三角函数的图象 2

三角函数的图象与性质
考纲要求：B
1.“五点法”作图原理
在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是________、__________、__________、__________、__________.余弦函数呢？
2.三角函数的图象和性质
都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期).函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0且为常数)的周期T ＝2π
ω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0)
的周期T ＝π
ω.
基础自测
1.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
π4－x 的定义域为_________________________. 2.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________.
3.设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π
4
，则f (x )的最小正周期是________.
4.y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
4的最大值为________，此时x ＝______________. 5.下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是
( )
A. (0，π)
B.⎝⎛⎭⎫－π2，0
C.⎝⎛⎭⎫3π2，2π
D.⎝
⎛⎭⎫－π，－π
2 题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域： （1）21
cos )lg(sin -
+=x x y 求函数y ＝x 2
1log 2+＋tan x 的定义域.
题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： （1）)3
2sin(π
+
=x y ； (2)y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫－2x ＋π
3； （3)y ＝|tan x |.
变式训练：(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝
⎛⎭⎫4x －π
6的周期、单调区间及最大、最小值； (2) 求函数)6
6
)(3
2sin(2π
π
π
<
<-
+=x x y 的值域
题型三 三角函数的对称性与奇偶性
例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π
2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________.
(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫
4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为___________
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(A 级)
1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点. 如下表所示.
2.函数y ＝ 方法一
画出y ＝sin x 的图象
_______________________
得到y ＝sin (x ＋φ)的图象
____________
得到y ＝sin (ωx ＋φ)的图象____________________得到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象 方法二
画出y ＝sin x 的图象______________________得到y ＝sin ωx 的图象__________________ 得到y ＝sin (ωx ＋φ)的图象___________________________得到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象 以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩；方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量.
3.当函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做________，T ＝2πω叫做________，f ＝1
T 叫做________，ωx ＋φ叫做________，φ叫做________. 基础自测
1. y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
4的振幅为________，频率和初相分别为________、________. 2.要得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的图象，只需将函数y ＝3sin 2x 的图象向________平移________个单位.
3(2011·大纲全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π
3
个单位长度后，所得
的图象与原图象重合，则ω的最小值等于_____________
4.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫5x －π2的图象向右平移π
4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2，所得的函数解析式为________________
题型一 作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 例1 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.
题型二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
例2 已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝⎛⎭⎫π
2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫32π，0，若φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2.
(1)(2011·江苏)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所
示，则f (0)的值是______.
(2)(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)，
y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π
24)等于
( )
A. 2＋ 3
B.3
C.
3
3
D.2－ 3
巩固练习
1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象 （A ） 向左平移1个单位 （B ） 向右平移1个单位 （C ） 向左平移
12个单位 （D ） 向右平移1
2
个单位 2.【2012高考新课标文9】已知ω>0，πϕ<<0，
直线4
π
=x 和4
5π
=
x 是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=___________
3.【2012高考山东文8】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为_________ 4.【2012高考全国文3】若函数()sin
([0,2])3
x f x ϕ
ϕπ+=∈是偶函数，则=ϕ________ 5【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是( )
6.【2102高考福建文8】函数f(x)=sin(x-4
π
)的图像的一条对称轴是( ) A.x=4π B.x=2π C.x=-4π D.x=-2
π
7.【2012高考天津文科7】将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4
π
个单位长度，
所得图像经过点（
34
π，0），则ω的最小值是___________
8.【2012高考湖南文18】（本小题满分12分） 已知函数()sin()(,0,02
f x A x x R π
ωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.
（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）求函数()()()12
12
g x f x f x π
π
=-
-+
的单调递增区间.。