三角函数图像与性质题型专题
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
三角函数的图像与性质专项训练(解析版)
三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质
高考数学专题复习：三角函数的图像与性质一、单选题1．函数()41sin 2x xf x x -=⋅的部分图像可能是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()sin 733x xxf x -=- B ．()sin 733x xxf x -=- C ．()cos 733x xxf x -=- D ．()cos 733x xxf x -=- 3．函数()sin 6f x A x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>的部分图象如图，()f x 的最小正零点是512π，则()f x =（ ）A ．72sin 12x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．2sin 26x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．sin(2)6x π+4．函数()43f x cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象的一条对称轴可能是直线x =（ ）A ．53-B ．13- C ．3π D ．43π5．现有四个命题： ①()0,1x ∃∈，tan 2x x +=； ②ππ,42x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1tan 4tan 1x x +≥-； ③函数()cos tan f x x x x =+的图象存在对称中心；④函数函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小为π．其中真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移6π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的值可以为（ ） A ．2π-B ．6πC ．3π D ．2π 7．将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，则下列说法不正确的是（ ） A ．函数()g x 的周期为π B ．π162g ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()g x 是奇函数D ．直线πx =是函数()g x 的一条对称轴8．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(]0,2C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦9．已知函数()1sin ,0,21cos ,0,2x x f x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩若()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点，()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点，则正数a 的取值范围是（ ） A ．138,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1910,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．819,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，那么=2f π⎛⎫⎪⎝⎭（ ）AB ．12CD11．函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0>ω，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）A ．()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12．下列函数为偶函数的是（ ） A ．2cos y x x = B ．sin y x =- C ．tan2y x = D ．cos sin y x x =+二、填空题13．设函数()sin f x x =，[],x a b ∈，其值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，设b a -最大值为M ，最小值为N ，则M N -=________14．函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为________．15．已知()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，π02ϕ<<）的图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，要使该函数解析式为()πcos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，还应该给出的一个条件是________．16．若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图，则ω=________．三、解答题17．已知函数()sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0ϕπ<<，0>ω）图象的一条对称轴方程为12x π=，且()f x 相邻的两个零点间的距离为2π.（1）求()f x 的解析式； （2）求方程()34f x =在区间[]0,2π内的所有实数根之和.18．已知函数()4sin()10,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且(0)3f =.（1）求ω和ϕ的值.（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象， ①求函数()g x 的单调递增区间；②求函数()g x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.19．已知()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭．（1）化简函数()f x 的解析式； （2）设函数()324g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调增区间．20．已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域.21．已知函数()15sin 22cos 242f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调区间；（2）若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，求t 的取值范围.22．已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. （1）求函数()f x 的单调减区间;（2）求函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域; （3）若方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解，求实数m 的取值范围.参考答案1．A 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再根据特殊的函数值排除一个后可得． 【详解】4141()sin()sin ()22x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=，为偶函数，排除BD ，又(0)0f =，排除C ． 故选：A ． 2．D 【分析】由图象知()f x 是奇函数且当0x +→时()f x →+∞，结合各选项的解析式，利用奇偶性定义排除偶函数选项及0lim ()x f x +→=-∞的选项即可. 【详解】由图象知：()f x 是奇函数，而()()sin(7)sin 7()3333()x x x x f x x xf x -----===---，即为偶函数，排除A ；同理B 中()f x 也是偶函数，排除；当0x +→时，由图知()f x →+∞，而cos 71x →且33x x ->，此时cos 73(3)x xxf x -=→-∞-，故排除C. 故选：D 3．B 【分析】由图可得2A =，令()0f x =有(61)6k x πω-=，根据()f x 的最小正零点是512π求ω，即可写出()f x 的解析式.【详解】由图知：2A =，令()2sin()06f x x πω=+=，∴sin()06x πω+=，则(61)66k k x πππωωω-=-=，∵()f x 的最小正零点是512π，且0>ω， ∴当1k =时，55612x ππω==，得2ω=. ∴()2sin(2)6f x x π=+.故选：B 4．A 【分析】先计算出函数的对称轴，再适当地取k 的值进而得到答案. 【详解】 令(3)Z x k k πππ-=∈，解得()1Z 3k x k =+∈. 当2k =-时，53x =-.故选：A. 5．B 【分析】根据单调性判断①，结合基本不等式判断②，根据函数的奇偶性判断③，由正切型函数的周期判断④． 【详解】因为()tan f x x x =+在()0,1上单调递增，且()00f =，()π11tan11tan 24f =+>+=， 所以()0,1x ∃∈，tan 2x x +=．①正确当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan 1x >，()1,x ∀∈+∞，1111311x x x x +=-++≥--，当且仅当2x =时等号成立，②错；因为()()cos tan f x x x x f x -=--=-，所以()cos tan f x x x x =+为奇函数， 图象关于原点对称．③正确；函数()πtan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期π2T =．④错误．故①③为真命题． 故选：B ． 6．B写出平移后解析式，再由对称性得出ϕ值． 【详解】平移后解析式为()sin 2()sin(2)63g x x x ππϕϕ⎡⎤=--=--⎢⎥⎣⎦，它的图象关于y 轴对称，则,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈，只有B 满足．故选：B ． 7．C【分析】由三角函数图象变换写出()g x 的解析式，然后余弦函数性质判断各选项． 【详解】由题意()sin 2()sin(2)cos 2662g x x x x πππ⎡⎤=++=+=⎢⎥⎣⎦，最小正周期是22T ππ==，A 正确； 1cos 632g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，B 正确；()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，()g x 是偶函数，C 错误；()cos 21g ππ==为最大值，x π=是()g x 的一条对称轴，D 正确．故选：C ． 8．D【分析】根据正弦型函数的单调性，结合题意进行求解即可. 【详解】 当22()22k x k k Z πππωπ-≤≤+∈时，因为0>ω，所以有11(2)(2)()22k x k k Z ππππωω-⋅≤≤+⋅∈，因此函数()sin (0)f x x ωω=>的递增区间为：2222[,]()k k k Z ππππωω-+∈，因为函数()sin (0)f x x ωω=>在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，且有32424ππωππω⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪-≥⎪⎩，因为0>ω，所以解得：203ω<≤，9．B 【分析】作出1sin 2x =-与1cos 2x =-的图象，结合图象即可求解【详解】因为方程1sin 2x =-在[),0π-上的解为56π-，6π-，所以当()f x 在区间[],a π-上至多有5个零点时，100.3a π<<因为方程1cos 2x =-在30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的解为23π，43π，所以当()f x 在区间3,2a π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上至少有5个零点时，136a π-≤-，即136a π≥ 综上，正数a 的取值范围是1310,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B 10．B 【分析】本题可根据最大值为1求出1A =，然后根据周期的14为4π求出2ω=，再然后根据过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭求出6πϕ=-，最后代入2x π=，即可得出结果.【详解】因为最大值为1，所以1A =，()()sin f x x ωϕ=+，因为周期的14为4π，所以最小正周期为π，2ω=，()()sin 2f x x ϕ=+，因为过点,13π⎛⎫⎪⎝⎭，2πϕ<，所以21sin 3πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，解得6πϕ=-，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 则51sin sin6226f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11．C 【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可. 【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =， 由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=， 因为0>ω，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<， 所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 故选：C 12．A 【分析】根据奇偶性的定义判断各选项函数的奇偶性即可. 【详解】A ：22()()cos()cos ()y f x x x x x f x =-=--==且x ∈R ，偶函数；B ：()sin()sin ()y f x x x f x =-=--==-且x ∈R ，奇函数；C ：()tan2()tan 2()y f x x x f x =-=-=-=-且24k x ππ≠+ ()k ∈Z ，奇函数； D ：()cos()sin()cos sin y f x x x x x =-=-+-=-且x ∈R ，非奇非偶函数. 故选：A 13．23π【分析】令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.求出,M N 即得解.令117sin ,2+26x x k ππ=-∴=或2122,6x k k k Z ππ=-∈，.令33sin 1,2,2x x k k Z ππ=∴=+∈.当172+6a k ππ=或2122,,6a k k k Z ππ=-∈，且332,2b k k Z ππ=+∈所以3122()3b a k k ππ-=--或3222()3b a k k ππ-=-+.当320k k -=时，23b a N π-==；当2126a k ππ=-，且172,6b k k Z ππ=+∈时， 所以1242()3b a k k ππ-=-+.当120k k -=时，43b a M π-==.所以23M N π-=.故答案为：23π 14．23π 【分析】根据正弦函数的周期求解． 【详解】函数sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为23T π=．故答案为：23π． 15．2ω=或周期πT = 【分析】由余弦型三角函数的周期可判断所需条件. 【详解】解：由图像过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭可知3πϕ=，若求出解析式还需要一个和ω相关的量，故可直接给出条件2ω=或周期T π=. 故答案为：2ω=或周期T π=. 16．4根据正弦函数图象的对称性求得函数的周期，进而可求得ω. 【详解】由正弦函数图象的对称性得函数的周期00242T x x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以22ππω=，解得4ω=.故答案为：4.17．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）133π. 【分析】（1）依题意可得T π=，即可求出ω，再根据函数的对称轴求出ϕ，即可求出函数解析式； （2）作出()y f x =与34y =的大致图象，根据函数的对称性计算可得； 【详解】 （1）()f x 相邻的两个零点间的距离2π， ∴()f x 的最小正周期222T πππω==⨯=，∴2ω=.又函数()f x 图象的一条对称轴方程为2x π=，∴21262k πππϕπ⨯+-=+()k Z ∈，即2k πϕπ=+()k Z ∈，而0ϕπ<<，∴2ϕπ=. 故()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）因为()f x 的最小正周期为π，所以()f x 在[]0,2π内恰有2个周期. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈，即函数的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈，因为34<，作出()y f x =与34y =的大致图象如图.由图可知两个图象在[]0,2π内有4个交点，横坐标依次为1x ，2x ，3x ，4x ， 且1x 与2x 关于712x π=对称，3x 与4x 关于1912x π=对称， 所以1276x x π+=，34196x x π+=， 故所有实数根之和为133π18．（1）2ω=，6π=ϕ；（2）①,(k )2k k πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ；②最大值为3.【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的三角函数值进行求解即可； （2）根据正弦型函数图象的变换性质，得到()g x 的解析式. ①根据余弦型函数的单调性进行求解即可； ②根据余弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】解：（1）()f x 的最小正周期为π，0>ω 所以2ππ=ω， 即2ω=. 又因为(0)3f =， 所以1sin 2ϕ=，因为|2πϕ<，所以6π=ϕ. （2）由（1）可知()4sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度(纵坐标不变)， 所以2()()4sin(2)14cos 21336g x f x x x πππ=-=-++=-+. ①由2[2,2]()x k k k Z πππ∈+∈，得函数()g x 的单调递增区间为,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.②因为03x π≤≤，所以2023x π≤≤. 当223x π=， 即3x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为33g π⎛⎫= ⎪⎝⎭.19．（1）()2cos f x x =-；（2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈． 【分析】（1）利用三角上的诱导公式，准确运算，即可求解；（2）由（1）得到()2sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）结合诱导公式得()()()()()()2sin cos sin 2cos 6211cos cos cos 22x x x x f x x x x πππππππ⎛⎫---⋅--⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫-⋅-++ ⎪⎝⎭ ()()()()22cos sin cos cos sin cos x x x x x xπ⋅-⋅-=-⋅-2sin cos 12cos 2cos cos sin cos x x x x x x x -=⋅⋅⋅=---， 所以函数()2cos f x x =-．（2）根据（1）可得()322cos 22sin 24244g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令222242k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以函数()g x 的单调增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈． 20．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦.【分析】（1）由最大值求得A ，由周期求得ω，代入一个点的坐标求得ϕ，得解析式； （2）求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数的性质得出值域． 【详解】解：(1)根据函数()()sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象，可得32134123πππω⋅=-，求得2ω=，∴最小正周期22T ππ==， 再根据五点法作图可得23πϕπ+=，;3πϕ∴=∴函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+．(2)?,44x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，52,366x πππ⎛⎤∴+∈- ⎥⎝⎦1sin 2,132x π⎛⎫⎛⎤∴+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，函数()f x 在区间,44ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦21．（1）2T π=，单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈；（2）(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.【分析】（1）利用二倍角公式结合二次函数化简函数，利用周期的概念求得周期，利用复合函数单调性求得函数单调性；（2）根据x 的范围求得2t 的范围，从而求得结果. 【详解】解：（1）()215cos 22cos cos 2cos 2224244f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos 114x π⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()()22cos 211cos 12144x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2T π=，设cos 4m x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，[]1,1m ∈-，则函数()211y m =-+在[]1,1-上单调递减，对于函数cos cos 44y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当224k x k ππππ≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减， 当2224k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈，即 x ∈592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，时，cos 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故函数()f x 单调增区间是52244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，单调减区间是592244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，，k Z ∈.()2由上述单调性知若()2f x t =在744ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有4个解，且74f π⎛⎫ ⎪⎝⎭27cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，且34f π⎛⎫ ⎪⎝⎭23cos 1144ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，()54f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭25cos 11544ππ⎛⎫⎛⎫=--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以225t ≤<，所以(22t ⎤⎡∈-⋃⎦⎣.22．（1）()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(]0,2；（3）112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0- 【分析】（1）利用三角函数的定义求出ϕ的值，由题意知223T ππω==可得ω的值，进而可得()f x 的解析式，利用整体代入法以及正弦函数的单调性即可求解； （2）由x 的范围求出33x π-的范围，利用正弦函数的性质即可求解； （3）设()(]0,2f x t =∈，将问题转化为y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，数形结合可得112m -=-或010m ≤-<，即可求解. 【详解】（1）因为角ϕ的终边经过点(1,P ，所以tan ϕ= 因为02πϕ-<<，所以3πϕ=-，因为当12()()4f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 所以223T ππω==，可得：3ω=，所以()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈解得：()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调减区间为()52112,183183k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）当4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，033x ππ<-<， 所以0sin 313x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以()02sin 323f x x π⎛⎫<=-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的值域为(]0,2，（3）设()(]0,2f x t =∈，因为方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 则230t t m -+=在(]0,2t ∈内有一根或两个相等的实根，因为23m t t -=-，所以y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点，作出y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象，由图知：当16t =时211136612y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；当0t =时，0y = ；当2t =时，232210y =⨯-=， 所以112m -=-或010m ≤-≤直线y m =-与(]23,0,2y t t t =-∈的图象只有一个交点， 当10m -=时，2t =，此时方程()2sin 323f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭只有一解，不符合题意，所以112m -=-或010m ≤-<，即方程()23()0f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦在4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不相等的实数解， 所以：112m =或100m -<≤所以实数m 的取值范围为：112⎧⎫⎨⎬⎩⎭或(]10,0-。
第11讲 三角函数的图象与性质6大题型(解析版)
第11讲三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】B【分析】根据函数图象得到()f x 、()g x 的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.【详解】根据图象可得2A =，周期T π=，因为2T πω=，所以2ω=，()()2sin 2f x x ϕ=+，将,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()f x 可得()2222sin 2332k k πππϕϕπ⎛⎫=+⇒+=+∈⎪⎝⎭Z ，解得()26k k πϕπ=-+∈Z ，因为0πϕ-<<，所以6πϕ=-，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2sin 2g x x =，因为()2sin 212f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 向左平移12π个单位长度即可得到()g x 的图象.故选：B.【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．62B ．32C ．22D ．1-【答案】A【分析】由函数()f x 的部分图象以及五点法作图，求出()f x 的解析式，再计算2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值．【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴【答案】C【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，判断A;根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，判断B;利用正弦函数的单调性可判断C ；将7π12x =代入函数中解析式求得其值，可判断D.【详解】由题意得，πππ43124T =-=，则2ππ,2T T ω===，而π212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππ2π(Z)62k k ϕ+=+∈，解得π2π(Z)3k k ϕ=+∈，∵||2ϕπ<，∴π3ϕ=，∴π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 正确；函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，得到π2sin 26f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,该函数图象关于原点对称，放B 正确；∵2ππ,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴π5π2,π33x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，则()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上先增后减，故C 错误；∵7π3π2sin 2122f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴直线712x π=为()f x 图象的一条对称轴，故D 正确．故选：C ．4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【答案】C【分析】由已知图象求得函数解析式，将πx =代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B;当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]622x +∈-，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.【详解】由函数图象可知，2A =,最小正周期为5ππ4()π126T =-=，所以2π2πω==，将点π(,2)6代入函数解析式中，得：π22sin()3ϕ=+，结合π2ϕ<，所以π6ϕ=，故π()2sin(2)6f x x =+，对于A ，当πx =时，π(π)2sin(2π)16f =+=，故直线πx =不是()f x 图象的一条对称轴，A 错误;对于B ，令π()2sin(2)06f x x =+=，则πππ2π,Z,,Z 6122k x k k x k +=∈∴=-+∈，即()f x 图象的对称中心为ππ(,0)122k -+，Z k ∈，故B 错误；对于C ，当ππ,36x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]622x +∈-，由于正弦函数sin y x =在ππ[,]22-上递增，故()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；对于D ，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，得到πππ()2sin[2()]2sin(2)1263g x x x =++=+的图象，该函数不是奇函数，故D 错误；故选：C5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
专题46 三角函数的图象与性质(多选题)(解析版)
专题46 三角函数的图象与性质（多选题）一、题型选讲题型一 、三角函数的基本概念例1、（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+【答案】AB【解析】由题意知sin 0α<，cos 0α>，tan 0α<. 选项Asin 0tan αα>； 选项B ，cos sin 0αα->； 选项C ，sin cos 0αα<； 选项D ，sin cos αα+符号不确定. 故选：AB.变式1、（2020·枣庄市第三中学高三月考）下列函数，最小正周期为的偶函数有（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A 选项，函数为奇函数，不符合题意. 对于B 选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合题意. 对于C 选项，函数的最小正周期为，不符合题意. 对于D 选项，函数，是最小正周期为的偶函数，符合题意. 故选：BD变式2、定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足+=2πθϕ，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin(+)=-4πα，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A. sin βB. 1cos(+)=4πβC. tan βD. tan β 【答案】ACπtan y x =|sin |y x =2cos y x =sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭tan y x =sin y x =π2cos y x =2ππsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭π【解析】：11sin()sin sin 44πααα+=-=-∴=，cos α=，对于A ，sin sin()cos 2πβαα=-=可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A 符合条件;对于B ，假设角β与角α“广义互余”，11cos()cos()sin 244ππβαα+=--=-=-≠，故B 不符合条件;对于C ，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=若广义互余即cos α=，即C 符合条件;对于D ，tan β=即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，故sin β=，若广义互余即cos α=，故D 不符合条件 故选：.AC题型二、三角函数的性质的简单运用例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC变式2、（2020·山东日照·高三月考）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，sin y x =2π()y f x =则（ ）A ．是偶函数B ．的最小正周期为C ．的图像关于直线对称D ．的图像关于点对称【答案】AD【解析】函数的图象向左平移个单位后， 得到函数的图象， 为偶函数，故A 正确； 的周期为，排除B ；因为，所以的图象不关于直线对称，排除C ；，故D 正确 故选：AD.变式3、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD()y f x =()y f x =π()y f x =2x π=()y f x =,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin y x =2π()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭()cos f x x =()cos f x x =2πcos 022f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x 2x π=cos 022f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cosx x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ）A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心 【答案】BD【解析】()cos 222sin 26f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 22ππω=，1ω∴= ()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ，故A 不正确；当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦是函数sin y x =的单调递增区间，故B 正确； 当3x π=时，52366πππ⨯+=，51sin 162π=≠±，所以不是函数的对称轴，故C 不正确；、当512x π=时，52126πππ⨯+=，sin 0π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心，故D 正确. 故选：BD题型三、三角函数图像与性质的综合运用例3、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD变式1、已知函数())3f x x π=+，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在[0,π]上有2个零点C ．当x =56π时，函数()f x 取得最大值 D ．为了得到函数()f x的图象，只要把函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变) 【答案】ABCD 【详解】22T ππ==，则A 正确； 当x ∈[0，π]时，23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时余弦函数cos y x =只有两个零点，则可知B 正确； 因为23x π+∈3,37ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以当223x ππ+=时，即x =56π时，函数()f x 取得最大值，则可知C 正确；函数())3g x x π=+图象上所有点的横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得出23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则D 正确；.变式2、已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001f x f x =+=且()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 4f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为4D ．()f x 在(0,2020)上的零点个数最少为1010个【答案】AC 【详解】对A ，()00,1x x +的区间中点为012x +， 根据正弦曲线的对称性知0112f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对B ，若00x =，则()0sin 211sin 122f f ϕωϕ⎧==⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值， ∴24k ϕπ=+π，则()42k k z πωπ=+∈， ωπ∴≠，故B 错误；对C ，()()0000211sin 122sin 2x f x f x x ωϕωϕ⎧+⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=⎪⎩，又()f x 在()00,1x x +上有最大值，无最小值，002122224x k x k πωϕππωϕπ+⎧+=+⎪⎪∴⎨⎪+=+⎪⎩，(其中k z ∈)，解得：2πω=，2242T πππω∴===，故C 正确；对D ，当4T =时，区间(0,2020)的长度恰好为505个周期， 当()00f =时，即k ϕπ=时，()f x 在开区间(0,2020)上零点个数至多为50521010⨯=个零点，故D 错误.变式3、（2020·山东高三开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且，则下列说法正确的是（ ） A ．为奇函数 B ． C ．当时，在上有4个极值点()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π2()g x ()01g =-()g x π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭5ω=()g x ()0,πD ．若在上单调递增，则的最大值为5【答案】BCD 【解析】∵ ∴，且， ∴，即为奇数，∴为偶函数，故A 错. 由上得：为奇数，∴，故B 对. 由上得，当时，，,由图像可知在上有4个极值点,故C 对，∵在上单调，所以,解得：，又∵， ∴的最大值为5，故D 对 故选：BCD.二、达标训练()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω()()πcos sin 02f x x x ωωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭()sin ()2g x x πω⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦(0)1g =-()1222k k Z πωπ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭14k ω=-()sin ()cos 2g x x x πωω⎡⎤=-=±⎢⎥⎣⎦ω()cos 022g ππω⎛⎫-=±-= ⎪⎝⎭5ω=5()sin(5)cos52g x x x π=-=-25T π=()g x ()0,π()g x π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦π052T πω-≤=05ω<≤14k ω=-ω1、已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．2π为()f x 的一个周期 B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【详解】根据函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确. 当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误； 函数()cos 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误；7()cos 6f x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭， 73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.2、已知函数()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为5π12x =，则（ ） A ．π3ϕ=B ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π3个单位长度得到C ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦D ．函数()f x 在区间ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】BC【详解】()()πcos 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的最小正周期为π，22Tπω∴==，又2x π=为()f x 的对称轴，52,0122k ππϕπϕ∴⨯+=<<，=6πϕ∴， ()cos(2)6f x x π∴=+；对于A ，=6πϕ，A 错；对于B ，sin 2y x =的图象向左平移π3个承位长度得到2sin(2)3y x π=+，而2sin(2)sin(2)cos(2)()3266y x x x f x ππππ=+=++=+=，所以，B 对；对于C ，7cos 22666x x ππππ≤⇒≤+≤，1cos(2)62x π∴-≤+≤，则函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,2⎡-⎢⎣⎦，C 对；对于D ，11522666x x πππππ-≤≤-⇒-≤+≤-，cos x 在11,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，()f x ∴在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不是单调的，D 错；3、已知函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的最小正周期为4，其图象的一个最高点为1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．ωπ= B ．3πϕ=C ．将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到()h x 图象；再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得到函数2sin 6y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 D ．() y f x =的图象关于1x =对称 【答案】BC 【详解】由已知24πω=，2πω=，A 错；2A =，2sin()223πϕ1⨯+=，23k πϕπ=+，k Z ∈，又0ϕπ<<，∴3πϕ=．B 正确；∴()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()f x 图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得()2sin()3h x x ππ=+，再将()h x 图象向右平移16个单位长度，得图象的解析式为2sin ()2sin()636y x x πππππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦，C 正确；大()f x 中，令1x =，5,2362x k k Z πππππ+=≠+∈，D 错．4、已知函数()3sin sin3f x x x =+，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 是周期函数且最小正周期为2π C ．()f x 的值域是[4,4]- D ．当(0,)x π∈时()0f x >【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x -=-+-=--=-，故()f x 是奇函数，故A 正确；B.因为sin y x =的最小正周期是2π，sin3y x =的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x 的最小正周期，故B 正确；C.分析()f x 的最大值，因为3sin 3x ≤，sin31x ≤，所以()4f x ≤，等号成立的条件是sin 1x =和sin31x =同时成立，而当sin 1x =即2()2x k k ππ=+∈Z 时，336()2x k k ππ=+∈Z ，sin31x =-故C 错误； D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin 2sin 4cos 2f x x x x x x x x =++=+，易知当(0,)x π∈时，()0f x >，故D 正确.5、已知函数()sin() f x x ωϕ=+（其中0,0 ωϕπ><<）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ） A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到函数sin2y x =的图象 C ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 有且只有一个零点D ．()f x 在06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增 【答案】ACD【详解】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得T π=， 因为0 ω>，则2T w ππ==，解得2w =，即sin(2)16πϕ⨯+=， 解得2,32k k Z ππϕπ+=+∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即函数()f x 的解析式()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以A 正确； 对于B 中，函数()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()sin[2()]66g x x ππ=-+ πsin(2)6x =-的图象，所以B 不正确；对于C 中，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以72(,)666x πππ+∈，当512x π=时，函数5()012f π=， 所以C 正确；对于D 中，当06x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，2[,]662x πππ+∈，根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在该区间上单调递增，所以D 正确.6、函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．直线23x π=-是函数()f x 图像的一条对称轴B ．函数()f x 的图像关于点,062k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭k Z ∈对称 C ．函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k Z ∈D ．将函数()f x 的图像向右平移12π个单位得到函数()sin(2)4g x x π=+的图像【答案】BC【详解】由图知：()min 1f x =-，所以1A =， 因为741234T πππ=-=，T π=，即2ππω=，2ω=。
三角函数的图像与性质练习题
三角函数的图像与性质练习题一、选择题1. 在三角函数sin(x)的定义域内，函数值的范围是：A. (-∞, ∞)B. [-1, 1]C. [0, 1]D. [0, 2π]2. 函数y = cos(x)的一个周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π3. 函数y = tan(x)的导数是：A. sec^2(x)B. cos^2(x)C. sin^2(x)D. csc^2(x)4. 在函数y = sin(x)的图像中，当x = π/2时，函数值等于：B. 1C. -1D. 不存在5. 函数y = cos(x)的对称轴是：A. y轴B. x轴C. 原点D. 平行于x轴且距离x轴1个单位的直线6. 函数y = tan(x)在定义域内的奇点是：A. x = 0B. x = π/2C. x = πD. x = 2π7. 函数y = sin^2(x) + cos^2(x)等于：A. 1B. 0C. 28. 函数y = sin(x) + cos(x)的一个周期是：A. 2πB. 4πC. π/2D. π/4二、填空题1. 函数y = sin(x)在区间[0, π]内的最小值是____，最大值是____。
2. 函数y = cos(2x)的周期是____。
3. 函数y = cos(x)在区间[-π/2, π/2]内的最小值是____，最大值是____。
4. 函数y = tan(x)的定义域是____。
5. 函数y = sin(2x)的一个周期是____。
6. 函数y = cos(x)的对称中心是____。
7. 函数y = tan(x)在区间[0, π]内的最小值是____，最大值是____。
8. 函数y = sin^2(x)的对称轴是____。
三、解答题1. 画出函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像。
2. 画出函数y = cos(2x)的图像，并求出它在区间[0, 2π]上的最小值和最大值。
3. 画出函数y = tan(x)在区间[-π/2, π/2]上的图像，并指出它的所有零点。
专题5.4 三角函数图像与性质(原卷版)
专题5.4三角函数图像与性质1.正弦函数R x x y ∈=,sin 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:sin [1,1]x ∈-.(3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π,最小正周期为π2.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：2,2()22k k k Z ππππ-++∈（）减区间：32,2()22k k k Z ππππ++∈（）(6).对称性:对称轴：)(,2Z k k x ∈+=ππ，对称中心：)(),0,(Z k k ∈π2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:]1,1[cos -∈x (3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π2.(4).奇偶性:偶函数，其图象关于y 轴对称.(5).单调性:减区间：)(),2,2(Z k k k ∈+πππ增区间：)(),22,2(Z k k k ∈++ππππ(6).对称性:对称轴：)(,Z k k x ∈=π，对称中心：)(),0,2(Z k k ∈+ππ3.正切函数x y tan =的图象与性质.(1).定义域:},2|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且.(2).值域:R(3).周期性:周期函数，周期是)0(,≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增函数，)2,2(ππππ+-k k 为增区间.(6).对称性:对称中心：)(),0,2(Z k k ∈π4.正弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),sin(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为奇函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为偶函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤+-,2222ππϕωππ，求解增区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,22322ππϕωππ，求解减区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称中心坐标.5.余弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),cos(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为偶函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为奇函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ，求解减区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,222ππϕωππ，求解增区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称中心坐标.一、单选题1．已知函数()tan 2f x x =，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,2k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,4k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．用“五点法”作函数cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是A ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭3．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间()2ππ，内没有最值，则ω的取值范围是（）A ．][117012612⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，B ．][1120633⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，C ．7012⎛⎤⎥⎝⎦，D ．1233⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．26．函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．()B ．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(,(1,)-∞+∞D ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知1tan tan αα≥且22,ππα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则α的取值范围为（）A ．,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．,0,442πππ⎡⎫⎡⎫-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,0,244πππ⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦8．已知函数()()sin f x x α=+在,43x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，则α的值可以是（）A ．3π-B ．4π-C ．4πD ．3π9．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（）A ．7131212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且只有4个零点，则ω取值范围是（）A ．1519,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1721,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．函数1tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（）A ．4,2xx k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭∣B ．2,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．32,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣12．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈C ．37[22],(Z)88k k k ππππ++∈D ．37[,Z)88k k k ππππ++∈13．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（）A ．π2-B ．πC ．π3D ．014．记函数()sin 4f x x b πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则10f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．315．已知函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭二、多选题16．已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在定义域内是增函数B ．6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 图像的对称中心是,0,46k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭17．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+<18．已知函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（）A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-19．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π上有且仅有3条对称轴，则（）A ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个最大值点B ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个零点C ．ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增20．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x ＝22在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21．函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（）A ．8πB ．58πC ．38πD ．34π22．已知函数()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 的判断正确的是（）A ．在区间,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于直线6x π=成轴对称D ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称三、解答题23．已知()sin ,()cos f x x g x x==(1)函数()y f x ω=（0>ω）在区间[)0,p 上恰有三条对称轴，求ω的取值范围．(2)函数2()2()()6,h x g x af x a =-++为常数，①当9a =-时，求函数h (x )的零点；②当[,]62x ππ∈-，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围．24．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为2π．(1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于x 的方程22sin cos 40x m x --=在02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有实数解，求实数m 的取值范围．25．已知函数2π()sin(2)3f x x =+.(1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.26．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合．27．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.。
三角函数概念图像与性质复习题型总结(最全)
三角函数概念和性质复习1.终边相同的角: 与角α终边相同角的集合为（1）试写出与角16800终边相同的最小正角和最大负角.（2）已知与角的终边相同, 则为第象限角.（3）第二象限角的集合为________________________________________（4）如果角为第三象限角, 则为第________________象限角2.弧度制（1）, , 度≈（2）弧长公式: = , 扇形面积公式: =（1）扇形的圆心角为1200, 半径为6cm, 扇形的弧长是cm.（2）若弧度的圆心角所对的弧长为cm, 则这个圆心角所在的扇形面积为．3.任意角的三角函数定义角终边上任意一点P的坐标, 它与原点的距离是.规定: = ；= ；.（1）①已知角的终边经过点, 则= .②已知角的终边过点, 且, 则= .③已知角的终边在直线上, 则= ；= .（1）已知0tan cos <⋅θθ,则角θ是第 象限角.（2）设角 是三角形的一个内角, 在 中, 有可能取负值. （3）函数cos sin tan sin cos tan x x xy x x x=++的值域为 . 5.同角三角函数关系: ①平方关系: ；②商关系: .（1）①已知 , 且 是第二象限角, 则 = ； = . ②若 , 则 = ； = . ③已知 , 则 的值为__________.（2）化简：①若 是第二象限角, 则 = ；= ； ③若(,0)2πα∈-,= （3）已知 . ①求 的值；②求sin αcos α－sin2α的值.（4）①已知 , 求 及 的值.6.诱导公式（2）已知 , 且 , 则sin( )= ． （3）整体角思维应用（角的内在关系）①已知, 则 = . ②已知 且 , 则 = . ③已知1sin(),64x π+=则25sin()sin ()63x x ππ-+-= .7.三角函数的周期设 为常数, 且 , 则 的周期T= ； 的周期T= ； 的周期T= . （1）①函数cos(2)3y x π=-的最小正周期是 ； ②函数tan(3)6y x ππ=+的最小正周期是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A、 y sin(3x 2) 2
B、 y sin(3x 6) 2
C、 y sin(3x 2) 2
D、 y sin(3x 6) 2
4..将函数
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），
再将所得的图象向左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是
（）
3
3
A．3π
B． 4 3
C． 3 2
D． 7 6
6·如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=－ 对称，那么 a 等于（ ）
8
A. 2
B.－ 2
C.1
D.－1
平移问题
1．把曲线 ycosx+2y－1=0 先沿 x 轴向右平移 个单位，再沿 y 轴向下平移 1 个单位，得
3
A．
B．
C.
D.
5.若函数 y=f(x)的图象上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整个
1
图象沿 x 轴向左平移 个单位，沿 y 轴向下平移 1 个单位，得到函数 y= sinx 的图象，则
2
2
y=f(x)是（ ）
1
A.y= sin(2x+ )+x－ )+1
2
到的曲线方程是（ ） A．（1－y）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0
B．（y－1）sinx+2y－3=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
2．将函数 y sin x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐 10
标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
B． y sin( x 5 )(x R) 2 12
C． y sin( x )(x R) 2 12
D． y sin( x 5 )(x R) 2 24
7..将函数 y sin 2x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解 4
（2）f (x)在（0， ）上是增函数，求 ω 最大值。
3
9..已知函数
f(x)=2sin
x(
>0)在区间[
,
]上的最小值是－2，则
的最小值等于（
34
）
2
3
A.
B.
C.2
D.3
3
2
9·.函数 y Asin(x ) （ A,, 为常数， A 0, 0 ）在闭区间[ , 0]上的图象
三角函数图像与性质题型专题
值域
1．函数 y＝cos2x－3cosx＋2 的最小值为（ ）
A.2
B.0
1
C.－
D.6
4
2．函数 y sin2 x sin x 1 的值域为
A． 1,1
B．
5 4
,
1
C．
5 4
,1
D．
1,
5 4
,
3．函数 y 2 cos x 的最大值为________ 2 cos x sin －1
3
4．若 f (x) 2sinx(0 1) 在区间[0, ]上的最大值是 2 ，则 =________. 3
5．使 y sin x （ω＞0）在区间[0，1]至少出现 2 次最大值，则 ω 的最小值为（ ）
A． 5 2
B． 5 4
C．π
D． 3 2
6．函数 y sin(2x )(0 ) 是 R 上的偶函数，则 的值是（ ）
4．函数 f( ) = cos －2的最大值和最小值分别是
4 (A) 最大值 3和最小值 0
4 (C) 最大值 －3和最小值 0
3 (B) 最大值不存在和最小值 4
3 (D) 最大值不存在和最小值－4
参数问题求（和 ）
()
1．已知函数 f (x) sin x ( 0, 0 ) 是 R 上的偶函数，其图象关于点
如图所示，则 =
.
11·已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的图象如图所示，则 ＝
14·.若函数
y
cos(x
)
(
0)
的图象相邻两条对称轴间距离为
，则
等于
3
2
．
1
A．
2
B．12
C．2
D．4
关对称轴对称中心的题
1·函数 y＝2sin（x＋ ）图象的一条对称轴方程是( )
M
( 3 4
, 0)
对称，且在区间
0,
2
上是单调函数，求
和
的值
,
2.设 ω＞0，若函数 f(x)=2sinωx 在［－ 3 4 ，］上单调递增，则 ω 的取值范围是 _________.
3． 若函数 f (x) 2sin(2kx ) 的最小正周期T 满足1 T 2 ,则自然数 k 的值为______.
A y sin(2x ) 10
C） y sin(1 x ) 2 10
B y sin(2x ) 5
D y sin(1 x ) 2 20
3.把函数 y f (x) 的图象沿着直线 x y 0 的方向向右下方平移 2 2 个单位，得到函数
y sin 3x 的图象，则 （ ）
3
A．x＝－
2
Ｂ．x＝0
Ｃ．x＝
6
Ｄ．x＝－
6
2
3·. 函数 y sin(2x 5 ) 的一条对称轴方程（ A ） 2
A． x 2
B． x 4
C． x 8
D． x 5 4
2·. f (x) sin 2 x cos 2 x 的图象中相邻的两条对称轴间距离为 （ ）
2
2
1
C.y= sin(2x－ )+1
2
4
1 1
D.y= sin( x+ )+1
2 24
6..将函数 y sin(x )(x R) 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度，再把图象
6
4
上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为
A． y sin(2x 5 )(x R) 12
1
A. 0 B.
C.
D.
4
2
7．将函数 y sin 4x 的图象向左平移 个单位，得到 y sin(4x ) 的图象，则 等
12
A． 12
B． 3
C．
3
D．
12
8. f (x) 2 3 sin(3x ) （ω＞0） 3
（1）若 f (x +θ)是周期为 2π 的偶函数，求 ω 及 θ 值; .