四渐开线与摆线
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4-4渐开线与摆线
曲齿
摆线应用
人字齿
摆线应用
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构） 相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
摆线应用
斜齿
摆线应用
曲线齿
摆线应用
准双曲面齿轮
y
M O D
ϕC
A
B
E
设开始时定点M 在原点，圆滚动了ϕ角后与x轴 相切于点A，圆心在点B。 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
x
探究新知
3、摆线的参数方程 设点M 的坐标为( x, y ), 取ϕ为参数，根据点M 满足
的几何条件，有
x = OD = OA − DA = OA − MC = rϕ − r sinϕ,
y = DM = AC = AB − CB = r − r cos ϕ .
所以，摆线的参数方程为： 所以，摆线的参数方程为：
x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
探究新知
3、摆线的参数方程
M O y
ϕ
B
A
M O D
ϕC
A
B
E
x
摆线的参数方程为： 摆线的参数方程为： x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
x = r (cos ϕ + ϕ sin ϕ ) 解得 (ϕ是参数)。 y = r (sin ϕ − ϕ cos ϕ )
y M B
2、渐开线的参数方程
这就是圆的渐开线的参数方程。 这就是圆的渐开线的参数方程。 圆的渐开线的参数方程
ϕ
O A
新知运用
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳， 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳， 制造安装较为方便， 制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用 这种齿形。 这种齿形。 设计加工这种齿轮， 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线 方程。 方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
第二讲 四渐开线与摆线
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解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ， 即 y＝3.
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利用向量来建立摆线的参数方程． 解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时 定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A， 定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
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4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5． 已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝ 时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
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解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)， 它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝ ＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由 于 圆 的 半 径 是 6 ， 所 以 可 得 摆 线 方 程 是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ， 得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的 摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．
20-21版：四 渐开线与摆线（步步高）
(φ是参数) .
2 题型探究
PART TWO
一、圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
反思 感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练1
已知圆的渐开线方程为
x＝cos
φsin
30°＋φsin
φsin
30°，
本课结束
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φ， φ
(φ 为参数). ∴基圆半径 r＝12.
当 φ＝π 时，x＝－12，y＝π2，∴A 的直角坐标为－12，π2.
二、平摆线
例 2 已知一个圆的参数方程为x＝3cos φ， (φ 为参数)，那么此圆的摆线参数方程 y＝3sin φ
中参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
已知一个圆的摆线的参数方程是
x＝3φ－3sin
φ， (φ为参数)，则该摆线
y＝3－3cos φ
一个拱的高度是__6__；一个拱的跨度为__6_π__.
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高； 当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
3 随堂演练
PART THREE
1.圆
第二讲 参数方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 渐开线
1.圆的渐开线的定义 把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切， 外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 定圆 叫做渐开线的基圆. 2.圆的渐开线的参数方程 设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版高中数学选修四教学课件-渐开线与摆线
探究一
探究二
探究三
12345
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( ) A.只有圆才有渐开线 B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图 形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不 同 解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实 质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么地方建立 平面直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同. 答案:C
12345
12345
12345
12345
1
2
3
2.摆线 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹, 圆的摆线又叫旋轮线.
1
2
3
名师点拨
圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程,普通方程既烦琐又没有实 际意义.
1
2
3
1
2
3
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二பைடு நூலகம்
探究三
探究一
探究二
探究三
学习目标
思维脉络
1.借助教具或计算机软件,
观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹
(渐开线).知道平摆线和渐开线 的生成过程以及它们的参数方
程. 2.通过阅读材料,知道外摆线、
内摆线的生成过程;学会摆线
在实际应用中的实例.
1
2
3
1.渐开线 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧, 保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆 叫做渐开线的基圆.
四、渐开线与摆线
记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
人教版A版高中数学选修4-4渐开线与摆线
3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开 线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在 实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊 的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割 机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共 汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2＋y2＝1,
圆心 C1(0,0),半径 r＝1.
C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1 到直线 x－y＋
2＝0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点.
x＝cos θ (2)压缩后的参数方程分别为 C1′:y＝12sin θ
(φ 为参数)
的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线
x＝t， l:y＝t－a
消去参数 t 后得 y＝x－a.
椭圆
x＝3cos φ， C:y＝2sin φ
消去参数 φ 后得x92＋y42＝1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案:3
的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
解:(1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为
y＝2x－3;
ρ＝2 2sin(θ＋π4),即 ρ＝2(sin θ＋cos θ),两边同乘以 ρ 得 ρ2
的距离 d＝ 2 ＝ 2, 2
【名师点评】 消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦 函数时常利用平方和关系消参.
变式训练
5.直线yx＝＝－1＋1－4t 3t (t 为参数)被曲线 ρ＝ 2cos(θ＋π4)所截 的弦长为多少？
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3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是： 当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动地拱滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
?B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
四 渐开线与摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点 A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角? 的一段弧AB，
线段OA的长等于MA的长，即OA ? r?。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M
?B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M ?C
所以，摆线的参数方程为：
从点设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂???动足xy了分???别角rr(是(后?1C与?E?，xcs轴xDoi。ns相??切))于., (点? 为A，参圆心数在)点B。
设点M的坐标为(x, y),取? 为参数，根据点M 满足的几何条件，有
x ? OD ? OA ? DA ? OA ? MC ? r? ? r sin ? ,
y ? DM ? AC ? AB ? CB ? r ? r cos? .
3、摆线的参数方程
M
?B
OA y
B
M ?C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：?? ?
B
取? 为参数，则点 B的坐标为（ rcos? ,rsin ?）,从而
?
BM ? (x ? r cos ? , y ? r sin ? ),| BM |? r? .
O
A
x
由于向量 e1 ? (cos ? ,sin ? )是与OB同方向的单位向量，
因而向量 e2 ? (sin ? , ? cos ? )是与向量 BM同方向的单位向量。
x y
? ?
r(? ? sin ? r(1? cos?
), ).
(?
为参数)
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数
?
的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么 ？
小结 作业 P42：习题2.4
y
?x
? ?
yБайду номын сангаас
? ?
r(cos? r (sin ?
?? ??
sin ? cos?
) )
(?
是参数)。
M
B
?
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
2、摆线
所以 | BM |? (r? )e2 ,即
| BM |? (x ? r cos? , y ? r sin ? ) ? r? (sin ? , ? cos? )
解得
?x
? ?
y
? ?
r(cos? r(sin ?
?? ??
sin ? cos?
)
(?
)
是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
展开后成为切线，所以 切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
?
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
? 显然，点M由角 唯一确定。