a+b+c = 4 4a + 2b + c = 7
待定系数法
解得，a = 2, b = −3, c = 5
∴ 所求的二次函数是y = 2 x 2 − 3 x + 5
26.1.3二次函数的图像(2)
1 2 y ( x 1 ) 画出二次函数 2
1 y、 ( x 1) 2 2
解: 先列表
点(－1,0)且与x轴垂直的直 线,我们把它记为x=－1, 顶点是(－1,0); 1 1 2 y ( x 1 ) y ( x 1) 抛物线 呢 ? 2 2
2
x=－1
-5 -6 -7 -8 -9 -10
x
向上或向下平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
求抛物线y=-2x2+1与x轴、y 轴的交点坐标
的 图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.:
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 1 y ( x 1) 2 … -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 … 2 1 y ( x 1) 2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 … 2 y 1 2 1 然后描点画图,得 y ( x 1) 2 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x 和 y 2 ( x 1) 的图象. -1 -2 1 2 可以看出,抛物线 y 1 ( x 1) 2 y ( x 1 ) -3 2 2 -4 的开口向下, 对称轴是经过 x
右 平移____ 1 物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____
单位而得到。
5、指出抛物线抛物线y= 2x2-4x+2的开口方向, 对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值? 是多少?
6.函数 y 4 x 4 x 1 的图象与坐标 2 轴有几个交点?可以由抛物线 y 4 x 平移得到吗？应怎样平移？
顶点是(－1, －1). 平移方法1:
x
平移方法2:
26.1二次函数(2)
开口
对称性
顶点 增减性
做一做
(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 (0,0) ,对称轴是 y轴 , 在对称轴 右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴 左 侧, y随着x的增大而减小,当x= 0 值是 0 (2)抛物线 时,函数y的值最小,最小 ,抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
2 2 y x 3
3、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
开口 对称轴 顶点
开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
(0,k)
增减性
顶点是最低点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
做一做：
2、按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1） 求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向 不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。 （3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1， 2）的点的解析式，
y 2 x 2 上？如果不 例2 问：点A（1，7）是否在抛物线
在，那么怎样向上（或向下）平移抛物线可使平移后的 抛物线经过A点？
y 4 x 2 c 与直线 y=-x+k相交于A、B 例3 已知抛物线
两点，点A的坐标为（1，1）
（1）求c、k的值；
二次函数y=a +b +c的函数图象和性质
（6） △（b2-4ac）的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、 c、△的符号：
y
a>0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、 c、△的符号：
ox
ox
ox
ox
A -3
B -3
C -3
D -3
7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与
一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （ C ）
y
y
y
y
ox
A
ox
B
ox
C
ox
D
想一想 函数y=ax2+bx+c和 y=ax2的图象之间的关系 是什么？
形状、大小及开口方向完全相同，只 是位置不同，可以通过平移而得到。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
一般地，我们可以用配方法 求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0) 对称的轴顶为点：与直对线 称轴x b ，
2a 顶点坐标是： 推2导ba过, 4程a！c4a b2
P14 6
结束寄语
顶点都在 A.直线y = x上 B.直线y = - x上
（B）
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
26.1 二次函数y=ax2的图象与性质 精品作业课件(课程配套练习) 公开课一等奖课件
1 2 解：(1)y＝ x (2)图略 (3)抛物线；当 x＞0 时，y 随 x 4 的增大而增大 (4)有最小值为 0
18． (10 分)如图所示， 某桥洞的截面是抛物线形， 在图中 建立的直角坐标系中，抛物线所对应的二次函数的关系式为 1 2 y＝－ x ，当桥洞中水面宽 AB 为 12 米时，求水面到桥拱顶 4 点 O 的距离．
解：水面到桥拱顶点 O 的距离为 9 米
【综合运用】 19．(12 分)已知点 A(－3，－9)是顶点在原点的抛物线上 的一点 ，点 P(x，y)是抛物线上的一个动点 ，且在第四象限 内．点 B 在 x 轴正半轴上，且 OB＝4，△OPB 的面积为 S. (1)求抛物线的函数关系式； (2)分别求 S 和 y，S 和 x 之间的函数关系式，并判断它们 是什么函数，直接写出自变量的取值范围．
)
3．(4分)某课外兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，分别做了四种不 同的抽样调查，你认为抽样比较合理的是( D ) A．在某个公园调查了1 000名老年人的健康状况 B．在医院调查了1 000名老年人的健康状况 C．调查了10名老年邻居的健康状况 D．利用派出所的户籍网随机调查了该地区10%的老年人的健康状况 4．(4分)下列调查的样本缺乏代表性的是( C ) A．在大学生中调查大学生课余时间娱乐的主要方式 B．调查学号为3的倍数的学生，以了解学生对学校某项新举措的意见和建议 C．在老年活动中心调查市民对春节联欢会的喜好程度 D．在某校九年级中调查全市九年级学生的身体发育情况
解： (1)y＝－x2 (2)S＝－2y， 它是一次函数， 自变量 y＜ 0；S＝2x2，它是二次函数，自变量的取值范围为 x＞0.
抽样调查时 ， 所选取的样本要有 __ 代表性 __ ， 样本容量要足够 __大__．仅仅增加调查人数不一定能够提高调查质量 ，开展调查 之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为 _调查对象 __．
26.1.1二次函数 应用
讨论与思考：
n
n-3
20(1+x)
20(1+x) 即两年后的产量为 y=20(1+x) 整理得：
2
2
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 自变量 函数
y=6x2
d=
1 2 3 nn 2 2
x
n x
y
d y
这些函数有什 么共同点？ 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！
y
b 3. 形如， y ___________ （ k,b为常数，k≠0 ）的函数是一次函数。当 ______ 0 时 正比例函数 原点 k ， 它是_____________ 函数，图像是经过______的直线；形如
k为常数，k≠0 反比例 （_____________）的函数是__________函数，它的表达式还可以写成：
驶向胜利 的彼岸
回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形 式是怎样的？ 1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都 自变量 有唯一的值与它对应，那么就说y是x的_______，x叫做_________ 。 函数
一次函数 2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中________ 反比例函数 的图像是直线，_________的图像是双曲线。我们得到它们图像的方 连线 列表 描点 法和步骤是：① __________、②__________、③__________。 kx+b
26.1 二次函数及其图像 课件4(数学人教版九年级下册)
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
h，k
直线x h
向上
当x h时, 最小值为 k
h，k
直线x h
向下
当x h时，最大值为 k
练习1
说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点：
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
抛物线y=x2+1:
开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0,1). 抛物线y=x2－1: 开口向上,对称轴是y轴, 顶点为(0, －1).
(1) 抛物线 2 2 y=x +1,y=x －1 的开口方向、对 称轴、顶点各是 什么?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 ● 1
y
三、观察三条抛物线：
2 (2)开口大小有没有 1 变化？ -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 没有变化 -3 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
y
三、观察三条抛物线：
2 (3)对称轴是什么？ 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -1 -2 -3 y 轴 x=-1 x=1 1 2 -4 y x -5 2 1 1 2 y ( x 1) -6 y ( x 1) 2 2 -7 2 -8
抛物线y a ( x h) 2 k有如下特点： （1）当a 0时，开口向上 ____；当a 0，开口向下 ___； x=h ； （2）对称轴是直线____ （3）顶点坐标是 ______ 。 （ h，k）
26.1.6二次函数(6)
7、已知：一次函数 y kx m 的图象和二次 2 函数 y ax bx c 的图象交于点 A(2,1) 和 B(6,3) . ①求一次函数解析式； ②若二次函数开口向上，与y轴交于点C， 且 ABC 的面积为12，求二次函数的解析式.
答案:
1 2 1 1 ①y x ② y x x 3 4 2 2
1、已知函数 y ax bx c 的图像如 图所示，则函数 y ax b 的图像可能是( B ).
2
2、函数y＝x2＋bx＋c与y＝bx＋c在同一坐标系中的图 象大致是（ C ）.
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示， 则下列6 个代数式 ab、ac、a＋b ＋c 、a －b＋c、2a＋b 、 2a－b中，其值为正的式子的个数为（ A ）. Ａ.2个 ; Ｂ.3个; Ｃ
1。已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交 于不同的两点A(x1,0)、B(x2,0)与y轴交于 点C，如果x1、x2是方程x2-x-6=0的两根 （x1<x2),且△ABC的面积为15/2。 ⑴求此抛物线的解析式； ⑵求直线AC的解析式。
•
只有不断的思考,才会有新 的发现;只有量的变化,才会 有质的进步.
b 2 4ac b a( x ) 一般地，我们可以用配方法 2a2 4a
2
归纳
一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的 顶点是最低(高)点,所以当x=-b/2a 时,二次函数y=ax2+bx+c有最小 (大)值(4ac-b2)/4a.
?
练习: 1.写出下列抛物线的开口方向,对称轴及顶点 坐标.当x为何值时,y的值最大(小)? (1) y=3x2+2x (2) y=-x2-2x (3) y=-2x2+8x-8 (4) y=1/2 x2-4x+3