2018届北师大版 高考中的立体几何(解答题型) 单元测试

1．[2015·长春质监(三)]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝1，点E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：直线AF ∥平面PEC ；(2)求三棱锥P －BEF 的表面积．解(1)证明：作FM ∥CD 交PC 于M ，连接ME .∵点F 为PD 的中点，∴FM 綊12CD ，又AE 綊12CD ， ∴AE 綊FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线AF ∥平面PEC .(2)连接ED ，BD ，可知ED ⊥AB ，⎭⎪⎬⎪⎫ ⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫PD ⊥平面ABCD AB ⊂平面ABCD ⇒PD ⊥AB DE ⊥AB⇒AB ⊥平面PEF PE ，FE ⊂平面PEF ⇒ AB ⊥PE ，AB ⊥FE ，故S △PEF ＝12PF ·ED ＝12×12×32＝38；S △PBF ＝12PF ·BD ＝12×12×1＝14；S △PBE ＝12PE ·BE ＝12×72×12＝78；S △BEF ＝12EF ·EB ＝12×1×12＝14.因此三棱锥P －BEF 的表面积S P －BEF ＝S △PEF ＋S △PBF ＋S △PBE ＋S △BEF ＝4＋3＋78. 2．[2015·太原模拟]如图，在底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝2，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面AB 1D ；(2)求点A 1到平面AB 1D 的距离．解(1)证明：连接A1B，交AB1于点O，连接OD.∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是平行四边形，∴O是A1B的中点．又D是BC的中点，∴OD∥A1C，∵OD⊂平面AB1D，A1C⊄平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)由(1)知，O是A1B的中点，∴点A1到平面AB1D的距离等于点B到平面AB1D的距离．∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴平面BCC1B1⊥平面ABC，∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥平面BCC1B1，∴AD⊥B1D，3．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝22，AP ＝AD ＝AB ＝2，∠P AB ＝∠P AD ＝α.(1)试在棱P A 上确定一个点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE EP 的值；(2)当α＝60°时，求证：CD ⊥平面PBD .解 (1)解法一：连接AC ，BD 交于点F ，在平面PCA 中作EF ∥PC 交P A 于E ，连接BE ，DE ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，因为EF ∥PC ，所以AE EP ＝AF FC ，所以AE EP ＝AF FC ＝AD BC ＝12.解法二：在棱P A 上取一点E ，使得AE EP ＝12.连接AC ，BD 交于点F ，连接EF ，BE ，DE ，因为AD ∥BC ，所以AF FC ＝AD BC ＝12，所以AE EP ＝AF FC ，所以EF ∥PC ，因为PC ⊄平面BDE ，EF ⊂平面BDE ，所以PC ∥平面BDE .(2)证法一：取BC 的中点G ，连接DG ，则ABGD 为正方形． 连接AG ，BD 交于点O ，连接PO ，因为AP ＝AD ＝AB ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，所以△P AB 和△P AD 都是等边三角形，因此P A ＝PB ＝PD ，又因为OD ＝OB ，所以△POB ≌△POD ，所以∠POB ＝∠POD ＝90°，同理得△POA ≌△POB ，∠POA ＝90°，所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥CD .由∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ＝2AB ＝22，可得BD ＝2，CD ＝2，所以BD2＋CD2＝BC2，所以BD⊥CD，所以CD⊥平面PBD.证法二：取BC的中点G，连接DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OG.因为AP＝AD＝AB，∠P AB＝∠P AD＝60°，所以△P AB和△P AD都是等边三角形，因此P A＝PB＝PD，所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABGD对角线的交点，所以PO⊂平面PBD.又∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD＝2AB＝22，所以BD⊥CD，又因为PO⊥CD，所以CD⊥平面PBD.4．[2015·山西四校联考(三)]如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圆O所在的平面，AB＝4，BE ＝1.(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥C－ADE的体积最大时，求点C到平面ADE的距离．解(1)证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC，又四边形DCBE为矩形，∴CD⊥DE，BC∥DE，∴DE⊥AC，∵CD ∩AC ＝C ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面ACD .(2)由(1)知V C －ADE ＝V E －ACD ＝13×S △ACD ×DE ＝13×12×AC ×CD ×DE ＝16×AC ×BC ≤112×(AC 2＋BC 2)＝112×AB 2＝43，当且仅当AC ＝BC ＝22时等号成立．∴当AC ＝BC ＝22时，三棱锥C －ADE 的体积最大，为43.此时，AD ＝12＋(22)2＝3，S △ADE ＝12×AD ×DE ＝32，设点C 到平面ADE 的距离为h ，则V C －ADE ＝13×S △ADE ×h ＝43，h＝223.5．[2015·南昌一模]如图，AC 是圆O 的直径，B 、D 是圆O 上两点，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，P A ⊥圆O 所在的平面，P A ＝3，点M 在线段BP 上，且BM ＝13BP .(1)求证：CM ∥平面P AD ；(2)求异面直线BP 与CD 所成角的余弦值．解 (1)证明：作ME ⊥AB 于E ，连接CE ，则ME ∥AP .∵AC 是圆O 的直径，AC ＝2BC ＝2CD ＝2，∴AD ⊥DC ，AB ⊥BC ，∴∠BAC ＝∠CAD ＝30°，∠BCA ＝∠DCA ＝60°，AB ＝AD ＝3，∵BM ＝13BP ，∴BE ＝13BA ＝33，tan ∠BCE ＝BE BC ＝33，∴∠BCE ＝∠ECA ＝30°＝∠CAD ，∴EC∥AD .又ME ∩CE ＝E ，P A ∩DA ＝A ，∴平面MEC ∥平面P AD ，又CM ⊂平面MEC ，CM ⊄平面P AD ， ∴CM ∥平面P AD .(2)过点A 作平行于BC 的直线交CD 的延长线于G ，作BF ∥CG ，交AG 于F ，连接PF ，则∠PBF 为异面直线BP 与CD 所成的角，设∠PBF ＝θ.易知AF ＝1，PB ＝6，BF ＝2，PF ＝2，故cos θ＝PB 2＋BF 2－PF 22PB ·BF ＝6＋4－426×2＝64. 6．[2015·河南洛阳统考]如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝2AB ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .(1)若BE ＝1，是否在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP →＝λPD →，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥A －CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面ACD 的距离．解 (1)AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP →＝32PD →，可知AP AD ＝35，过点P 作MP ∥FD 交AF于点M ，连接EM ，则有MP FD ＝AP AD ＝35，又BE ＝1，可得FD ＝5，故MP ＝3，又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形，所以CP ∥ME .又CP ⊄平面ABEF ，ME ⊂平面ABEF ，故CP ∥平面ABEF .(2)设BE ＝x ，所以AF ＝x (0＜x ≤4)，FD ＝6－x ，故V 三棱锥A －CDF ＝13×12×2×(6－x )x ＝13(－x 2＋6x )，当x ＝3时，V 三棱锥A －CDF 有最大值，且最大值为3，此时，EC ＝1，AF ＝3，FD ＝3，DC ＝2 2.在Rt △EFC 中，FC ＝5，在Rt △AFD 中，AD ＝32，在Rt △AFC 中，AC ＝14.在△ACD 中，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝18＋8－142×32×22＝12，故sin ∠ADC ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32， S △ADC ＝12DA ·DC ·sin ∠ADC ＝12×32×22×32＝3 3. 设点F 到平面ACD 的距离为h ，由V 三棱锥A －CDF ＝V 三棱锥F －ADC ，即3＝13×h ×S △ADC ＝13×h ×33，得h ＝3，故此时点F 到平面ACD 的距离为 3.。