具有强阻尼的非线性梁方程的初边值问题
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧
Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧在科学和工程领域中，我们经常会遇到一些复杂的非线性问题，例如最优化问题和方程求解问题。
解决这些问题的方法主要分为线性和非线性等，其中非线性问题是相对复杂的。
作为一种强大的数值计算工具，Matlab提供了许多专门用于解决非线性优化和非线性方程求解的函数和方法。
本文将介绍一些常用的Matlab中的非线性优化和非线性方程求解技巧。
非线性优化是指在给定一些约束条件下，寻找目标函数的最优解的问题。
在实际应用中，往往需要根据实际情况给出一些约束条件，如等式约束和不等式约束。
Matlab中的fmincon函数可以用于求解具有约束条件的非线性优化问题。
其基本语法如下：[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)其中，fun是目标函数，x0是初始值，A、b是不等式约束矩阵和向量，Aeq、beq是等式约束矩阵和向量，lb、ub是变量的上下边界。
x表示最优解，而fval表示最优解对应的目标函数值。
另外，非线性方程求解是指寻找使得方程等式成立的变量值的问题。
Matlab中提供的fsolve函数可以用于求解非线性方程。
其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0)其中，fun是方程函数，x0是初始值，x表示方程的解。
除了fmincon和fsolve函数之外，Matlab还提供了一些其他的非线性优化和非线性方程求解函数，例如lsqnonlin、fminunc等，这些函数分别适用于无约束非线性优化问题和带约束非线性方程求解问题。
除了直接调用这些函数外，Matlab还提供了一些可视化工具和辅助函数来帮助我们更好地理解和解决非线性问题。
例如，使用Matlab的优化工具箱可以实现对非线性优化问题的求解过程可视化，从而更直观地观察到优化算法的收敛过程。
此外，Matlab还提供了一些用于计算梯度、雅可比矩阵和海塞矩阵的函数，这些函数在求解非线性问题时非常有用。
一类四阶非线性波动方程的初边值问题
Ｆ） Ｔ Ｔ ｏ （ Ｈ）≥ ｓ ：｝ ｄ
则 方 程 （．） 为 １１变 Ｌ一 ｂ ＋ｔ 一 ｏ ｐ （ ） Ｉ ２ｕ Ｏｌ ｋｉ ＝ ０ｕ ” ｔ １ （．） ２７
则（ ．） ２４ 与下面的方程组等价
（ ２ ｕ ＋ｒＮ 一 ｏ ， ）（０ｕ ），）ｓ ｌ２… ， Ａ Ｉ 一 ｂ № Ｏ … ｋｕ ｙ ＝ｐ（№ ＝ ，， Ｎ Ｂ ｙ， 由 引理 ２１ ． 得 （ ．） ２８
ｋ ｌ （， 。ｌ ・） ≥ｃｋ ｌＮ・） 一 ｌ （， ｕ ｔ ｔ ［（， ｌ 。ｌ１ ｔ ｕ ・） ｔ
（．） ２９
在 等式 （．） 端 同 时 乘 以 ２ （， Ｓ Ｉ ， Ｎ求 和 ， 等 式 两 端 ２８ 两 ｙ ｔ 对 ＝ ， …， ） ２ 在 同 时 加 生 上（一 ，） ｕ）在［，】 积 分 和 对 ｘ分 部 积分 ， １ ｃｋ （ ２ ， Ｏ１ ｏｕ 上 得
给 出此初 边值 问题 的 存非线性波动方程
１ 引 言 ．
２ Ｏ世纪 ６ ｏ年代 以来非线性波的研究取得 了举世 瞩 目的成就 ， 揭示 了许多重要的新 现象 ， 并在物理学和工程学许多领域得到了实际应用 。 在固体力学领域， 非线性波的研究也引起 了不少学者的关注。 文献［】 １在对弹塑性微 观结构模型进 行弱非线性 分析时， 研究 了一 维弹塑性杆的纵振动 问题和二维反平面的剪切问题， 推出运 动的位移函 数 ｕｘ【 足 的非 线 性 波 动 方 程 ， 进 一 步 研 究 了其 特 殊 解 ， 殊 解 的 不 （，满 ） 并 特 稳定性 以及常应变解 的不稳定性。文献【】 明了更为广泛地非线性波 ２证 动方程具有几种边界条件的定解问题 。应用压缩影射 原理， 证明 了整体 广义解和整体古典解的存在惟一性， 并给 出整体广义解和整体古典解不 存在的充分条件 。 进而， 文献【］ ３应用位势井方法， 明在不 同假设 Ｆ存在 证 整 体 弱 饵 ， 一 整体 广 义 解 和 惟 一 整体 古 典 解 。 惟 由 于 此方 程是 描 述 在 具 有 色 散 效 应 的 介 质 中 波 的 传 播 的非 线 性 方 程 。 因 此 粘性 的修 正 效 应 如 何 是此 类 问题 所 需 回 答 的 基本 问题 之 一 ， 故 研 究 其 具 有粘 性 阻尼 项 的非 线 性 波 动 方 程 是 有 意 义 的 。 对 于 杆 中 非线 性波的传播问题 ，国内外学者从不同的角度进行了许多重要的研 究， 文 献 【卜【］ 不 同 角 度 研 究 此 类 方 程 的 Ｃ ｕ ｈ 题 ， 用 Ｆｕｉ 变 换 证 ５ ８从 ａｅｙ问 利 ｏｒ ｒ ｅ 明整体解的存在与惟一性， 并运用凸性引理给出了解爆破 的充分条件。 ２问题 （ ． ） １３） ． １１ 一（ ． 的整体广 义解的存在惟一性 本 文 研 究 下 列具 有 阻 尼 项 的 非 线性 波 动 方 程 的 初 边值 问题
具强阻尼非线性弹性梁方程弱解的存在唯一性
α,β为常数 。在本文中我们将要研究一类比上述方 程更具一般性的非线性弹性梁方程 ¨ u+ u
( 4) l ( 1)
引理 2 [4 ] ( Poincare 不等式 ) 设 f ∈H1 (Ω) , 且 设对某个ξ∈ Ω � ,有 f ( ξ ) = 0 ,则 ‖f ‖ ≤ 1 ‖f ( 1) ‖. 2 引理 3[ 2 ] ( Gronwall 不等 式 ) 设 f ∈L ∞ ( 0 ,
梁是工程建筑的基本构件之一 , 对于梁方程的 研究 ,有着非常重大的理论意义和实际意义 。非线 性弹性梁方程在数学上是由四阶偏微分方程来描述 的 。近年来 , 关于弹性梁方程的研究已经取得了不 少成果 [1 ] 。Ball 研究了两端固定的弹性梁方程 [ 2] ( ) ¨ u +α u4 l
1 预备知识
2 弱解的存在性
( s ) 下方有界 , 即存在常 定理 1 设σ( s) ∈C1 ,σ ′
2 数 c0 , 使σ ′ (s) ≥c0 , u 0 ( x) ∈X , u1 ( x) ∈L (Ω ) , 则问
题 (1 ) - ( 3 ) 存在弱解 u = u ( x , t) , 对于任意 的φ∈
和边界条件
u ( 0 , t) = u( l , t) = u u
(2) ( 2)
f ( t) ≤ c0 + k ( 0 , t) = (3) ( l , t) = 0
∫f ( s) d s ,
0
则
f ( t) ≤ c0 e kt .
下的初边值问 题。其中 u �(2) 为强阻尼 ,σ( u ( 1) ) (1) 为 非 线 性 项 。我 们 以 Sobolev 空 间 为 工 具 , 采 用 Gal erki n 方法证明了弱解的存在性及唯一性 , 从而 解决了该方程弱解的存在唯一性问题 。
齐次化原理-初边值问题
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一类非线性波动方程的初边值问题
一类非线性波动方程的初边值问题作者：周晓宇任煜东来源：《商情》2008年第13期【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。
【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计一、引言及主要结论本文讨论如下初边值问题：的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。
我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：定理假定是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。
在上满足相容性条件.其中则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解若令中的p=1且和中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得此外，若连续，则解是唯一的。
二、定理的证明设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明能被整体延拓到[0，+∞)上.第一个估计将方程(5)中的换成，并在(0，t)上积分，得到由假设，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计其中是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
第二个估计首先估计的范数，易得其中是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的换为得到对上式左边第一项进行估计，可得在(0，t)上积分(9)式，，得到类似(8)的做法，，可以得到合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计其中，是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
非线性项的分析利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.由第一个估计和假设可知，存在函数，使得利用广义格林公式，由(5)得到由于Δu∈，从而有再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到由于接下来，把(5)中的换为并在(0，T)上积分，得到对上式两边取极限得到合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到由假设得到利用Lions引理即得(12).惟一性设和是问题(1)-(4)的两个解，则-满足在(17)中令，由假设、可以得到其中，λ来自于不等式另一方面，由连续和假设可知，存在常数C使得在(0，t)上积分(18)得到利用Gronwall引理，由上式即得.惟一性得证.能量的一致衰减由(1)得到(19)若令中的P=1，则存在正常数和，使得(20)考虑到假设，由(19)，(20)得到(21)注意到h(0)=0简单的计算易知(22)其中定义修正能量(23)假定(24)其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得(25)因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设得到定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数，使得(26)和(27)综合(26)，(27)可得其中，C，λ为正常数.证毕.参考文献：[1]Yang Zhijian.Global existence， asymptotic behavior and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative term. J. Differential Equation，2003，187：520-540.[2]Tokio Matsuyama.On global solutions and energy decay for the wave equations of kirchhofftype with nonlinear damping term.J.Math.Anal.Appl.1996，204：729-753.[3]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti，J.S.Prates Filho and J.A.Soriano.Existence and uniform decay of solutions of a degenerate equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Nonlinear Analysis T.M.A.，1999，38：281-294.[4]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti.Existence and uniform decay of the wave equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Calculus of Variations，2002，15：155-180.[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term，J.Math.Anal.Appl.1997，58，336-343.基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号021*******.(作者单位：河南财经学院信息学院)注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
方程utt-△ut-△utt=β｜u｜ αu的初边值问题
Ｅ（ ）＝ Ｉ Ｉ ＋ １ Ｉ “ Ｉ ０ １ Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ一 “ ； Ｉ Ｉ ： Ｉ Ｉ 。 “
构 造 函数
（） ５
性 耗 色散 波动 方 程 ］ 这 类 方 程 的 高 维 情 形 ，很 １。
引进 稳定 集 （ 井 ） 势
ｚ ∈ ｎ， （） ２
Ｉ ｚ， ）一 “ （ “（ ０ ｌ ｚ）一 “ ， ｌ 【 ｝
“ ｚ，）一 ０， （ ￡
ｗ — ｉｆ“ “ ∈ Ｈ ｎ）ｌ “ ＜ ｄ， “ ＞ ０ ｎ ｛ ， （ ） ： （ ） Ｊ（ ｝
Ｕ ｛｝ ０。
ｚ∈ ａ ， ｎ ｔ＞ ０， ３ （）
（ ，） ｚ ￡ 中的 － 并 分别记为并 分别记 为 “ ￡， ￡． ｚ ， （）“（）
ｌ ≤ Ｃ ｌ ｌ， ｌ “ “ｌ ｌ ． 引 理 ２ 假设 “ 问题 （ ） （ ） ［ ， ］ 的 是 １～ ３在 ０Ｔ 上
局 部 解 ，则 Ｅ（）≤ Ｅ（ ） ￡ ０．
证 明 （ ） 两边 乘 以 “ ， 后在 ｎ上 积分得 １ 式 然
少见 到有 文献研 究 ．
Ｊ ） １ Ｉ “ Ｉ （ ）一 Ｉ Ｉ ；
一
Ｉ Ｉ ， Ｉ “Ｉ
本文 研 究 下 述一 类 高 维 非线 性 拟 双 曲方 程 的 初 边值 问题
ｆ 一 △ “ 一 △ “ 一 卢ｌ Ｉ ，ｚ ∈ ｎ， ＞ ０ “ ￡ ）＝ ｌ “ ｌ 一 卢ｌ ｌ ： ｌ ｆｌ ｌ ｌ ， “ｌ丰
ｄ— ｉｆｓ ｐ （“ ｌ ， ∈ Ｈ ｎ） ｛ ｝。 ｎ ｛ｕ Ｊ ） “ “ （ 一 ０｝
＾ ０ ≥ ｌ
Ｉ ， ｃ ） 。 一“， ｛ ３０ 一“（） 。 ｕ （ ｚ
FLAC3D第一章
FLAC/FLAC3D软件简介 软件简介
基本特征
连续介质非线性，大应变模拟 连续介质非线性， 显式解题方案，为不稳定物理过程提供稳定解 显式解题方案， 界面或滑动面用来模拟可产生滑动或分离的离 散面，从而模拟断层，节理或摩擦边界 散面，从而模拟断层， 内置材料模型： 内置材料模型：
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岩土软件应用选择
总体而言，三个系列的程序在解决一些基本问题时具有 一定的重迭区间，因此，这三个系列的程序或许都适用 FLAC/FLAC3D更适合于解决连续体的多介质多场耦合问 题；UDEC/3DEC在解决结构面控制型问题时有独到的优 势；PFC系列则特别适合脆性材料破裂发展和散粒体流 动变形问题 Itasca软件是岩（土）工程问题的专用高级计算程序，不 论使用哪种程序，研究者的专业知识是基本要求
三维网格图
坝体变形分布图
水平位移分布图
坝体应力分布图
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采用LS-DYNA模拟板材跌落水中激 起浪 花
LS-DYNA分析弹丸侵砌混凝土面板
基于强调折减法的金沙江某边坡稳定性分析 （ABAQUS）
基于UDEC的金沙江某边坡稳定性分析
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Itasca软件的开发和应用历史 软件的开发和应用历史
1984 – 应DNA and Corps. of Engineers开发UDEC以研究节理切割块体 破坏的运动行为 1985 – 开发了岩土体连续介质分析的 FLAC 软件，帮助矿山咨询 1988 – 应加拿大安省Sudbury市 Falconbridge Ltd.要求开发3DEC，应 用于深 部矿山开采中遇到的岩爆问题 1993 – 由Flac扩展到FLAC3D 1994 – PFC2D/3D 应如下企业要求开发：Codelco Chile, Anglo American, Shell, Komatsu, Mitsubishi Heavy Industries, Taisei, Kajima, Pacific Consultants 应用于矿山开采的粒子流分析 1998 – 为FLAC 、UDEC增加了GIIC 2001 – FLAC/Slope 推出，计算边坡稳定 2001 – 应11家矿山公司要求开发REBOP，用于崩落法开采设计 2002 –开发BLO-UP 模拟岩石破裂和爆破飞石控制问题（基于PFC与 FLAC的耦合）
非线性动力学方程的求解方法
非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。
静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。
在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。
一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。
但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。
对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。
线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。
[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。
式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。
直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。
模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。
这两种方法在形式上不同，但是密切相关。
上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。
因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。
直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。
(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。