6.平摆线与渐开线的参数方程
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人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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24
归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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10
2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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22
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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23
[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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12
4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
高中数学《参数方程-平摆线和渐开线》课件
5.求摆线
= 2(-sin),
(0≤t<2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.
= 2(1-cos)
π
2
3
2
解:当 y=2 时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵0≤t<2π,∴t= 或 π,
∴x1=2
2
π
π
;2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
首 页
一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
二
自主思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普
通方程吗?
提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困
UITANG LIANXI
探究三
探究一 求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径 r 即可.
【典型例题 1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线
的参数方程.
= (-sin),
思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
(φ 为参
= (1-cos)
数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,
因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
四、渐开线与摆线
记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
高中数学 第二章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线名师课件 北师大版选修4-4
则基圆的面积为 .
解析:由题意知基圆的半径为3,所以S=πr2=9π. 答案:9π
12345
5 已知圆 C 的参数方程是
������ ������
= =
1 + 6cos������, -2 + 6sin������
(������为参数),
直线������对应的普通方程是������ − ������ − 6 2 = 0.
B.
������ ������
= =
-4cos������, -4sin������
(������为参数)
C.
������ ������
= =
4(������-sin������), 4(1-cos������)
(������为参数)
D.
������ ������
= =
4(1-sin������), 4(������-cos������)
(������为参数)
答案:C
12345
3面积为81π的圆的平摆线的参数方程为
.
解析:因为 S=81π,所以 r=9.
所以圆的平摆线的参数方程为
������ ������
= =
99((���1���--csoins������������)),(������为参数).
答案:
������ ������
解:由题意知,y=1-cos t=1,所以 cos t=0,
∵当0t≤1=t<π2 2时π,,∴x=t1π2=−π2
, ������2 sin
=π2 =32ππ2. − 1, ������
=
1 − cos
π 2
=
1.
∴������
平摆线和渐开线
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︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
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【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆 的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入 参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1， 所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ）， 所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质， 体会渐开线上 动点所满足的几何条件， 建立渐开线参数方程的关键是 将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
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︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
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【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆 的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入 参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1， 所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ）， 所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质， 体会渐开线上 动点所满足的几何条件， 建立渐开线参数方程的关键是 将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
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高中数学 第2章 参数方程 2.4 平摆线和渐开线课件 北师大版选修44
φ 取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.
【导学号：12990031】
【解析】 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝21kπα－sinα， y＝21kπ1－cosα
(α 为参数，k∈N＋).
根据圆的摆线的参数方程
x＝rα－sin α， y＝r1－cos α
(α 为参数)，可知只需求出其中的半径 r.圆摆线的参数方
程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.
【答案】 A
圆的渐开线参数方程及其应用 已知圆的直径为 2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A，
B 对应的参数分别是π2和32π，求 A，B 两点间的距离.
【精彩点拨】 根据渐开线的参数方程，分别求出 A，B 两点的坐标，再由 A，B 两点间的距离公式求出.
【自主解答】 由题意，知 r＝1，则圆的渐开线参数方程为
【答案】 (1)√ (2)√
教材整理 2 渐开线的参数方程 1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头 离开圆周，保持线与 圆相切， 线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆 叫作渐开线的 基圆.
2.设基圆的半径为 r，圆的渐开线的参数方程是
x＝rcos φ＋φsin φ， y＝rsin φ－φcos φ
x＝cos φ＋φsin φ， y＝sin φ－φcos φ
(φ 为参数).
当 φ＝π2时，xy＝ ＝csions2ππ2－＋π2π2csoinsπ2π2＝＝π21， ，
所以 Aπ2，1.
当 φ＝32π时，xy＝ ＝csions3322ππ－＋3322ππ··csoins3322ππ＝＝－－312π，， 所以 B 点坐标为－32π，－1. 所以|AB|＝ π2＋32π2＋1＋12 ＝2 π2＋1.
高考数学平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AºB，
展开后成为切线，所以切线BM的长就是AºB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
uuuur
r
所以 | uuuur
BM
|
(r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
y
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
uuuur
uuuur
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
r
uuur
O
A
x
由于向量e1 (cos,sin )是与OB同方向的单位向量，
r
uuuur
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考在：摆P线44的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从点 设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂动足xy了分别角rr((是后1C与E，xcs轴xDoi。ns相切)).于, (点为A，参圆心数在)点B。
展开后成为切线，所以切线BM的长就是AºB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。
B
O
M A
2、渐开线的参数方程
y
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
设点M的坐标为(x, y),取为参数，根据点M满足的几何条件，有
x OD OA DA OA MC r r sin,
y DM AC AB CB r r cos.
3、摆线的参数方程
M
B
OA y
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xy
uuuur
r
所以 | uuuur
BM
|
(r )e2 ,即
| BM | (x r cos, y r sin) r(sin, cos)
解得
x
y
r(cos r (sin
sin ) cos )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(是参数)。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样摆的线曲在线它？与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
y
x y
r(cos r (sin
sin ) cos )
(是参数)。
M
B
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
显然，点M由角 唯一确定。
B
取为参数，则点B的坐标为（rcos,rsin）,从而
uuuur
uuuur
BM (x r cos, y r sin ),| BM | r.
r
uuur
O
A
x
由于向量e1 (cos,sin )是与OB同方向的单位向量，
r
uuuur
因而向量e2 (sin, cos )是与向量BM同方向的单位向量。
四 渐开线与摆线
1、渐开线 2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
思考在：摆P线44的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
线段OA的长等于M»A的长，即OA r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
3、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从点 设OM开分D始别时做定AA点BM，在x轴原的点垂，线圆，滚垂动足xy了分别角rr((是后1C与E，xcs轴xDoi。ns相切)).于, (点为A，参圆心数在)点B。