几何证明题集-R10-2

217 1kAA、。又作一平面2，使它们相距

2kAA



①。

（1）完备性：在探求已知：111POkAA，222KOkAA

1122,PP。 （2）纯粹性：在平面1上任取一点1P，连1APD，1BPC。

AB，

ABCD作AA于A，11PO于1O，则11PO1RAA。

又111:POAAkDC()DCAB， :()()DCDCABDCDCAB，因而DCDC。 由此可见，1P合条件即平面1上任一点合条件。 同理可证得平面2上任一点2P合条件。 由（1）、（2）所证得：1P点的轨迹是一平面1，2P点的轨迹是平面2。 讨论：若ABCD，则2P点无轨迹。在理论上，2在无穷远处。 注：若是ABCD，则题解中1P与2P性质应互换。 4.45 设形状和大小固定的三角形的顶点在一平面上变动，底边在另一给定平行

平面上变动，求重心的轨迹。 探求：平面平面，A， A点到平面的距离AA一定（就是与的距离）。 设AGBCM（G为重心）则:1:3MGMA，因此G点到平面的距离GG 13AA（定长）。

由此可见，G点的轨迹很可能是一平行平面、的平面，平面与的距离等于平面、

间的距离 13。

证明：在平面、之间，作一平面且距离为3

d，d是与的距离。

（1）完备性：AA作于A，GGG于。 :1:3MGMA，:1:3GGAA。

①若2k是负值，则表示2P与A在的异则。

题图 4-45 218

因此33AAdGG，G平面。 （2）纯粹性：设BCa，CAb，ABc。

在平面上任取一点G，过G在平面上任一线段BC，使13GBGCa。在平面 上求一点A，使23BAC，23CAb。连AGM，ABB，

ACC，则BMC、、共线，BCBC

。

13BGGCa，

12BMMCa。

又::1:3MGMAGGAA， G为ABC的重心。

再2BCBMa，32CAACb，32ABABc， G是合条件的ABC的重心。 因此平面，上任取一点符合条件。 综合（1）、（2）得：G点的轨迹就是一平面。 讨论：设ABC的BC边上高为h，与相距d，（1）若h≥d，则轨迹是一平面； （2）hd，则无轨迹。

注：假若题中不限定哪一边为底，则G的轨迹一般可能是三个平面。 4.46 求形状和大小固定的三角形的顶点的轨迹，已知它的底在一定平面上变

动，重心在与之平行的另一定平面上变动。 题设：点G是形状和大小固定的ABC的重心，平面、是两定平行平面，BC在上变动，G在上变动。 探求：连AGBCI，作AAA于，GGG于。设平面、相距为d，则GGd（定长）。

::1:3GGAAIGIA， 33AAGGd（定长）。

题图 4-46 219

由此可见，A点的轨迹可能是与在同一侧且平行于的一平面，在相距为3d。 证明：（1）完备性：在探求中已知A平面。 （2）纯粹性：在平面上任取一点0A，作0()AAB与的交线B，球

0()AAC与的交线C，又作一线段00BC，使00BCBC且0BB

，0CC。

000ABC则≌ABC，又易得00AB0C的重心0G

在平面上，由此可见，平面上任取

一点0A符合条件。

根据（1）、（2）知，A点的轨迹是平面 讨论：设G到BC的距离为h。 （1）若h≥d，则轨迹是一平面；

（2）若hd，则无轨迹。

注：如题中不限定哪一边为底，则A点的轨迹一般可能是三个平行平面。 4.47 由直径为d的定球面上的定点A任引一弦AP，并在其延长线上取点M使

APAMd，求点M的轨迹。 探求：设定球为()2dO，连()2dAOOB球，则

ABd。 2:APAMAB，因此AP::ABABAM。

PABBAM， PABBAM∽。 因而90MBABPA。 MBBA。 由此可知：M点的轨迹也许就是垂直AB于B的一平面。 证明：（1）完备性：在探求中，已见M平面。 （2）纯粹性：在平面上任取一点M，连MA交球()

2d

O于P，又连BPBM、，则

ABBM（AB，AM得），90APB。 在PAB和BAM中有90MBABPA，PABBAM。 因此PABBAM∽。 ::APABABAM故22APAMABd，因知M点满足条件。 由（1）、（2）得，M点的轨迹就是平面。

题图 4-47 220

4.48 在已知平面上求动点的轨迹，使该点到平面外两定点的连线与这平面成等角。 题设：AB、是平面外两定点，AAa

于A，BB于B，P是上的动点且满足APABPB。 求：P点的轨迹。 探求：APABPB，AAP 90BBP，

AAPBBP∽。 因此::PAPBAABBk常数。 此时由平面几何轨迹定理可知：P的轨迹很可能就是在平面上至两定点AB距离成定比k的动点轨迹u。 证明：（1）完备性：在探求中已知：:PAPBk。 Pu。 （2）纯粹性：在u上任取一点P，连PAPAPBPB、、、，则:PAPBR，即

::PAPBAABB。 90AAPBBP又，

AAPBBP∽，因而APABPB。 P点符合条件。 由（1）、（2）知，P点的轨迹是u。 讨论：（1）当AB时，轨迹是u； （2）当AB时，轨迹是一点。

注：u的作法：（1）若AABB则u就是以AB的定比内外分点连线为直径的阿氏圆。（2）若AABB，则u就是AB，的中垂线。 4.49 在空间给定两点AB、及正数r，试求满足下列条件之一的点M的轨迹：

（1）MArMB；

（2）MArMB。

探求：我们分三种情形来分析：1r和1r。 ①当1r时

题图 4-48 题图 4-49-1 221

1MArMB时，M点的轨迹是AB的中垂面， 当1MArMMB，点的轨迹就是平面的A所以的一侧。 当1MArMB，M点的轨迹就是平面的B所以的一侧。 证明：（略） ②当1r时

首先看一下，MArMB时，M点的轨迹是什么。由平面几何中间波罗尼斯轨迹定理知：M在过AB的任一平面上的轨迹是以AB的比为r的内外分点CD、连线为直径的圆()OR，由此可想见M点的轨迹应该是球()OR。 现在我们已经知道当MArMB时，M点的轨迹是球()OK。 当MArMB时，容易得知：M点的轨

迹就是球()OR将空间分成内外两部分中的A所在的这一部分。 当MArMB时，容易得知M点的轨迹就是球面将空间分成内外两部分中的B所在的这一部分。 证明：（1）当MArMB时，（题图4-49-3和题图4-49-4）。

题图 4-49-2 题图 4-49-3 题图 4-49-4 222

①完备性：在AB上求两点C、D使CAMACBMB，DAMADBMB，则由阿波罗尼斯轨迹可知：M在以CD，为直径的球O()R上， MArMB，CADACBDB，

CACACBCB，DADADBDB



。

因此，C在线段AC内，D在BD延长线（若1r或1r）。 CD与A在线段DC内或CD与A在CD线段外因而球'O(R)与A在球()OR内或外（1r或1r）。 又M球()OR， 故M与A在球()OR内或外（11rr或）。 ②纯粹性：为了证明的方便，改设1r，如果1r时能证得，那么仿此可证得

1r时也成立。 在球()OR内任取一点M。连MAMB、，显然MArMB；假若MAMBr，则可得M

在球()OR外。故只有MArMB，因此得球()OR内任一点M是符合条件。 同理可证得当1r时，球()OR外任一点。符合条件。 总结①、②两步证明，得M点的轨迹是球面()OR将空间分成的内、外两部分中A所在的这一部分。 （2）当MArMB时（题图4－49－1和题图4－49－2）仿（1）可证得M的轨迹是球

面()OR将空间分成的内外两部分中，B所在的这一部分。 4.50 试求所设两个或三个球成相等视角的点的轨迹。

题设：P是一动点，它对所设二球1122()()OROR、或三球1O12233()()()ROROR、、视角相等。 求：P点的轨迹。 探求：我们先分析对二个球视角相等的点的情形。设11APB22APB，

112222

APBAPB。