旋转抛物面的新定义及其性质

第２７卷第２期　２０１１年４月　

大　学　数　学　

ＣｏＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏ１．２７。№．２　

Ａｐｒ．２０１１　

旋转抛物面的新定义及其性质　崔美华　（盐城师范学院数学科学学院，江苏盐城２２４００２）　

［摘　要］从点的轨迹的角度，将碾　中的旋转抛物面定义为：碾。中到一定点与到一定平面（点不在平面　上）距离相等的点的轨迹．同时引入旋转抛物面的焦点、准平面、准线等概念，并在此基础上证明关于旋转抛物　面的焦点弦、准平面、顶点、对称轴、切平面之间的若干重要性质．　［关键词］旋转抛物面；定义；性质；焦点弦；切平面　［中图分类号］Ｏ１８２．２　［文献标识码］Ｃ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０２—０１９２－０７　

在平面解析几何中，抛物线的定义为：到一定点与到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨　迹．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线．在此定义下，证明了抛物线的许多重要性质，对　推动工农业生产、国防科技的发展具有很大的作用．而三维空间中的旋转抛物面，并没有专门的定义，只　是将其看成一般旋转面的一种，而一般旋转面的定义是：一条定曲线绕一条定直线旋转而成的轨　迹　引．在这种定义下讨论旋转抛物面的性质有一定的局限性．因此，本文将从点的轨迹的角度来重新　定义旋转抛物面，并相应地引入旋转抛物面的焦点、准平面、准线等概念，进而在此基础上证明出类似抛　物线的许多具有重要价值的性质．　首先求　。中到一定点与到一定平面（点不在平面上）距离相等点的轨迹方程．　设Ｐ为定点Ｆ到定平面丌的距离．以定点Ｆ到定平面丌的垂线为ｚ轴，垂线段中点为原点，建立空　间直角坐标系，于是可设定点的坐标为Ｆ（Ｏ，０，　），定平面　的方程为　一一等．再设Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）是满足　

条件的动点，则由ｊＰＦＩ—ｄ　一　，得　一　外　

化简得　ｚ　＋　一２ｐｚ．　（１）　方程（１）表示旋转轴为　轴的旋转抛物面．　反之，设Ｐ（ｘ，Ｙ，ｚ）是满足方程（１）的点，则　，．　ｚ　＋ｙ２＋（ｚ一号）。一２　ｚ＋（ｚ一号）　，　

即　＋（ｚ一号）。一　詈Ｉ．　

所以Ｐ（ｚ，　，　）在满足到定点Ｆ（ｏ，ｏ，罟）和到定平面　一一告距离相等的轨迹上．　由上所述，可用点的轨迹定义旋转抛物面如下．　［收稿日期］２００８—０６一　［基金项目］盐城师范学院科研基金资助项目（项目批准号０７ＹＣＫＬ０５７）　第２期　崔美华：旋转抛物面的新定义及其性质　１９３　定义　。中到一定点与到一定平面（点不在平面上）距离相等的点的轨迹称为旋转抛物面．定点　称为旋转抛物面的焦点，定平面称为旋转抛物面的准平面，定平面上过定点关于顶点对称点的直线称为　准线．　所以对于旋转抛物面　。＋３，。＝２ｐｚ（　＞０），其焦点为Ｆ（Ｏ，０，　），准平面丌的方程为　一一鲁，准线　

方程为　

—　—ｚ＋号　丁一　一下’　其中ｚ，ｍ不全为０．　根据上述的旋转抛物面的定义，可以推出关于旋转抛物面的焦点弦、准平面、顶点、对称轴、切平面　之间的若干性质．　性质１　旋转抛物面的焦点弦的长度等于两端点到准平面的距离之和．　证设Ａ　，Ａ　为旋转抛物面过焦点Ｆ弦的两个端点，过Ａ　，Ａ。两点垂直于准平面丌的直线分别　交万于ｃ，Ｄ两点，由上述定义可知ｊ　Ａ　Ａ。ｆ—ｌ　Ａ　ＦＩ＋ｌ　ＦＡ。ｆ＝ｌ　Ａ　Ｃｊ＋ｆ　Ａ。Ｄ　１．　性质２　设Ｐ　是旋转抛物面Ｘ。＋　。＝２ｐｚ（ｐ＞Ｏ）上不与顶点重合的动点，Ｐ　为与Ｐ　关于旋转抛　物面的对称轴对称的点，过Ｐ　且平行于对称轴的直线交ＯＰ　所在直线于点Ｐ，则Ｐ点轨迹方程为　。＋　。＝－－２ｐｚ（ｐ＞ｏ）．　证设点Ｐ　的坐标为（　，ｙ　，　），由Ｐ　，Ｐ。关于对称轴Ｏｚ轴对称可得Ｐ　（一ｚ　，一　，ｚ　）．ＯＰ　

的方程为丢一　Ｙ一　，过Ｐ。且平行于对称轴的直线方程为　．　

ｊ　ｚ—Ｙ一　Ｉ…一——’　ｌＺ１　Ｖ１　１　由｛　．　．　得交点Ｐ（－－ｘ　，一Ｙ　，一ｚ　）．显然点Ｐ与点Ｐ　关于坐标原点对称．由　

Ｉｚ十Ｘｌ—Ｙ十Ｙｌ—ｚ—ｚ１　｛下一下一Ｔ’　

于Ｐ　是旋转抛物面．７１７　＋　一２ｐｚ（ｐ＞ｏ）上的动点，所以可得Ｐ点轨迹方程为ｚ　＋　。：－－２ｐｚ（ｐ＞Ｏ）．　性质３设Ｐ　，Ｐ　为旋转抛物面过焦点Ｆ弦的两个端点，Ｐ　，Ｐ。与旋转抛物面的顶点０的连线　Ｐ　Ｏ，Ｐ。Ｏ分别交准平面于Ｍ，Ｎ，则ＦＭ上ＦＮ．　证设旋转抛物面方程为ｚ。＋ｙ。一２ｐｚ（户＞Ｏ），Ｐ　，Ｐ。的坐标分别为　，ｙ。，ｚ　），　，ｙ　，ｚ　），则　焦点为Ｆ（Ｏ，ｏ，等），准平面为２＝一等，Ｐ　Ｐ　，Ｐ　０，Ｐ　０的方程分别为　

由｛　与｛　得Ｐ１０，Ｐ２ｏ与准平面的交点分别为Ｍ（一　Ｐｘ１，一　，一号），　ｌｚ＝一号，　ｌ　一一号，　、　ｚ　

Ｎ（一　，一　，一号）．所以　葡：一等｛　，　，２Ｉ，商一一等｛垒，丝，２｝，葡．商：等ｆ型出　＋４１．　ｌ　Ｚ．１　ｚ１　Ｊ　Ｉ　Ｚ．２　２；２　Ｊ　＼　１　ｚ．２　／　

一　…点…　薯ｍｚ一［薯卜ｚ一［鬈　人　

针　触，得ｌ　）＝２ｐｚｚ，￣ｌＪ（一－）２Ｚ１（一　，懈得一　一差．因　

兰　一　一　互　１９４　大　学　数　学　第２７卷　为　。：　时，　＝　：詈，　。：差２仍成立，于是可取　：岳，从而有ｚ　：　ｚ　，　一　，　ｚ　ｚｚ－ｑ－ＹｌＹｚ：（一　）（ｚ　ｚ　＋　）一（一　）２ｐｚ　一　。，所以　葡・商一譬（　＋４）一等（　＋４）一ｏ，　～４ｚ　即ＦＭ上ＦＮ．　性质４设Ｐ　，Ｐ　是旋转抛物面过焦点Ｆ弦的两端点，Ｅ是其准平面与对称轴的交点，作　

Ｐ　Ｍ　／／ＦＥ（或Ｐ　Ｍ２∥ＦＥ），交准平面于Ｍ１（Ｍｚ），则ＰｌＭ１（ＰｚＭ２）平分ＦＥ．　证　设旋转抛物面方程为ｚ。＋　。＝２ｐｚ（户＞０），Ｐ　，Ｐ。的坐标分别为（　，ｙ　，ｚ　），（　。，ｙ２，Ｚ２），则　焦点为Ｆ（Ｏ，０，　），准平面为　一一鲁。　

由Ｐ。Ｍｌ　ｆｉＦＥ，得直线ＰｚＭ　的方程为　，￣　—－——　Ｘ．—２—：：Ｙ．——－———Ｙ——ｚ—：＝—Ｚ－－—￣．２　０　０　】　‘　

由｛三　一Ｚ－，Ｔ２’　，　刺　肭程为　

ｚ２一　一　一－　一　

‘　

』　ｙ－ｙ￣　ＰＸ２　２　Ｙ１’　Ｉ—ｚ１　３，一一…　２　Ｉ　ｆ　ｚ—　—　ｌ　一百一Ｔ’　

解得ｚ—ｏ，　＝ｏ，　—　＋（号＋　）　兰　．由于Ｐ　Ｐ。是过焦点Ｆ的弦，由性质３中证明可知　ｚ一差，　

ｚ—ｚｌ＋（号　）　十（詈　）衰　

证　设Ａ　（ｚ　，３，　，　），Ａｚ（　，　ｚ，　ｚ），则直线Ａ　Ａｚ的方程为云　Ｙ　ｌ　Ｚ－　ｉｎ，且署　２２　Ｚ２－ｍ．　将ｚｚ＝（　三　）ｚ　，　ｚ一（　ｚ２　一－ｍ，Ｉ　代入ｚ；＋　；：２户ｚｚ，得ｚｚ　或　ｚ—ｚ　・由于ｚｚ—ｚ　时，　ｚ　一ｚ　：ｍ，　ｚ＝　２仍成立，可取　ｚ　Ｚ

１，

所以ｚｚ一一　ｍｚ　，Ｙ２＝－－　．　

由Ａ　Ｂ平分Ｍ　Ｍ　可知Ａ　Ｂ过原点，于是得直线Ａ　Ｂ方程为３旦７１一　

Ｙ一　

．由｛　一　一　’解得　第２期　崔美华：旋转抛物面的新定义及其性质　１９５　Ｂｆ一丝ｚ　，一　１一ｍ），即Ｂ（ｘ２，Ｙ。－ｍ）．所以Ａ２Ｂ的方程为　、　Ｚ１　１　，　

二　一　二　一　Ｚ－－￣２。　Ｘ２一Ｘ２　Ｙ２一Ｙ２　ｚ２十ｍ　

即　

０＝　一罕，　Ｏ　１　

￣．Ｍ１Ｍ２的方程为吉一百Ｙ一手，显然Ａ２Ｂ＃Ｍ　Ｍｚ．　性质６设旋转抛物面ｚ。＋　。：２ｐｚ（ｐ＞０）的对称轴上两定点Ｍ（Ｏ，０，ｍ）　≠Ｏ），Ｎ（０，０，　），则　过定点Ｍ弦的一端点和Ｎ点的连线与过另一端点且平行于对称轴的直线的交点的轨迹为　（ｉ）当　一０时，为平面　：一　；　

（ｉｉ）当　ｖａＯ时，为旋转抛物面　＋ｙ２：　＋ｍ－－　）．　证　设Ｐ　，Ｙ　，２　），Ｐ　，ｙ２，２　）为过Ｍ的旋转抛物面ｚ。＋３，。＝２ｐｚ（ｐ＞Ｏ）弦的两端点，则直　线Ｐ　Ｐ　的方程为三一ｙ一羔二　，且　一一Ｙｚ一—￣２－－—ｍ．由性质５中的证明可得　

：　：　：墨二　：一　．　ｚ２　ｙ２　２一仇　一　仇　

２ｌ　

直线Ｐ　Ｎ的方程为　一　一　，过Ｐ。且平行于对称轴的直线方程为　：　：ＴＺ－Ｚ２，　Ｚ１　Ｖ１　２１一咒　Ｕ　Ｕ　上　所求交点Ｐ满足　

ｊ　—Ｙ—　一　ｆｚ１　Ｙｌ　２１一　’　

ｌＸ—－—Ｘ２＝ｙ—－—ｙ￣：—Ｚ－—Ｚ２　１　０　０　１　’　

解得ｚ：ｚ。，　＝　，２：７ｚ＋（ｚ　一　）垒，将旦：一　代入得，　＝　＋（ｚ１一　）ｆ—ｍ１＝ｒ／－ｍ＋　．　ｘｌ　Ｚ２　ｍ　＼　１，　１　

所以当Ｐ　Ｐｚ运动时，交点Ｐ的轨迹为：（ｉ）当　一Ｏ时，为平面　一一　；（ｉｉ）当　≠Ｏ时，由　；＋　；　

＝２ｐｚ　得ｚ。＋　。＝２ｐ　，即为旋转抛物面　＋　。：２ｐｒｏ（２＋仇一　）．　

性质７旋转抛物面上任一点到焦点的距离，等于过这点的切平面与其对称轴的交点到焦点的　距离．　

证设旋转抛物面方程为３７，２＋　。＝２ｐ　（　＞ｏ），则其对称轴方程为吾　百ｙ　｝，设Ｐ０（　。，ｙ。，　）　是旋转抛物面上任一点，则过点Ｐ。的切平面方程为　ｚ０（ｚ～ｚ０）＋　０（　—　ｏ）一Ｐ（ｚ—ｚｏ）：０，　即．Ｙ８０．ｚ＋ｙｏ　一　一户　ｏ—Ｏ．　ｆＸＯｘ－￣－ｙ。Ｙ—ｐｚ－－ｐｚ。　０，　－　由．｛ｚ—Ｙ—ｚ　得交点Ｔ（Ｏ，０，一２。）．于是有　ｌ　０　０　１’　

［ＰｏＦ　ｌ一＾、／　研一＾、／　研＝ｌ　。十号ｌ，　

Ｉ　ＴＦ　Ｉ＝　＝ｌ２０＋外　所以Ｉ　Ｐ。Ｆ　ｌ—ｆ　ＴＦ　ｆ．