高三数学一轮总复习第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及其线性运算课时跟踪检测理
(新课标)2020高考数学大一轮复习第五章平面向量与复数第1课时向量的概念及线性运算课件文
向量运算 (1)加减法法则：
(2)运算律：a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)①A→B＋B→C＝____，A→B＋B→A＝_0_，A→B－A→C＝____， ②A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An＋A→nA1＝_0__． ③||a|－|b||≤|a±b|≤__|a_|＋__|b_| _．
答案 (1)0 (2)0 (3)0 (4)0
3.如图所示，向量 a－b 等于( )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2 答案 C
B．－2e1－4e2 D．3e1－e2
解析 由三角形法则知 a－b 是 b 的终点指向 a 的终点的一个向
量，用基底 e1，e2 表示为 e1－3e2，故选 C.
4.如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
答案 D
解析 由于B→A＝D→E，故B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F.
5．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的 是( )
A.A→B＝D→C
B.A→D＋A→B＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D 答案 C
D.A→D＋C→B＝0
解析 由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
6．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a) 共线，则 λ＝________．
答案 －13 解析 方法一：设 a＋λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb， ∴1＝3k，且 λ＝－k，∴λ＝－13. 方法二：设 a＝(1，0)，b＝(0，1)，则 a＋λb＝(1，λ)，－(b－ 3a)＝3a－b＝(3，－1)，∴3λ－1×(－1)＝0，∴λ＝－13.
高考数学(理科)一轮复习：单元五 平面向量、数系的扩充与复数的引入 5.1 平面向量的概念及线性运算
第五章
知识梳理 考点自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
关键能力 学科素养
必备知识
-8-
1.P 为线段 AB 的中点⇔OP = (OA + OB). 2.G 为△ABC 的重心⇔GA + GB + GC=0.
3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最 后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为 零向量.
方向 的 既有 大小 , 又有 量叫作向量;向量的大小叫作向量的 长度 (或称 模 )
长度为 0 的向量叫作零向 量;其方向是任意的 长度等于 1个单位 的向量
第五章
知识梳理 考点自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
关键能力 学科素养
必备知识
-4-
名称 平行 向量
定 义 方向 相同 量 或
备 注
相反 的非零向
关闭
A
解析 答案
第五章
知识梳理 考点自测
5.1
平面向量的概念及线性运算
关键能力 学科素养
必备知识
-12-
1
2
3
4
5
4.(2017北京海淀一模)在△ABC中,点D满足 ������������=2������������ − ������������,则 ( ) A.点D不在直线BC上 B.点D在BC的延长线上 C.点 D 在线段 BC ������������ =2 ������������ − ������������ =上 ������������ + ������������ − ������������ = ������������ + ������������,如图, D.点D在CB的延长线上
高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入1平面向量的概念及线性运算课件新人教A版22
考点2
考点3
解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或
平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及
相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.
2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运
1
111来自A.2 + 6
B.2 − 6
C.- +
D.- −
1
1
2
6
1
1
2
6
-24考点1
考点2
考点3
解析: (1)如图,∵||=3||,
∴=3.
3
3
∴ = 2 = 2 ( − ).
∴ = +
3
= + ( − )
= ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个
向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,
且a∥b.
②
其中正确题的序号是
.
-16考点1
考点2
考点3
解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.
若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.
平行向量,而平行向量未必是相等向量;
(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只
有相等与不相等,不可以比较大小.
-18考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)给出下列命题:
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;
新课标2023版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第1节平面向量的概念与线性运算课件
2．本例(2)中，若C→M＝2M→B，其他条件不变，用A→B，A→C表示A→M． 解：A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋13B→C＝A→B＋13(A→C－A→B)＝23A→B＋13A→C．
1．平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解． (2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分 利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已 知向量表示出来求解．
3．(多选题)下列命题正确的是( ) A．若|a|＝|b|，则 a＝b B．若 A，B，C，D 是不共线的四点，则A→B＝D→C是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件 C．若 a＝b，b＝c，则 a＝c D．两向量 a，b 相等的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b
BC 解析：A 不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一 定相同，因此由|a|＝|b|推不出 a＝b．B 正确．若A→B＝D→C，则|A→B|＝|D→C |且A→B∥D→C．又因为 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 是平行四边形．反之，若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB∥DC 且 AB＝DC，又A→B与D→C方向相同，因此A→B＝D→C．C 正确．因为 a＝
B．A→Q＝23A→B D．A→Q＝B→P
D 解析：由数乘向量的定义可以得到 A，B，C 都是正确的， 只有 D 错误．
3．设 D 为△ABC 所在平面内一点， B→C＝3C→D，则( )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C
B．A→D＝13A→B－43A→C
C．A→D＝43A→B＋13A→C
D．A→D＝43A→B－13A→C
其方向是任意的，记作 0
长度等于1个单位长度 的向 非零向量 a 的单位向量为
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 第1讲 平面向量的概念及线性运算课件
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第十二页，共四十六页。
D．4
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解析：选 A.①错误．两向量共线要看其方向而不是看起点与 终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比 较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当 a＝0 时，无论 λ 为何值，λa＝0.④错误．当 λ＝μ＝0 时，λa ＝μb，此时，a 与 b 可以是任意向量．
2．已知 D 为三角形 ABC 的边 BC 的中点，点 P 满足P→A＋B→P＋ C→P＝0，A→P＝λP→D，则实数 λ 的值为________．
解析：因为 D 为边 BC 的中点， 所以P→B＋P→C＝2P→D， 又P→A＋B→P＋C→P＝0， 所以P→A＝P→B＋P→C＝2P→D， 所以A→P＝－2P→D， 与A→P＝λP→D比较，得 λ＝－2.
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1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有_方__向__的量叫做向量，向量的大小叫做 向量的_模__． (2)零向量：长度为_0_的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于_1_个__单__位__的向量．
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(4)平行向量：方向相同或_相__反__的非零向量，又叫共线向量，
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平面向量的线性运算 (高频考点) 平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考 查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角 度有： (1)用已知向量表示未知向量； (2)求参数的值．
高考数学一轮复习第五章第一讲平面向量的概念及线性运算课件
(1)①证明：∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝ 5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B，B→D共线. ∵它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
D.若四边形 ABCD 满足A→B＝D→C，则四边形 ABCD 是平行四边形
解析：平行向量即共线向量，故 A 错误；A→B与B→A为相反向量， 所以模相等，故 B 正确；|AA→ →BB|是与非零向量A→B共线的单位向量，C 正确；A→B＝D→C，所以A→B∥D→C且|A→B|∥|D→C|，则四边形 ABCD 是平 行四边形，D 正确.故选 BCD.
(4)向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图 5-1-1，首 尾顺次连接，a＋b＋c 表示从始点指向终点的向量，即O→A＋A→B＋ B→C＝O→C.
图 5-1-1
考点一 平面向量的概念
1.(多选题)(2023 年广东省月考)下列说法正确的是( ) A.平行向量不一定是共线向量 B.向量A→B的长度与向量B→A的长度相等 C.|AA→→BB|是与非零向量A→B共线的单位向量
设A→E＝λA→C＋μB→F，
因为A→C＝A→D＋D→C，
A→E＝12(A→C＋A→B)＝12A→D＋32D→C， B→F＝B→A＋A→D＋D→F＝A→D－32D→C，
图 5-1-2
所以A→E＝12A→D＋32D→C＝λ(A→D＋D→C)＋μA→D－32D→C，
即12A→D＋23D→C＝(λ＋μ)A→D＋λ－32μD→C，
亦可用口诀“减数指向被减数”运算. (2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.
2019版高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数1向量的概念及线性运算课件理
B.A→D＋A→B＝A→C
C.A→B－A→D＝B→D
D.A→D＋C→B＝0
答案 C
解析 由A→B－A→D＝D→B＝－B→D，故 C 错误．
5．如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，B→A
＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
答案 D 解析 由于B→A＝D→E，故B→A＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E＋E→F＝C→F.
其中真命题的序号是________．
【解析】 ①是错误的，两个向量起点相同，终点相同， 则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终 点．
②不正确，当b＝0时，a与c可以不共线． ③是正确的，因为A→B＝D→C，所以|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C； 又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边 形．
④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得 到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是充要条件，而是必要不充分条 件．
⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa ＝μb，但a与b不一定共线．
【答案】 ③
★状元笔记★ (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不 仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量， 而平行向量未必是相等向量． (4)非零向量a与|aa|的关系是：|aa|是a方向上的单位向量．
②运算律：λ(μa)＝(λμ)a， (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ (a＋b)＝λa＋λb．
向量共线的充要条件 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ， 使得 b＝λa．
高考数学一轮复习规划5.1平面向量的概念及线性运算课件
零向量
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0
单位向量
长度等于 1 个单位长度的向量，叫做单位 向量
平行向 量(共线 向量)
相等 向量 相反 向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向 量，平行向量也叫做共线向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
与向量 a 长度相等，方向相反的向量，叫 做 a 的相反向量，记作－a
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章 平面向量与复数
(2)【多选题】(2021 届海南华侨中学高三第一次月考)如图，在梯形 ABDC 中，AB∥CD，|AB| ＝2|CD|，AD 与 BC 相交于点 O，则下列结论正确的是 ( )
A. A→D－A→C＝12A→B C. |O→A＋2O→D|＝0
B. A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0 D. O→A＝23D→C＋13D→B
考试要求
必备知识
自主评价
核心考点
第五章 平面向量与复数
1. 向量的有关概念
名称
定义
向量
在数学中，我们把既有大小又有方向的量 叫做向量
有向 线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以 用有向线段表示，也可用字母 a，b，c，… 表示
向量 的模
向
量
→ AB
的
大
小
称
为
向
量 A→B
的
长
度
(
或
称
模)，记作|A→B|
5. 线性运算重要结论 (1)若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则O→P＝12(O→A＋O→B). (2)若 G 为△ABC 的重心，则G→A＋G→B＋G→C＝0. (3)若O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ为实数)，则点 A，B，C 共线的充要条件是 λ＋μ＝1.
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1 / 6 课时跟踪检测（二十五） 平面向量的概念及其线性运算 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2016·苏州测试)在△ABC中，已知M是BC中点，设uuurCB＝a，uuurCA＝b，则uuuurAM
＝________.
解析：uuuurAM＝uuurAC＋uuuurCM＝－uuurCA＋12uuurCB＝－b＋12a.
答案：－b＋12a 2．在四边形ABCD中，uuurAB＝a＋2b，uuurBC＝－4a－b，uuurCD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是________．
解析：由已知，得uuurAD＝uuurAB＋uuurBC＋uuurCD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2uuurBC，故uuurAD∥uuurBC.又因为uuurAB与uuurCD不平行，所以四边形ABCD是梯形．
答案：梯形 3．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2uuurAC＋uuurCB＝0，则向量uuurOC＝________.(用uuurOA，uuurOB表示) 解析：因为uuurAC＝uuurOC－uuurOA，uuurCB＝uuurOB－uuurOC，所以2uuurAC＋uuurCB＝2(uuurOC－uuurOA)＋(uuurOB－uuurOC)＝uuurOC－2uuurOA＋uuurOB＝0，所以uuurOC＝2uuurOA－uuurOB. 答案：2uuurOA－uuurOB 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，uuurAB＋uuurAD＝λuuurAO，则λ＝________.
解析：因为ABCD为平行四边形， 所以uuurAB＋uuurAD＝uuurAC＝2uuurAO， 已知uuurAB＋uuurAD＝λuuurAO，故λ＝2. 答案：2 5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，uuurBC2＝16，|uuurAB＋uuurAC|＝|uuurAB－uuurAC|，则|uuuurAM|＝________.
解析：由|uuurAB＋uuurAC |＝|uuurAB－uuurAC|可知，uuurAB⊥uuurAC， 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，
因此，|uuuurAM|＝12|uuurBC|＝2. 答案：2 二保高考，全练题型做到高考达标 2 / 6
1．(2016·南通中学月考)设O是△ABC的外心，则uuurAO，uuurBO，uuurCO是________．(填序号) ①相等向量；②模相等的向量；③平行向量；④起点相同的向量． 解析：由题意，知点O到三个顶点A，B，C的距离相等，所以uuurAO，uuurBO，uuurCO是模相等的向量．显然uuurAO，uuurBO，uuurCO的起点不同且方向均不相同，故填②. 答案：② 2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝________. 解析：依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0. 答案：0 3．在▱ABCD中，uuurAB＝a，uuurAD＝b，uuuurAN＝3uuurNC，M为BC的中点，则uuuurMN＝________(用a，b表示)．
解析：由uuuurAN＝3uuurNC，得4uuuurAN＝3uuurAC＝3(a＋b)，uuuurAM＝a＋12b，所以uuuurMN＝34
(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b. 答案：－14a＋14b 4．(2016·启东中学月考)在边长为1的正方形ABCD中，设uuurAB＝a，uuurAD＝b，uuurAC
＝c，则|a－b＋c|＝________. 解析：如图所示， ∵a－b＋c＝uuurAB－uuurAD＋uuurAC ＝uuurAB－uuurAD＋uuurAB＋uuurAD ＝2uuurAB＝2a， ∴|a－b＋c|＝2. 答案：2 5．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且uuurOA＋uuurOB＋2uuurOC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．
解析：∵D为AB的中点，则uuurOD＝12(uuurOA＋uuurOB)，又uuurOA＋uuurOB＋2uuurOC＝0，
∴uuurOD＝－uuurOC，∴O为CD的中点， 又∵D为AB中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，
则S△ABCS△AOC＝4. 答案：4 6．设M是△ABC所在平面上的一点，且uuuurMB＋32uuuurMA＋32uuuurMC＝0，D是AC的中点，
则|uuuurMD||uuuurBM|的值为________． 解析：∵D是AC的中点，延长MD至E，使得DE＝MD， ∴四边形MAEC为平行四边形，∴uuuurMD＝12uuuurMD＝12(uuuurMA＋uuuurMC)．∵uuuurMB＋32uuuurMA＋32uuuurMC＝0，∴uuuurMB＝－32(uuuurMA＋uuuurMC)＝－3uuuurMD，∴|uuuurMD||uuuurBM|＝|uuuurMD||－3uuuurMD|＝13.
答案：13 7．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|uuurOB－uuurOC|＝|uuurOB＋uuurOC－2uuurOA|，则△ABC的形状为________． 解析：uuurOB＋uuurOC－2uuurOA＝uuurOB－uuurOA＋uuurOC－uuurOA＝uuurAB＋uuurAC，uuurOB－uuurOC＝uuurCB＝uuurAB－uuurAC，
∴|uuurAB＋uuurAC|＝|uuurAB－uuurAC|. 故uuurAB⊥uuurAC，△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形 8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且uuurBC＝a，uuurCA＝b，给出下列命题：①uuurAD＝12a－b；②uuurBE＝a＋12b；③uuurCF＝－12a＋12b；④uuurAD＋uuurBE＋uuurCF＝0. 其中正确命题的个数为________．
解析：uuurBC＝a，uuurCA＝b，uuurAD＝12uuurCB＋uuurAC＝－12a－b，故①错； uuurBE＝uuurBC＋12uuurCA＝a＋12b，故②正确；
uuurCF＝12(uuurCB＋uuurCA)＝12(－a＋b)＝－12a＋12b，故③正确； 4 / 6
∴uuurAD＋uuurBE＋uuurCF＝－b－12a＋a＋12b＋12b－12a＝0. ∴正确命题为②③④. 答案：3 9.在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB
＝2GE，设uuurAB＝a，uuurAC＝b，试用a，b表示uuurAD，uuurAG. 解：uuurAD＝12(uuurAB＋uuurAC)＝12a＋12b. uuurAG＝uuurAB＋uuurBG＝uuurAB＋23uuurBE＝uuurAB＋13(uuurBA＋uuurBC)
＝23uuurAB＋13(uuurAC－uuurAB) ＝13uuurAB＋13uuurAC ＝13a＋13b. 10．设e1，e2是两个不共线的向量，已知uuurAB＝2e1－8e2，uuurCB＝e1＋3e2，uuurCD＝2e1－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线； (2)若uuurBF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值． 解：(1)证明：由已知得uuurBD＝uuurCD－uuurCB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵uuurAB＝2e1－8e2，∴uuurAB＝2uuurBD. 又∵uuurAB与uuurBD有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)由(1)可知uuurBD＝e1－4e2， ∵uuurBF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线， ∴uuurBF＝λuuurBD (λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
得 λ＝3，－k＝－4λ. 解得k＝12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若uuurAE＝uuurAD＋μuuurAB，则μ的取值范围是________． 5 / 6
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以uuurAB＝2uuurDC. ∵点E在线段CD上， ∴uuurDE＝λuuurDC (0≤λ≤1)． ∵uuurAE＝uuurAD＋uuurDE，又uuurAE＝uuurAD＋μuuurAB＝uuurAD＋2μuuurDC＝uuurAD＋2μλuuurDE，
∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12. 即μ的取值范围是0，12. 答案：0，12
2.如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若uuurAE＝λuuurAB＋μuuurAC，t＝λ－μ，则t的最大值是________． 解析：设uuurAE＝kuuurAD (0≤k≤1)，则uuurAE＝k(uuurAC＋2uuurCB)＝k[uuurAC＋2(uuurAB－uuurAC)]＝2kuuurAB－kuuurAC.∵uuurAE＝λuuurAB＋μuuurAC，∴λ＝2k，μ＝－
k，∴t＝λ－μ＝3k,0≤k≤1，∴当k＝1时，t取得最大值3.
答案：3 3．已知O，A，B是不共线的三点，且uuurOP＝muuurOA＋nuuurOB (m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)若m＋n＝1， 则uuurOP＝muuurOA＋(1－m)uuurOB ＝uuurOB＋m(uuurOA－uuurOB)， ∴uuurOP－uuurOB＝m(uuurOA－uuurOB)， 即uuurBP＝muuurBA，∴uuurBP与uuurBA共线． 又∵uuurBP与uuurBA有公共点B， ∴A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线， 存在实数λ，使uuurBP＝λuuurBA， ∴uuurOP－uuurOB＝λ(uuurOA－uuurOB)． 又uuurOP＝muuurOA＋nuuurOB.