数量关系之整除倍数问题
数量关系公式大全
数量关系公式大全01.分数比例形式整除若a∶b=m∶n（m、n互质），则a是m的倍数，b是n的倍数。
若a＝m/n×b，则a＝m/（m＋n）×（a＋b），即a＋b是m＋n的倍数02.尾数法选项尾数不同，且运算法则为加、减、乘、乘方运算，优先使用尾数进行判定；所需计算数据多，计算复杂时考虑尾数判断快速得到答案。
常用在容斥原理中。
03.等差数列相关公式和=（首项＋末项）×项数÷2＝平均数×项数＝中位数×项数；项数=（末项－首项）÷项数＋1。
从1开始，连续的n个奇数相加，总和＝n×n，如：1＋3＋5＋7＝4×4＝16，……04.几何边端问题相关公式单边线型植树公式（两头植树）：棵树=总长÷间隔+1，总长=（棵树－1）×间隔植树不移动公式：在一条路的一侧等距离栽种m棵树，然后要调整为种n 棵树，则不需要移动的树木棵树为：（m－1）与（n－1）的最大公约数＋1棵；单边环型植树公式（环型植树）：棵树=总长÷间隔，总长=棵树×间隔单边楼间植树公式（两头不植）：棵树=总长÷间隔－1，总长=（棵树+1）×间隔方阵问题：最外层总人数＝4×（N－1），相邻两层人数相差8人，n阶方阵的总人数为n²05.火车过桥核心公式路程＝桥长＋车长（火车过桥过的不是桥，而是桥长＋车长）06.相遇追及问题公式相遇距离＝（速度1＋速度2）×相遇时间追及距离＝（速度1－速度2）×追及时间07.队伍行进问题公式队首→队尾：队伍长度=（人速＋队伍速度）×时间队尾→队首：队伍长度=（人速－队伍速度）×时间08.流水行船问题公式顺速＝船速＋水速，逆速＝船速－水速09.往返相遇问题公式两岸型两次相遇：S＝3S1－S2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离B为S2）单岸型两次相遇：S＝（3S1＋S2）/2，（第一次相遇距离A为S1，第二次相遇距离A为S2）；左右点出发：第N次迎面相遇，路程和＝（2N－1）×全程；第N次追上相遇，路程差＝（2N－1）×全程。
数量关系技巧总结
数量关系1、代入排除法优先使用代入排除法的题型：（1）多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程等（2）无从正面下手的题目，可以考虑代入排除2、奇偶特性法（1）和差同性：任意两个数的和如果是奇数（偶数），那么差也是奇数（偶数），任意两个数的差如果是奇数（偶数），那么和也是奇数（偶数）。
（2）任意自然数与偶数相乘，其结果必为偶数。
奇偶性应用特征：1）知道和求差、知道差求和2）二倍类，平均分3）形如a X+b Y=c类的不定方程3、整除特性法2，4，8整除及其余数判定法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当末一位数字能被2（或者5）整除；一个数能被4（或25）整除，当且仅当末两位数字能被4（或者25）整除；一个数能被8（或125）整除，当且仅当末三位数字能被8（或者125）整除；3，9整除判定法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字之和能被3整除；一个数能被9整除，当且仅当其各位数字之和能被9整除；4、倍数特性法例：班级男女比例为7:4，于是7 4 =男生人数一定是7的倍数，女生人数一定是4的倍数，总人数一定是11的倍数，男女之差一定是3的倍数，男生人数是总人数的7 11若a m=b n（m，n互质即不含有除1以外的公因数，m，n不能继续约分），则a是m的倍数，b是n的倍数，a-b是m-n的倍数5、方程法应用范围：和差倍比问题、鸡兔同笼、盈亏问题、工程问题、经济利润问题、行程问题等等。
设未知数的原则：1）在同等情况下，优先设所求的量2）设中间变量、份数（有分数、百分数、比例倍数特征）3）优先设小不设大6、不定方程（组）未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
例如，3x +5y =41，两个未知数但是只有一个方程。
1）限制性不定方程（组），未知数必须是正整数，例如未知数是人、桌子、盒子、笔等，默认未知数必须是正整数。
解题技巧：①奇偶特性②因子倍数③尾数法④代入排除2）非限制性不定方程（组），未知数不限制必须是整数，例如钱、时间、重量等，不必须是正整数。
公务员行测解题技巧：教你3招秒杀数量关系题
行测考试中，最费时费力的题目当属数量关系，小伙伴们普遍反映虽然这类题题干不长，但是想要得出正确答案，需要消耗不少时间。
“那么，既省时又能快速解题的办法有吗”第一个秒杀技巧——和值法应用环境：如果题目中出现，“共”、“总共”等字眼的话，这个技巧就派上了用场了，具体怎么用呢，举个例子说明：【解析】正确答案为D。
这道题如果按照常规的解法，非常浪费时间，而在考场上，我们根本没有那么多时间可以去挥霍，所以这里就要用到和值法了。
已知甲乙两种食品共100千克，而选项中，只有A+D=25+75=100千克，所以可以直接排除BC选项了。
那么到底选A还是D呢，再根据题意“甲降价20%，乙提价20%”，不管降价还是提价都是20%，最后总值却比原来减少140元，就可以看出甲食品比乙食品多，所占整体比例更大，所以答案直接可以选出答案D了。
总结：通过和值法这个小技巧，遇到同类型的题目，10秒就能帮我们快速锁定答案，是不是很赞!第二个秒杀技巧——整除法应用环境：①只要题目中出现，“整除”、“平均”、“每”等字眼的话，就可以用的哦!②题目中出现数据：倍数、分数、百分数、比例数时也是可以用整除的。
具体怎么用呢，举2个例子说明。
先来看第一个例子：【解析】正确答案为B。
题目中出现了“每”，所以可以考虑整除。
由“每排4人、5人或6人，最后一排都只有2人”可知，学生总数减去2后，还能被4、5、6同时整除。
结合四个选项，只有B选项满足条件。
所以选择B。
总结：这个是应用环境①的具体题型展示，通过题意，直接找到结果和条件之间存在的整除关系，快速求解。
再来看第2个例子：【解析】正确答案为A。
看完这道题，先别火急火燎忙着计算，先看一下题意，从“今年男员工比去年减少6%”，可知：今年的男员工的人数=0.94倍去年男员工的人数，列个公式：，化简，今年：去年=47：50，说明今年的男员工人员要能被47整除。
最后再看选项，只有A选项能被47整除，所以选择A。
【数学】第一部分数量关系数学运算
【关键字】数学第一部分数量关系——数学运算第一章数学运算快解必备第一节数学运算必备知识核心考点一整除的判定一个整数（100）除以另一个非零整数（5），商为整数（20），余数为零（0），就说这个整数（100）可以被另一个整数（5）整除。
整除具有两个重要性质：1.可传递性A能被B整除，B能被C整除，则A能被C整除。
如42能被14整除，14能被7整除，则42能被7整除。
2.可加减性A能被C整除，B能被C整除，则A+B、A-B都能被C整除。
如21能被3整除，12能被3整除，21+12=33能被3整除、21-12=9能被3整除。
在数学运算中，需要重点掌握判定一个数能否被3、9、5、8、6整除的方法。
如下表所示：核心考点二质数与合数1.质数与合数注意：2是唯一一个是偶数的质数，其他质数都是奇数。
1既不是质数，也不是合数。
2.100以内的质数100以内的质数共有25个，从小到大依次是2,3,5,7,11,13,17,19,23,27,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。
注意：4是最小的合数。
个位数字和十位数字都是质数的两位质数有4个：23,37,53,73。
3.质因数分解任何一个合数都能够写成若干个质数相乘的形式，这些质数成为这个数的质因数，这个过程成为质因数分解。
质因数分解都可以通过短除法来实现，其基本步骤：从最小的质数2开始，去除要分解的数，直到不能除尽，然后换更大的质数继续进行，直到等到一个质数为止。
注意：1可以被任何数整除，要注意1的存在。
分解质因数不会出现1，这是1容易被忽略的原因。
核心考点三公约数与公倍数1.最大公约数24能被3整除，3就是24的一个约数，同时，3也是36的一个约数，则3就是24和36公共的约数，简称公约数。
不难发现，4、6、12也是24和36的公约数，数学运算中主要考察所有公约数中最大的那个，即最大公约数。
求两个数的最大公约数，可以采用短除法。
数量关系解题技巧附例题解析
数量关系解题技巧附例题解析数量关系解题技巧附例题解析：解题技巧一、解题时整体把握，抓住出题人思路【例1】将A、B、C三个水管打开向水池放水，水池12分钟可以灌满;将B、C、D三个水管打开向水池放水，水池15分钟可以灌满;将A、D两个水管打开向水池放水，水池20分钟可以灌满。
如果将A、B、C、D四个水管打开向水池放水，水池需( )分钟可以灌满。
A.25B.20C.15D.10解析：选择D。
此题出题人考的是考生整体把握的能力，A、B、C三个水管打开向水池放水，水池12分钟可以灌满，而现在加入D管，帮助A、B、C三个水管放水，因此时间一定低于12分钟，因此此题选D。
解题技巧二、题干信息与选项成比例或倍数关系：想倍数，想整除【例2】一列客车长250米，一列货车长350米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车尾相离经过15秒，已知客车与货车的速度之比是5：3。
问两车的速度相差多少?A.10米/秒B.15米/秒C.25米/秒D.30米/秒解析：选择A。
此题问的是两车的速度相差，因此，做题时找与问题直接相关的数据，客车与货车的速度之比是5：3，而B、C比值正好是5：3，推断分别为客货车速度，而两车速度相差为10米/秒。
【例3】学校有足球和篮球的数量比为8∶7，先买进若干个足球，这时足球与篮球的数量比变为3∶2，接着又买进一些篮球，这时足球与篮球的数量比为7∶6。
已知买进的足球比买进的篮球多3个，原来有足球多少个?A.48B.42C.36D.30解析：选择A。
足球和篮球的数量比为8∶7，A、B选项刚刚为8：7，推断它们分别为足球与篮球的数量，而且只有48是8的倍数。
因此选A。
解题技巧三、确实没时间要放弃，根据奇偶性选与众不同的选项【例4】某地劳动部门租用甲、乙两个教室开展农村实用人才培训。
两教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。
两教室当月共举办该培训27次，每次培训均座无虚席，当月共培训1290人次。
【备战公务员考试】数量关系：用代入排除法、倍数特性法、方程法快速解题
数量关系：三大解题方法（第一课时）【注意】1.提前预习，学得轻松；做好复习，学得扎实。
2.学习任务：（1）课程内容:讲解三大解题方法，从方法的角度讲解数量关系应该如何做题，都是非常简单且很好认知的方法）：代入排除法、倍数特性法（存在技巧）、方程法（列方程，比较好接受）。
（2）重点内容：有同学学习数量关系是一听就会、一做就废，之所以会出现这种尴尬的情况，是因为做题的时候没有形成思维，思维其实就是一种套路,遇到什么题型就应该怎么想。
①掌握代入排除法的适用范围及使用方法。
②掌握倍数特性法的基础知识，以及余数型和比例型的解题思路。
③掌握设未知数的技巧，熟悉不定方程的解题思路。
第一节代入排除法【注意】代入排除法（把选项代入题干，对则选，不对则排除）：并不是所有的题目都能代入求解，一套题中有 1～2 题能代出来就不错了。
1.什么时候“代”。
2.怎么“代”。
3.代入排除的“逻辑”。
【知识点】什么时候“代”：分三个维度。
1.题型：（1）年龄问题（题干涉及年龄）：①例：3 年前张三的年龄是他女儿的 17 倍，3 年后张三的年龄是他女儿的 5 倍，那么张三的女儿现在：A.2 岁B.3 岁C.4 岁D.5 岁答：题干都是关于年龄的表述，为年龄问题，将选项代入题干，代入的时候需要结合常识，如年龄差不变，如今年老师和 A 相差7 岁，若干年后仍差 7 岁；法定婚龄必须满足客观事实，必须在满足法定婚龄之后才能结婚生子，太小或不成年则是不允许的，哪怕数据能对上也不行，因为公务员考试要符合最基本的价值观、法律和法规。
问小张女儿现在的年龄，3 年前女儿是存在的，故排除 A、B 项（3 年前不能是 0 岁或没出生），代入 C 项：女儿 3 年前1 岁，张三才 17 岁，这不太现实、不满足法定婚龄，排除 C 项，D 项当选。
题干分为 3 年前、现在、3 年后这三个时间点，代入时间点进行验证，看能否对应。
考试的时候，A、B、C 项明显错误，D 项不需要再验证，行测题不能没有答案，验证是费劲不讨好，掉入思维的误区，若 D 项也验证错误，则更耽误了自己的时间。
数量关系技巧
整除法在公务员行测考试中占有非常重要的位置，能够快速提高数量关系的解题速度，有效节省做题时间。
但由于其公务员考试出题方式的灵活性和隐蔽性，很多考生在考场上，经常因为思维紧张而忽略掉简便的算法。
那么如何来揭开笼罩公务员考试试题上的“神秘面纱”，熟练运用整除法？整除法在公务员考试行测数量关系中的运用主要由以下三种情况：一、明显型这类题比较简单，一般考生能够明显看出可以通过整除法来解题。
例1：已知甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13％是专业书，乙的书有12.5％是专业书，问甲有多少本非专业书（）[2009年国家公务员考试真题-109]A.67B.75C.87D.174天星公务员解析：书的数量有一个特点，就是最小的单位为1。
设甲一共有x本书，则甲的专业书的数量13x/100一定是整数，根据甲、乙两人共有260本书可知，x=100或200。
带入乙的条件，可知甲有100本书，乙有160本。
此题若是将书换为粮食，则无解。
提示：具有“最小单位为1”这样特点的还有人、动物之类不可拆的东西。
例2：小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的3/4。
小强答对了27 道题，他们两人都答对的题目占题目总数的2/3，那么两人都没有答对的题目共有（）A.3道B.4道C.5道D.6 道天星公务员解析：这是一道二集合的问题，题中只有一个条件是整数，即小强答对了27题，说明应该从整除法入手。
根据题意可知，题目总数的3/4和2/3都是整数，说明题目的总数可以被12整除。
通过“小强答对了27 道题”这个条件可知，只有ｘ＝36满足条件（很容易排除ｘ＝12，24，因为ｘ＜27；若ｘ＝48，则两人都答对2/3ｘ＝32＞27，不符合题意）。
通过二集合的方法可知两人都没有答对的题目共有6道。
二、技巧型这类题隐蔽性较强，大家可以通过正常的列方程之类的方法求得答案，但速度较慢，而整除法作为一种速算技巧却可以迅速求得答案。
例3：某剧场共有100个座位，如果当票价为10元时，票能售完，当票价超过10元时，每升高2元，就会少卖出5张票。
数量关系
知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。
整除问题是计算问题中数的性质里面的一种。
在公务员考试中，数的整除性质被广泛应用在运算里，同时在行程、工程等问题中，很多时候都需要用到整除性质。
整除问题一般只考两个方面，考生只需牢牢掌握这两个方面，便可轻松搞定这类问题。
核心点拨1、题型简介数的整除性质被广泛应用在数学运算里。
一般情况下题目会给出某个N位数能被M个数整除的已知条件，求解这个N位数。
2、核心知识如果a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，称a能被b整除(或者说b能整除a)。
数a除以数b(b≠0)，商是整数或者有限小数而没有余数，称a能被b除尽(或者说b 能除尽a)。
整除是除尽的一种。
(1)整除的性质A、如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。
如：36，54能同时被9整除，则它们的和90、差18也能被9整除。
B、如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。
如：63能同时被3、7整除，则63也能被3和7的最小公倍数21整除。
C、如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。
如：58能被29整除，则58乘以任意整数的积，例如58×5，也能被29整除。
D、平方数的尾数只能是0、1、4、5、6、9。
E、若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
F、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(2)整除特征表1 常见数字整除的数字的特3、核心知识使用详解(1)三个连续的自然数之和(积)能被3整除。
(2)实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的，这一点在解题的过程中需要考生自己来发掘。
(3)1能整除任何整数，0能被任何非零整数整除。
公约数与公倍数问题知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是计算问题。
公约数与公倍数问题是计算问题中数的性质里面的一种。
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数量关系之整除倍数问题
“时间就是分数。
”一谈到公务员考试，这六个字就是最大的真理。
考生在公考中节约出的分分秒秒，都会转化为实实在在分数。
鉴于此，专家在深入研究历年命题规律的基础上，为诸位考生总结出数学运算的求解整除倍数问题的秘笈并结合几个例子讲解数学运算中此类题的解题思路，希望广大备考2010年国家公务员的考生能领活学活用，提高公务员考试数学运算部分的作答速度。
【例1】铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。
如果甲、乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2/3，这条管道全长是多少米?( ) A. 1000米 B. 1100米 C. 1200米 D. 1300米【答案：C】常规解法：设乙需要X天完成这项工程，依题意可列方程。
(1/8+1/X)×4=2/3。
解得X=24。
也即乙每天可完成总工程的1/24，也即50米，所以管道总长为1200米。
所以，正确答案为C。
解法二：甲4天完成1/2，故乙4天完成2/3-1/2=1/6，又可求得乙4天完成40×4=200米，故全长为200÷(1/6)=1200米。
名师推荐解法：“4天完成全长的2/3”说明全长是3的倍数，结合选项直接选C。
【例2】男女老少分四组吃西瓜，每组人数相同，男一人一个，女两人一个，老三人一个，少四人一个，共吃了200个西瓜，问男女老少共有几人?( ) A. 368 B. 384 C. 392 D. 412
【答案：B】常规解法：可以设每组x人，那么x+x/2+x/3+x/4=200。
解得x=96，总人数为4x=384人。
名师推荐解法：根据“老三人一个，少四人一个”可知每组人数可被3和4整除，总人数也可被3和4整除。
而选项中只有B能被3整除。
故选B。
【例3】1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。
2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。
问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?( )
A.34岁，12岁
B.32岁，8岁
C.36岁，12岁
D.34岁，10岁
【答案：D】常规解法：快速读题，正确找出等量关系。
不妨设甲、乙在2000年的年龄分别是x、y岁由题意可列方程：x-2=4×(y-2)，x+2=3×(y+2)，解得x=34，y=10，因此选D。
名师推荐解法：我们可以从供选答案入手。
甲在2000年的年龄减去2(即1998年的年龄)应被4整除，由此排除B、C;在选项A、D中考虑乙的年龄，A中12-2=10，10的4倍是40，A不符合，因此选D。
【例4】(2007国考真题)现有边长l米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积积总量为( )。
A.3.4平方米
B.9.6平方米
C. 13.6平方米
D. 16平方米
【答案：C】常规解法：大正方体的浸泡面积是1×1+0.6×4=3.4平方米，小正方体边长为大正方体的1/4，面积是大正方体的1/16，共有64个小正方体。
那么小正方体沉入水中的表面积应为大立正方体的64×1/16=4倍，故小正方体直接和水接触的表面积总量为3.4×4=13.6平方米。
因此选C。
以上思路已经是常规解析中计算量最小的方法，然而在本题中我们无
需计算出最后答案!
名师推荐解法：大正方体的浸泡面积是1×1+0.6×4=3.4平方米，分割后小立方体和水接触的表面积一定可以被3.4整除。
所有答案中，AC符合。
而A是大立方体和水接触的表面积。
我们知道，分割后小立方体和水接触的表面积应该是大于大正方体浸入水中的表面积1×1+0.6×4=3.4的。
因此选C。
【例2】(2004山东真题)某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数(包括不做)相差多少?() A. 33 B. 39 C. 17 D. 16
【答案：D】常规解法：50题全做对将得到50×3=150分，现在只得了82分，说明此人失去了150-82=68分，那么他做错了68÷(3+1)=17，故答对的题目和答错的题目相差50-17×2=16道。
这是鸡兔同笼问题的典型解法，一般来说熟练这种方法后，要比列两个方程求解速度更快些。
但是，这个方法仍有计算量，以及略显曲折的分析过程。
但只要仔细分析题目就可以找到本题的关键点：奇偶性!
名师推荐解法：定理：a+b与a-b的奇偶性相同。
我们只要看完题干中的第一句话“某次测验有50道判断题”，就可得出a+b=50(其中a是答对题数，b是答错题数)。
故a-b亦为偶数。
而答案中只有选项D是偶数。
故选D。
一秒之内，答案可得。
综上，在做数学运算题目时，若是进行发散思维，熟练运以上技巧，答案往往不需要直接算出来。
这样就节约了大量宝贵时间。
只要做到这一点，我们就站在了公考的制高点上。