华东理工线性代数5-5(15)
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。
资料：华东理工大学本科生线性代数第二册
华东理工大学线性代数 作业簿（第二册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设002000030400100A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.2. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ).(A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭.解：D .3. (1) 设10a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求nA ；(2)设2100020000310003C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求n C . 解：(1) 10100aA aI a ⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而 2010101,000000B B O ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以110()nn nni in inn nni a n a A C B aI a I n a B a ---=⎡⎤⋅==+⋅=⎢⎥⎣⎦∑， (2)将C 分块得：12C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中122131,,0203C C ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 于是由(1)得11122200020003303n n n nn n n n n n CC C n --⎡⎤⋅⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⋅⎣⎦⎢⎥⎣⎦.4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ，B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=20001310211A . 6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1)计算,,i j i j e A Ae e Ae T T，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列；(2)试证：对任一m 维列向量,0x x A A O T =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0x A y A O T =⇔=. 解：（1）[]1212,,,,,,,,Ti i i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a TT⎡⎤===⎣⎦(2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]12,,...,0i i i im e A a a a ==T ，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒” 由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==i e n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =. 7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量T [1,1,,1]=α，(1)计算A α； (2)若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c .解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n kk n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα(2)由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块矩阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，并对其进行初等行变换2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ （2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+，求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201111100100121111~010~010111222001132113001222A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 3.已知123001100456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ =.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 4. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（ ）. (A ) 12APP B =；(B ) 21AP P B =；(C ) 12PP A B =；(D ) 21P PA B =. 解：C .5. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦= 010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.6. 已知1231021001010,001,20010101P P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求1123()PP P -.解：1111123321110210010211()00101000.220100011010PP P P P P -----⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦7. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆；（2）求1AB -；（3）试证1A -交换i 、j 列后可得矩阵1B -.解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1），得11ij B A R --=，而ij ij R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B --.。
华东理工大学线性代数册答案届版
华东理工大学线性代数作业簿（第一册）学院__________ 专业____________ 班级_______________ 学号__________ 姓名____________ 任课教师___________ 1.1 矩阵的概念1. 矩阵 A a ij 2i j 2 3.解：A2．设1 0 00 1 0 0 3 0 05 2A ,B 0 1 0 0 ,C 2 3 0, D0 3 00 40 0 10 0 4 1 0 0 3其中对角阵为___ ，三角阵有_解：对角阵为D；三角阵有A，C， D.1.2 矩阵的运算3 1 1 2 1 11. 已知2 3X O ，求矩阵X .2 0 23 1 1解：依题意，由3X 6422421311 4 3 3，1 1 1 5 ，41 1即得X 31 13 32. 如果矩阵A m n 与B t s 满足AB BA，试求m,n,t,s 之间的关系解：m nt s.3. 填空：4 3 1 7(1) 1 2 3 25 7 0 11(2) 1, 2, 3 23 ___________1(3) 2 1, 2 ;3__________________1 3 1214 0 0 1 2(4)1 1 3 4 1 3 14 0 235 1 2解：(1) 6 ；(2) 14；(3) 2 4 ；(4) 6 7820 5649 3 60104. 已知矩阵 A 0 0 1 ，试求与 A 可交换的所有矩阵 000解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 abc其为 B d e f ，于是有ghi010aAB 0 0 1 d000g abc0BA d e f 0ghi0def由 AB BA ，即得 g h i000由相应元素相等，则得 d gabc故 B 0 a b （a,b,c 均为任意常数） 为与 A 可交换的所有矩阵00a2a 33x 3 (a 12 a 21 )x 1x 2 (a 13 a 31) x 1 x 3 (a 23 a 32)x 2x 33 阶方阵，不妨设b c d e fe f = ghi ，h i 0 0 0 1 0 0 a b 0 1 0 d e ， 0 00 g h0ab0 d e ，0gh h 0,a e i,b f ,a 11 a 12 a 13 x 1(1)x 1, x 2, x 3 a 21a 22 a 23 x 2 ；a 31a 32a 33x 35. 计算下列各题：解：原式等于： 2 a11x1 2 a22x21 33(2) A，求A 2008解：记 A，则A 2A 3 ，Q 2008 3669(3) 解： A9 200820071,1,13)669A .A 9.1,1,1 23 1,1,1 2328A2561 26. 利用等式17 62 3 2 0 7 335 1257 0 3 5 273 2 31 0,5 2 5 70 1,计算 1756.3512 .55解： 176 2 3 2 0 73 3197 12663512 5 7 0 3 527385 29227. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该 公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000人，若每 年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训， 同时又有 60%脱产轮 训职工结业回到生产岗位， 设职工总数不变， 令资料个人收集整理，勿做 商业用途0.7 0.6 8000 A , X0.3 0.42000试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况， 并据 此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人 . 解：一年后职工状况为： AX 3200不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.6800 2 6680 两年后职工状况为： A A 2 X3200 3320不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人. 218. 设矩阵 A 24 12 ，B求:(1) A T B T B T A T ; (2) A 2 B 2.解： (1) A T B T B T A T10 20 0 0 10 20 5 10 0 0 5 10 (2) A 2 B 22 1 2 13 1 314 24 2 6 2 620 0 15 5 15 5.0 0301030 10 .9. 设 A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，则( )是反对称矩阵(A ) AB BA; (B ) AB BA; (C ) (AB)2 ; (D ) BAB . 解：B.1 2 110．试将矩阵 A 3 0 12 23 解：11. 设 A 是反对称矩阵， B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵 的充分必要条件为 AB BA. 证：必要性 :由(AB)Τ AB 及(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA 即得 AB BA. 充分性: 若 AB BA ，则(AB)Τ B ΤA Τ B( A) BA AB ，知 AB 是反对称阵 .表示成对称矩阵与反对称矩阵之和11A 12(A A T ) 12(A A T )1 5 3 0 1 12 2 2 2 53 1 0122 223 331 12 22212. 设 f (x) a m x m项式，f (A)1)2) 设A解：(1)f(a mm1am 1 1m a m 1xm a m A1L a1xm1a m 1A L证明 f (证明f (A)a0，记 f (A) 为方阵A的多a1A a0If ( 1)f ( 2)Pf ( )Pf(1) 0f ( 2)2) A A kf(A) f(P 1)Pf ( )P 13．设矩阵A a 1a m Pm11m12a1a1001aam 1m12 a1 a0k P 1mP1ma m 1P1P1a1P a0PP 1T2 T ，其中I 为n 阶单位阵，为n 维列向量，试证 A 为对称矩阵，且A2 I .证：A T(I 2 T )T I T2( T )T T2(T)T I 2 T 故 A 是对称矩阵，且T 2A2（I 2 T ）（IT2T) 4T4 (( T T ))2 T I .(T)21.3 逆矩阵1. 设A为n 阶矩阵，且满足A2A ，则下列命题中正确的是（）.A) A O ；B) A I ；（C）若 A 不可逆，解：D.则A O ；（ D ）若 A 可逆，则A I.2. 设n阶矩阵A、（A）CA2B B、I；C 满足ABAC I ，则必有（）.（B）A T B T A T C T I ；（C）解：B.BA2C I；D)A2B2A2C2I .3．已知矩阵A 111111111111111，求A n及A 1（n是正整数）.11证：由A2 4I ，即可得nnA n (A 2)2(4I)2 2nI, n 为偶数 An 1A n 1A (4I) 2 A 2n 1A, n 为奇数及 A (1A ) I ，亦即 A 1 1A . 444. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A 3I O ，求: A 1, (A 2I) 1, (A 4I) 1.( A 2I ) 解：依题意，有 A (A 2I ) 3I ，即 A(A 2I)I ，故311A 1 (A 2I )；( A 2I )1A ，33再由已知凑出 (A 4I)(A 2I) 5I ，即得11(A 4I) 1 1(A 2I).55. 设 A 、 B、ABI 为同阶可逆阵， 试证： (1) A B 1 可逆；(2) AB 11A 1也可逆，且有AB1111A 1ABA 证：(1) AB 1ABB 1B 1(A B I)B1A B 1 可逆(2)证法 一：AB 11A 1A B11A B11A B 1 A 1AB11I IB1A 1AB A B 1(ABAA)1AB 11A 1可逆，且 AB 1 1A 11ABA A .证法二： 由（1）得 AB 11B(AB I） 1 ，因此1A B 1 A 1(ABA A) B(AB I) 1 A 1 (ABA A) 11B(AB I) 1(AB I)A A 1A(BA I) BA BA I I1 1 1 11A B 1 A 1可逆，且 A B 1 A 1 ABA A .。
线性代数5
所以 2 x , y
即
2
4 x , x y , y 0
（５．１）
x , y
2
x , x y , y
上式被称为许瓦兹（Schwarz）不等式.
西安建大
二．正交向量组与正交化方法
１．正交向量组
１．正交向量组
当 x
y 0 时，定义向量
cos
２．施密特正交化方法
西安建大
三．正交矩阵与正交变化
1. 正交矩阵 定义５．２ 定理５．３
1.正交矩阵
2.正交变换
如果 n阶方阵 A 满足 AT A 则称 A 为正交矩阵．
I
如果 A , B均为 n阶正交矩阵，
T
1
那么：⑴ A1 AT ⑵ A 即 A 为正交矩阵
1 A A ⑶ 2 A A 为 2n 阶正交矩阵
量两两正交，从而这 n 个向量就构成了向量空 间 R n的一组正交基．
西安建大
例５．１
T 已知 R 3的一个向量 1 1 ,1 ,1， 求 R 3的一组正交基． T T 解：求 2 x21 , x22 , x23 ，使 1 2 0
即： x21 x22 x23 0
bi ( i 1 ,2 , , r ) 再取 i bi
显然 1 , 2 , , r为正交规范化的向量组， 且与 1 , 2 , , r 等价．
西安建大
T T T 例5.2：已知 1 1 ,1 ,1 , 2 1, 2 ,1 , 3 1 ,1 ,2
西安建大
定义５．１
设n 维向量 1 , 2 , , r是向量空间 V ( V R n )的一组正交基，如果它们均为单位向 量，则称 1 , 2 , , r 为V 的一组正交规范基 或标准正交基．
华东理工大学线性代数习题答案-第二章
第二章 行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。
2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质， 得证。
华东理工大学本科生线性代数第三册
1 1 1 1 0, 0 1 1 1 0 1 0, 0 0
A21 1, A22 1, A23 0, A24 0, A31 0, A32 1, A33 1, A34 0, A41 0, A42 0, A43 1, A44 1.
.
x
解：原式
r21 ( 1)
1 1 x 1 0 1
r43 ( 1)
1 1 y
1 1 y
1
= xy
1 1 x 0 0 0
1 1 y
2.4 行列式的计算 1. 计算下列 n 阶行列式 1 3 3 3
1 1
1 n n 1
.
3 2 3 （1） 3 3 3 3 3 3
3 1 1 3 ； （2） Dn n 1 n n 1
1 x 1 1 x 1 1 0 y 0 1 0 0 1 xy 1 1 1 1 1 1 x 1 1 y x2 y2 . 0 1 y xy 1 1 1 y 1 1 0 1 1 1 1 1y 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 x 1
8. 计算行列式
1 1 1 x 0 1 1 0 0
a b
c c
d a a c
3. 设 4 阶行列式 D4
c d
b d b
，则 A13 A23 A33 A43 ____.
a b d
解：0 4. 设 A 1,2 , 1 , B 1,2 , 2 均 为 3 阶 矩 阵 ， 若 已 知
| A | 2, | B | 3 ，求 2 A 5B 的值.
和. 解：解法一：直接计算各代数余子式
1 1 1 0 1 2 A11 (1) 0 1 1 1, A12 (1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 3 1 4 A13 (1) 0 0 1 0, A14 (1) 0 0 0 1 0
线性代数5-习题课
设有实二次型 f xT Ax ,它的秩为 r ,有两个
实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f
k1
y
2 1
k
2
y
2 2
k
r
y
2 r
(k i 0),
及
f
1
z
2 1
2
z
2 2
r
z
2 r
( i 0),
则 k 1 , k 2 ,, k r中正数的个数与 1 , 2 ,, r中正
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指 数;
r p N称为负惯性指数 ; s p N p (r p) 2 p r称为 f的符号 差. 它们是二次型对于非退 化线性变换的不变
量.
(1)实二次型 f xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p n;
a11 a1r
(1)r
0,(r 1,2,, n).
a r1 a rr
一、证明所给矩阵为正交矩阵
二、将线性无关向量组化为正 交单位向量组
三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A 的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 A可否对角化
若 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基 ,那么V
中任一向量 a都可表为
a 1e1 2e2 r er ,
其中
i
e
T i
a
[a,
e i ],
(i
1,2, ,
r ).
施密特正交化方法
华东理工大学线性代数作业答案（第五册）
华东理⼯⼤学线性代数作业答案（第五册）华东理⼯⼤学线性代数作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________4.1 向量组的线性相关与线性⽆关1.向量[]11,3,3,5,T α=[]21,3,5,7,Tα=满⾜1223,x αα+=则x = . 解：x =[]1,3,6,8T.2. 选择题：（1）下列命题正确的是（）.（A ）若向量组1α，2α，，m α是线性相关的，则1α可由2α，3α，，m α线性表⽰；（B ）若向量组1α，2α， m α线性⽆关，1α，2α，，m α，1m α+线性相关，则1m α+可以由1α，2α，，m α唯⼀线性表⽰；（C ）若1α，2α，，m α线性相关，1β，2β， ,m β亦线性相关，则1α+1β，2α+2β， m α+m β也线性相关；（D ）若1α，2α，，m α线性⽆关，则1α，2α，，1+m α也线性⽆关.解：(B).（2）向量β可由12,,...,s ααα线性表出的充分必要条件为( ) . （A ）存在不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122k k βαα=++s s k α+ ；（B ）12,,...,,s αααβ线性相关；（C ）12(,,...,)s x αααβ=有唯⼀解；（D ）1212(,,...,)(,,...,,)s s r r ααααααβ=. 解：(D).3. 向量[]1,1,1Tβ=能否由下列向量组线性表⽰？若能，请表⽰出来.（1）[]T0,3,21=α，[]T0,1,12-=α，[]T0,5,73=α；（2）[]T0,2,11=α，[]T0,3,22=α，[]T1,0,03=α.解：（1）若记矩阵[]321,,ααα=A ，则问题转变为⾮齐次线性⽅程组β=Ax 是否有解，故只需判断()r A 是否等于()r A β.⽽[]β|A =-10031712 ，显然()r A =2≠3=()r A β，故β=Ax ⽆解，即β不能由321,,ααα线性表⽰.（2）由[]β|A =11010321021~-11010101001得()r A = ()r A β，故β能由321,,ααα线性表⽰，且321αααβ++-=.4.已知向量[]Tλλλα,,1=，[]Tλλλα,12,2-=，[]T 3,3,23+=λα，[]T 12,1,1-=λβ，问λ取何值时，（1）β可由1α，2α，3α线性表⽰，且表达式唯⼀？（2）β可由1α，2α，3α线性表⽰，且表达式不唯⼀？（3）β不可由1α，2α，3α线性表⽰？解: 记[]321,,ααα=A ，则问题转变为判断⾮齐次⽅程组β=Ax 是否有唯⼀解，有⽆穷多个解以及⽆解.由[]β|A =??-+-123131212λλλλλλλλ及A 是含参⽅阵，知可通过A 来讨论β=Ax 解的情况.A =22133λλλλλλλ-+=)1)(1(+-λλλ①当0≠λ且1-≠λ且1≠λ时，由克拉默法则知β=Ax 有唯⼀解，即β可由321,,ααα唯⼀线性表⽰；②当0=λ时，[]β|A =--13131120001311~0012500---?即()r A ≠()r A β，亦即β=Ax ⽆解，故β不能由321,,ααα线性表⽰；③1=λ时，[]β|A =11211131~11410001001211即()r A =()r A β=2 ＜3, 亦即β=Ax 有⽆穷多个解，故β可由321,,ααα不唯⼀地线性表⽰；④1-=λ时，[]β|A =11211331~1123-------??----4001201211即()r A ≠()r A β，故β不能由321,,ααα线性表⽰；综合上述得：（1）当0≠λ且1-≠λ且1≠λ时，即β可由321,,ααα唯⼀线性表⽰（2）当1=λ时，β可由321,,ααα线性表⽰，且表达式不唯⼀；（3）当0=λ或1-=λ时，β不可由321,,ααα线性表⽰。
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第二节
正定二次型与正定矩阵
一、惯性定理
二、正（负）定二次型 的概念 三、正（负）定二次型 的判别
定理1(惯性定理 ) 设有实二次型 f = x T Ax , 它的秩 为r , 有两个实的可逆变换 x = Cy 及 使 及 x = Pz
2 f = k1 y12 + k2 y2 + L + kr yr2 2 2 f = λ1 z1 + λ2 z2 + L + λr zr2
2 2 2
且必存在正交变换将二 次型 f 化为标准形
q = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3
2 2
2
同时，由正交变换保持 向量长度的不变性，即
∑ xi i =1
3
2
= ∑ yi ，知该正交变换将 f 化为标准形
2 i =1
3
f = 2 y1 + 2 y2 − 7 y3 + k( y + y + y )
T
(4) 实二次型 f = x T ( − A) x为负定二次型 .
性质1 若A为正定矩阵,则 aii > 0; A为负定,则aii < 0
性质 2 实对称矩阵A正定,则 AT , A−1 , A*也正定
性质 3 若A, B均为正定矩阵, 则A + B也是 正定矩阵
例1
2
试问 k 取何值时 ,
2 2 2 2 2
f = x1 − 4x1 x2 − 2x2 + 4x1 x3 − 2x3 + 8x2 x3 + k( x1 + x2 + x3 )
为正定二次型 . 解 二次型 q = x1 − 4 x1 x2 − 2 x2 + 4 x1 x3 − 2 x3 + 8 x2 x3 ⎡ 1 −2 2 ⎤ A = ⎢− 2 − 2 4 ⎥ ⎢ ⎥ 4 − 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ 2 令 A − λI = 0，可求出三个特征值为 2，， 7， 2 −
例4
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例5
若二次型
2 2 2 f = x1 + 4 x2 + 2 x3 + 2tx1 x2 + 2 x1 x3
正定，求参数 t 应满足的条件. ⎛1 t 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ t 4 0 ⎟, 解 f 的矩阵为 ⎜1 0 2⎟ ⎠ ⎝ 根据定理 4，应有 A的各阶顺序主子式均为 正，由
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = −886 x1 − 2003 x2 为负半定二次型
三、正(负)定二次型的判别
定理 2 实二次型 f = x T Ax为正定的充分必要条 件是它的正惯性指数 π 等于变量个数 n.
推论 n阶实对称矩阵A正定 ⇔ A有n个正的特征值
定理 3 实二次型 f = x T Ax , 则下面的结论等价： （1）对任意的 n 维非零向量 x , 有 f = x T Ax > 0; ( 2) 二次型 f 的实对称矩阵的特征值 全为正数； ( 3) 存在可逆矩阵 P , 使得A = P P ;
2 2 2 2
它的系数分别为 1， ， − 1， ， 1，， ， 0可以没有） L 1， L − 0 L 0 （ ,
二次型的规范形是唯一的.
二、正(负)定二次型的概念
定义 1 设有实二次型 f ( x ) = x T Ax , 如果对任何 x ≠ 0, (1) f ( x ) > 0, 则称 f 是正定二次型，对应的
判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 + 4 x2 + 5 x3 − 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
⎛ 2 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ 二次型的矩阵为 A = ⎜ 0 4 0 ⎟ , ⎜− 2 0 5 ⎟ ⎠ ⎝ 令 A − λI = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 4, λ3 = 6.均为正数 ,
( ki ≠ 0 ) , ( λi ≠ 0 ) ,
则k1 ,L , kr中正（负）数的个数与λ1 ,L , λr中正 （负）数的个数相等 .
( i = 1, 2,L , r )
且标准形中正系数个数 称为 正惯性指数， 负系数个数称为 负惯性指数， 分别记作 π，υ .
规范形：
f = y1 + L + y p − y p+1 − L − yr
M > 0, L akk
(k = 1,2,L, n ).
例3 判别二次型 2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = 5 x1 + x2 + 5 x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 4 x2 x3 是否正定.
2 − 4⎞ ⎛ 5 ⎜ ⎟ 1 − 2 ⎟, 解 f ( x1 , x2 , x3 )的矩阵为 A = ⎜ 2 ⎜− 4 − 2 5 ⎟ ⎠ ⎝ 它的顺序主子式 5 2 −4 5 2 2 1 − 2 = 1 > 0, 5 > 0, = 1 > 0, 2 1 −4 −2 5 故上述二次型是正定的.
( 5)
f ( x )可正可负, 则称 f 为不定型二次型 x 2 + 4 y 2 + 16 z 2
2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 − 3 x2 2 2 f ( x1 , x2 ) = − x1 + 3 x2
为正定二次型 为负定二次型 为不定型二次型
实对称矩阵 A为 正定矩阵 . ( 2) f ( x ) < 0, 则称 f 是负定二次型，对应的 实对称矩阵 A为 负定矩阵 . ( 3) f ( x ) ≥ 0, 则称 f 是正半定二次型，对应 的实对称矩阵 A为正半定矩阵 . (4) f ( x ) ≤ 0, 则称 f 是负半定二次型，对应
的实对称矩阵 A为负半定矩阵 .
n1 nn
说明
a11 a11 < 0, a21
a12 < 0, a22
L,
M M < 0; an1 L ann
a11 L a1n
决不是矩阵 A负定的充要条件 . 而应是
推论 对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇 A 数阶顺序主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
a11 L a1k
( − 1) M
k
ak 1
2 2 2 2 1 2 2 2 3
= (2 + k) y1 + (2 + k) y2 + (−7 + k) y3
2 2
2
为使二次型正定，按定 理 2，必有 ⎧ 2+ k > 0 ⎪ ⎨ 2+ k > 0 ⎪− 7 + k > 0 ⎩
即
k >7
定理4 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶顺序主子式为正，即 a11 L a1n a11 a12 M > 0; a11 > 0, > 0, L , M a21 a22 a L a
a11 = 1 > 0,
a11 a12 = 1 a21 a22 t
t = 4 − t 2 > 0, 4
1 t
1
2
解得
A = t 4 0 = −2 t + 4 > 0 1 0 2
− 2<t< 2