【青岛版】八年级数学下册专题讲练《勾股定理及逆定理的综合应用试题
2019八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理的综合使用试题 (新版)青岛版
勾股定理的综合使用一、勾股定理1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c += 2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变； ②根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
二、定理适用范围及应用 1. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。
2. 勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b ，a =； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系； ③可运用勾股定理解决一些实际问题。
总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。
例题1 已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+6，则这个三角形的面积为（ ） A.21B. 1C. 2D. 6 解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算。
答案：解：设两直角边长分别为x 、y ；∵直角三角形斜边上的中线长为1，故斜边长为2。
周长为2+6=x+y+2，得x+y=6。
① 由勾股定理得22y x ＝2。
②①②联立解得x y=1，故这个三角形的面积为21xy=21。
故选A 。
例题2 在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+2S 2+2S 3+S 4=（ ）A. 5B. 4C. 6D. 10解析：先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB ，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE ，然后利用勾股定理得到DE 2+BE 2=BD 2，代换后有ED 2+AC 2=BD 2，根据正方形的面积公式得到S 1=AC 2，S 2=DE 2，BD 2=1，所以S 1+S 2=1，利用同样方法可得到S 2+S 3=2，S 3+S 4=3，通过计算可得到S 1+2S 2+2S 3+S 4=1+2+3=6。
青岛版八年级数学下7.4勾股定理的逆定理同步训练题含答案
青岛版八年级数学下册第7章7.4勾股定理的逆定理同步训练题（含答案）一．选择题（共10小题）1．（•桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2．（春•兴业县期末）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3 B．8，15，17 C．6，8，10 D．9，12，15 3．（•岳池县模拟）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵树高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米（3题图）（4题图）（5题图）（6题图）4．（春•天津期末）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m5．（•科左中旗校级一模）如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．9 B．10 C．D．6．（•峄城区校级模拟）如图所示，是一圆柱体，已知圆柱的高AB=3，底面直径BC=10，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬行到对角C处去捕食，则它爬行最短路径是（）（本题π取3）．A．13 B．3C．D．27．（•资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm（7题图）（8题图）（9题图）（10题图）8．（春•大同期末）如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=（）A．30°B．45°C．60°D．35°9．（春•东平县校级期末）如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（）m2的红地毯．A．21 B．75 C．93 D．9610．（春•武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）cm2．A．336 B．144 C．102 D．无法确定二．填空题（共10小题）11．（•魏县二模）四边形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，∠BAD=90°，则△BDC 为三角形．12．（•本溪模拟）如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有个．（12题图）（14题图）（18题图）（19题图）13．（春•博兴县期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．14．（春•大石桥市校级期末）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，DB=8，则四边形ABCD的周长为．15．（春•日照期中）已知一个三角形的三边长分别为12、16、20，则这个三角形的面积是．16．（春•祁阳县期末）下列四组数：①4，5，8；②7，24，25；③6，8，10；④，，2．其中可以为直角三角形三边长的有．（把所有你认为正确的序号都写上）17．（春•潍坊期中）已知Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则AB边上的中线为cm，AB边上的高为cm．18．（春•启东市期中）如图，在高3米，坡面线段距离AB为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米．19．（•庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）20．（春•台安县期中）如图，以△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=9，S3=25，当S2=时∠ACB=90°．三．解答题（共5小题）21．（春•大石桥市校级期末）已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，求四边形ABCD的面积．22．（春•临清市期中）如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，求四边形ABCD的面积．23．（春•天河区期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD 的面积．24．（春•石林县校级月考）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，求这块空地的面积？25．（春•邹平县校级期末）已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点在格点上，称为格点三角形，试判断△ABC的形状．请说明理由．青岛版八年级数学下册第7章7.4勾股定理的逆定理同步训练题参考答案一．选择题（共10小题）1．A 2．A 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．C 10．B 二．填空题（共10小题）11．直角12．4 13．3或 14．20 15．96 16．②③④17．54.818．7 19． 20．16三．解答题（共5小题）21．解：连接AC．∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，∴AC==，在△ACD中，AC2+CD2=5+4=9=AD2，∴△ACD是直角三角形，∴S四边形ABCD=AB•BC+AC•CD，=×1×2+××2，=1+．故四边形ABCD的面积为1+．（21题图）（22题图）22．解：连接BD，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，∴BD===5，△BCD中，BC=12，DC=13，DB=5，52+122=132，即BC2+BD2=DC2，∴△BCD是直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=AD•AB+BD•BC=×4×3+×5×12=6+30=36．23．解：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A=90°，∠DBC=90°，∴这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2，=6+30，=36．故这个零件的面积是36．24、解：如图，连接AC．在△ACD中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴这块地的面积=△ABC的面积﹣△ACD的面积=×5×12﹣×3×4=24（平方米）．25．解：△ABC是直角三角形．理由：∵AB===，BC==，AC===，∴AC2+BC2=45+20=65，AB2=65，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．。
【青岛版】八年级数学下册专题讲练：勾股定理及逆定理的综合应用试题
例题 2 勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾
三，股四，则弦五”的记载。如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用
其面积关系验证勾股定 理。图 2 是由图 1 放入矩形内得到的，∠ BAC=90°， AB=2， AC=3，
∴∠ EBE′=90° ，BE=BE′=2 ，AE=E′C=1，∴ EE′=2 ∵E′Ｅ2+E′Ｃ2=8+1=9， EC2=9，∴ E′Ｅ2+E′Ｃ2=EC2，
2 ，∠ BE′E=45°，
∴△ EE′Ｃ 是直角三角形，∴∠ EE′C=90°，∴∠ BE′C=135°。
故答案为： 135。
开放性试题
开放性试题是与封闭性试题相对的、 没有固定答案或唯一结论的一种试题形式， 它在很
问：（ 1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号
。
（ 2）错误的原因是
。
（ 3）本题正确的结论是
。
*10. 如图，点 D是△ ABC内一点，把△ ABD绕点 B 顺时针方向旋转 60°得到△ CBE，若 AD=4，
BD=3， CD=5。
（ 1）判断△ DEC的形状，并说明理由； （ 2）求∠ ADB的度数。 **11. 如图，四边形 ABCD中， AD=DC，∠ ABC=30°，∠ ADC=6°0 。试探索以 为边，能否 组成直角三角形，并说明理由。
图 2： 拼成的等腰三角形的周长为 10+10+12=32；
图 3：根据图示知， 64+x2=（ x+6）2，解得， x= 7 ， 3
∴拼成的等腰三角形的周长为
青岛版数学八年级下册7.2《勾股定理》综合练习
7.2 勾股定理习题A ：1. ABC ∆中，∠C=90°，（1）若10c ,6b ==，则=a ____ ___。
（2）若12b ,5a ==，则=c _________。
（3）若25c ,24a ==，则=b _____ 。
（4）若4:3b :a =，20c =，则=a ____，=b ____。
2. （新颖题）已知ABC ∆中，∠C=90°，AB CD ⊥，垂足为D 。
cm 6BC ,cm 8AC ==，则=CD _________，=AD _________。
3. 已知ABC ∆中，∠C=90°，BC=5，30S ABC =∆，则AB=_________，AC=_________。
4. （典型题）如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3，BE=1，P 为AC 上的动点，则PB+PE 的最小值等于_________。
5. 如图，∠C=90°，AC=12，CB=5，AM=AC ，BN=BC ，则MN 的长是（ ）A. 2B. 2.6C. 3D. 46. 直角三角形的两条边长是8、15，则第三条边的长是（ ）A. 8B. 15C. 17D. 以上答案均不正确7. （山西）如图，分别以直角ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 为直径向外作半圆。
设直线AB 左边阴影部分的面积为1S ，右边阴影部分的面积为2S ，则（ ）A.21S S = B. 21S S <C. 21S S >D. 无法确定习题B：1. 已知ABC∆的面积。
∆中，AB=AC=5，BC=6，求ABC2. 如图，点B、C、D在同一直线上，A为直线外一点，且BD,AC=BC==⊥，求AB的长。
AD,9,2016CD3. 如图，点P、Q为ABCRt∆斜边AB的三等分点。
（1）若2CP=⊥，求以AB为一边的正方形的面积。
,ABCP（2）若2CP==，求以AB为一边的正方形的面积。
初中数学青岛版勾股定理的逆定理模拟模拟考题考点.doc
初中数学青岛版勾股定理的逆定理模拟模拟考题考点姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分一、选择题评卷人得分9．已知△ABC的三边分别为a，b，c，满足（a-24）2+（b-25）2+c2+49=14c，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不确定2．下列能构成直角三角形三边长的是（）A．1、2、3B．2、3、4C．3、4、5D．4、5、64．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1.5，2，2.5B．4，5，6C．2，3，4D．1，，36．适合下列条件的△ABC中,直角三角形的个数为（）①、a=，b=，c=②、∠A：∠B：∠C=1:2:3 ③、∠A=36°，∠C=54° ④a=1，b=2，c=3 A．1个B．2个C．3个D．4个4．下面每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5B．6、8、10C．D．5、12、133．以下列长度的三条线段为边，______________；9平方根是______________；64的立方根是______________．21．如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12．（1）AD⊥BD吗？为什么？（2）求四边形ABCD的面积．22．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABC中，DE为AB边上的高，DE=12，△ABE的面积为60，△ABC 是否为直角三角形？说明理由．22．如图，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上的一点，且AD=BE，∠DEC=90°（1）△CDE是什么三角形？请说明理由（2）若AD=6，AB=14，请求出BC的长．21．（本题6分）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，（1）请在正方形网格中画出格点△ABC；（2）求出这个三角形ABC的面积．24．（本题满分11分）如图所示，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若AB=4，AD=1，求线段CE的长．21．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．。
青岛版 八下7.4勾股定理的逆定理同步课时训练(word版含答案)
7.4勾股定理的逆定理同步课时训练一、单选题1．如图，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD ＝( )A ．3B ．4C ．4.8D ．5 2．已知ABC 的三边长分别为9，40，41，则ABC 的面积为（ ） A ．171 B ．180 C ．820 D ．不能确定 3．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．8，10，12 B ．3，4，5 C ．5，12，13 D ．7，24，25 4．在ABC 中，已知::5:12:13AC BC AB =，AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点E ．若ABC 的面积为S ，则ACD △的面积为（ ）A ．14SB ．518SC ．625SD ．725S 5．下列命题中是真命题的是（ ）A ．内错角相等BC ．等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合D ．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等6．已知实数a ，b 为ABC 2b 4b 40-+=，第三边c =则第三边c 上的高的值是( )A B C D 7．已知，△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，其对角分别为∠A ，∠B ，∠C ．下列条件能判定△ABC 一定不是直角三角形的是（ ）A ．a ：b ：cB ．b 2﹣a 2＝c 2C ．∠A ：∠B ：∠C ＝2：3：5D ．∠B ＝∠A +∠C8．在下列四个条件：①222AB BC AC +=，②90A B ∠=︒-∠，③12A B C ∠=∠=∠，④5:::3:2A B C ∠∠∠=中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ）． A ．①③ B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 9．在ABC 中，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，那么点D 到AB 的距离是（ ）A ．4.8B ．4C ．3D ．7410．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=︒，O 是ABC 内一点，10OA =，OB =6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '≅△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）A ．10B ．16C ．40D ．80二、填空题11．已知2、3_____．12．如图，在ABC 中，已知13,5,12,AB BC AC CD ===是ABC 的高线，则CD 长为__________．13．一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为_____． 14．已知直角坐标平面内的Rt △ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，3）、B （1，2）、C （3，-4），则直角顶点是_________．15．边长为6，8，10的ABC 内有一点P 到三边的距离均为m ，则m 的值为________． 16．如图，在钝角ABC 中，已知A ∠为钝角，边AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点D ，E ，若222BD CE DE +=，则A ∠的度数为________．三、解答题17．如图，已知等腰ABC 的底边13BC cm =，D 是腰BA 延长线上一点，连接CD ，且12BD cm =，5CD cm =．（1）判断BDC 的形状，并说明理由；（2）求ABC 的周长．18．如图，△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 分别交AC 、AB 于点D 、E ，且222AD DC BC -=．（1）求证：∠C ＝90°；（2）若AC ＝16，CD ：AD ＝3：5，求BC 的长．19．如图，已知△ABC ．（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC 边上作一点D ，使△ABD 的周长等于AB +AC ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若DC ＝3，AD ＝5，AB ＝4．求证：AB ⊥BD ．20．如图，把一块直角三角形（ABC ，90ACB ∠=︒）土地划出一个三角形（ADC ）后，测得3CD =米，4=AD 米，12BC =米，13AB =米．（1）求证：90ADC ∠=︒；。
青岛版数学八年级下册7.4《勾股定理的逆定理》同步练习
7.4 勾股定理的逆定理一、选择题1．假设c b a ,,为三角形的三边，那么以下各项中不能构成直角三角形的是〔 〕．A ．25,24,7===c b aB ．12,13,5===c b aC ．3,2,1===c b aD ．5,7,4===c b a2．假设ABC ∆的三边之比为2:3:1::=c b a ，那么这个三角形是〔 〕．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都不对3．假设三角形三边c b a ,,满足222233bc ac ab b a b a +=+++，那么ABC ∆的形状是〔 〕．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角形二、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，那么这个三角形是_______三角形．2．满足222c b a =+的三个_______数，称为勾股数．3．三角形三边之比是8：15：17，那么按角分类它是_______三角形．4．除3，4，5外，再找出5组勾股数：_______，_______，______，______，______．5．假设三角形三边长为45，53，28，那么此三角形是__________．6．在ABC ∆中，假设222BC AB AC =+，那么._______=∠+∠C B 7．一个三角形的三个内角之比为1：1：2，那么这个三角形三边之比为___________．8．ABC ∆的二边分别为5，12，另一边C 为奇数，且c b a ++是3的倍数，那么C 应为___________，此三角形为___________三角形．9．一个三角形的三边之比为3：4：5，这个三角形的形状是___________．10．三边长分别为6，8，10的三角形最大边上的高为__________．11．三角形的两边为3和5，要使它成为直角三角形，那么第三边长为_________．12．一个三角形的三边分别为k k k 13,12,5〔k 为自然数〕，那么这个三角形为_________三角形．13．如果ABC ∆的三边分别为40，41，9，那么这个三角形是___________．14．如图，CD AD ⊥于13,12,3,4,====AB BC CD AD D ，那么.___________,_____,===∆∆ABCD ABC ACD S S S 四边形15．ABC ∆的三边分别是)1(1,2,122>+-n n n n ，那么这个三角形是________． 16．2222,2,n m c mn b n m a +==-=〔n m ,是自然数，且n m >〕，那么以c b a ,,为边的三角形是__________三角形．17．设b a >，假设b a b a -+,是某个三角形较小的两条边，当第三边等于__________时，它是个直角三角形．三、解答题1．下面三组数分别是一个三角形的三边长a 、b 、c ，3，4，5 6，8，10 8，15，17〔1〕这三组数都满足222c b a =+吗？〔2〕分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？2．判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形．〔1〕a ＝7，b ＝24，c ＝25；〔2〕a ＝，b ＝2，c ＝〔3〕.32,1,45===c b a 3．：在ABC ∆中，BC BC AB ,10,13== 边上的中线12=AD ，你能说明AB 边和AC 边存在什么样的关系吗？4．在ABC ∆中，7,90=︒=∠AC C cm ，24=BC cm ，求：〔1〕ABC ∆的面积；〔2〕斜边AB ；〔3〕高CD 。
青岛版初中数学八年级下册《勾股定理的逆定理》随堂测试卷练习题
青岛版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！青岛版初中数学和你一起共同进步学业有成！7.4 勾股定理的逆定理1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。
2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。
小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.4．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。
5．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。
求证：△ABC是等腰三角形。
6．已知：如图，∠DAC=∠EAC，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC2=AE2+CE2。
求证：AB2=AE2+CE2。
147．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=，试判定△ABC的形状。
参考答案1．6米，8米，10米，直角三角形；2．△ABC、△ABD是直角三角形，AB和地面垂直。
3．提示：连结AC。
AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此∠CAB=90°，S四边形=S△ADC+S△ABC=36平方米。
4．6；5．提示：因为AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC。
6．提示：有AC2=AE2+CE2得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC，则AB2=AE2+CE2。
7．提示：直角三角形，用代数方法证明，因为（a+b）2=16，a2+2ab+b2=16，ab=1，所以a2+b2=14。
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勾股定理及逆定理的综合应用一、勾股定理的逆定理逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
逆定理说明：①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
②在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形。
二、实际应用定理中的注意问题1. 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；2. 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
三、勾股定理逆定理的几种典型应用总结：1. 理解勾股定理与勾股定理逆定理之间的关系；2. 掌握好数形结合的思想及方程思想的应用。
例题1 如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC 的长为（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18解析：延长AD 至E 使ED=AD ，利用好“AD 是中线”这个条件，再根据题中数据的特点正好符合勾股定理逆定理，得到直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质就可以求出BD 的长度了，再根据BC=2BD ，所以BC 的长也就求出了。
答案：解：延长AD 至E ，使DE=AD ；连接B E ， ∵AD=8.5，∴AE=2×8.5=17， 在△ADC 和△EDB 中，AD ＝DE ∵∠ADC ＝∠EDB BD ＝CD ，∴△ADC≌△EDB（S AS ），∴BE=AC=8，BE 2+AB 2=82+152=289，AE 2=172=289， ∴∠ABE=90°，∵在Rt△BED 中，BD 是中线， ∴BD=21AE=8.5，∴BC=2BD=2×8.5=17。
故选C 。
例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A. 50B. 52C. 54D. 56解析：延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，可得四边形AOLP 是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ 的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解。
答案：解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，边长AO=AB+AC=2+3=5，所以，KL=2+5=7，LM=3+5=8，因此，矩形KLMJ 的面积为7×8=56。
故选D 。
利用勾股定理计算角度例题 如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置。
若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度。
解析：首先根据旋转的性质得出∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE′C 是直角三角形，进而得出答案。
答案：解：连接EE′，∵将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3， ∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1，∴EE′=22，∠BE′E=45°， ∵E′E 2+E′C 2=8+1=9，EC 2=9，∴E′E 2+E′C 2=EC 2，∴△EE′C 是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠BE′C=135°。
故答案为：135。
开放性试题开放性试题是与封闭性试题相对的、没有固定答案或唯一结论的一种试题形式，它在很大程度上弥补了封闭性试题的种种不足，特别在考查学生思维的灵活性和广泛性，考查学生的实践能力和创新意识，以及情感、态度、价值观等方面有着封闭性试题所无法取代的优点。
可使同学们的主观能动性得到极好的发挥。
例题 如图，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形。
请给出4种不同拼法，并求所拼等腰三角形的周长。
解析：根据三角形的三边关系、勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定来作图；利用图形，分别求得每一个等腰三角形的周长。
答案：解：4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形如图所示： 图1：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+2248 =20+45； 图2：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12=32；图3：根据图示知，64+x 2=（x+6）2，解得，x=37， ∴拼成的等腰三角形的周长为2×（37+6）+10=2632；图4：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8=36。
（答题时间：45分钟）一、选择题1. 有下面的判断：①若△ABC 中，a 2+b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形。
②△ABC 是直角三角形，∠C=90°，则a 2+b 2=c 2。
③若△ABC 中，a 2－b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形。
④若△ABC 是直角三角形，则（a+b ）（a －b ）=c 2。
以上判断正确的有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2. 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，则此△为（ ） A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定*3. 已知正实数a 、b 、c 满足bca cb a ac b +=+=+=k ，以2k ，2k+1，2k －1为三边的三角形面积是（ ）A. 12B. 6C.512D. 3**4. 如图，以△ABC 的每一条边为边作三个正三角形△ABD、△BCE 和△ACF。
已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，则∠FCE=（ ）A. 130°B. 140°C. 150°D. 160°**5. 如图，已知正方形ABED 与正方形BCFE ，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有（ ）A. 10个B. 12个C. 14个D. 16个二、填空题*6. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90度。
将△ABC 沿折痕BE 对折，C 点恰好与AB 的中点D 重合，若BE=4，则AC 的长为 。
*7. 如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为个。
**8. 如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2= 。
三、解答题9. 阅读以下解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状。
错解：∵a2c2－b2c2=a4－b4…①，∴c2（a2－b2）=（a2－b2）（a2+b2）…②，∴c2=a2+b2…③问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误？请写出该步的代号。
（2）错误的原因是。
（3）本题正确的结论是。
*10. 如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5。
（1）判断△DEC的形状，并说明理由；（2）求∠ADB的度数。
**11. 如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°。
试探索以AB、BC、BD 为边，能否组成直角三角形，并说明理由。
**12. 已知：△ABC的周长是4+26，AB=4，AC=6+2。
（1）判断△ABC的形状；（2）若CD是AB上的中线，DE⊥AB，∠ACB的平分线交DE于E，交AB于F，连接BE。
求证：DC=DE，并求△DBE的面积。
1. C 解析：①c 不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC 是直角三角形，c 不是斜边，则（a+b ）（a －b ）≠c 2，故错误。
共2个正确。
故选C 。
2. C 解析：△ABC 是直角三角形。
理由是：∵a 2+b 2+c 2=10a+24b+26c －338，∴（a －5）2+（b －12）2+（c －13）2=0，∴a－5=0，b －12=0，c －13=0，即a=5，b=12，c=13。
∵52+122=132，∴△ABC 是直角三角形。
故选C 。
3. B 解析：∵bca cb a ac b +=+=+，∴c（b+c ）=a （a+b ），b （a+b ）=c （a+c ），化简后得：（c －a ）（a+b+c ）=0，（c －b ）（a+b+c ）=0，∵a+b+c≠0，∴a=b=c，∴k=2，∴以2k ，2k+1，2k －1为三边分别为4，5，3；∵32+42=52，∴三角形为直角三角形，直角边的长分别为3，4，根据直角三角形的面积公式，∴S=21×3×4=6。
故选B 。
4. C 解析：由题意，得S △ACF +S △BCE =S △ABD ，即43AC 2+43BC 2＝43AB 2。
从而AC 2+BC 2=AB 2。
所以∠ACB=90°，∠FCE=360°－（90°+60°+60°）=150°。
故选C 。
5. C 解析：可得到14个直角三角形，分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF。
故选C 。
6. 6 解析：根据题意，得DE 垂直平分AB ，则AE=BE ，得∠A=∠ABE。
根据折叠，得∠ABE=∠CBE，再根据直角三角形的两个锐角互余得∠A=∠ABE=∠CBE=30°∴CE=21BE =2，则AC=4+2=6。
7. 6 解析：如图，根据勾股定理知AB 2=12+32=10。