数的整除特征基础篇
数的整除特征
如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）
整除的特征
整除的特征：一个数能否被另一个数整除，要根据一定的规律来判断，所以要掌握一些特征。
（1）能被2 整除的数的特征：个位数是0、2、4、6、8的整数能被2整除。
例如：10、72、34、56、98都能被2整除。
（2）能被5整除的数的特征：个位数是0或5的整数能被5整除。
例如：180、315都能被5整除。
（3）能被3或9整除的数的特征：各个数位上数字的和是3或9的倍数的整数，能被3或9整除。
例如：5037各数位上的数的和是15，15是3的倍数，所以5037能被3整除。
4878各数位上的数的和是27，27是9的倍数，所以4878能被9整除。
能被9整除的数必然能被3整除，但能被3整除的数不一定能被9整除。
一个自然数除以9的余数与它的各个数位上的数字和除以9的余数相同。
（4）能被4 和25整除的数的特征：末尾两位数是4或25的倍数的整数，能被4或25整除。
例如：712末尾两倍数是12，12是4 的倍数，所以712能被4整除。
975的末尾两倍数是75，75是25的倍数，所以975能被25整除。
如果一个数既能被4整除，又能被25整除，那么这个数一定是整百数。
如700、2800都能同时被4 和25整除。
（5）能被8和125整除的数的特征：末尾三位数是8或是125的倍数，能被8或25整除。
例如：2408的末尾三位数是408，408是8的倍数，所以2408能被8整除。
9250末尾三位数是250，因为250是125的倍数，所以9250能被125整除。
如果一个数既能被8整除，又能被125整除，那么这个数一定是整千数。
如1000、3000、78000等。
（6）能被11整除的数的特征：如果一个数奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差是11的倍数，那么这个整数就能被11整除。
例如：189354奇数位上的数之和是1+9+5=15，偶数位的数之和是8+3+4=15，它们的差是15-15=0，因为0能被11整除，所以189354能被11整除。
数的整除的特征
一、数的整除的特征1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k （其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可。
由于4｜96能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，2 4，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024， (9)84，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，3 75，500，625，750，875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
数论入门之神奇的整除
【例3】(★★★) 某个七位数 1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除， 那么它的最后三位数字依次是多少？
【例5】(★★★) 四个学生各任意写一个六位数且个位不为0。把个位数字移到首位， 其它位数字依次向后移一位。把得到的新的六位数与原六位数做和， 得到以下结果：172536、568741、620708、845267。哪个结果有可 能是正确的？
【因数倍数】 一、基本概念： 3．最小公倍数的定义： 如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数， 那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。 在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若 干个自然数的最小公倍数。
8 ,12 24， 6, 9,15 90 例如：
【因数倍数】 二、最大公因数与最小公倍数的求法 1．分解质因数法： ⑴最大公因数： 先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如：① 231 3 7 11, 252 2 2 3 3 7 , 所以 (231, 252 ) 3 7 21 ② 24 2 2 2 3, 36 2 2 3 3 , 所以 (24 , 36 ) 2 2 3 12
【数的整除】 3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作 差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数 能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和 的差(大减小)是否为11的倍数 这个差除以 余几就代表这个数除以11余几 (注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位 的数字和) 4．拆分系： 72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……
39 6 3 2 所以 18 , 12 2 3 3 2 36
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
数的整除的特征2
整除的特征1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。
如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。
另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。
15、若一个整数能被3和5整除，则这个数能被15整除。
16、若一个整数的末位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
17、若一个整数能被2和9整除，则这个数能被18整除。
18、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，。
小学数学竞赛七、数的整除特征(一)
七、数的整除特征（一）小学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数一定能被2整除；若一个自然数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除；若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数一定能被3整除.由上面提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上面这些具体的事例一般化，就可得到数的整除的几个重要的性质（严格来讲，下面的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除.下面通过几个例子向同学们再介绍几个数的整除特征.例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.分析与解43217□的个位数字现在不知是几，先假设它为x，那么43217=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）除，那么43217x也一定能被4（或25）整除.因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.通过这个例题，我们得到一个数能被4（或25）整除的特征是：如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除. 分析与解设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□375，500，625，850，975这八种情况，只有375、975满足要求.…，104，112，…，176，184，…，272，…，376，…，472，…，576，…，672，…，776，…，872，…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这十个数满足要求.因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.通过这个实例，我们得到一个数能被8（或125）整除的特征是：如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.分析与解同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么4□32□=40000+x×1000+300+20+y=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）不论x是什么数字，9一定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.因为9是9的倍数，所以432能被9整除.因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，432，432，432，432，432，432能被9整除.因为27是9的倍数，所以432能被9整除.通过这个实例，我们得到一个数能被9整除的特征是：如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.例4 在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.分析与解要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件.当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00，25，50，75.再考虑第二个条件，□1992□□能被8整除，当□1992□□能被8整除时，它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数，但200，225，250，275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以七位数的十位与个位□内只能填0.最后考虑第三个条件，被9整除.□1992要被9整除，其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，所以七位数百万位□内只能填6，这样便找到了问题的解答.首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以□1992□□的十位与个位□内只能填0.因为1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍数，所以□1992□□的百万位□内只能填6.1992能同时被9、25、8整除.解答这类问题时，要一个一个条件分别来考虑，然后通过枚举和筛选找出符合要求的解答来.例5 把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112…199519961997，试求这个多位数除以9的余数.分析与解从例4最后得到的一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数.这一来上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题.这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍.因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：45+55+65+…+125+135=900因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100，900+200，…，900+800，900+900·这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为：900+1000+…+1700+1800=13500因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为：13500+1000=14500，这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为：13500+14500=28000.1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28.28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位数除以9余0.另外还有一个较为省事的求和方法，将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组：（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）……（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：（1+9+9+9）×1000=28000其余的与上面提到的相同，故从略.本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除.而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位数除以9余0，与前面的结果相同.为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2，…，7，8这九个数，而这九个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除.。
数字的整除特性(实用好用)
数字的整除特性1．我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被2整除来区分偶数与奇数的。
因此，有下面的结论：末位数字为0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
偶数总可表为2k，奇数总可表为2k＋1（其中k为整数）。
2．末位数字为零的整数必被10整除。
这种数总可表为10k（其中k为整数）。
3．末位数字为0或5的整数必被5整除，可表为5k（k为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。
如1996＝1900＋96，因为100是4和25的倍数，所以1900是4和25的倍数，只要考察96是否4或25的倍数即可能被25整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。
能被4整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。
5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。
由于1000＝8×125，因此，1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432＝765000＋432显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。
由于432＝8×54，即432能被8整除，所以765432能8被整除。
能被8整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。
由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；125×7＝875；125×8＝10000故能被125整除的整数，末三位数只能是000，125，250，375，500，625，750， 875。
6．各个数位上数字之和能被3（9）整除的整数必能被3（9）整除。
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什么是整除
若整数a 除以大于0的整数b ，商为整数，且余数为零。
我们就说a 能被b 整除(或说b 能整除a )，记作b |a ，读作b 整除a 或a 能被b 整除。
常见数的整除特征：
末位系：2，5：看末一位
4，25：看末两位
8，125：看末三位
数字和系：3，9：看数字和
数字差系：11：看奇位和与偶位和的差
7，11，13系列：
⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除；
⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。
常见整除性质：
⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
(★★)
在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例1
数的整除特征(上)
例2
(★★★)
四位偶数64WW
能被11整除，求出所有满足要求的四位数。
(★★★)
两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。
例3
例4
(★★★)
在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些
例5
(★★★★)
请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个
例6
(★★★)
能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除【先睹为快】。