一类具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的不存在性
一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破
应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):544-552一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破温兰,杨晗(西南交通大学数学学院,四川成都611756)摘要：本文研究带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题.首先利用Galerkin方法证明方程局部解存在性;然后结合势井方法得出初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后再通过构造合适的辅助泛函,证明当初始能量满足适当条件时解在有限时刻的爆破.关键词：抛物方程;对数非线性源项;整体解;爆破中图分类号：O175.26AMS(2010)主题分类：35B45;35K55文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0544-091.引言本文研究如下带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题|u t|r−2u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0,u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,(1.1)其中r>1,p>2,q>2,u0(x)∈W1,p(Ω),Ω是R n(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域.当方程(1.1)中r=2,p=2时,XU和SU[1]研究如下半线性伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u−∆u t=u q,x∈Ω,t>0,(1.2)利用势井方法得出方程整体解的存在性并得到解在有限时刻的爆破.近年来,含对数非线性源项的抛物方程已引起大量学者的研究.CHEN等[2]中研究了带对数非线性源项的伪抛物方程初边值问题:u t−∆u−∆u t=u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.3)因对数非线性u ln|u|不满足Payne和Sattinger[3]中提出的多项式增长条件,此时经典势井方法不完全适用.文[2]通过势井方法及对数索伯列夫不等式证明方程整体解的存在性,并用凸方法证明解在无穷时刻爆破.通过比较得出多项式非线性项对此类伪抛物方程解在有限时刻的爆破有更为重要的影响.随后,文[4-5]中将上述带对数非线性源项的方程拓展到p-Laplace情形. LE等[5]中研究了如下含对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|p−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.4)利用势井方法及对数索伯列夫不等式证明了当p>2时方程整体解的存在性,并用凸方法得出此时解在有限时刻的爆破.而CAO等[6]中利用Galerkin方法证明了当1<p<2时方程整体解∗收稿日期：2021-07-07基金项目：国家自然科学基金(11701477,11971394)作者简介：温兰,女,汉族,四川人,研究方向：偏微分方程.第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破545的存在性并得出此时解在无穷时刻的爆破.当p-Laplace项与对数非线性项的指数不同时,对数索伯列夫不等式不再完全适用.文[7-9]中主要研究下述带对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.5) HE等[7]用Galerkin方法证明当2<p<q<p(1+2n)时,方程局部弱解的存在唯一性,并结合势井方法证明了方程整体解的存在性,最后得出解的H1(Ω)范数在有限时刻的爆破.而DAI 等[8]对上述结果进行推广主要得出在不同的初始能量下弱解在有限时刻爆破的上界及下界.对于拟线性情形,Pucci和Serrin[10]中研究如下方程的初边值问题,A(t)|u t|m−2u t−∆u+f(x,u)=0,x∈Ω,t>0,(1.6)其中m>1,A∈C(J→R N×N),f∈C(Ω×R N→R N)且满足(f(x,u),u)≥0,得出方程强解的整体存在性和当t→∞时强解的渐近稳定性.当上述方程(1.6)中f(x,u)=−|u|p−2u时, PANG等[11]中用Galerkin方法证明了当p>2时初值在稳定集中时方程整体解的存在性,再通过构造辅助泛函得出当1<m<p,E(0)<0时解在有限时刻的爆破.基于上述结论,本文研究方程(1.1)初边值问题,主要考虑非线性项指数之间的竞争与∆u t项对方程解的存在性和爆破的影响.首先用Galerkin方法证明当非线性项指数满足适当条件时方程局部解的存在性;然后结合势井方法证明初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后通过构造辅助泛函证明解在有限时刻的爆破.本文结构安排如下:第二部分介绍一些符号和引理;第三部分给出局部解和整体解存在性;第四部分证明解在有限时刻爆破.2.准备工作本节给出证明过程中所需的符号、引理和定义.在本文中,我们将L p(Ω)的范数记为∥·∥p(1<p<∞),(·,·)为L2(Ω)中的内积,W1,p0(Ω)的范数记为∥·∥W1,p(Ω),W−1,p′(Ω)为W1,p(Ω)的对偶空间.记p∗={∞,n≤p,npn−p,n>p.(2.1)若2<p<q<p∗(2.2)成立,对于任意α满足0<α<{∞,n≤p,npn−p−q,n>p.(2.3)定义r(α):=(αB q+αα)1q+α−p,(2.4)其中,Bα为W1,p(Ω) →L q+α(Ω)的最佳嵌入常数.并定义如下泛函:J(t)=J(u(t)):=1p∥∇u∥p p−1q∫Ω|u|q ln|u|d x+1q2∥u∥qq.(2.5)I(u):=∥∇u∥pp −∫Ω|u|q ln|u|d x.(2.6)定义N:={u∈W1,p(Ω)\{0}:I(u)=0}.(2.7)d:=infu∈NJ(u).(2.8)546应用数学2022其中N 代表Nehari 流形,d 为势井深度.类似文[7]中引理1和引理2证明可知:集合N 非空,常数d 存在且大于0.由(2.5)和(2.6)可得J (u )=1q I (u )+q −p pq ∥∇u ∥p p +1q 2∥u ∥qq .(2.9)定义以下稳定集和非稳定集W :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )>0,J (u )<d }∪{0},(2.10)V :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )<0,J (u )<d }.(2.11)下面给出证明过程所需引理,详细证明过程可参考文[9].引理2.1[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p0(Ω)\{0}.则对于任意α满足(2.3),有:(i)如果0<∥∇u ∥p ≤r (α),则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p >r (α).引理2.2[9]假设(2.2)成立,定义r ∗:=sup r (α),r ∗:=sup σ(α),其中α满足(2.3),σ(α)=(ακq +α)1q +α−p |Ω|αq (q +α−p ),κ为u ∈W 1,p 0(Ω) →L q (Ω)的最佳嵌入常数.则不等式0<r ∗<r ∗<∞成立.引理2.3[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p(Ω)\{0},则有:(i)如果0<∥∇u ∥p <r ∗,则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p ≥r ∗.引理2.4[9]假设(2.2)成立,则有d ≥M :=q −p pq r p∗.(2.12)为得到对数非线性项估计,引入如下不等式.引理2.5[4]设µ>0,则有不等式(i)s p ln s ≤1eµs p +µ,s ≥1;(ii)|s p −1ln s |≤(e (p −1))−1,0<s <1.下面给出方程(1.1)弱解和解在有限时刻爆破的定义.定义2.1假设u 0∈W 1,p(Ω),T >0.如果u (x,0)=u 0(x ),函数u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)),有∫Ω|u t |r −2u t v d x +∫Ω∇u t ∇v d x +∫Ω|∇u |p −2∇u ∇v d x =∫Ω|u |q −2u ln |u |v d x (2.13)对于任意v ∈W 1,p0(Ω)∩L r (Ω)∩L q (Ω)，t ∈(0,T )成立,则称u 为方程(1.1)在Ω×(0,T )上的一个弱解.注2.1区间[0,T ]称为弱解的存在区间,记其存在时间T 的上确界为T max ,称T max 为解的生命跨度.定义2.2设u 为方程(1.1)的一个弱解.若u 的生命跨度T max <∞,且有lim t →T max∥u (t )∥W 1,p 0(Ω)=∞(2.14)成立,则称u 在有限时刻爆破.3.解的存在性这节将给出当非线性项指数满足适当条件时方程(1.1)局部解和整体解的存在性.定理3.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0∈W 1,p 0(Ω),则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在弱解u 满足u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证用Galerkin 方法证明,证明过程分为三步.步1逼近问题.设{w j }j =1,2,···为满足狄利克雷边界条件的Laplace 算子的特征函数,即{−∆w j =λw j ,x ∈Ω,w j =0,x ∈∂Ω,第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破547选取{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组基且在L2(Ω)中是标准正交的.构造方程(1.1)的近似解u m(t)=m∑j=1g jm(t)w j(x),m=1,2,···,满足下面的常微分方程{(|u mt|r−2u mt,w j)−(∆u mt,w j)−(∇(|∇u m|p−2∇u m),w j)=(|u m|q−2u m ln|u m|,w j),(u m(0),w j)=ξjm,(3.1)其中j=1,2,···,m,ξjm为给定的常数.当m→∞时满足u m(0)=m∑j=1ξjm w j(x)→u0,强收敛于W1,p(Ω).(3.2)由u0∈W1,p0(Ω),{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组正交基可知ξjm存在.由常微分方程相关理论可得:存在T>0且仅依赖于ξjm,j=1,2,···,m,使得g jm∈C′(0,T),g jm(0)=ξjm,因此存在u m∈C′((0,T);W01,p(Ω)).步2先验估计.将方程(3.1)两边同乘以g jm(t),对j从1到m求和可得(|u mt|r−2u mt,u m)+(∇u mt,∇u m)+(|∇u m|p−2∇u m,∇u m)=(|u m|q−2u m ln|u m|,u m),(3.3)即有∫Ω|u mt|r−2u mt u m d x+12dd t∥∇u m∥22+∥∇u m∥p p=∫Ω|u m|q ln|u m|d x,(3.4)再将上式对t积分可得S m(t)=S m(0)+∫t0∫Ω|u m(τ)|q ln|u m(τ)|d x dτ,(3.5)其中S m(t)=12∥∇u m∥22+∫t∫Ω|u mt(τ)|r−2u mt(τ)u m(τ)d x dτ+∫t∥∇u m(τ)∥p p dτ.(3.6)由引理2.5可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤∫Ω1|u m|q ln|u m|d x+∫Ω2|u m|q ln|u m|d x≤(eµ)−1∫Ω2|u m|q+µd x≤(eµ)−1∥u m∥q+µq+µ,(3.7)其中Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1},Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}.由G-N不等式和Young不等式可得∫Ω|u m|q ln|u m|dx≤C∥∇u m∥θ(q+µ)p∥u m∥(1−θ)(q+µ)2≤ε∥∇u m∥p p+C(ε)∥u m∥p(1−θ)(q+µ)p−θ(q+µ)2,(3.8)其中ε∈(0,1),θ=(12−1q+µ)(1n−1p+12)−1,选取µ使得0<µ<p(1+2n)−q,则有θ(q+µ)<p成立.令α=p(1−θ)(q+µ)2[p−θ(q+µ)]=p(n+q+µ)−n(q+µ)p(n+2)−n(q+µ).(3.9)由假设2<p<q+µ<p(1+2n )可得α>1.故由(3.8)结合嵌入定理可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤ε∥∇u m∥p p+CC(ε)∥∇u m∥2α2.(3.10)故由(3.5),(3.6),(3.10)可得S m(t)=C1+C2∫t0Sαm(τ)dτ,(3.11)548应用数学2022其中C 1,C 2为不依赖于m 的正常数.因此由Gronwall-Bellman-Bihari 积分类型不等式知:存在常数T <C 1−α1C 2(α−1)使得S m (t )≤C T ,∀t ∈[0,T ],(3.12)由此可得∥∇u m ∥22≤C T ,∀t ∈[0,T ].(3.13)再将方程(3.1)两边同乘g ′jm (t ),对j 从1到m 求和可得∫t 0∥u mt (τ)∥rr d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.14)由泛函J 的连续性,结合(3.2)可得,存在常数C >0,满足J (u m (0))≤C,(3.15)故由(2.5),(3.10),(3.13)可得J (u m )=1p ∥∇u m ∥p p −1q ∫Ω|u m |q ln |u m |d x +1q 2∥u m ∥q q ≥(1p −εq )∥∇u m ∥pp −C T +1q2∥u m ∥q q .(3.16)由(3.14)-(3.16),存在T >0,∀t ∈[0,T ]有∥∇u m (t )∥p p ≤C T ,(3.17)∫t0∥u mt (τ)∥r r d τ≤C T ,(3.18)∫t0∥∇u mt (τ)∥22d τ≤C T .(3.19)由引理2.5并结合(3.17)可得∫Ω|u m |q −2u m ln |u m |q q −1d x =∫Ω1|u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x +∫Ω2 |u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x ≤(e (q −1))−q q −1|Ω|+(eµ)−q q −1∫Ω2|u m |(q −1+µ)qq −1d x≤(e (q −1))−qq −1|Ω|+(eµ)−qq −1(C ∗)(q −1+µ)qq −1∥∇u m ∥(q −1+µ)qq −1p≤C T ,(3.20)其中选取µ>0使得(q −1+µ)qq −1<p ∗,C ∗为W 1,p 0(Ω) →L (q −1+µ)qq −1(Ω)的最佳嵌入常数.由(3.18)可得∫t 0∫Ω |u mt |r −2u mt r r −1d x d τ=∫t 0∫Ω|u mt |r d x d τ=∫t∥u mt ∥r r d τ≤C T .(3.21)步3取极限.由(3.17)-(3.21)得:存在函数u ∈L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω))和序列{u m }∞m =1使得u m →u 弱*收敛于L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),(3.22)u mt →u t 弱收敛于L r (0,T ;L r (Ω)),(3.23)u mt →u t 弱收敛于L 2(0,T ;H 10(Ω)),(3.24)|u m |q −2u m ln |u m |→χ1弱*收敛于L ∞(0,T ;Lqq −1(Ω)),(3.25)|u mt |r −2u mt →χ2弱收敛于L rr −1(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.26)由假设1<r <p ∗,有W 1,p0(Ω) →L r (Ω),结合(3.22),(3.23)由Aubin-Lions-Simon 紧性定理得u m →u 强收敛于L ∞(0,T ;L r (Ω)).(3.27)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p -Laplace 抛物方程解的存在性与爆破549由此可得u m →ua .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.28)|u m |q −2u m ln |u m |→|u |q −2u ln |u |a .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.29)结合(3.25),(3.29)可得χ1=|u |q −2u ln |u |.设Au =−div(|∇u |p −2∇u ),易证A 为严格单调半连续有界的强制性算子(可参考文[12]).则由(3.27)结合单调算子理论可得Au m →Au 弱*收敛于L ∞(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.30)下证χ2=|u t |r −2u t .结合(3.25),(3.26),(3.30),对方程(3.1)两边取极限,再同乘g ′jm ,对j 求和得(χ2,u t )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.31)再对方程(3.1)同乘g ′jm ,对j 求和再令m →∞得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.32)结合(3.31),(3.32)可得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )=(χ2,u t ).(3.33)利用函数|s |r −2s (s ∈R )的非减单调性可得(|u mt |r −2u mt −|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≥0,(3.34)对于任意ψ∈L r (Ω)成立,由此可得(|u mt |r −2u mt ,ψ)+(|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≤(|u mt |r −2u mt ,u mt ),(3.35)对上式令m →∞得(χ2−|ψ|r −2ψ,u t −ψ)≥0.(3.36)要证χ2=|u t |r −2u t ,利用函数|s |r −2s (s ∈R )的半连续性.令ψ=u t −aϕ，a ≥0,任意ϕ∈L r (Ω)，则有(χ2−(u t −aϕ)r −2(u t −aϕ),ϕ)≥0,(3.37)令a →0得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≥0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.38)令ψ=u t −aϕ，a ≤0,任意ϕ∈L r (Ω),同理可得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≤0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.39)结合(3.38),(3.39)即可得χ2=|u t |r −2u t .综上所述,由{w j }为W 1,p0(Ω)中的一组基,方程(3.1)中令m →∞可得(|u t |r −2u t ,v )+(∇u t ,∇v )+(|∇u |p −2∇u,∇v )=(|u |q −2u ln |u |,v ),(3.40)对于任意t ∈(0,T ),v ∈W 1,p0(Ω)成立.定理3.2假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0(x )∈W 1,p 0(Ω),J (u 0)<d ,I (u 0)>0,则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在整体弱解u 满足u ∈L ∞(0,∞;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,∞;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证选取{w j }∞j =1,{u m }，{u 0m }为定理3.1证明过程中的情形.将方程(3.1)两边同乘g ′jm ,对j 从1到m 求和,再关于t 积分可得∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.41)550应用数学2022由g jm (0)=ξjm ,当m →∞时,u 0m 强收敛到u 0,因此有lim m →∞J (u m (0))=J (u 0)<d,lim m →∞I (u m (0))=I (u 0)>0.(3.42)则对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u t (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0))<d,0≤t ≤T,(3.43)I (u m (0))>0.(3.44)由此可得,对于充分大的m ,u m (0)∈W .下证对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.若不成立,则存在t 0∈[0,T ]使得u m (t 0)∈∂W ,此时有u m (t 0)∈W 1,p0(Ω),且J (u m (t 0))=d 或I (u m (t 0))=0.若J (u m (t 0))=d ,而由(3.43)得J (u m (t 0))<d ,矛盾;若I (u m (t 0))=0,此时u m (t 0)∈N ,由d 的定义可得J (u m (t 0))≥d ,显然与(3.43)矛盾.故对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.因u m (t )∈W ,有I (u m )>0,结合方程(2.5)和(3.43),对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+q −p pq ∥∇u m (t )∥p p +1q 2∥u m (t )∥qq <d,0≤t ≤T,(3.45)由此可得∥∇u m (t )∥pp ≤pq q −p d,∫t∥u mt (τ)∥r r d τ≤d,∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ≤d,∥u m (t )∥q q ≤q 2d,对于任意T >0,t ∈[0,T ]成立.再结合定理3.1的证明,定理3.2得证.4.爆破这部分将证明当非线性项指数满足适当条件时,分别在初始能量为负和具有正上界的正初始能量下,方程(1.1)解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.定理4.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <min {p ∗,2pq −2q p +pq −2q},且0<J (u 0)<M ≤d ,I (u 0)<0,则方程(1.1)的解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.证定义辅助泛函H (t )=E 1−J (t ),(4.1)其中E 1满足0<J (u 0)<E 1<M ,M 如(2.12)中定义.结合(2.5),将方程(1.1)两边同乘以u t ,并在Ω上对x 积分可得J ′(t )=−∥u t ∥r r −∥∇u t ∥22≤0.(4.2)结合(4.1)和(4.2)可得H ′(t )=−J ′(t )=∥u t ∥r r +∥∇u t ∥22≥0,(4.3)则有H (t )≥H (0)=E 1−J (u 0)>0.(4.4)由假设知u 0∈V ,易证u ∈V ,即有I (u )<0.由引理2.3-2.5可得H (t )=E 1−J (u (t ))=E 1−1p ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q≤q −p pq ∥∇u ∥p p −1p ∥∇u ∥pp +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q2∥u ∥q q ≤−1q ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q ≤1q ∫Ω|u |q ln |u |d x ≤1qeα∥u ∥q +αq +α,(4.5)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破551其中选取α如(2.3)中定义,有q+α<p∗,W1,p(Ω) →L q+α(Ω),由Bα为其最佳嵌入常数,则有∥u∥q+α≤Bα∥∇u∥p,(4.6)结合(4.5),(4.6)可得H(t)≤B q+ααqeα∥∇u∥q+αp.(4.7)将方程(1.1)两边同乘以u,并在Ω上对x积分,因I(u)<0,结合(2.5)和引理2.3,由H¨o lder不等式及Young可得0=∫Ω|u|q ln|u|d x−(∇u t,∇u)−∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)≥(1−1q )∫Ω|u|q ln|u|d x+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(1−1q )∥∇u∥pp+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(q−ppq −ε)∥∇u∥p p−E1−(|u t|r−2u t,u)−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t).(4.8)令ε充分小有0≥H(t)−(|u t|r−2u t,u)+1q2∥u∥q q−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1,(4.9)因为p>2,有pp−1<2,结合(4.3)有∥∇u t∥p p−1pp−1≤C∥∇u t∥p p−12≤C[H′(t)]p2(p−1).(4.10)因为r<2pq−2qp+pq−2q ,则r<q,r<2+2p−2,故有rp2(r−1)(p−1)>1,且有q(2p+2r−rp−2)rp>1.因此结合(4.5)由H¨o lder不等式及Young不等式可得(|u t|r−2u t,u)≤∥u∥r∥u t∥r−1r ≤∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpr∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpr∥u t∥r−1r≤C1∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpq+α∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r≤C2∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r[H(t)]1q+α−q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)≤C3[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(∥u t∥r r)p2(p−1)]H−β(t)≤C4[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(H′(t))p2(p−1)]H−β(0),(4.11)其中ϵ>0,β=q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)−1q+α>0.结合(4.9),(4.10),(4.11)可得0≥H(t)+1q2∥u∥q q−C4ϵH−β(0)∥u∥q q−C4C(ϵ)H−β(0)[H′(t)]p2(p−1)−CC(ε)[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+(1q2−C4ϵH−β(0))∥u∥q q−(C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε))[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+C1∥u∥q q−C2[H′(t)]p2(p−1),(4.12)其中C1=1q2−C4ϵH−β(0),C2=C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε).令ϵ充分小使得C1>0成立,则有C2[H′(t)]p2(p−1)≥H(t),(4.13)所以有H′(t)≥C[H(t)]2(p−1)p,C>0,(4.14)因为p>2,故2(p−1)p >1.令η=p−2p,有η>0,故有H′(t)≥C[H(t)]1+η,C>0.(4.15)552应用数学2022综合(4.7)和(4.15)可得:方程(1.1)解的W1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.(Ω)范数在有注4.1对于J(u0)<0情形,在(4.1)中令H(t)=−J(t)同样可得出解的W1,p限时刻的爆破,证明过程大致同上,在此省略.参考文献：[1]XU Runzhang,SU Jia.Global existence andfinite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations[J].J.Funct.Anal.,2013,264(12):2732-2763.[2]CHEN Hua,TIAN Shuying.Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolicequations with logarithmic nonlinearity[J].J.Differ.Equ.,2015,258(12):4424-4442.[3]PAYNE L E,SATTINGER D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J.Math.,1975,22(3-4):273-303.[4]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of p-Laplacian evolution equations withlogarithmic nonlinearity[J].Acta Appl.Math.,2017,151:149-169.[5]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equationswith logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2017,73(9):2076-2091.[6]CAO Yang,LIU Conghui.Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].Electron.J.Differ.Equ.,2018,2018(116):1-19. [7]HE Yijun,GAO Huaihong,WANG Hua.Blow-up and decay for a class of pseudo-parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2018,75:459-469. [8]DAI Pan,MU Chunlai,XU Guangyu.Blow-up phenomena for a pseudo-parabolic equation withp-Laplacian and logarithmic nonlinearity terms[J].J.Math.Anal.Appl.,2020,481:123439.[9]DING Hang,ZHOU Jun.Global existence and blow-up for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].J.Math.Anal.Appl.,2019,478:393-420.[10]PUCCI P,SERRIN J.Asymptotic Stability for Nonlinear Parabolic Systems[M]//Energy Methodsin Continuum Mechanics.Dordrecht:Kluwer Acad.Publ.,1996:66-74.[11]PANG Jinsheng,ZHANG Hongwei.Existence and nonexistence of the global solution on the quasi-linear parabolic equation[J].Chin.Quart.J.of Math.,2007,22(3):444-450.[12]ZHENG Songmu.Nonlinear Evolution Equations[M].The United States of America:CRC PressLLC,2004.Global Existence and Blow-up of Solutions for a Class of p-Laplacian Parabolic Equations with LogarithmicNonlinearityWEN Lan,YANG Han(School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu611756,China) Abstract:This paper is concerned with the initial boundary value problem of a class of p-Laplacian parabolic equations with logarithmic nonlinearity.Firstly,existence of local solutions are obtained by ap-plying Galerkin’s method.Then,combining with potential well method,it is proved that the solutions exist globally when initial value is in a stable stly,finite time blow-up results are derived as well by constructing auxiliary functional when the initial energy satisfies suitable conditions.Key words:Parabolic equation;Logarithmic nonlinearity;Global existence;Blow-up。
一类非线性波动方程的整体吸引子
Ｅｘｓｅ ｃ ｆｇｏ ａ ｔｒ ｃ ｏ ｓｆ ｒ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｖ ｑ ｔｏ ｉｔ ｎ ｅ ｏ ｌ ｂ ｌａ ｔ ａ ｔ ｒ ｏ ｏ ｌ ｎｅ ｒ ｗａ ｅ ｅ ｕａ ｉｎ
（ ． ｅａｔｅ ｔ ｆ ａ ｍａｅ ，ｉ ｇｕＵ ｉ ｒｉ ，ｈｎｉｎ ｉ ｇｕ２ ２ １ Ｃ ｉａ ２ Ｄ ｐｒ ｎ ｏ ￣ｅ ｔ ｓＪａ ｓ ｎｖ ｓｙＺ ｅｊ ｇＪ ｎ ｓ １０ ３，ｈｎ ） ｍ Ｍ ｉ ｎ ｅ ｔ ａ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｉ ｒ ｅ ｎ ｉ ｇ ｏ ｔｍｏ ｅ ｃ ａａ ｔ ｒ ｔ ｓｏ ｏｕ ｉｎ ｆ ｒｎ ｎ ｉ ｅ ｒｗ ｖ ｑ ａｉｎ，ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｃ ｎ ｓｒ ｃ ： ｎ ｏｄ ｒｔ ｆ ｄ ｎ ｕ ｒ ｈ ｒ ｃｅ ｓ ｃ ｆｓ ｌ ｔ ｏ ｌ ａ ａ ｅ ｅ ｕ ｔ ｏｉ ｉ ｉ ｏ ｏ题 ： 在引用 Ｋ ｒ ｏ ｓｉ 度 的定 义并 对 其 基 本性 质 进 行 讨 论 的 基 础 上， 过 渐 近先 验 估 计 ， 明 了解 半 群 ｕａ ｗ ｋ 测 ｔ 通 证 ｛ （） 在 Ｋ ｒ ｏ ｓｉ Ｓｔ｝ ｕａ ｗｋ 测度下 的渐进光滑性 ， ｔ 从而得到 了这类含有混 合导数项 的非线性 波动方程在 （２ １）×Ｌ （ 上 ＂ ２ ｎ） 的整体吸引子的存 在性定理 ． 关键词 ：吸引子 ； 动方程 ；先验估计 波
ｓｄ ｒ ｈ ｘｓｅ ｃ ｆｇｏ ａ ｔｒ ｃｏ ｒｔ ｏ ｌｎ ａ ｖ ｑ ａｉ ｎ ｉ ｖ ｌｉ ｇ ｔ ｅ ｍｉ ｅ ｉ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｅ ｔ ｉ ｅ ｓｔ ｅ ｅ ｉｔｎ ｅ ｏ ｌｂ ｌａｔａ ｔｒｆ ｈｅ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｗａ ｅ ｅ ｕ ｔｏ ｎ ｏ ｖｎ ｈ ｘ ｄ ｄｆ ｒ ｎｉｌｑ ｏｉｎ ｏ ｆ
带梯度项的p-Laplacian方程整体解的不存在性
其梯度 ｌ 的非线性 函数． ｂ ０ 即方程 （） Ｉ Ｖｕ 当 ＝ ， １ 右端不含梯度 １ 的非 线性 项时 ， Ｉ ｖｕ 有不少文献对方程（ ） １ 解的性质进 行了研 究 ］但 当 ｂ ０ 即方 程（ ） 端含梯度 的非线性项 时 ， 程（ ） 。， ＞ ， １右 对方 １ 解的性质的研究甚少．
最近 ， ５ 研 究 了方程 （） 齐次 Ｄｒｈｅ边界条件 的初边值 问题 ， 到了方程 （） 文［］ １具 ｉｃｌ ｉ ｔ 得 １ 解在 有限时 间爆破 的条
件． 本文研究 Ｃ ｕ ｈ 问题 （） （ ） 采用的技巧不同于通常的上下解方法 ， ａｅｙ １～ ２， 而是通过对试验 函数 的精细选取 ， 并利用能量估计方法和不等式技 巧 ， 明问题非平凡非 负整体解 的不存在性 ． 证
第３ ０卷第 ２ 期 ２１ ０ ２年 ３月
泉州师 范学 院学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＱｕ ｎ ｈ ｕＮｏ ｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒｉｙ ｏ
Ｖｏ ． ＯＮｏ ２ １３ ．
Ｍ ａ． ２ ２ ｒ ０１
带梯 度 项 的 ｐ Ｌ ｐａｉ － ａ ｌｃ ｎ方 程 整 体 解 的不 存 在 性 ａ
１ 两个辅助 不等式
引 １［ｓ Ｙ ｎｓ等 ］ 设 ＞ ， ０＞ ， １＞ ， ＋ 一 ，有 理 带 的 ｏｇ不 式 ｎ ０＞ ， ｏ ＞ ， １ 吉 １ ｕ＇ ６ ｅ Ｐ ｑ 且 则
ａ ｂ≤ ４ ＋ — — ≤ ’＋ Ｅ咖 。 ＿ Ｉ ．
－ ｉ
ｅ ｐｑ －￣ ｂ
Байду номын сангаас
ｂ
中 图分 类 号 ： ７ ． ６ Ｏ１ ５２ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：Ｏ ９８ ２ （ Ｏ ２Ｏ 一０ ６Ｏ １ Ｏ—２ ４ ２ １ ） ２ＯＯ 一３
一类m-Laplaciang方程爆破整体解的存在性和不存在性
ｌ ｉ ｍ
…
＝
一
＜ｑ
ｐ＜ 。 。．
（ ０＜ Ｉ＜ ∞ ， ｆ） ０＜ Ｓ ＜ ∞ ． ｉ ） ｉ ｉ
（． ２４ ）
第 １ 期
辛 奎东 等： 类 ｍ—ａｌ ｉ 一 Ｌ ｐ ｃ ｎ方 程爆 破整 体解 的存 在性和 不存 在性 ａａ
・７ ７
从 （．）司以 得 到 ２１
受到 上面 的 启发 ，我们讨论 了 Ｒ 上 的 ｍ— ａ ｌｃ ｎ方程解 的存 在性 和不存 在性 ． Ⅳ Ｌ ｐａｉ ａ
在本 文 中， 我们并 没有对 函数 ． 加单调性 假设 ， 没要 求 ． 厂附 也 ，是幂 函数 ， 以前 文献 不 同 和 的 是我 们利 用上下解 方法 得到 了 （．） 的存在 性， １１ 解 利用积 分方 程和 一个积分 条件 得到 了径 向 对 称解 的不 存在性 ．
ＤＯＩ １． ６／．ｓ ． ６—０７２１ ． ． ９ ： ０ ９ ９ｊｓ ０ ９５９． ２ １ ０ ３ ｉｎ ４ ０ ００
类ｍ— ａ ｌｃａ 方程 Ｌ ｐ ａ ｉｎ 爆 破 整 体 解 的存 在 性 和 不 存 在 性
一
辛奎东
（ 广东 轻工 职业 技术 学 院经 济系 ，广 州 ５００ ） １３０
其中 Ｑ是 Ｒ Ⅳ中的有界 区域， 例如 Ｋ ｌｒ ７ 和 Ｏ ｓ ｍａ ４ 在通过假设 ，是局部 Ｌｐｃｉ ｅｅ［ ］ ｌ１ ｓ ｒ ｎ［ ｅ ］ ｉ ｈｔ ｓ ｚ 连续 的非 减 函数 ，（） ０及 一个积分 条 件： ，
Ｆ一 ∞ 中 ／（ （ ， Ｆ＝ ） ） 其 （ ０ｓ ＜ ） ｜ｄ ，ｓ
陈才 生
（ 海大 学理 学 院，南 京 ２０ ９） 河 １０ ８方 程 Ａ ＝ｐ ．，， Ｌ ｐａｉ ａ （） （）Ｘ∈ＲⅣ 的非负爆 破 厂“
【国家自然科学基金】_能量源项_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802
科研热词 能量源项 数值模拟 光线追踪法 高功率离子束 预混燃烧 非线性阻尼和源项 非线性波动方程 采空区 辐射流体动力学 辐射模型 解的爆破 管中激光加速器 瓦斯治理 火灾防治 激波传播 激光推进 激光引致激波 温度场 温度体模型 流固耦合 易自燃煤层 整体解 数值方法 指数衰减 弹簧法 弹性体方法 弥散效应 局部存在性 多孔介质 双层靶 动态网格 光滑解 petrovsky方程 cauchy问题
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
2013年 科研热词 非线性源项和外力项 非线性源项 非全局存在性 长期辐射效应 边界输入输出 辐射安全 质量守恒方程 计算流体动力学 耦合方法 电子束"毛化"技术 理想流体力学方程组 爆破解 漏电流 数值模拟 总剂量效应 强激光 弦振动方程 人为解方法 人为解 x射线 ppm程序验证 p(x)-kirchhoff方程组 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
科研热词 航空航天推进系统 耦合求解 红外辐射 爆破 激光推进 排气羽流 抛物-圆柱组合喷管 工作条件 固体发动机 吸气式 后燃化学反应 单脉冲 半线性波动方程 势井 凸性分析方法 冲量耦合系数 不稳定集
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词 验证 设计 用户自定义函数(ufd) 热响应 源项 液化石油气(lpg) 储罐
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
一类非线性波动方程的初边值问题
一类非线性波动方程的初边值问题作者：周晓宇任煜东来源：《商情》2008年第13期【摘要】本文研究一类非线性波动方程的初边值问题，利用Galerkin方法证明了其整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明了解的衰减性。
【关键词】非线性波动方程初边值问题整体解衰减估计一、引言及主要结论本文讨论如下初边值问题：的整体广义解的存在性及衰减性，其中是空间中具有光滑边界的有界域。
我们用Galerkin方法证明问题(1)—(4)的整体广义解的存在性和唯一性，用扰动能量法证明解的衰减性，主要结论为：定理假定是非负有界的二次连续可微的实值函数，满足且对某个，当时，有和.其中为正常数。
在上满足相容性条件.其中则对任意的T>0，问题(1)—(4)存在至少一个整体广义解若令中的p=1且和中的β充分小，则存在正常数c和γ，使得此外，若连续，则解是唯一的。
二、定理的证明设是空间的一组标准正交基，使得.作问题(1)—(4)的近似解据Galerkin方法，满足下列常微分方程组的初值问题据常微分方程的一般理论，问题(5)—(6)存在唯一的局部解随后进行的第一个先验估计将说明能被整体延拓到[0，+∞)上.第一个估计将方程(5)中的换成，并在(0，t)上积分，得到由假设，Cauchy 不等式和Sobolev迹嵌入定理，得到合并(7)，(8)，选η充分小，利用Gronwall不等式即得第一个估计其中是不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
第二个估计首先估计的范数，易得其中是一个不依赖于k的正常数.接下来，对(5)式两边关于t求导一次，而后将其中的换为得到对上式左边第一项进行估计，可得在(0，t)上积分(9)式，，得到类似(8)的做法，，可以得到合并(10)、(11)，选η充分小，利用Gronwall引理得到第二个估计其中，是一个不依赖于k∈N和t∈[0，T]的正常数。
非线性项的分析利用Lions引理和Sobolev迹嵌入定理易得和.由第一个估计和假设可知，存在函数，使得利用广义格林公式，由(5)得到由于Δu∈，从而有再利用广义格林公式，由(13)和(14)得到由于接下来，把(5)中的换为并在(0，T)上积分，得到对上式两边取极限得到合并(14)、(15)和(16)，利用广义格林公式得到由假设得到利用Lions引理即得(12).惟一性设和是问题(1)-(4)的两个解，则-满足在(17)中令，由假设、可以得到其中，λ来自于不等式另一方面，由连续和假设可知，存在常数C使得在(0，t)上积分(18)得到利用Gronwall引理，由上式即得.惟一性得证.能量的一致衰减由(1)得到(19)若令中的P=1，则存在正常数和，使得(20)考虑到假设，由(19)，(20)得到(21)注意到h(0)=0简单的计算易知(22)其中定义修正能量(23)假定(24)其中λ>0来自于不等式则由(23)，(24)可得(25)因此，E(t)的衰减是e(t)衰减的直接结果.接下来，由(21)，(22)，(23)，(25)及假设得到定义扰动能量.其中.不难证明，存在正常数，使得(26)和(27)综合(26)，(27)可得其中，C，λ为正常数.证毕.参考文献：[1]Yang Zhijian.Global existence， asymptotic behavior and blow up of solutions for a class of nonlinear wave equations with dissipative term. J. Differential Equation，2003，187：520-540.[2]Tokio Matsuyama.On global solutions and energy decay for the wave equations of kirchhofftype with nonlinear damping term.J.Math.Anal.Appl.1996，204：729-753.[3]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti，J.S.Prates Filho and J.A.Soriano.Existence and uniform decay of solutions of a degenerate equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Nonlinear Analysis T.M.A.，1999，38：281-294.[4]M.M.Cavalcanti，V.N.Domingos Cavalcanti.Existence and uniform decay of the wave equation with nonlinear boundary damping and boundary memory source term.Calculus of Variations，2002，15：155-180.[5]M.Nakao.Asymptotic Stability of the Bounded or Almost Periodic Solutions of the Wave Equation with Nonlinear Dissipative Term，J.Math.Anal.Appl.1997，58，336-343.基金项目：河南省自然科学基金资助项目，编号021*******.(作者单位：河南财经学院信息学院)注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
初值问题的解是不存在的例子
初值问题的解是不存在的例子
摘要：
一、初值问题的概念
二、初值问题解不存在的例子
1.非线性微分方程
2.波动方程
3.扩散方程
三、结论
正文：
初值问题是指在微分方程中，需要求解初始时刻的函数值和导数值的问题。
在一些情况下，初值问题的解是不存在的。
本文将介绍三个初值问题解不存在的例子。
首先，考虑非线性微分方程。
非线性微分方程的特点是方程中的项不是线性的，而是非线性的。
这种方程的解往往很复杂，有时甚至不存在。
例如，著名的Riccati 方程就是一个非线性微分方程，它的解在某些情况下是不存在的。
其次，波动方程。
波动方程是描述波动现象的偏微分方程，它的解有时也是不存在的。
特别是在一些特殊情况下，如波长无限小或时间无限长，波动方程的解可能不存在。
最后，扩散方程。
扩散方程是描述物质扩散现象的偏微分方程，它的解在某些情况下也是不存在的。
例如，当扩散系数为零时，扩散方程的解就不存
在。
综上所述，初值问题的解不存在的情况在实际应用中是存在的。
对于非线性微分方程、波动方程和扩散方程等，我们需要根据具体问题具体分析，判断其解是否存在。
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高校应用数学学报 ２０１０，２５（２）：１４９—１５４
具有非线性阻尼项和源项的波动方程 整体解的不存在性
叶耀军 （浙江科技学院数学与信息科学系，浙江杭 ＩＩ ３１００２３）
摘 要：研究了一类含有非线性阻尼项和源项的波动方程的初边值问题．证明了当 初始能量Ｅ（Ｏ）满足０＜Ｅ（Ｏ）＜ （ｄ为一正常数）时，问题的整体解的不存在性并给出了 解的生命跨度估计． 关键词：非线性阻尼项和源项；整体解的不存在性；波动方程：初边值问题 中图分类号：０１７５．２ 文献标识码： 文章编号：１０００—４４２４（２０１０）０２—０１４９—０６
§１ 引 言 本文考虑下面的初边值问题
一 差（Ｉ ｒ。 ）－Ａｕｔ＋［ｕｔＩ ｚ－２ｕｔ＝－ 一 ＿２ ∈ ×Ｒ＋
ｕ（ｘ，０）＝ｕ０（ ），ｕｔ（ｘ，０）＝ｕ１（ ），Ｘ∈ ， ｕ（ｘ，ｔ）＝０，（ ，ｔ）∈ ×Ｒ＋，
（１） （２） （３） 其中 是Ｒ 中具有光滑边界 的有界区域，Ｒ十三［０，＋。。），ｍ，Ｐ，１＞２． 方程（１）描述了粘弹性力学中的纵向运动，也可以用来描述控制粘弹性结构的纵向运动服从 非线 Ｉ￣Ｖｏｉｇｈｔ模型［ ・ ． 如果不含强阻尼项一△“ｔ，则方程（１）变为
ｊ“ｌ 一 乱，ｘ，ｔ）∈力×Ｒ＋． （４） 当（４）不含源项ｆ 『ｐ一。“时，阻尼项保证了整体解的存在性和衰减性［ －６】．当（４）不含阻尼 项Ｉ“ｔ ｕｔ时，如果ｐ＞ｍ，则具有负初始能量的解在有限时间内爆破．
收稿１９期：２００９—０４—２６ 基金项目：浙江省教育厅科研计划项目（Ｙ２００８０３８０４）；浙江科技学院科研基金（２ ０（］８Ｏ３）；浙江科技学院中青年骨干 教师资助项目（２００８—２０１２）；浙江省教育厅科研计划项目（Ｙ２００９０７２９８） １５０ 高校应用数学学报 第２５卷第２期 Ｌｅｖｉｎｅ［７－８』考虑了ｍ＝ｆ＝２时，阻尼项和源项之间的相互作用，并证明了具有负初始能 量的解在有限时间ｂｌｏｗ—ｕｐ．Ｇｅｏｒｇｉｅｖ￣Ｉ］Ｔｏｄｏｒｏｖａ［。】把Ｌｅｖｉｎｅ￣结果推广到非线性阻尼的情 况（ｆ＞２），他们证明了在初始能量为负的情况下，ｆ ｐ时解整体存在；ｆ＜ｐ时解在有限时间内发 生爆破．Ｖｉｔｉｌｌａｒｏ［１０】把这些结果推广到初始能量为正的非线・ｔ￣＿ＮＹｇ（ｚ＞０１情况． Ｙａｎｇ［ｕ Ｊ研究了类似于（１）一（３）的问题，并证明了ｐ＞ｍａｘ｛ｍ，ｆ｝和初始能量为负时解的爆破 结果．之后，Ｍｅｓｓａｏｕｄｉ和Ｓａｉｄ—Ｈｏｕａｒｉ［１２】改进ＴＹａｎｇ的结果． 本文将证明初始能量为正时，问题（１）．（３）的局部解在有限时间内爆破．通过修改ｆ１０１中的方 法，在关于初始能量较弱的条件下，得到了整体解的不存在性． 以后用ｌ１． 表示Ｌ （ ）范数，ｕ（ｔ，ｘ）ｉｇ为 （ ）， ，ｉ＝１，２，…表示一些正常数，在不同的地 方出现时可能不相同．
§２主要结果
为了叙述和证明主要结果，首先定义问题（１）一（３）解的能量 Ｅ（ ）＝ ｌｌｒ“ｔ（￡） ＋ １ ｌｌＶ （ ）ＩＩ ｌｌ （￡） ． 由ｆ５）知 ） ｌｉｌｙ札㈤ 一 ㈤ＩＩ；，ｔ ０． 利用［１３】中的方法可证明（１）一（３）有下面的局部存在性结果． 定理１ 假设ｍ，ｐ满足条件 ２＜ｍ＜Ｐ＜ ，礼＞ｍ； ２＜ｍ＜Ｐ＜＋∞，ｎ＜ｍ． ｎ—ｍ 并且ｕ０∈ ’ （ ），ｌ／，１∈Ｌ２（ ）；则问题（１）一（３）存在唯一解ｕ（ ），满足 札∈ ｏ。（［０， ）； ’ （仃））， ∈ 。。（［０， ）；Ｌ２（ ））ｎ Ｌｌ（【０， ）；Ｌｌ（ ））． 根据条件（７），￣Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理有 ＩＩⅡ（ｔ）ｌｌ ＣＩｌＩＶｕ（ｔ）ｌｌ ，ｔ ０， 由（６）和（８）得 Ｅ（ ） １ ＩＩＶ．“（￡）ＩＩ 一ｃ ｆ ＩＩＷ（ｔ）Ｉｌ ＝Ｑ（ＩＩｖｕ（￡）１１ ）， 。， 其中Ｑ（ ）＝ 一譬 ．于是 Ｑ （ ）＝ 一 一 ｝ 一 ，Ｑ”（ ）＝（ｍ一１） 一。～（Ｐ一１）ＣＩ￣Ａｖ一 ， 由Ｑ，（ ）：０得， １： 产 ，ｆ￣／ｋＮＱ，，（ ）得，Ｑ，，（ ）＜０．因此，Ｑ（ ）在 １处取得最大值 ｄ＝Ｑ（Ａ１）＝（ １一 ） ． （５）
（６）
（１０） 叶耀军：具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的不存在性 １５１ 方程（１）两边同乘以 ｔ，并在 上积分，使用分部积分法得 Ｅ ）＝－Ｉｌｕｔｌｌ：一ｌＩＷ￣ｌｌ； ０． （１１） 主要结果叙述如下： 定理２ 设条件（７）满足，Ｕ０∈ ’ｍ（ ），＇ｉｔＩ∈Ｌ （ ），并Ｒｐ＞ｍａｘ｛ｍ，ｆ），如果０＜Ｅ（ｏ）＜ ｄ，ｌＩＶｕ０ｌＩ ＞ ｌ，则（１）一（３）的解在有限时间内发生爆破．
§３主要结果的证明
为证明定理２，需要下面的引理． 引理１ 假设，“是（１）一（３）的局部解，并且定理２的条件成立，则存在 ２＞Ａ１，使得
ＩＩＶｕ（ｔ）ｌｌｍ ２，ｔ∈［０， ）． （１２） 证由（９）和（１０）有 Ｑ（Ａ１）＝ｄ＞Ｅ（０） Ｑ（１ｌＶｕｏｌｌ ）． （１３）
根据Ｑ（ ）的连续性，由ＩＩＶｕｏｌｌ ＞Ａ１和（１３）知，存在 ２，Ａ１＜ ２ ｌ［ＶｕｏｌＩ ，使得Ｑ（ ２）＝ Ｅ（０）．现在证明ＩＩＶ￣（ｔ）ｌＩ ２，用反证法．假设存在ｔｏ∈［０， ），使得ＩｌＶｕ（ｔｏ）ｌｌ ＜ ２，则
Ｅ（ｔｏ）＞Ｑ（１ｌＶｕ（ｔｏ）ｌＭ） Ｑ（ ２）＝Ｅ（０）， 这与Ｅ（ｔ） Ｅ（０），ｔ ０矛盾，从而引理１得证． 定理２的证明设 Ｈ（ｔ）：ｈ—Ｅ（ ），ｔ ０， （１４）
其中 ＝ ．由（１１）知，Ｈ （￡） ０．于是 Ｈ（ｔ） Ｈ（０）＝ｈ—Ｅ（０）＞０，ｔ ０． （１５） 设 ｒ １ ） 讹 ＋ ＩｌＶｕ（ ・ （１６）
对（１６）关于 求导并由（１）得 Ａ （ ）＝ＩｌｕｔＩＩ；一ｌＩＶｕｌｌ￣一／ｌＵｔＩ ～ “ ｕｄｘ＋ＩＩ 『 ． （１７） 由（５）和（１７）得 ＝ｐＴ＋２ ［Ｚ－２ｕ
ｔｕｄｘ＋Ｐ础 ． （１８）
此外，由引理１得 ． ＩｌＶｕ懈＋
． ＩＩ ＋ 一Ｐ ． 一 — ‘—— — Ｊｌｍ十— ／、１一 凡’ １５２ 高校应用数学学报 第２５卷第２期 因为Ｐ＞ｍ，所以由引理１和（１５）知 ＞。， 。． （２０） 因此，由（１８）和（２０）得 ㈣ ｐＴ＋２ ２＋ ・ 驯 １１－２ｕｔｕｄｘ＋Ｐ附（２１）
连续两次使￣ＨＳｌｄｅｒ不等式有 ｌ ｌ ｌ＜ ｌｌ Ｉ ）ｌ ～． （２２）
由（１５），（６）２￣ＧＩ理１得 日（ ） ｄ一￣ｍ ｌｌＶｕ（￡）ｌｌ ＋ １ ｌｌ ｌ ｄ
一 １
＋ Ｉｌ钆Ｉ
由（１５）和Ｓｏｂｏｌｅｖ嵌入定理知 。＜即） 即） ｌＩ； Ｃｐ ㈤ ，￡＞０． （２３）
由（２３）和（２２）有
ＮＹｏｕｎｇ不等式得 ｌｕｔｌ－２ｕｔｕｄｘｌ ｃ３１ｕＩ￣Ｚ（ ＿｝ｌＩ ）『Ｉｆ＿１
Ｉｕ ｔ“ｄ ｌ （ Ｉ ＋￡ 由日 ））Ｈ（圹 ， （２４） 其中 １＝｛一 １＞０，Ｃ１＞０． 令０＜ ＜Ｑ１，则由（２３）和（２４）得
设 ｌ ｔＩ 一２ｕｔ乱ｄ Ｉ （Ｅ （。）一ａ Ｉｆ札 ＋￡ 由日（。） 一ａ Ｈ（￡）一 日 （ｔ））， （２５）
Ｌ（ｔ）＝日（ｔ） 一 ＋５１ （ｔ），ｔ ０ 其中 １＞０是待定常数．（２６）关于￡求导，并由（２５）和（２１）得 ［１－ａ－５１Ｃ４￡ 占日（０）一 即）一 ［ｐＴ＋２ ｐ即）］
＋ ・ Ｉ ）ｌｌ 即 １ｌｌ ；
（２６）
（２７） 叶耀军：具有非线性阻尼项和源项的波动方程整体解的不存在性 １５３ 设口＝ｍｉｎ｛ ，ｐ－ ｍ． ， ），并把（２１）中的 １ｐ日（ｔ）分解为 １ｐＨ（ｔ）＝２ａ６１日（ｔ）＋ 一 ２ａ）６１Ｈ（ｔ）．由（１４）和（１５）得
） ［１一Ｑ一 １Ｃ４Ｅ 占日（０）ｎ—ａ－】日（ ）～ａＨ （ｔ）＋ １ ｉ ２ａ—ｃ４Ｅ 日（０）一ｎ 『Ｉｌ ；
［ｐＴ＋２＿０］ｌ ［ ・ ～ ２ａ］［ＩＶｕ（驯 （ｐ－２ａ 附 （２８） 选取￡１足够小，使得￡ｉ 日（０）ａ－／ｋｏ＜ １＜面１－０／ （０）ａ—ｎ Ｅ声，则（２８）变为
（ ）２ １（ｆＪ ｆ ＋ＩＩ￣（ｔ）ｌｌ；＋Ｈｉｔ）＋ＩＩＷ（ｔ）ｌ１．￣）． （２９） ．其中 ＝ｍｉｎ｛ａ ，ｖ＋２２—０， ａ，ｐ－２￣｝．因此，Ｌ（ｔ）￣Ｅｔ ０时是一个非减函数．设（２６）中的 １足 够小，则 （０）＞０．从而Ｌ（￡）≥Ｌ（０）＞０，ｔ ０． 由于０＜ １＜１，所以１＜丁 ＜丁二１ ．由Ｙ（）ｕｎｇ不等式和Ｈ６ｌｄｅｒ不等式得
）击 ［Ｈ∽＋（ 札 ）击＋（１ｌＷｌ１）击］． （３。）
另一方面，对于Ｐ＞２，使）￣ＨＳｌｄｅｒ不等式和Ｙｏｕｎｇ不等式得 （ ） ｕ ）Ｉ １ １ ｃ８（１乱ｌＩ产＋ｌｌｕ川声）， （３１） 其中 ＋１ ＝１．选取 Ｅ（０，ｍｉｎ（ｏｑ，互１一 １，１一杀））， ＝２（１～Ｑ），则１－％＝ ＜Ｐ． ｍ（２３）得
（ ） ｔｐ （ ） ，
于是，从（３２）得 上 ２： ／１、 ～ ＝ （＼ ／） （３３）
￣Ｈ６１ｄｅｒ不等式有 ＩＩＷｌｌ￣～ ［ＩＶｕｌｌ￣． （３４）
因此，由（３１），（３３）￥ｆｌ（３４），从（３０）得 Ｌ（ｔ） －＿ Ｃａｏ［Ｈ（ｔ）＋ＩＩ Ｉ ＋ＩＩ 札ＩＩ ＋Ｉｌｕｔ 】． （３５） ６１（３５）和（２９）知 Ｌ （￡） ｃｌ１ （ｔ），ｔ ０． （３６）
（３６）在（０，ｔ）上积分得 Ｌ（ｔ） （Ｌ（Ｏ） 一Ｃ１１ ）一 ． （３７）