非线性波动方程的有限元解法
有限元非线性分析
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
大位移和大转角（小应变；线性或非线性材料）
大位移、大转角和大应变（线性或非线性材料）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 在线性FEA中，应变，如x方向应变可写为εx = ∂u/∂x，也就是说在表达式εx = ∂u/∂x + ...[(∂u/∂x)z + (∂v/∂x)z + (∂w/∂x)z]中只考虑了一次项的影响。在大位移（非线性）中，表达式的二次项也要考虑。另外，材料的应力-应变关 系也不一定是线性的。 2）材料非线性
材料非线性的特点
非线性材料（小位移）
K.J. Bathe, Finite Elemente Methoden 所有的工程材料本质上都是非线性的，因为无法找到单一的本构关系满足不同的条件比如加载、温度和应变率。 可以对材料特性进行简化，只考虑对分析来说重要的相关因素。线弹性材料（胡克定律）假设是最简单的一种。如果 变形可恢复，则材料为线弹性，如果变形不可恢复，则为塑性。如果温度效应对材料属性影响较大，则应该通过热弹性或热-塑性关系考虑结构和热之间的耦合效应。如果应变率对材料有明显影响，则应使用粘-弹性或粘-塑性理论。 上图是一个材料非线性的示例。 材料非线性的简单分类： 1. 非线性弹性 2. 超弹性 3. 理想弹-塑性 4. 弹性-时间无关塑性 5. 时间相关塑性（蠕变） 6. 应变率相关弹-塑性 7. 温度相关的弹性和塑性 如果考察上图中的应力-应变曲线，则材料非线性可以分为以下几类： 1. 线弹性-理想塑性 2. 线弹性-塑性。应力-应变曲线的塑性段与时间无关，还可细分为两种：
《有限元非线性》课件
本课件介绍《有限元非线性》课程的重要概念和应用领域，帮助学习者深入 了解非线性有限元分析的基本原理和解决方案。
有限元分析基础概念
介绍有限元分析的基本原理，包括离散化方法、单元类型和刚度矩阵的计算。
进一步学习非线性有限元方法
深入讨论非线性有限元方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的应用和优缺点，以及适用场景。
常见的非线性问题类型
弹性-塑性耦合模型
讨论弹性和塑性耦合的模型，以及其在结构分析和变形分析中的应用。
本构方程的求解方法
详细介绍求解非线性本构方程的数值方法和迭代策略，包括线性化方法和增量迭代法。
探讨材料非线性、几何非线性和边界条件非线性等常见问题类型，并提供解决方案。
经典弹塑性模型
介绍经典弹塑性模型及其在非线性有限元分析中的应用，包括塑性流动准则和硬化规律。
渐进式塑性模型
探讨渐进式塑性模型的特点及其在复杂材料行为建模中的应用。
黏塑性模型
介绍黏塑性模型及其在某些材料和地质工程分析中的应用，如粘土和岩石。
非线性有限元分析
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
工程力学中的非线性分析方法有哪些？
工程力学中的非线性分析方法有哪些？在工程力学领域，非线性问题的研究至关重要。
与线性问题相比，非线性问题更加复杂，需要采用专门的分析方法来准确描述和解决。
下面我们就来探讨一下工程力学中常见的非线性分析方法。
首先要提到的是有限元法。
这是一种非常强大且广泛应用的数值分析方法。
在处理非线性问题时，它能够有效地模拟材料的非线性行为，比如塑性、蠕变等。
通过将复杂的结构离散为有限个单元，并对每个单元进行分析，最终得到整个结构的响应。
对于几何非线性问题，如大变形、大转动等，有限元法能够通过更新坐标和刚度矩阵来准确捕捉结构的变化。
而对于材料非线性，如弹塑性问题，通过定义合适的本构关系，可以精确地模拟材料在不同应力状态下的行为。
再来看看边界元法。
它是另一种有效的数值方法，特别适用于处理无限域或半无限域问题。
在非线性分析中，边界元法可以结合迭代算法来求解非线性边界条件或非线性材料特性。
与有限元法相比，边界元法通常只需要对边界进行离散，从而降低了问题的维数，减少了计算量。
但在处理复杂的非线性问题时，其数学推导和编程实现可能会相对复杂。
还有一种方法是摄动法。
这是一种基于微扰理论的分析方法。
对于弱非线性问题，通过将非线性项视为对线性问题的小扰动，将问题的解表示为一个级数形式。
通过求解这个级数的各项，可以逐步逼近非线性问题的精确解。
摄动法在处理一些简单的非线性问题时非常有效，但对于强非线性问题，其精度可能会受到限制。
接下来是增量法。
在处理非线性问题时，将加载过程或变形过程分成一系列的小增量。
在每个增量步内，将问题近似为线性问题进行求解，然后逐步累加得到最终的结果。
这种方法适用于各种非线性问题，尤其是在考虑加载历史和路径相关性的情况下。
非线性有限差分法也是常用的手段之一。
它直接对控制方程进行离散，通过差分近似来表示导数项。
在处理非线性问题时，可以采用迭代的方式求解离散后的方程组。
这种方法对于简单的几何形状和边界条件的问题较为适用，但对于复杂的结构可能会面临网格划分和精度控制的挑战。
非线性波动方程的有限元解法
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
非线性波动方程的各向异性有限元方法
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［ 稿 日期 ］ ２ ０ ～ ６１ 收 ０ ９０ — ６
第 ３ 期
王 志 军 ， ： 线 性 波 动 方 程 的 各 向 异 性 有 限 元 方 法 等 非
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大 学 数 学
第２ ７卷
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材料非线性问题的有限元
一、材料非线性问题的有限单元法1．1 引言以前各章所讨论的均是线性问题。
线弹性力学基本方程的特点是1．几何方程的应变和位移的关系是线性的。
2．物性方程的应力和应变的关系是线性的。
3．建立于变形前状态的平衡方程也是线性的。
但是在很多重要的实际问题中，上述线性关系不能保持。
例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。
又如长期处于高温条件下工作的结构，将发生蠕变变形，即在载荷或应力保持不变的情况下，变形或应变仍随着时间的进展而继续增长，这也不是线弹性的物性方程所能描述的。
上述现象都属于材料非线性范畴内所要研究的问题。
工程实际中还存在另一类所谓几何非线性问题。
例如板壳的大挠度问题，材料锻压成型过程的大应变问题等，这时需要采用非线性的应变和位移关系，平衡方程也必须建立于变形后的状态以考虑变形对平衡的影响。
由于非线性问题的复杂性，利用解析方法能够得到的解答是很有限的。
随着有限单元法在线性分析中的成功应用，它在非线性分析中的应用也取得了很大的进展，已经获得了很多不同类型实际问题的求解方案。
材料非线性问题的处理相对比较简单，不需要重新列出整个问题的表达格式，只要将材料本构关系线性化，就可将线性问题的表达格式推广用于非线性分析。
一般说，通过试探和迭代的过程求解一系列线性问题，如果在最后阶段，材料的状态参数被调整得满足材料的非线性本构关系，则最终得到问题的解答。
几何非线性问题比较复杂，它涉及非线性的几何关系和依赖于变形的平衡方程等问题，因此，表达格式和线性问题相比，有很大的改变，这将在下一章专门讨论。
这两类非线性问题的有限元格式都涉及求解非线性代数方程组，所以在本章开始对非线性代数方程组的求解作—一般性的讨论。
这对下一章也是必要的准备。
正如在前面已指出的，材料非线性问题可以分为两类。
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英
文
摘
要··················································································Ⅲ
提要
本文介绍了非线性波动方程的物理，数学基础，特别是弹性固体介 质的非线性波，从功的角度出发，引用应变功的概念，利用质量、动量、 能量等守恒定律，推导了非线性波动的运动方程，给出了运动方程的一般 公式。同时导出了固体介质中非线性波动方程，研究了非线性波在固体介
第一节 非线性波动理论
自六十年代以来，非线性科学在大气动力学、离子体物理学、流体力 学、晶格力学、非线性光学、工程力学等领域中得到广泛注意。特别是以 Lorenz 引子、KAM 理论、Arold 扩散、Li— Yorke 的混沌命名和 Feigenbaum
普适常数为标志，得到迅猛发展[1]。对于非线性科学，当前研究的最多的三 个普适类分别是孤立子混沌和分维[2]。
第一章 绪论
客观的物质世界本来就是充满非线性、非平衡和强相互作用的。因此， 研究各门科学与技术问题中的非线性共性规律的非线性科学，已成为人类 揭示强扰动、强耦合、强关联系统的普遍规律和探索复杂性的基础。许多 非线性数学中的早已成熟的概念和方法开始向其他学科扩散，同时，随着 现代科学技术的不断发展，各学科的线性问题和线性理论方法的研究已远 远不能满足实际的需要，也提出了新的更加深刻的数学问题。由于在确定 论的系统中发现混沌现象，极大地激发了人们探索自然和社会中存在的各 种复杂性问题的兴趣。因此，在近二十年中，自然科学、工程技术甚至社 会科学各领域，广泛深入地开展了非线性问题的研究，已经取得的成果显 示了非线性研究在解释丰富多彩的自然界、复杂多变的周围世界方面的深 刻性，并且在哲学方法论方面引起了深刻的变革。虽然不同学科都有各自 的非线性问题，但是非线性科学的研究对象不是这些非线性问题本身，而 是它们的共性，即所谓的非线性普适类[1]。
OF NONLINEAR WAVE EQUATION
作者姓名：王 新 江 专 业：应 用 数 学 导 师 姓 名 ： 郭 华 职 称 ： 副 教 授
论文起止年月：２００１ 年 ３ 月至 ２００２ 年 ５ 月
目 录
第
一
章
绪
结
论·······················································································
··５４
参
考
文
献··················································································５５ 致
非线性波动方程的有限元解
法 ········································３７
第一节
非线性波动方程有限元解
法···········································３７
第二节
解的收敛性及误差估
计·················································４２
第二节 非线性波动方程的求解历史及现状
非线性波动方程曾经被人们当作是个性极强，无从逾越的难题，每个具 体问题似乎都要求发明一种特殊的算法，运用一种新颖的技巧，这主要是因 为方程是非线性的，孤立波解经任何迭加的结果都不再是原方程的解。对于 大家熟悉的方法—Fourier 展开和 Laplace 变换不能发挥威力，同时非线性波 动方程除了具有孤立子这个重要特征之外，还具有其他明显的物理特征：色
论文分类号 Ｏ６５ 单 位 代 码 １０１８３ 密 级 内部 研究生学号 ４９９０９１
吉林大学
硕士学位论文
非线性波动方程的有限元解法 THE FINITE ELEMENT NUMERICAL METHOD
粒二象性等熟悉的现象。只有粒子的碰撞才会有类似的情形出现，因此又将 这种波定名为孤粒子（solition）。
孤波产生的机理是类似于脉冲波，特点是行波速度依赖于本身的振幅。 它不含吸收项，只有频散和非线性效应，任何初始扰动在这种介质中传输时， 非线性要使它形成冲击波，而频散要使它的波包散开，这两种效应最终达到 相互补偿，这两种对抗因素的巧妙平衡为孤立子的形成提供了条件，从而形 成一个形状不变的稳定的局部扰动向前传播，这就是这种孤波形成的机理。 一方面，非线性使得波形在其扰动较大的地方变陡而阻止了它的衰减，另一 方面，耗散又减小波动的振幅使其对非线性作用不那么敏感。
质中的传播特点，利用不动点原理考察了具有一般性的 n 维非线性波动方
程经典解的存在性，唯一性。介绍了有限元方法的变分原理和
Ritz ? Galerkin 方法数学理论基础，并说明它的解题步骤。同时进行了
二阶波动方程的分解，利用逼近方法探讨了有限元解的收敛性及误差估计 利用有限元方法解决了一类具有实际应用价值的固体介质中非线性波动 方程，得到了一些具体的认识和结论。
谢··················································································５９
中
文
摘
要··················································································Ⅰ
第 三 节 非 线 性 波 动 方 程
组······················································１６
第三章
非线性波动方程的有限元解
法 ·········································２１
第一节 变分原理和 Ritz ? Galerkin 方 法 ·····································２１
论·············································································１
第一节 非线性波动理
论···························································１
散性和非线性的统一，具有一定的波动性，但它的解又具有一定的光滑性，
t ? ? （或 x ? ? ）时的解的某种衰减性，散射性，对于它的解法和性质
的理论研究早已超出了传统的研究方法。 纵观非线性波动方程解法的发展，始终围绕着作为非线性耗散波的代表
—Buger 方程，作为非线性色散波的代表—Kdv 方程，非线性调制波的代表 —Schrodinger 方程展开的[11]。以研究发展先后为主线着重介绍如下：
第二节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 历 史 及 现
状·····································３
第三节 非 线 性 波 动 方 程 的 求 解 方
法··············································６
第二章 非线性波动方程的物理、数学基
第
二
节
有
限
元
方
法································································２７
第三节
有限元解的收敛性及误差估
计··········································３０
第四章 各向同性固体弹性介质中的一维
第五章 非线性波的算例及分
析 ··················································４８
第一节 算例的有限元解法及误差估
计······························４８
第
二
节
结果分
析·······························································５２
波导是研究非线性波动的工具，它加深了人们对孤立子的认识。在气 体和液体中，非线性使得扰动中振幅较大的点传播较快，使波形有压缩的趋 势，最终导致波浪的破碎或是冲击波的形成，而频散则有将波扩散的趋势。 当非线性和频散达到稳定平衡时，将产生一种具有固定形状的局域化扰动， 其行为类似普通的粒子，通常称为孤子。在固体中，波导最近被用于确定岩 石应力和应变的关系。实验表明：岩石中应变并不随应力线性增长，其动力 学行为显示出滞后现象。也就是说，系统所处的状态依赖于它经历的过程。 另外还有实验研究了脉冲在砂岩棒中的传播，当应变的变化达到 0.1um 时， 可以观察到二倍频和三倍频的成分。岩石的这些非线性行为对地震滑坡以及 混凝土的疲劳损伤有重要影响。[9]
由于地震波的传播规律符合波动方程，所以波动方程从本质上描述了 地震波的传播，随着地震勘探的精度越来越高，这要求从地震波的信号中提 取更多的信息，从而获得更加详细的地下信息，在数据采集、处理、解释上 提出，发展一系列的新技术和新方法，它们要求基于被近似了的非线性波动 方程，我们研究非线性波在固体中的传播规律也就有实际的意义和价值。
础····································１０ 第一节 应变矩阵和运动方
程···············································１０
第
二
节
三
阶
弹
性
能································································１２