具有非线性阻尼项和源项的波动方程解的爆破

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一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破胡文燕;杜晓英【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】5页(P16-19,25)【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破【作者】胡文燕;杜晓英【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.23Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.1 预备知识考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题(1)其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,且这里(4)类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】定义问题(1)的能量函数[9-11]其中(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么2 主要结果及证明考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得‖u(t)≤C2‖u(t)，其中2≤s≤p.证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.因为所以即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有u0·那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.证明令u·utdx,对t求导，有由问题(1)，有从而进而由Young不等式，对于任意的η>0，有由(6)式，可得将上式代入(5)式，整理可得因为所以，由Young不等式，对于任意的ε1>0，有ut.取则从而其中B为常数.因为从而由Hölder不等式和Young不等式，有其中定义函数Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.则Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).将(7)式和(8)式代入，有因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得且从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).令则其中取充分小的δ>0，则有由Cauchy-Schwarz不等式，有因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有这里，再由引理3，存在C6>0，使得因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得Ψ′(t)≥ξΨθ(t),(11)其中ξ=ξ(δ,γ,C6).对(11)式两端在[0,t]上积分，有又因为Ψ(0)>0，故一定存在使得】3 结束语许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.参考文献:【相关文献】[1] WU S T,TSAI LY.On global solutions and blow-up of solutions for a nonlinearly damped Petrovsky system[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2009,13(2):545.[2] LI G,SUN Y N,LIU W J.Global existence and blow-up of solutions for a strongly damped Petrovsky system with nonlinear damping[J].Applicable Analysis,2012,91(3):575.[3] CHEN W,ZHOU Y.Global nonexistence for a semilinear Petrovsky equation[J].Nonlinear Analysis,2009,703:203.[4] MESSAOUDI S A.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J Math Anal Appl,2002,265:296.[5] LIU W J.Global existence,asymptotic behavior and blow-up of solutions for a viscoelastic equation with strong damping and nonlinear source[J].Topological Methods in Nonliner Analysis,2010,36(1):153.[6] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics Letters,2015,45:64.[7] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear waveequation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129.[8] MESSAOUDI S A.Blow-up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260:58.[9] LI F H,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274:383.[10] TAHAMTANI F,SHAHROUZI M.Existence and blow up of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term[J].Boundary ValueProblems,2012,2012:50.[11] LI G,SUN Y,LIU W.On asymptotic behavior and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic Petrovsky equation with positive initial energy[J].Journal of Function Spaces and Applications,2013,Artical ID 905867，7 pages.。

一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破

ｕ：ｕ）ｕｖｕ），０们，（＋Ｊｄ，ｑ＋Ｊｄ，ｔ，－Ａａｎｘ产（ｂａｘｖＡ ∈ ＞他
证明了此方程组存在整体解的充要条件。
本文对带有非局部源的退化抛物型方程组
Ｆｊａｘｏｅｔａｄｏｅｄｍａｎｕｉｐｎｎｓｎｎｔｏｉ．ｔｅｈ
Ｋｅｒｓｎｎｏａｏｒｅｅｅｅａｅｐｒｂｌ；ｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌｃｌｕｃ；ｄｇｎｒｔａａｏｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｌｂｌｉｔｎｅｓｃｏｅ
Ｂｌｗ－ｐｆｒａＮｏｌｅｒＤｅｅｅａｅＰｒｂｌｕｔｎｔｎｏａｏｒｅｏｕｏｎｉａｇｎｒｔａａｏｉＥｑａｉｓｗｉＮｏｌｃｌｕｃｎｃｏｈＳ
ＺＨＡＮБайду номын сангаасＧｅ— ｕａＷｉｙｎ
ｂｔｌｉｇｓｎｕｒｓｌｔｏｅｈｑｅ．ｅｅｒｓｌｓｄｅｅｄｃｕｉｌｈｅｓｇｆｃｉｉａｙｕｉｉｎｕｂａｄｓｐｅｏｕｉｎｓｔｃｎｉｕｓＴｈｓｅｕｔｐｎｒｃａｌｏｎｔｉｎｏｒｔｃｌｚｙ
ｂｏｕｌｗ．ｐ
１预备知识
近年来．关于退化抛物型方程组的爆破问题许多国内外作者进行了研究。到了许多重要结果。Ｌｔ得ｉ】等讨论了方程组＝ △ ＋）ｔｕ（ｖｂ）其中Ｐ（ｕ，Ｖ＝ｑ＋ｖ，Ａ，

具非线性源项和阻尼项的波动方程Cauchy问题解的能量衰减性

别是源项和阻尼项的相互作用已很清楚（［ — ］见１３及参考文献）当问题（）的ｌ “ 一ｌ。代．１中 “ｊ用 “ｌ “ Ｐ＿
替时的Ｃｕｈａｃｙ问题整体解的存在性、进性也有许多研究．程（）的Ｃｕｈ渐方１ａｃｙ问题在最近几十年已引起了许多数学工作者的注意，时非线性源项和阻尼项的相互作用更复杂一些，近也有一些研究，文献这最如
收稿日期：Ｏ０—０２１６—０６
基金项目：南省自然科学基金资助项目（０３０１１８，河１２０４０１）河南Ｔ业大学重点基金资助项目（９ＺＯ９ＯＸＤＯ）第一作者简介：青英（９６）女，南扶沟人，授，士，要从事微分方程研究， — ｉｓｘｑ＠ｙｈｏｃｒ．ｎ呼１６一，河教硕主Ｅｍａ：ｌｈｙａｏ．ｏｃｌｎ
第２６卷第６期
Ｖｏ１２ＮＯ．．６，６
２１００年１２月
Ｄｅ．，Ｏ０ｃ２１
【分方程与动力系统研究】微
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
具非线性源项和阻尼项的波动方程Ｃｕｈａｃｙ问题解的能量衰减性
ｒＩ
且，具有紧支集，（ｆ是问题（）（）［， … ）的局解．－［，。． “ “ ，）１，２在０Ｔ上记，一ｏ。）

具有非局部反应项的非线性抛物方程解的整体存在性与爆破问题

（）如果ｍ｛卢｝≥ Ｎｉａａ，
，
那么（）所有的正５
解在有限时间爆破；
（ｉｉ）如果ｍａａ，＜Ｎ那么，｛卢｝方程（）的５
，
ｆ一“ （ “ ｇ）０ △ 一Ｊ㈤）（ ≥ ｃ
Ｉ，）∈ ｎ ×（，）（ｔ０Ｔ
Ｊ（０，）＝“（）≥ ，）＝ｕ。（０
卢 —
（）（）＋＋（＋ｐ２
丁
０
（）≥ ０Ｅｎ，
’
贝（ｔ（ｔ，，）∈ Ｑ ×（，．Ｕｕ，）≥ ，）Ｖ（￡０）证明记Ｗ＝一口由（）得，６，
式中：ｆ≥ ０ｆ ≥ １Ｐｐ，，，＋ｒｉ＞１ｉ＝１２；（，）
Ｉ（，０） ≥ ０及Ｍ（，ｏ） ∈ Ｌ（ｎ／）口（，００）（Ｒ）
定理２（比较定理）ｍ＞０，：０ ∞ ）令ｇ［，一
方程组的临界指标问题：
（ｉ若０＜ｍ ≤ １则对于大初值方程（）的ｉ），１
解在有限时间爆破，而，于小初值，整体然对解存在；
ｆ＝（，ｄＰ，∈ ＞ “ △＋，ｙ０，）ｌｔ）ｌ
ｑａｉｎｗｉｏｌｃｌｅｃｉｎｔｒ，ｕｊｃｏｎｌＤｉｃｌｔｏｎａｙｃｎｉｏｓｕｔｔｎｎｏａａｔｅｍｓｂｅｔｔｕｌｒｈｅｕｄｒｏｄｔｎ．ｏｈｒｏｉｂｉ
Ｋｅｒｓ：ｏｌｅｒｐｒｂｌｑａｉｎ；ｎｎｏａｅｃｉｎｅｍ；ｃｍｐｒｓｎｔｅｒｍ；ｇｏａｏｕｉｎ；ｙｗｏｄｎｎｉａａａｏｉｅｕｔｏｎｃｏｌｃｌｒａｔｔｒｏｏａｉｏｈｏｅｌｂｌｓｌｔｏｂｌｗ— ｐｏｕ

具变指数源项的拟线性波动方程解的爆破分析

具变指数源项的拟线性波动方程解的爆破分析本文研究了具有变指数源项的拟线性波动方程解的爆破问题.介绍了关于具有变指数源项的拟线性波动方程的发展进程及部分研究成果.在已有成果的基础上,研究含强阻尼项及变指数源项的拟线性波动方程:在本文的研究中,作者只考虑p(x,t),q(x,t),α(x,t)只与x有关的情形.本文的第一个难点是能量泛函的确定及其性质的分析.根据方程结构和问题研究需要构造能量泛函E(t),并对
E(t)和E’(t)进行研究得到所需性质.接下来,定义控制函数H(t)及F(t)其中0<λ<min{(q+-2)/2q+,(p--2)/(q+)}<1/2.本文的第二个难点在于对F’(t)的估计.解决的办法是通过使用嵌入定理及Holder不等式得到(?)(?)(?)综上得到F’(t)≥(M1)/(M2)F1/(1-A)(t),其中M1与M2是与u无关的常数.解上述微分不等式,并对结果进行处理,得到解的爆破时间的上界估计T*≤(M2(1-λ))、(M1λ)Fλ/(λ-1)(O).。

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告

带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为的开题报告题目：带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为研究背景：非线性Schrodinger方程（NLS）是描述许多自然界现象的重要数学模型，例如光学，气体动力学，液体物理学和等离子体物理学等。

这个方程具有广泛的应用前景，也是非线性光学和量子信息领域研究的重要基础。

一些研究表明，带势的NLS方程在量子力学中已被广泛应用，特别是在描述由Bose-Einstein凝聚态所产生的玻色-Einstein凝聚态方面非常重要。

然而，NLS方程的解并非都是稳定的。

在一些情况下，解可能会发生“爆破”，即在有限时间内解的幅值逐渐增大，最终趋于无限大。

这种现象在实际问题中常常会导致数值计算困难甚至是失败，因此研究爆破现象及其预测和控制方法具有重要理论和实际意义。

研究内容：本研究旨在研究带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为，具体包括以下内容：1. 比较分析带势和无势NLS方程的解的性质以及其求解方法；2. 研究在不同势场下带势NLS方程解的稳定性和爆破行为，通过理论分析和数值模拟等方法，探究势场参数对爆破行为的影响因素；3. 探究控制带势NLS方程的解产生爆破的方法，通过设计合适的势场参数和初值条件，寻求解的稳定区域等；4. 结合实际问题，探究带势NLS方程在光学和量子信息领域的应用，提出新的研究方向和应用前景。

研究方法：本研究将运用数学分析、数值计算和实验仿真等多种方法，比较分析不同势场下的带势NLS方程的解的性质和求解方法，通过数值模拟等方法研究解的爆破行为及其影响因素，设计合适的势场参数和初值条件探究控制方法，最后将研究结果与实际问题结合探究其应用前景。

研究意义：本研究将为进一步理解带势的非线性Schrodinger方程解的爆破行为提供重要的理论支持和实验数据，促进相关领域的交叉研究和应用探讨。

研究成果还将有助于提高数学理论和数值方法对实际问题的解决能力，具有重要的科学和应用价值。

一类具阻尼非线性双曲型方程的初边值问题解的爆破

；ｌ。Ｉ＞４Ｅ０ｌ。，ｌＭｌ卢（）ｌＭｌ其中Ｅ０Ｉ。ｌ＋｝ｌＩ＋Ｇ △ｕ）ｘＶＶ（）＝】ｌ．ｌ０ｌ２（。ｄ．ｕ。ｊ △ 。Ｊ
证明假设初边值问题（）～（）的解存在的最大时间是无限的．程（）的两边同乘以２在上１３方１ “，
： —
ｌｎ
．
２＋ √
ｙ日０＋矗０：（）卢（）
收稿日期：０２— ４—２２１０１基金项目：南省基础与前沿技术研究项目（０３０１２４；１３０１１３河１２０４０１１２０４０９）
作者简介：宋瑞丽（９８一），１７女河南新野人，师，讲主要从事非线性发展方程的研究
非线性双曲型方程的三维初边值问题
＋ｋＶ＋ｋ＋ＶｇＶＵ１４２４Ｖ（）＝０，ｔ ×（Ｔ，（）∈ ，０，）（）１
“ ：０，Ｖｕ＝０（ｔ，，）∈ ａ ×（，，０）Ｍ，）＝（，（０＝Ｕ（，，）∈ ，（０。），））（ｔ
・
７６・
河南工程学院学报（自然科学版）
２１０２生
使得当ｔ。，一时日（）一＋∞．中，其
２＝Ａｌ ±
．
＋
２．
定理假设 “ 。∈ ｎ（， ∈Ｌ（）ｇｏ２），（）＝０Ｇ △ｕ） ∈ （）并且存在常数＞０使得，（。
１整体解不存在定理

一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破

１引言及主要结论
本文研究了一类带有非线性边界条件的抛物型方程组
，ｔ＝Ｚ，＝Ｚ，Ｕｉｕｉｖ（， ×（，ｔ）∈ ０
｛Ｕ，，＝ｅ￣ｏ，，ｑＩｚ
Ｌ（，ｕｘ）＝Ｕ（）ＯｏＸ＞Ｏｖｘ）＝ｖ（）６＞０，，（Ｏｏ
（ ×，）（）０
∈ｎ
解的整体存在及爆破问题．构造方程组的上、解，到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充通过下得分条件．中ｎＲ有界光滑区域，占＞０可以充分小，ｎ是ａ的外法线方向．文恒假设其本
ＡｂｓｒｔＴｈｅｐａｅｅｅｒｈｅｅｉｓｏｏｌｍｓｗｈｃｏｖｈｇｏａｘｓｅｃｆｔｏｉｅｒｂｕｎｒｔａｃ：ｐｒｒｓａｃｓａｓｒｅｆｐｒｂｅｉｈｓｌｅｔｅｌｂｌｅｉｔｎｅｏｈｅｎｎｌｎａｏｄａｙ
（，）≥ 些，），（￡称（，，（，）（ｔ，（￡）≥ ，）（￡ｖｘ￡）和（，）ｖｘ）为（））（￡，（，）１在 ×［，）的一对有序上下解，Ｏ７上 ’ 如果下面不等式成立
ｓｆｃｅｔｃｎｔｏｆｓｌｉｇｔｅｇｏａｘｓｅｎｅａｈａｓｉｇｐｏｅｉｈｅｆｎｔｉｅｗｉｌｂａｎｅｕｉｎｏｄｉｉｎｓｏｏｖｎｈｌｂｌｅｉｔｃｎｄｔｅｂｌｔｎｒｂｌｍｎｔｉｉｅｔｌｏｔｉｄ．ｉｍｂｅＫｅｙｗｏｒ：ＮｏｎｉｅｒＢｏｄａｙＣｏｉｉｎｓＧｌｂａｏｕｔｏ；Ｂｌｗｄｓｌｎａｕｎｒｎｄｔｏ；ｏｌｓｌｉｎｓｏｕｐ

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令
∀( t) =
1
2
ut
2 2
+
1
k
u
k k
+
1
(p +
1)
u
p+ 1 p+ 1
现用 ut 乘以问题( 1) 中的第一个式子, 并在上积分, 则
∀(( t ) = -
ut
m+ 1 m+ 1
-
) ut
2 2
+
2
uut u p - 1dx
运用 Holder 和 Young 不等式, 得
)uut u p- 1dx
! ( 0, # )
u(x, 0) = u0(x )
ut ( x , 0) = u1( x )
( 1)
u(x, t ) = 0
! ( 0, # )
k ∃2
m ∃1
p ∃1
1 预备知识
首先, 研究问题( 1) 解的情况.
定理
若p ∀
max( k-
1, m ) , u0 %
W
1, 0
k
(
) , u1 % L 2(
G(( t )
∃( 1-
∃-
C#/ %)H - ∃H (+ 4# ut
2 2
+
4#H
-
2#( k k
2)
u
k k
+
# 2( p - 1) / ( p + 1) - C%H - ∃( 0)
u
p+ 1 p+ 1
由式( 2) ( 4) 得因此有
1 p+ 1
u
p+ 1 p+ 1
>
H ( 0) +
1 k
u
k k
在 d > 0, 只要
u0 % W10, k ( )
u1 % L 2( )
E ( 0)
<
( p + 1) d p + 1- k
( 5)
则问题( 1) 的解 u( t ) 在 Lp+ 1范数下必在有限时间内爆破.
3 定理 1 的证明
在证明中, 假设定理 1 的条件均满足. 采用反证法, 假设问题( 1) 存在整体解 u( t ) . 记
) 2#( p - 1) p+ 1
u
p+ p+
1 1
-
2#
( uut ut
m- 1 +
u ut ) dx
( 12)
先对式( 12) 中的最后一项作如下估计. 注意到 p > m 和式( 4) , 由 Holder 不等式得
) 2#
uut ut m- 1dx
∀ C# u
m+ 1
ut
m m+ 1
∀
C# u p+ 1
1 具有单调性的假设下, 研究了解的存在性和惟一性. Yamada[ 3] 和 Zuazua[ 4] 对弱解做了一些类似的研究. 现
用一非线性源项 u u p- 1 置换 f ( x , t ) , 得到一应用更广泛的方程, 可参看文献[ 5] [ 6] .
现研究 k laplacian 型波动方程的初边值问题: utt - div( u k- 2 u) - ut + ut m- 1 ut = u p- 1 u
) , 那么问题( 1) 存在整体解. u: ( 0, T ) & R, 对 !T
>
0, u
满足 u %
L
#
( 0,
T;
W
1, 0
k(
) ) , ut % L # ( 0, T ; L2(
) ) ∋ L # ( 0, T ; W10, 2(
)) .
证明一旦局部解存在原理得证, 同文献[ 7] 类似能证得连续性原理.
∀
u
p p+ 1
ut
p+ 1 ∀
C#
u
p+ 1 p+1
+
# ut
p+ 1 p+ 1
收稿日期: 2002 03 27 基金项目: 河海大学科技创新基金资助项目( 20022405343) 作者简介: 袁庆( 1977 ) , 女, 黑龙江鹤岗人, 硕士研究生, 从事微分方程及其应用的研究.
第 31 卷第 3 期
∀
C#H - ∃( % u
p+1 p+ 1
+
%- 1H ()
( 13)
类似方法, 又由式( 2) , H ( 0) = - E ( 0) > 0 及 E( t ) 单调减少, 得
) 2#
u
ut dx
∀
C#H - ∃( %
u
p+ p+
1 1
+
%- 1H ()
( 14)
此时 % 为任意正数, 取 ∃∀ 1/ k - 1/ ( p + 1) , 得 H 1/ (p+ 1) - 1/ k( t ) ∀ H - ∃( t ) , t ∃0. 结合式( 13) ( 14) 取 0< ∃ < 1/ 2, 且 ∃∀ min( 1/ ( m + 1) - 1/ ( p + 1) , 1/ k - 1/ ( p + 1) ) , 得
ut
m+ m+
1 1
-
ut
2 2
+
2C2#( p +
1)
ut
m+ 1 m+ 1
m+ 1
+
2C1#( p +
1)
ut 2
2
2+
2C# u
p+ 1 p+1
这里可取 #足够小, 得 ∀(( t ) ∀ C ∀( t ) .
然后运用 Gronwall 引理和连续性原理, 得到整体解的存在性. 证毕.
利用能量方法来讨论问题( 1) 整体解的爆破, 可参见文献[ 8] . 若 u( t ) 是问题( 1) 的解, 其能量定义为
)
∀
C( % u
p+1 p+ 1
+
%- 1H ()
这里 % 为任意正数. 取 0< ∃< 1/ 2 且 ∃∀ 1/ ( m + 1) - 1/ ( p + 1) , 得
H 1/ (p + 1)- 1/ ( m+ 1) ( t ) ∀ H - ∃( t )
t ∃0
于是
) m- 1
2# uut ut
dx
s
uut dx
∀
2s
u
s 2
ut
s 2
∀
C
u
2/ ( 1p+ 1
2 ∃)
+
ut
2 2
注意到对 !y ∃0, a> 0 和 0 ∀ ∀ 1, 存在不等式 y ∀ y + 1 ∀ ( 1+ a- 1) ( y + a) ,
令
y=
u
p+ 1 p+ 1
= 2/ ( ( p + 1) ( 1 - 2 ∃) ) ∀ 1
H ( 0) ∀ H ( t ) ∀
1 p+ 1
u
p+ 1 p+ 1
( 4)
2 主要结果
定理 1 设 p > max( k - 1, m) , u0 % W10, k( ) , u1 % L2( ) , 且 H ( 0) > 0, 那么问题( 1) 的解 u( t ) 在 Lp+ 1范数下必在有限时间内爆破.
中图分类号: O29
文献标识码: A
文章编号: 1000 1980( 2003) 03 0358 05
最近, Biazutti[ 1] 研究了一类非线性波动方程的初边值问题:
n
utt -
(
i= 1
i ( uxi ) ) x i -
ut + F ( ut ) = f ( x , t )
! ( 0, T )
G(( t )
∃( 1-
∃-
C#%- 1)H - ∃H( + 4# ut
2 2
+
4#H +
# 2( p - 1) / ( p + 1) - 2( k - 2) / ( p + 1) - C%H - ∃( 0)
u
p+ 1 p+ 1
选取 #, % 适当小, 使得
1- ∃- C#%- 1 > 0
2( p - 1) - 2( k - 2) - C%H - ∃( 0) ( p + 1) > 0
a = H ( 0)
得到
u
2/ (1- 2∃) p+ 1
∀
( 1+ H - 1( 0) ) (
u
p+ p+
1 1
+
H ( 0) )
∀
C(
u
p+ p+
1 1
+
H( t)) C(
u
p+ 1 p+ 1
+
H( t) +
ut
2 2
)
结合式( 4) 得
( H 1- ∃( t ) +
#g(( t ) ) s ∀
g( t) =
u( t)
2 2
t ∃0
( 6)
H ( t) = - E( t)