2.1一元二次方程
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
2.1 一元二次方程 浙教版八年级数学下册同步练习(含解析)
第2章一元二次方程2.1一元二次方程基础过关全练知识点1一元二次方程的相关概念1.(2022浙江诸暨浣纱中学月考)下列方程是一元二次方程的是()A.x2-y=1B.x2+2x-3=0C.x2+1=3 D.x-5y=6x2.已知关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,则k=.3.若方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,则a的取值范围是.知识点2一元二次方程的一般形式4.下列方程是一元二次方程的一般形式的是()A.2x2-3x=0B.x2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x5.【新独家原创】四位同学一起做游戏,分别出一个一元二次方程,甲:x2-2x+3=0,乙:x2-2x=3,丙:3(x2-2x+1)=3,丁:3x2-x=3,当这四个方程化为一般形式时,常数项为0的赢,则这次游戏谁赢了()A.甲B.乙C.丙D.丁6.关于x的一元二次方程(m-2)x2+5x+m2-4=0的常数项为0,则m等于() A.2 B.-2 C.2或-2 D.07.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为.知识点3列一元二次方程8.某班学生毕业时,都将自己的照片向本班其他同学送一张留念,全班一共送了1 260张,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为() A.x(x+1)=1 260 B.2x(x+1)=1 260C.x(x-1)=1 260D.x(x-1)=1 260×29.【教材变式·P26合作学习(1)变式】把面积为16 m2的大长方形铁皮割成如图所示的正方形和长方形两个部分,已知长方形的一边长为 6 m,求其邻边长(只需列出方程).10.根据下列问题列一元二次方程,并将方程化为一般形式.(1)三个连续奇数的平方和是251,求这三个数;(2)一个长方形花坛,长20 m,宽8 m,在它的四周有等宽的鹅卵石路,形成一个大长方形,其面积是花坛面积的1.8倍,求路的宽度;(3)用一根长30 cm的铁丝折成一个斜边长13 cm的直角三角形,求这个三角形的直角边长.能力提升全练11.(2022浙江温州外国语学校期中,6,)关于x的一元二次方程(m-3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则m的值为()A.0B.±3C.3D.-312.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根为x=-1,则下列等式成立的是() A.a+b+c=0 B.a-b+c=0C.-a-b+c=0D.-a+b+c=013.若(1-m)x m2+1+3mx-2=0是关于x的一元二次方程,则该方程的一次项系数是() A.-1 B.±1 C.-3 D.±314.方程5x2-1=4x化成一般形式后,二次项系数为正,其中一次项系数,常数项分别是()A.4,-1B.4,1C.-4,-1D.-4,115.已知x1=1,x2=-3是一元二次方程ax2+bx-3=0(a≠0)的两个根,求a,b 的值.16.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1.(1)当k为何值时,方程为一元二次方程?(2)当k为何值时,方程为一元一次方程?17.有一个三角形,面积为30 cm2,其中一边比这边上的高的4倍少1 cm,若设这边上的高为x cm,请你列出关于x的方程,并判断它是什么方程,若是一元二次方程,把它化为一般形式,并指出二次项系数、一次项系数和常数项.素养探究全练18.【代数推理】【运算能力】已知实数a是一元二次方程x2-2 022x+1=0的值.的解,求代数式a2-2 021a-a2+12 022答案全解全析基础过关全练1.B x2-y=1中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以A不符合题意;x2+2x-3=0符合一元二次方程的定义,是一元二次方程,所以B符合题意;x2+1x =3中1x不是整式,不是一元二次方程,所以C不符合题意;x-5y=6中含有2个未知数,不是一元二次方程,所以D不符合题意.故选B.2.3解析因为关于x的方程x2+kx-10=0的一个根是2,所以22+2k-10=0,解得k=3.3.a≠2解析因为方程(a-2)x2-3ax=5是关于x的一元二次方程,所以a-2≠0,解得a≠2.4.A形如ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,且a≠0)是一元二次方程的一般形式.只有A符合题意,故选A.5.C x2-2x+3=0的常数项为3,所以甲输了;x2-2x=3化为一般形式为x2-2x-3=0,常数项为-3,所以乙输了;3(x2-2x+1)=3化为一般形式为x2-2x=0,常数项为0,所以丙赢了;3x2-x=3化为一般形式为3x2-x-3=0,常数项为-3,所以丁输了.故选C.6.B因为常数项为0,所以m2-4=0,解得m=2或-2,当m=2时,方程(m-2)x2+5x+m2-4=0变为5x=0,不是一元二次方程,所以m=2要舍去,故m=-2.7.5,-4,1解析5x2+1=4x移项,得5x2-4x+1=0,所以将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式,则a,b,c的值分别为5,-4,1.8.C全班有x名同学,根据“都将自己的照片向本班其他同学送一张留念”可知全班一共送了x(x-1)张照片,又全班一共送了1 260张照片,所以x(x-1)=1 260.9.解析设其邻边长为x m,则可列方程为x(x+6)=16.10.解析(1)设中间的奇数为x,则(x-2)2+x2+(x+2)2=251,化为一般形式:3x2-243=0.(2)设路的宽度为x m,则(20+2x)(8+2x)=1.8×20×8,化为一般形式:4x2+56x-128=0.(3)设一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为(17-x)cm,则x2+(17-x)2=132,化为一般形式:2x2-34x+120=0.能力提升全练11.D将(m-3)x2+m2x=9x+5整理得(m-3)x2+(m2-9)x-5=0,由题意得m-3≠0,m2-9=0,解得m=-3,故选D.12.B把x=-1代入方程ax2+bx+c=0得a-b+c=0.13.C由题意得1-m≠0且m2+1=2,解得m=-1.∴该方程的一次项系数为3m=-3.14.C5x2-1=4x化成一般形式是5x2-4x-1=0,它的一次项系数是-4,常数项是-1.故选C.15.解析 把x 1=1,x 2=-3分别代入一元二次方程ax 2+bx -3=0(a ≠0),得{a +b −3=0,9a −3b −3=0,解得{a =1,b =2.16.解析 原方程可化为(k -3)x 2-kx +1=0.(1)当k -3≠0,即k ≠3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元二次方程.(2)当k -3=0,-k ≠0,即k =3时,方程(k -2)x 2-kx =x 2-1是一元一次方程.17.解析 根据题意可得关于x 的方程为12x (4x -1)=30,它是一元二次方程,整理为一般形式为2x 2-12x -30=0,二次项系数为2,一次项系数为-12,常数项为-30.素养探究全练18.解析 因为实数a 是一元二次方程x 2-2 022x +1=0的解,所以a 2- 2 022a +1=0,所以a 2-2 022a =-1,a 2+1=2 022a , 所以原式=a 2-2 021a -2 022a 2 022=a 2-2 022a =-1.。
2.1一元二次方程(2)课件
没有公因式，也不能用公式法， 就先将方程化成一般式， 再用上述方法分解因式求解。
十字相乘法
(1)2 x 3x
2
(3)(m 2) 2(m 2) 0
2
(4)( x 1) 9( x 2) 0
2 2
（5）.完成课前热身题。
（6）．有人解这样一个方程 ( x 5)( x 1) 7
从前，有一个“笨人”拿着竹竿进屋，横 拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖 着比门框高2尺，一位“智者”见了，对 “笨人”说：“我教你一招，沿着门的对 角线斜着拿杆一定可以进去。”“笨人” 一试，不多不少，刚好进去了。 同学们，你知道这根竹竿有多长吗？
本节课重点： 用因式分解法解一元二次方程
你来试一试 (1)3x2-27=0 (2)4x2=1
(3)x2 =3x
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1.若方程的右边不是零，则先移项，使右边为零。 2.将方程的左边分解因式。 3.根据若A B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程 转化为解两个一元一次方程。 4.写出原方程的解。
例1.解下列方程。
(1) x x
2
(2)( x 3) 2 x( x 3) 0
解：x+5=1或x－1=7，所以x1=－4，x2= 8，你的看 法如何？
分解因式的方法有：
2
先观察有没有公因式，有的话先提取公因式 例2.解下列方程。 2
2
(1) x 2 0
(2)4( x 2) 9 0
2
(3) x 2 2 x 2
如果没有公因式，就看看能否用公式法分解因式。
例3.解下列方程。
(1)( x 5)(3x 2) 10
2.1认识一元二次方程A(1)改
c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称
为二次项系数和一次项系数．
一元二次方程的有关概念: ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０)
二次项 一次项 常数项
系数 系数 注意： （1）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为 ax２＋bx＋c＝０(a≠０)的形式，其中a ≠０是定义 的一部分，不能漏掉，否则就不是一元二次方程了。 （2）项、系数都要包括前面的符号。
当堂训练（17分钟）
1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（C ）。 1 A. x²+ =0, B. ax² +bx+c=0, x
C. (x-1)(x+2)=1. D. 3x² -2xy-5y² =0
2. 把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程 +36x-32=0 , 它的二次项系数 的一般形式 5x² 为 5 ，一次项系数为 36 ，常数项为 -32 。 3. m≠1
是一元二次方程．
时，
6.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程; 当k = -1 时，
是一元一次方程．
点拨（10分钟）
一元二次方程概念
上面的方程都是只含有 一个未知数x 的 整式方程 ，并且都可 以化为 ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数, a≠０) 的形式，
解：设竹竿的长 为 x 尺,则门的宽 度为(x－4) 尺,长 为 (x－2) 尺,依题 意得方程：
2尺 数学化
x
x－2
(x－4)2＋ (x－ 2)2＝ x2
x－4
即 x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
9.
a = －1
2.1.1一元二次方程的概念、一般形式、列方程
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四
个数依次可表示
为： x+1 , x+2 , x+3 , x+ .
根据题意，可得方程：
4
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 该方程中未知数的个数和
化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
最高次数各是多少？
解题技巧 4
列一元二次方程步骤：
分析题意→找等量关系→设未知数→列方程
课后作业
11.下列是一元二次方程有
(1)7x2 - 6x = 0
（6）
(2)2x2 - 5xy + 6y = 0
(3) 2 x 1 1 0
3x
(4) y 2 0
2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
(3x+2)2=4(x-3)2
x2 + x - 8 = 0 7x2 - 4 = 0
1
1
-8
7
0
-4
课后作业
3 a为何值时，(a－1)2 x ∣ a ∣ +1 －2ax－a+1=0为一 元二次方程？
课后作业
4 随堂练习 第1题
5 习题2.1 第1题
解题技巧 3
描述一元二次方程的各项及其系数：
(1)先将一元二次方程化成一般形式再进行判断. (2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤． (3)指出一元二次方程的各项及其系数时，各项或各项的系 数应包括它们前面的符号.
解题技巧 4
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第二章 一元二次方程2.1 一元二次方程
一般形式
（,,为已知数，）.
项及项的系数
二次项为；二次项系数为.
一次项为;一次项系数为.
常数项为.
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0.
注意（1）一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成一般形式；（2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列.
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的相关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程.2.认识一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.理解一元二次方程解（或根）的概念，会判断一个数是不是一元二次方程的解（或根），会应用解（或根）的概念解决问题.4.会根据实际问题中的数量关系列一元二次方程.
典例2下列哪些数是一元二次方程的解？,，,.
解：当时，左边，把未知数的值代入方程时，∵左边≠右边，不是方程的解;当时,左边,∵左边≠右边,不是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解.综上可知，1和3是一元二次方程的解.
知识点3 一元二次方程的一般形式 重点
（3）；
（3）方程左边多项式相乘，得，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为；
（4）．
（4）方程左右两边多项式相乘，得，移项、整理，得，二次项系数ห้องสมุดไป่ตู้1，一次项系数为，常数项为5．
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：一元二次方程解的概念的应用，主要考查将解代入方程求代数式的值.
选择题、填空题
（或）
[解析]根据题意和题图，得纸盒底面的长是，宽为，根据长方形的面积＝长×宽，列出方程为，整理得．
2.1_一元二次方程
解：设竹竿的 长为x尺,则门 的宽 度为 (x－4) 尺,长为 (x－2) 尺,依题意得方 程：
x
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
x－4
4尺
活动三
张某在社会上借了100000的高利贷， 一年后还不出，到第二年底，他的还 款数额已经到了144000。 设高利贷的年利率为x，可列出方 程 100000(1+x)2＝ 144000 。
其中ax2,bx,c分别称为二次项,一 次项,常数项；a,b,c分别称为二 次项系数,一次项系数和常数项.
比一比
一般 二次项 一次项 常数 形式 系 数 系 数 项
Байду номын сангаас
把下列方程化为一元二次方程的形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方
2
程
3x =5x-1
(x+2)(x -1)=6
4-7x =0
总结：两种题目类型 1、已知方程的根，求代数式的值
2、已知代数式的值，观察出方程的根
登峰造极
1、已知一元二次方程x2+bx+c=0的两个根
是x1=-2,x2=3，求这个方程。
2、已知代数式ax2+bx+c，当x=-1时，它的
值是2；当x=2时，它的值是0，求a+b的值。
3、根据题2信息，直接说出方程ax2+bx+c=0
2
概念的内涵与外延
1.关于x的方程 (k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当 k ≠3 _______ 时，是一元二次方程． 2.关于x的方程 (k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, 当k ≠±1 时，是一元二次方程; 当 k ＝－1时，是一元一次方程．
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龙游县塔石初中八年级数学（下）导学案 课型：新授 编号：0802009 备课组：八年级数学备课组 主备人：张红群 使用时间：2014年3月5日 审核人： 张红群 学生姓名：
2.1一元二次方程
一、我预学
（一）温故知新
1、什么叫方程？
2、我们学过的方程有哪些？
3、什么是一元一次方程？
两边都是 ，只含有 ，并且未知数
的 ，这样的方程叫做一元一次方程。
（二）合作学习
1、完成书本合作学习。将两个问题的方程填在下列横线上：
（1）设正方形的边长为x(m)，可列出方程：
（2）设平均每天减少率为x，可列出方程：
2、将你所列的方程去括号、移项、合并同类项进行整理，观察它们
有什么共同特点？
3、这些方程与一元一次方程比较的相同和不同之处有哪些？
相同点：
不同点：
（三）探究新知
1、类比已学的一元一次方程的定义，请你给一元二次方程下一个定
义：
。
2、做一做
判断下列方程是否为一元二次方程，是的在括号内打√，不是的打×，
并说明理由。
（1）10x2=9 （ ） 理由：
(2)2(x-1)=3x （ ） 理由：
(3)2x2-3x-1=0 （ ） 理由：
(4)0112xx（ ） 理由：
3、如果)0(0aabx是一元一次方程的一般形式，那么你
认为的一元二次方程的一般形式可以写
成： 。
其中ax2称为 ，a称为 ；
bx称为 ,b称为 ；
c称为 。
4、议一议：
(1)为什么a≠0?
（2）b和c可以为0吗？
5、方程的解：
(1)什么是方程的解？
（2）判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根。
二、例题探究
例1：把下列方程转化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二
次项系数、一次项系数和常数项。
（1）9x2=5-4x (2)(2-x)(3x+4)=3
例2：已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根为x1=25和x2=-3,求
这个方程。
三、我巩固
完成书本课内练习。
四、我挑战
1、当 时，ax2+bx+c=0是一元二次方程
当 时，ax2+bx+c=0是一元一次方程。
若关于x的方程（m－2）x2 + x + 1 =0是一元二次方程，则m的
取值范围是（ ）
A、m≠2 B、m＞0
C、m≥0且m≠2 D、m为任何实数
2、若方程02nmxx中有一个根为0，另一个根非0，则m、
n的值是
五、我梳理
一元二次方程
定义：
一般形式：0a2cbxx（a≠0）,
其中a是 ，b是 ，c是 。
能使 的未知数的值叫做方
程的解（根）。