华东理工大学线性代数第2册

华东理工大学线性代数 作业簿（第二册）学 院____________专 业____________班 级____________学 号____________姓 名____________任课教师____________1.4 矩阵的分块1．设3400320043004500,0020004100220062A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求（1）AB ；（2）4A . 解：11112222444211424242526000700(1);008200206(2),(25)625,101010161621214162500006250000160006416AB A B AB A B A B A A A I I A A A ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．设0020000304001000A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1_____________________________________A -=. 解： 1211112001100041000210003A A A A A A ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦.3. 已知分块矩阵111221W W W W O ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则TW =( ). (A) 112112W W W O ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 121121W O W W ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(C) 111221TT TW W W O ⎛⎫⎪⎝⎭； (D) 112112T T T W W W O ⎛⎫⎪⎝⎭. 解：D .4. 求满足2AX X I A -+=的矩阵X ，其中101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：由原式，整理得))(()(2I A I A I A X I A +-=-=-，而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-001010100I A 可逆，故由上式可得201030.102X A I ⎡⎤⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5. 设n 阶矩阵A ,B 满足A B AB +=.(1) 证明A I -可逆，且AB BA =；(2) 若已知130210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A . 解：（1）由,AB B A =+移项得O B A AB =--，即I I B A AB =+--，亦即,))((I I B I A =--从而得到I A -可逆；且由上式可得I I A I B =--))((，展开得,O B A BA =--即B A BA +=，结合条件知BA AB =.（2）由（1）知1)(--=-I B I A ，即,)(1I I B A +-=-而,1000031021010*******)(11⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=---I B 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2001310211A .6. 设()ij A a =是一个m n ⨯矩阵，(1) 计算,,T Ti j i j e A Ae e Ae ，其中i e 为m 阶单位矩阵的第i 列，j e 为n 阶单位矩阵的第j 列； (2) 试证：对任一m 维列向量,0T x x A A O =⇔=；(3)试证：对任一m 维列向量x 和任一n 维列向量y ，0T x A y A O =⇔=. 解：（1）[]TTT1212,,,,,,,,ii i in j j j mj i j ij e A a a a Ae a a a e Ae a ⎡⎤===⎣⎦ (2)“⇐”显然；“⇒” 由向量x 的任意性，取(1,2,...,i x e i m ==且i e 为m 阶单位矩阵的第i 列），则由(1)得[]T 12,,...,0i i i im e A a a a ==，即A 的第i 行为零向量，取遍1,2,...,i m = 知A 的每一行均为零向量，即O A =. (3) “⇐”显然；“⇒”由x 与y 的任意性，取,i j x e y e ==ie n j m i ;,...2,1,,...2,1(==与j e 分别为n m ,阶单位阵的第j i ,列），则由(1)得0==T ij j i a Ae e ，即A 的每一个元素都为零，亦即O A =.7．设n 阶矩阵[]ij A a =，n 维向量[1,1,,1]T α= ，(1) 计算A α； (2) 若A 可逆，其每一行元素之和都等于常数c ，试证：1A -的每一行元素之和也都相等，且等于1c.解：（1）设i e 为n 阶单位矩阵的第i 列，则有T 12[1,1,,1]n e e e ==+++α又设i α为A 的第i 列，则有A α＝112112121n k k n k k n n n nkk a a Ae Ae Ae a ===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑ααα (2) 由题设及(1)的结论可得：11A c A c-=⇒=αααα，即1A -的每一行元素之和都等于1c.1.5初等变换与初等矩阵1. 用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵.（1）1234⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）1122401611-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 解：（1）构造分块阵12103401⎡⎤⎢⎥-⎣⎦ ，并对其进行初等行变换 2121()(3)1010121012101231340101031011010r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 21(2)4210101001311010r -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即得112421;343110--⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦（2）11122102401213611418--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2. 已知211123120204212015A B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，,且有XA X B =+,求X . 解：1()()XA X B X A I B X B A I -=+⇒-=⇒=-111100111100[]110010~021110211001031201A I I --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦111100*********~010~010111222001132113001222⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎣⎦1123121295()2041112860151324149X B A I ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦.3. 已知101841100010,059,011102007021A B C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，计算 1111()()()TT T TU B C I AB BA ----⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦.解：T11T 11TTT 111T 1T 1T T 1T T1T (())()()()()()100101101011010112021102122U AB B C I BA A C AB AB C A B A B A C A -----------⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦4.已知123011456,010,001789100010A P Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则100101___________________________P AQ=.解： 132465798⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 5. 设111213212223212223111213313233311132123313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 12010100100,010001101P P ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则有（ ）. (A )12APP B =；(B )21AP P B =；(C )12PP A B =；(D )21P PA B =. 解：C .6. 解矩阵方程：010100143100001201001010120X -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 解：X 左右的两个矩阵均为初等矩阵，故而可逆且其逆也是初等矩阵，于是有11010143100100201001001120010X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦010143100100201001001120010-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=210134102-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7. 已知,A B 为三阶方阵，且满足124A B B I -=-.（1）证明2A I -可逆；（2）若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵A .解：1(1)2424(2)(48)8A B B I B AB A AB B A I I -=-⇒=-⇒---=(2)(4)8A I B I I ⇒--=所以2A I -可逆且11(2)(4)8A IB I --=-.111(2)(2)(4)82200208(4)21302110.004002A I B I A B I I I ---=--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⇒=-+=--+=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦8. 设矩阵A 可逆，且A~ijr B . 试证：（1）矩阵B 可逆； （2）求1AB -；（3）试证1A -交换第i 、j 列后可得矩阵1B -. 解：（1）依题意，有ij B R A =，其中ij R 为对应于初等变换ij r 的行初等矩阵，则由ij R 及A 均可逆知B 必可逆.（2）由（1），得11111()ij ij ij B R A A R A R -----===,故而11()ij ij AB A A R R --==.（3）由（1）,得11ij B A R --=，而i j i j R C =，故11ij A C B --=，即11ijc A B -- .。