一类具非线性源项的波动方程解的爆破研究

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具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破

【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
1 引言
utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u为具有非线性阻尼及源项的波动方程.文献[1-2]中，对a=0时波动方程的Dirichlet初边值问题进行了讨论，并对其解在相应空间的存在性与爆破性作了阐述.对方程的Cauchy问题,文献[3-4]就其能量估计进行了深入讨论.文献[5-6]中对型如utt+δut-φ(x)Δu=λ u|u|p-1的非线性波动方程的第一类边值问题解的爆破作了深入讨论.文献[7]中利用能量方法和微分、积分不等式技巧，讨论半线性波动方程具非线性Neumann边界条件的混合问题解的爆破性质.文献[8]中讨论了当a=1、b=1时齐次Dirichlet初边值问题解的存在与爆破问题.本文主要讨论a=1、b=1时，在m和p满足一定条件情况下，如下初边值问题的波动方程解的存在性与爆破：
u(t,x)∈L ，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).
定理2 假设当N≥3时，当N≤2时，p>1;当1<m<p，且初值足够大，函数q(s)(s∈R1)满足λ Q(s)≤0及λ[q(s)-2Q(s)]≤0,问题(1)的解在有限时间内爆破.其中Q(s)=q(τ)பைடு நூலகம்τ.
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
李爱萍;杨慧
【摘要】In this paper,the initial-boundary value problem of wave equation with nonlinear damped and source terms was considered and the existence of the weak solutions for the equation with nonlinear Neumann boundary value was proved by Faedo-Galerkin method. Moreover,the blowing-up conditions of the solution were given.%应用 Faedo-Galerkin方法，证明了一类具有非线性阻尼及源项的波动方程非线性 Neu-mann边界条件初边值问题弱解的存在性，并给出了此问题解的爆破条件。

一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):544-552一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破温兰,杨晗(西南交通大学数学学院,四川成都611756)摘要：本文研究带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题.首先利用Galerkin方法证明方程局部解存在性;然后结合势井方法得出初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后再通过构造合适的辅助泛函,证明当初始能量满足适当条件时解在有限时刻的爆破.关键词：抛物方程;对数非线性源项;整体解;爆破中图分类号：O175.26AMS(2010)主题分类：35B45;35K55文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0544-091.引言本文研究如下带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题|u t|r−2u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0,u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,(1.1)其中r>1,p>2,q>2,u0(x)∈W1,p(Ω),Ω是R n(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域.当方程(1.1)中r=2,p=2时,XU和SU[1]研究如下半线性伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u−∆u t=u q,x∈Ω,t>0,(1.2)利用势井方法得出方程整体解的存在性并得到解在有限时刻的爆破.近年来,含对数非线性源项的抛物方程已引起大量学者的研究.CHEN等[2]中研究了带对数非线性源项的伪抛物方程初边值问题:u t−∆u−∆u t=u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.3)因对数非线性u ln|u|不满足Payne和Sattinger[3]中提出的多项式增长条件,此时经典势井方法不完全适用.文[2]通过势井方法及对数索伯列夫不等式证明方程整体解的存在性,并用凸方法证明解在无穷时刻爆破.通过比较得出多项式非线性项对此类伪抛物方程解在有限时刻的爆破有更为重要的影响.随后,文[4-5]中将上述带对数非线性源项的方程拓展到p-Laplace情形. LE等[5]中研究了如下含对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|p−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.4)利用势井方法及对数索伯列夫不等式证明了当p>2时方程整体解的存在性,并用凸方法得出此时解在有限时刻的爆破.而CAO等[6]中利用Galerkin方法证明了当1<p<2时方程整体解∗收稿日期：2021-07-07基金项目：国家自然科学基金(11701477,11971394)作者简介：温兰,女,汉族,四川人,研究方向：偏微分方程.第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破545的存在性并得出此时解在无穷时刻的爆破.当p-Laplace项与对数非线性项的指数不同时,对数索伯列夫不等式不再完全适用.文[7-9]中主要研究下述带对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.5) HE等[7]用Galerkin方法证明当2<p<q<p(1+2n)时,方程局部弱解的存在唯一性,并结合势井方法证明了方程整体解的存在性,最后得出解的H1(Ω)范数在有限时刻的爆破.而DAI 等[8]对上述结果进行推广主要得出在不同的初始能量下弱解在有限时刻爆破的上界及下界.对于拟线性情形,Pucci和Serrin[10]中研究如下方程的初边值问题,A(t)|u t|m−2u t−∆u+f(x,u)=0,x∈Ω,t>0,(1.6)其中m>1,A∈C(J→R N×N),f∈C(Ω×R N→R N)且满足(f(x,u),u)≥0,得出方程强解的整体存在性和当t→∞时强解的渐近稳定性.当上述方程(1.6)中f(x,u)=−|u|p−2u时, PANG等[11]中用Galerkin方法证明了当p>2时初值在稳定集中时方程整体解的存在性,再通过构造辅助泛函得出当1<m<p,E(0)<0时解在有限时刻的爆破.基于上述结论,本文研究方程(1.1)初边值问题,主要考虑非线性项指数之间的竞争与∆u t项对方程解的存在性和爆破的影响.首先用Galerkin方法证明当非线性项指数满足适当条件时方程局部解的存在性;然后结合势井方法证明初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后通过构造辅助泛函证明解在有限时刻的爆破.本文结构安排如下:第二部分介绍一些符号和引理;第三部分给出局部解和整体解存在性;第四部分证明解在有限时刻爆破.2.准备工作本节给出证明过程中所需的符号、引理和定义.在本文中,我们将L p(Ω)的范数记为∥·∥p(1<p<∞),(·,·)为L2(Ω)中的内积,W1,p0(Ω)的范数记为∥·∥W1,p(Ω),W−1,p′(Ω)为W1,p(Ω)的对偶空间.记p∗={∞,n≤p,npn−p,n>p.(2.1)若2<p<q<p∗(2.2)成立,对于任意α满足0<α<{∞,n≤p,npn−p−q,n>p.(2.3)定义r(α):=(αB q+αα)1q+α−p,(2.4)其中,Bα为W1,p(Ω) →L q+α(Ω)的最佳嵌入常数.并定义如下泛函:J(t)=J(u(t)):=1p∥∇u∥p p−1q∫Ω|u|q ln|u|d x+1q2∥u∥qq.(2.5)I(u):=∥∇u∥pp −∫Ω|u|q ln|u|d x.(2.6)定义N:={u∈W1,p(Ω)\{0}:I(u)=0}.(2.7)d:=infu∈NJ(u).(2.8)546应用数学2022其中N 代表Nehari 流形,d 为势井深度.类似文[7]中引理1和引理2证明可知:集合N 非空,常数d 存在且大于0.由(2.5)和(2.6)可得J (u )=1q I (u )+q −p pq ∥∇u ∥p p +1q 2∥u ∥qq .(2.9)定义以下稳定集和非稳定集W :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )>0,J (u )<d }∪{0},(2.10)V :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )<0,J (u )<d }.(2.11)下面给出证明过程所需引理,详细证明过程可参考文[9].引理2.1[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p0(Ω)\{0}.则对于任意α满足(2.3),有:(i)如果0<∥∇u ∥p ≤r (α),则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p >r (α).引理2.2[9]假设(2.2)成立,定义r ∗:=sup r (α),r ∗:=sup σ(α),其中α满足(2.3),σ(α)=(ακq +α)1q +α−p |Ω|αq (q +α−p ),κ为u ∈W 1,p 0(Ω) →L q (Ω)的最佳嵌入常数.则不等式0<r ∗<r ∗<∞成立.引理2.3[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p(Ω)\{0},则有:(i)如果0<∥∇u ∥p <r ∗,则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p ≥r ∗.引理2.4[9]假设(2.2)成立,则有d ≥M :=q −p pq r p∗.(2.12)为得到对数非线性项估计,引入如下不等式.引理2.5[4]设µ>0,则有不等式(i)s p ln s ≤1eµs p +µ,s ≥1;(ii)|s p −1ln s |≤(e (p −1))−1,0<s <1.下面给出方程(1.1)弱解和解在有限时刻爆破的定义.定义2.1假设u 0∈W 1,p(Ω),T >0.如果u (x,0)=u 0(x ),函数u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)),有∫Ω|u t |r −2u t v d x +∫Ω∇u t ∇v d x +∫Ω|∇u |p −2∇u ∇v d x =∫Ω|u |q −2u ln |u |v d x (2.13)对于任意v ∈W 1,p0(Ω)∩L r (Ω)∩L q (Ω)，t ∈(0,T )成立,则称u 为方程(1.1)在Ω×(0,T )上的一个弱解.注2.1区间[0,T ]称为弱解的存在区间,记其存在时间T 的上确界为T max ,称T max 为解的生命跨度.定义2.2设u 为方程(1.1)的一个弱解.若u 的生命跨度T max <∞,且有lim t →T max∥u (t )∥W 1,p 0(Ω)=∞(2.14)成立,则称u 在有限时刻爆破.3.解的存在性这节将给出当非线性项指数满足适当条件时方程(1.1)局部解和整体解的存在性.定理3.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0∈W 1,p 0(Ω),则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在弱解u 满足u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证用Galerkin 方法证明,证明过程分为三步.步1逼近问题.设{w j }j =1,2,···为满足狄利克雷边界条件的Laplace 算子的特征函数,即{−∆w j =λw j ,x ∈Ω,w j =0,x ∈∂Ω,第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破547选取{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组基且在L2(Ω)中是标准正交的.构造方程(1.1)的近似解u m(t)=m∑j=1g jm(t)w j(x),m=1,2,···,满足下面的常微分方程{(|u mt|r−2u mt,w j)−(∆u mt,w j)−(∇(|∇u m|p−2∇u m),w j)=(|u m|q−2u m ln|u m|,w j),(u m(0),w j)=ξjm,(3.1)其中j=1,2,···,m,ξjm为给定的常数.当m→∞时满足u m(0)=m∑j=1ξjm w j(x)→u0,强收敛于W1,p(Ω).(3.2)由u0∈W1,p0(Ω),{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组正交基可知ξjm存在.由常微分方程相关理论可得:存在T>0且仅依赖于ξjm,j=1,2,···,m,使得g jm∈C′(0,T),g jm(0)=ξjm,因此存在u m∈C′((0,T);W01,p(Ω)).步2先验估计.将方程(3.1)两边同乘以g jm(t),对j从1到m求和可得(|u mt|r−2u mt,u m)+(∇u mt,∇u m)+(|∇u m|p−2∇u m,∇u m)=(|u m|q−2u m ln|u m|,u m),(3.3)即有∫Ω|u mt|r−2u mt u m d x+12dd t∥∇u m∥22+∥∇u m∥p p=∫Ω|u m|q ln|u m|d x,(3.4)再将上式对t积分可得S m(t)=S m(0)+∫t0∫Ω|u m(τ)|q ln|u m(τ)|d x dτ,(3.5)其中S m(t)=12∥∇u m∥22+∫t∫Ω|u mt(τ)|r−2u mt(τ)u m(τ)d x dτ+∫t∥∇u m(τ)∥p p dτ.(3.6)由引理2.5可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤∫Ω1|u m|q ln|u m|d x+∫Ω2|u m|q ln|u m|d x≤(eµ)−1∫Ω2|u m|q+µd x≤(eµ)−1∥u m∥q+µq+µ,(3.7)其中Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1},Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}.由G-N不等式和Young不等式可得∫Ω|u m|q ln|u m|dx≤C∥∇u m∥θ(q+µ)p∥u m∥(1−θ)(q+µ)2≤ε∥∇u m∥p p+C(ε)∥u m∥p(1−θ)(q+µ)p−θ(q+µ)2,(3.8)其中ε∈(0,1),θ=(12−1q+µ)(1n−1p+12)−1,选取µ使得0<µ<p(1+2n)−q,则有θ(q+µ)<p成立.令α=p(1−θ)(q+µ)2[p−θ(q+µ)]=p(n+q+µ)−n(q+µ)p(n+2)−n(q+µ).(3.9)由假设2<p<q+µ<p(1+2n )可得α>1.故由(3.8)结合嵌入定理可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤ε∥∇u m∥p p+CC(ε)∥∇u m∥2α2.(3.10)故由(3.5),(3.6),(3.10)可得S m(t)=C1+C2∫t0Sαm(τ)dτ,(3.11)548应用数学2022其中C 1,C 2为不依赖于m 的正常数.因此由Gronwall-Bellman-Bihari 积分类型不等式知:存在常数T <C 1−α1C 2(α−1)使得S m (t )≤C T ,∀t ∈[0,T ],(3.12)由此可得∥∇u m ∥22≤C T ,∀t ∈[0,T ].(3.13)再将方程(3.1)两边同乘g ′jm (t ),对j 从1到m 求和可得∫t 0∥u mt (τ)∥rr d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.14)由泛函J 的连续性,结合(3.2)可得,存在常数C >0,满足J (u m (0))≤C,(3.15)故由(2.5),(3.10),(3.13)可得J (u m )=1p ∥∇u m ∥p p −1q ∫Ω|u m |q ln |u m |d x +1q 2∥u m ∥q q ≥(1p −εq )∥∇u m ∥pp −C T +1q2∥u m ∥q q .(3.16)由(3.14)-(3.16),存在T >0,∀t ∈[0,T ]有∥∇u m (t )∥p p ≤C T ,(3.17)∫t0∥u mt (τ)∥r r d τ≤C T ,(3.18)∫t0∥∇u mt (τ)∥22d τ≤C T .(3.19)由引理2.5并结合(3.17)可得∫Ω|u m |q −2u m ln |u m |q q −1d x =∫Ω1|u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x +∫Ω2 |u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x ≤(e (q −1))−q q −1|Ω|+(eµ)−q q −1∫Ω2|u m |(q −1+µ)qq −1d x≤(e (q −1))−qq −1|Ω|+(eµ)−qq −1(C ∗)(q −1+µ)qq −1∥∇u m ∥(q −1+µ)qq −1p≤C T ,(3.20)其中选取µ>0使得(q −1+µ)qq −1<p ∗,C ∗为W 1,p 0(Ω) →L (q −1+µ)qq −1(Ω)的最佳嵌入常数.由(3.18)可得∫t 0∫Ω |u mt |r −2u mt r r −1d x d τ=∫t 0∫Ω|u mt |r d x d τ=∫t∥u mt ∥r r d τ≤C T .(3.21)步3取极限.由(3.17)-(3.21)得:存在函数u ∈L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω))和序列{u m }∞m =1使得u m →u 弱*收敛于L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),(3.22)u mt →u t 弱收敛于L r (0,T ;L r (Ω)),(3.23)u mt →u t 弱收敛于L 2(0,T ;H 10(Ω)),(3.24)|u m |q −2u m ln |u m |→χ1弱*收敛于L ∞(0,T ;Lqq −1(Ω)),(3.25)|u mt |r −2u mt →χ2弱收敛于L rr −1(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.26)由假设1<r <p ∗,有W 1,p0(Ω) →L r (Ω),结合(3.22),(3.23)由Aubin-Lions-Simon 紧性定理得u m →u 强收敛于L ∞(0,T ;L r (Ω)).(3.27)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p -Laplace 抛物方程解的存在性与爆破549由此可得u m →ua .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.28)|u m |q −2u m ln |u m |→|u |q −2u ln |u |a .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.29)结合(3.25),(3.29)可得χ1=|u |q −2u ln |u |.设Au =−div(|∇u |p −2∇u ),易证A 为严格单调半连续有界的强制性算子(可参考文[12]).则由(3.27)结合单调算子理论可得Au m →Au 弱*收敛于L ∞(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.30)下证χ2=|u t |r −2u t .结合(3.25),(3.26),(3.30),对方程(3.1)两边取极限,再同乘g ′jm ,对j 求和得(χ2,u t )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.31)再对方程(3.1)同乘g ′jm ,对j 求和再令m →∞得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.32)结合(3.31),(3.32)可得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )=(χ2,u t ).(3.33)利用函数|s |r −2s (s ∈R )的非减单调性可得(|u mt |r −2u mt −|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≥0,(3.34)对于任意ψ∈L r (Ω)成立,由此可得(|u mt |r −2u mt ,ψ)+(|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≤(|u mt |r −2u mt ,u mt ),(3.35)对上式令m →∞得(χ2−|ψ|r −2ψ,u t −ψ)≥0.(3.36)要证χ2=|u t |r −2u t ,利用函数|s |r −2s (s ∈R )的半连续性.令ψ=u t −aϕ，a ≥0,任意ϕ∈L r (Ω)，则有(χ2−(u t −aϕ)r −2(u t −aϕ),ϕ)≥0,(3.37)令a →0得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≥0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.38)令ψ=u t −aϕ，a ≤0,任意ϕ∈L r (Ω),同理可得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≤0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.39)结合(3.38),(3.39)即可得χ2=|u t |r −2u t .综上所述,由{w j }为W 1,p0(Ω)中的一组基,方程(3.1)中令m →∞可得(|u t |r −2u t ,v )+(∇u t ,∇v )+(|∇u |p −2∇u,∇v )=(|u |q −2u ln |u |,v ),(3.40)对于任意t ∈(0,T ),v ∈W 1,p0(Ω)成立.定理3.2假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0(x )∈W 1,p 0(Ω),J (u 0)<d ,I (u 0)>0,则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在整体弱解u 满足u ∈L ∞(0,∞;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,∞;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证选取{w j }∞j =1,{u m }，{u 0m }为定理3.1证明过程中的情形.将方程(3.1)两边同乘g ′jm ,对j 从1到m 求和,再关于t 积分可得∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.41)550应用数学2022由g jm (0)=ξjm ,当m →∞时,u 0m 强收敛到u 0,因此有lim m →∞J (u m (0))=J (u 0)<d,lim m →∞I (u m (0))=I (u 0)>0.(3.42)则对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u t (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0))<d,0≤t ≤T,(3.43)I (u m (0))>0.(3.44)由此可得,对于充分大的m ,u m (0)∈W .下证对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.若不成立,则存在t 0∈[0,T ]使得u m (t 0)∈∂W ,此时有u m (t 0)∈W 1,p0(Ω),且J (u m (t 0))=d 或I (u m (t 0))=0.若J (u m (t 0))=d ,而由(3.43)得J (u m (t 0))<d ,矛盾;若I (u m (t 0))=0,此时u m (t 0)∈N ,由d 的定义可得J (u m (t 0))≥d ,显然与(3.43)矛盾.故对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.因u m (t )∈W ,有I (u m )>0,结合方程(2.5)和(3.43),对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+q −p pq ∥∇u m (t )∥p p +1q 2∥u m (t )∥qq <d,0≤t ≤T,(3.45)由此可得∥∇u m (t )∥pp ≤pq q −p d,∫t∥u mt (τ)∥r r d τ≤d,∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ≤d,∥u m (t )∥q q ≤q 2d,对于任意T >0,t ∈[0,T ]成立.再结合定理3.1的证明,定理3.2得证.4.爆破这部分将证明当非线性项指数满足适当条件时,分别在初始能量为负和具有正上界的正初始能量下,方程(1.1)解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.定理4.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <min {p ∗,2pq −2q p +pq −2q},且0<J (u 0)<M ≤d ,I (u 0)<0,则方程(1.1)的解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.证定义辅助泛函H (t )=E 1−J (t ),(4.1)其中E 1满足0<J (u 0)<E 1<M ,M 如(2.12)中定义.结合(2.5),将方程(1.1)两边同乘以u t ,并在Ω上对x 积分可得J ′(t )=−∥u t ∥r r −∥∇u t ∥22≤0.(4.2)结合(4.1)和(4.2)可得H ′(t )=−J ′(t )=∥u t ∥r r +∥∇u t ∥22≥0,(4.3)则有H (t )≥H (0)=E 1−J (u 0)>0.(4.4)由假设知u 0∈V ,易证u ∈V ,即有I (u )<0.由引理2.3-2.5可得H (t )=E 1−J (u (t ))=E 1−1p ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q≤q −p pq ∥∇u ∥p p −1p ∥∇u ∥pp +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q2∥u ∥q q ≤−1q ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q ≤1q ∫Ω|u |q ln |u |d x ≤1qeα∥u ∥q +αq +α,(4.5)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破551其中选取α如(2.3)中定义,有q+α<p∗,W1,p(Ω) →L q+α(Ω),由Bα为其最佳嵌入常数,则有∥u∥q+α≤Bα∥∇u∥p,(4.6)结合(4.5),(4.6)可得H(t)≤B q+ααqeα∥∇u∥q+αp.(4.7)将方程(1.1)两边同乘以u,并在Ω上对x积分,因I(u)<0,结合(2.5)和引理2.3,由H¨o lder不等式及Young可得0=∫Ω|u|q ln|u|d x−(∇u t,∇u)−∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)≥(1−1q )∫Ω|u|q ln|u|d x+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(1−1q )∥∇u∥pp+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(q−ppq −ε)∥∇u∥p p−E1−(|u t|r−2u t,u)−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t).(4.8)令ε充分小有0≥H(t)−(|u t|r−2u t,u)+1q2∥u∥q q−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1,(4.9)因为p>2,有pp−1<2,结合(4.3)有∥∇u t∥p p−1pp−1≤C∥∇u t∥p p−12≤C[H′(t)]p2(p−1).(4.10)因为r<2pq−2qp+pq−2q ,则r<q,r<2+2p−2,故有rp2(r−1)(p−1)>1,且有q(2p+2r−rp−2)rp>1.因此结合(4.5)由H¨o lder不等式及Young不等式可得(|u t|r−2u t,u)≤∥u∥r∥u t∥r−1r ≤∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpr∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpr∥u t∥r−1r≤C1∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpq+α∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r≤C2∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r[H(t)]1q+α−q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)≤C3[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(∥u t∥r r)p2(p−1)]H−β(t)≤C4[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(H′(t))p2(p−1)]H−β(0),(4.11)其中ϵ>0,β=q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)−1q+α>0.结合(4.9),(4.10),(4.11)可得0≥H(t)+1q2∥u∥q q−C4ϵH−β(0)∥u∥q q−C4C(ϵ)H−β(0)[H′(t)]p2(p−1)−CC(ε)[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+(1q2−C4ϵH−β(0))∥u∥q q−(C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε))[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+C1∥u∥q q−C2[H′(t)]p2(p−1),(4.12)其中C1=1q2−C4ϵH−β(0),C2=C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε).令ϵ充分小使得C1>0成立,则有C2[H′(t)]p2(p−1)≥H(t),(4.13)所以有H′(t)≥C[H(t)]2(p−1)p,C>0,(4.14)因为p>2,故2(p−1)p >1.令η=p−2p,有η>0,故有H′(t)≥C[H(t)]1+η,C>0.(4.15)552应用数学2022综合(4.7)和(4.15)可得:方程(1.1)解的W1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.(Ω)范数在有注4.1对于J(u0)<0情形,在(4.1)中令H(t)=−J(t)同样可得出解的W1,p限时刻的爆破,证明过程大致同上,在此省略.参考文献：[1]XU Runzhang,SU Jia.Global existence andﬁnite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations[J].J.Funct.Anal.,2013,264(12):2732-2763.[2]CHEN Hua,TIAN Shuying.Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolicequations with logarithmic nonlinearity[J].J.Diﬀer.Equ.,2015,258(12):4424-4442.[3]PAYNE L E,SATTINGER D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J.Math.,1975,22(3-4):273-303.[4]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of p-Laplacian evolution equations withlogarithmic nonlinearity[J].Acta Appl.Math.,2017,151:149-169.[5]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equationswith logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2017,73(9):2076-2091.[6]CAO Yang,LIU Conghui.Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].Electron.J.Diﬀer.Equ.,2018,2018(116):1-19. [7]HE Yijun,GAO Huaihong,WANG Hua.Blow-up and decay for a class of pseudo-parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2018,75:459-469. [8]DAI Pan,MU Chunlai,XU Guangyu.Blow-up phenomena for a pseudo-parabolic equation withp-Laplacian and logarithmic nonlinearity terms[J].J.Math.Anal.Appl.,2020,481:123439.[9]DING Hang,ZHOU Jun.Global existence and blow-up for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].J.Math.Anal.Appl.,2019,478:393-420.[10]PUCCI P,SERRIN J.Asymptotic Stability for Nonlinear Parabolic Systems[M]//Energy Methodsin Continuum Mechanics.Dordrecht:Kluwer Acad.Publ.,1996:66-74.[11]PANG Jinsheng,ZHANG Hongwei.Existence and nonexistence of the global solution on the quasi-linear parabolic equation[J].Chin.Quart.J.of Math.,2007,22(3):444-450.[12]ZHENG Songmu.Nonlinear Evolution Equations[M].The United States of America:CRC PressLLC,2004.Global Existence and Blow-up of Solutions for a Class of p-Laplacian Parabolic Equations with LogarithmicNonlinearityWEN Lan,YANG Han(School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu611756,China) Abstract:This paper is concerned with the initial boundary value problem of a class of p-Laplacian parabolic equations with logarithmic nonlinearity.Firstly,existence of local solutions are obtained by ap-plying Galerkin’s method.Then,combining with potential well method,it is proved that the solutions exist globally when initial value is in a stable stly,ﬁnite time blow-up results are derived as well by constructing auxiliary functional when the initial energy satisﬁes suitable conditions.Key words:Parabolic equation;Logarithmic nonlinearity;Global existence;Blow-up。

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破

一类具记忆项的非线性Petrovsky方程解的爆破胡文燕;杜晓英【摘要】考虑一类非线性Petrovsky方程的具Dirichlet边界条件的初边值问题.在假设松弛函数g和初值u0, u1满足适当的条件, 且初始能量为非正值时, 利用能量法证得其解在有限时间内爆破.%A nonlinear Petrovsky equation with initial conditions and Dirichlet boundary conditions is considered.Assuming that the relaxation function g satisfies the appropriate conditions and the initial energy is not positive, the energy method is used to prove that the solution blows up in finite time.【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(055)001【总页数】5页(P16-19,25)【关键词】非线性Petrovsky方程;松弛函数;记忆项;初始能量;爆破【作者】胡文燕;杜晓英【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中 030619;晋中学院数学学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.23Petrovsky型方程[1]可以解释很多重要的物理模型，许多学者对其解的整体存在性、渐进性、爆破性进行了大量研究[2-5].对于不带记忆项的非线性Petrovsky方程，文献[3-4]分别证明了其解在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破性质.文献[6-7]通过对方程源项和非线性阻尼项相互作用的研究，对非线性Petrovsky方程爆破解的下界进行了估计.对于带有记忆项的Petrovsky方程，文献[8]证明了在负的初始能量下，松弛函数满足一定条件时解会发生爆破.文中首先推广文献[4,8]的结果，然后给出具记忆项的Petrovsky方程的初边值问题当初始能量为非正值时解的爆破性质.1 预备知识考虑非线性Petrovsky方程的初边值问题(1)其中p>2,Ω⊂Rn(n≥2)是具有光滑边界的有界区域，n是∂Ω的单位外法线方向. 假设函数g:R+R+ 满足1-g(τ)dτ=l>0,g(0)>0,且这里(4)类似于文献[4]，可利用Faedo-Galerkin方法证明初边值问题(1)解的存在性和唯一性，这里不再给出证明.定理1[4](局部存在定理) 假设g,p满足条件(2)～(4)，那么对于任意给定的总存在T*>0，使得初边值问题(1)存在唯一的局部解u(t)，满足：引理1 如果p满足条件(4),那么对于任意的存在正常数C1=C1(Ω,p)，使得‖u(t)‖p≤C1‖Δu(t)‖2.证明利用Sobolev嵌入定理和不等式，很容易证得结论成立. 】定义问题(1)的能量函数[9-11]其中(g∘Δu)(t)=g(t-τ)‖Δu(t)-Δu(τ)dτ.在(1)中方程两边同乘以ut，并利用格林公式可得下面引理.引理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为初边值问题(1)的解，那么2 主要结果及证明考虑E(0)≤0的情形.若令H(t)=-E(t),显然有H′(t)=-E′(t)≥0,因此H(t)≥H(0)=-E(0)≥0.引理3 如果g,p满足条件(2)～(4)，且u(t)为问题(1)的解，那么对任意的t∈[0,T*)，存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得‖u(t)≤C2‖u(t)，其中2≤s≤p.证明当‖u(t)‖p≥1时，由s≤p，显然不等式‖u(t)≤‖u(t)成立.当‖u(t)‖p≤1时，由引理1，有‖u(t)≤‖u(t)≤(C1‖Δu‖2)2.因为所以即存在常数C2=C2(p,l,C1)，使得不等式成立. 】定理2 假设g,p满足条件(2)～(4)，当E(0)≤0时，如果对于任意初值(u0,u1):u0≠0,u1≠0,有u0·那么存在T*>0，使得初边值问题(1)的解在有限时刻T*爆破.证明令u·utdx,对t求导，有由问题(1)，有从而进而由Young不等式，对于任意的η>0，有由(6)式，可得将上式代入(5)式，整理可得因为所以，由Young不等式，对于任意的ε1>0，有ut.取则从而其中B为常数.因为从而由Hölder不等式和Young不等式，有其中定义函数Ψ(t)=H1-α(t)+δG(t),t∈[0,T*),δ>0.则Ψ′(t)=(1-α)H-α(t)H′(t)+δG′(t).将(7)式和(8)式代入，有因为E(0)≤0,H′(t)=-E′(t)≥0,H(t)≥H(0)=-E(0)≥0，所以存在δ>0,γ>0，使得且从而Ψ(t)≥Ψ(0)>0,∀t∈[0,T*).令则其中取充分小的δ>0，则有由Cauchy-Schwarz不等式，有因为p>2，由Hölder不等式和Young不等式有这里，再由引理3，存在C6>0，使得因为(9)式成立,所以一定存在ξ>0，使得Ψ′(t)≥ξΨθ(t),(11)其中ξ=ξ(δ,γ,C6).对(11)式两端在[0,t]上积分，有又因为Ψ(0)>0，故一定存在使得】3 结束语许多学者对不带记忆项的非线性Petrovsky方程进行研究，得到在正的初始能量和负的初始能量下解的爆破结论.文中推广了文献[4,8]的结果，研究了带记忆项的情形，并得出当松弛函数和初值满足一定条件时，其解在非正的初始能量下在有限时间内会发生爆破.参考文献:【相关文献】[1] WU S T,TSAI LY.On global solutions and blow-up of solutions for a nonlinearly damped Petrovsky system[J].Taiwanese Journal of Mathematics,2009,13(2):545.[2] LI G,SUN Y N,LIU W J.Global existence and blow-up of solutions for a strongly damped Petrovsky system with nonlinear damping[J].Applicable Analysis,2012,91(3):575.[3] CHEN W,ZHOU Y.Global nonexistence for a semilinear Petrovsky equation[J].Nonlinear Analysis,2009,703:203.[4] MESSAOUDI S A.Global existence and nonexistence in a system of Petrovsky[J].J Math Anal Appl,2002,265:296.[5] LIU W J.Global existence,asymptotic behavior and blow-up of solutions for a viscoelastic equation with strong damping and nonlinear source[J].Topological Methods in Nonliner Analysis,2010,36(1):153.[6] ZHOU J.Lower bounds for blow-up time of two nonlinear wave equations[J].Applied Mathematics Letters,2015,45:64.[7] PHILIPPIN G A.Lower bounds for blow-up time in a class of nonlinear waveequation[J].Z Angew Math Phys,2015,66(1):129.[8] MESSAOUDI S A.Blow-up and global existence in a nonlinear viscoelastic wave equation[J].Math Nachr,2003,260:58.[9] LI F H,GAO Q Y.Blow-up of solution for a nonlinear Petrovsky type equation with memory[J].Applied Mathematics and Computation,2016,274:383.[10] TAHAMTANI F,SHAHROUZI M.Existence and blow up of solutions to a Petrovsky equation with memory and nonlinear source term[J].Boundary ValueProblems,2012,2012:50.[11] LI G,SUN Y,LIU W.On asymptotic behavior and blow-up of solutions for a nonlinear viscoelastic Petrovsky equation with positive initial energy[J].Journal of Function Spaces and Applications,2013,Artical ID 905867，7 pages.。

一个带有非局部源的非线性退化抛物型方程组解的爆破

ｕ：ｕ）ｕｖｕ），０们，（＋Ｊｄ，ｑ＋Ｊｄ，ｔ，－Ａａｎｘ产（ｂａｘｖＡ ∈ ＞他
证明了此方程组存在整体解的充要条件。
本文对带有非局部源的退化抛物型方程组
Ｆｊａｘｏｅｔａｄｏｅｄｍａｎｕｉｐｎｎｓｎｎｔｏｉ．ｔｅｈ
Ｋｅｒｓｎｎｏａｏｒｅｅｅｅａｅｐｒｂｌ；ｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｇｏａｘｓｅｃ；ｙｗｏｄ：ｏｌｃｌｕｃ；ｄｇｎｒｔａａｏｉｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｌｂｌｉｔｎｅｓｃｏｅ
Ｂｌｗ－ｐｆｒａＮｏｌｅｒＤｅｅｅａｅＰｒｂｌｕｔｎｔｎｏａｏｒｅｏｕｏｎｉａｇｎｒｔａａｏｉＥｑａｉｓｗｉＮｏｌｃｌｕｃｎｃｏｈＳ
ＺＨＡＮБайду номын сангаасＧｅ— ｕａＷｉｙｎ
ｂｔｌｉｇｓｎｕｒｓｌｔｏｅｈｑｅ．ｅｅｒｓｌｓｄｅｅｄｃｕｉｌｈｅｓｇｆｃｉｉａｙｕｉｉｎｕｂａｄｓｐｅｏｕｉｎｓｔｃｎｉｕｓＴｈｓｅｕｔｐｎｒｃａｌｏｎｔｉｎｏｒｔｃｌｚｙ
ｂｏｕｌｗ．ｐ
１预备知识
近年来．关于退化抛物型方程组的爆破问题许多国内外作者进行了研究。到了许多重要结果。Ｌｔ得ｉ】等讨论了方程组＝ △ ＋）ｔｕ（ｖｂ）其中Ｐ（ｕ，Ｖ＝ｑ＋ｖ，Ａ，

一类具非局部源抛物型方程解的爆破

w ( x, t ) = 0, w ( x, 0) = w0 ( x ) ,
仿文 [ 1 ], 容易证明 , 当初值 w0 ( x) 适当大时 , 问题 ( 3 ) 的解 w 必在有限时刻 Tw 爆破 . ( 3 ) 中 , 取 w0 ( x ) ≤ u0
( x) , 运用比较原理 , 我们知道 , 在 D ×( 0, T)上 , u (x, t) ≥w ( x, t) .
其中 T > 0 是 u 的最大存在时间 . + + 因为 α > 0, 由 α ( x) 的连续性 , 知 int Ωα ≠< , Ω Ω , α ( x) > 0 }. α : = { x∈
+ λ, x ∈D 对任意给定的子集 D < < Ω α , 存在常数 λ > 0 , 使得 :α ( x ) > Ω ∫ ut - Δ u = e
— 1 —
2 解在有限时刻爆破
定理 1 的证明 : 因 u0 ( x ) ≥0,
[ 0, T) . 由最大值原理 , 得
Ω; ut - Δ u ≥0, ( x, t ) ∈ Ω ×( 0, T) ; u ( x, t) = 0, ( x, t) ∈ 9 Ω × 0, x∈ Ω ×( 0, T) u ( x, t) > 0, ( x, t ) ∈
因此 , 对于适当大初值 u0 (x) , 问题 ( 1 )的解 u 在有限时刻爆破 .
3 解在区域内Βιβλιοθήκη 的一致爆破性质下面来证定理 2, 为了方便 , 我们记
t t
g ( t) =
α ( y ) u ( y, t ) d y, G ( t ) = Ω
∫
0
∫

一类带非线性边界条件的抛物型方程组解的整体存在及爆破

１引言及主要结论
本文研究了一类带有非线性边界条件的抛物型方程组
，ｔ＝Ｚ，＝Ｚ，Ｕｉｕｉｖ（， ×（，ｔ）∈ ０
｛Ｕ，，＝ｅ￣ｏ，，ｑＩｚ
Ｌ（，ｕｘ）＝Ｕ（）ＯｏＸ＞Ｏｖｘ）＝ｖ（）６＞０，，（Ｏｏ
（ ×，）（）０
∈ｎ
解的整体存在及爆破问题．构造方程组的上、解，到了解整体存在的一个充分条件及解在有限时刻爆破的一个充通过下得分条件．中ｎＲ有界光滑区域，占＞０可以充分小，ｎ是ａ的外法线方向．文恒假设其本
ＡｂｓｒｔＴｈｅｐａｅｅｅｒｈｅｅｉｓｏｏｌｍｓｗｈｃｏｖｈｇｏａｘｓｅｃｆｔｏｉｅｒｂｕｎｒｔａｃ：ｐｒｒｓａｃｓａｓｒｅｆｐｒｂｅｉｈｓｌｅｔｅｌｂｌｅｉｔｎｅｏｈｅｎｎｌｎａｏｄａｙ
（，）≥ 些，），（￡称（，，（，）（ｔ，（￡）≥ ，）（￡ｖｘ￡）和（，）ｖｘ）为（））（￡，（，）１在 ×［，）的一对有序上下解，Ｏ７上 ’ 如果下面不等式成立
ｓｆｃｅｔｃｎｔｏｆｓｌｉｇｔｅｇｏａｘｓｅｎｅａｈａｓｉｇｐｏｅｉｈｅｆｎｔｉｅｗｉｌｂａｎｅｕｉｎｏｄｉｉｎｓｏｏｖｎｈｌｂｌｅｉｔｃｎｄｔｅｂｌｔｎｒｂｌｍｎｔｉｉｅｔｌｏｔｉｄ．ｉｍｂｅＫｅｙｗｏｒ：ＮｏｎｉｅｒＢｏｄａｙＣｏｉｉｎｓＧｌｂａｏｕｔｏ；Ｂｌｗｄｓｌｎａｕｎｒｎｄｔｏ；ｏｌｓｌｉｎｓｏｕｐ

一类非线性抛物方程解的爆破与梯度爆破

＝
１引言及预备知识
在文［］，．Ｈｏｐｔ虑了如下非线性１中Ｐ．Ｓｕｌ考ｅ抛物方程
Ｕ一ＡＵ＝ＦＵ７Ｕ，ｔ＞０ ∈ ，（，），Ｕ，＝ｇ，）ｔ＞０ ∈ａ（ｔ）（ｔ，，，Ｕ，）＝ｕ（，（００） ∈ ，（）１
ｎ）厶） ≥ （ ≥。（ｄ厂
Ｊ）ｎ
解的爆破，以及初始值足够大时解的梯度也爆破．
关键词：爆破；梯度爆破；非线性抛物方程
中图分类号：１５２０７．６文献标识码：Ａ文章编号：０－３５２０）２１４０１１８９（０７０－５－００３
△ ＝Ａ１，
这里Ｐ＞ＩＡ＞０ｃ＞０，＞２是Ｒ，，Ｎ，中的有界
区， ∈ ０）』ｄ＜．域令（１则ｘ ∞ ，，
定理１的证明设豇ｔＪ（ｔ）ｘ（）＝，（ｄ，ｕ）
ａｏ（）≥ ｉｆ。）乘方程（）并在上积分得ｎｕ，（３
梯度爆破的一些结果．从２纪９０世０年代以来，类带有非线性边界一
ｓ∈ ［，，Ｓ０ ∞）０＝ｍｘｓｇ（）＝０，ａ｛ｌｎｓ｝
算子＝一△ ＋ｃ早期曾出现在ＫｅｎＧｒｏｌｉ．ｏｄｎ中．
定理１若
＜
＞０财方程（），２
定理１证毕．
定理２的证明
对方程（）定理２的证明分４，
成３个步骤．步骤１Ｌ上估计．设

一类非线性波动方程解的爆破问题

２定理叙述及其证明
定理假设ｎ．（，５．）足条件＜０。）９ｚ满（
Ｅ（）＝Ｊ（ｏ）
且下列条件之一满足
（）１Ａ＝０．＞１，
）＋＃）ＩＪｌｌ
．
ｐ（）
。＜０ｄ
（）２＞０ｌｈ５，＜ ≤
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第２０卷第２期２００２年４月
河南科
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Ａｐ０２ｒ２０
文章编号：０４３１｛０２０－１Ｉ３１０ —９８２０）２０１一０
一
类非线性波动方程解的爆破问题
宋长明，任华国，高桂芳
【中原工学院．１河南郑卅ｌ４００；２河南城建高等专科学校测量与国土信息系．５０７河南平顶山４７０）６０１
摘要：借助于能量估计方法证明了一娄非线性波方程的解在有限时刻ｂｗ－Ｐｌｕｏ
＋￣ｔｔ＋ｌｔｔｚｒ
＝ｆ＋Ｊ一２ “ ＪＪ、Ｊ
。』ｄ，ＪＪ０ｆ）
＝２０一（一Ｅ）
ｎｉｉ４Ｉ＋１ＩＩ “ 十＋：４Ｉ “ ｄ（ｒＵ）ｄｒ＋ｒ，
Ｉ１Ｉｆｄ≥Ｃ “ 一 “ １ＩＩ “ ｚＩ＞ＣＩ，Ｊ１Ｉ ≥｛Ｉ
（８
肿“ ）一 ≥
由（）得７式
≥ ＼ｘ）ｃ２ｕｄ＂￣ｒＯｄｕＯ ≥４ ≥ ㈩Ｃｃ

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结合（）（）得到５和８，
（）＋Ｈ（）≥ ｑ－Ｐ号－Ｃ￣２ｗＨ（）＋Ｌ）吐￡号（！
。
．
ｑ
令常数
Ｃｏ— ｑ－ＰＣ？２－号Ｗ
。
ｑ
则有
（）＋Ｈ￡（）≥ Ｃ。Ｈ号（）￡Ｌ）￡（＋。丛
Ｌｔｒ２０，：１８ｅｅ，５１２ — ６ｔｓ０８８２
（转第９下４页）
９４
太原师范学院学报（自然科学版）
第１卷１
参考文献：
ＥｉＭａＨ．ｅｉｌｒｙｍｅｓｒｒｃｌｂｒｔｅｆｔｒｇｔｌｖａｅｔｅｎｗｉｅｌｓａｔｇｐｏｌｍ［］ＩｆｒｔｎｌｎＪＡｎｗｓｍｉｉａｕｅｆｏｌｏａｉｉｅｉＯａｌｉｔｈｅｓｒｏｄｔｒｉｒｂｅＪ．ｎｏｍａｉａｔｏａｖｌｎｅｌ－ｎｏ
１９，４１５１２９９１９：５－８
１３ＳｔｎｅＨ．ｌｂｌｏｕｉｆｏｌｅｒｈｐｒｏｉｅｕｔｎ［］ＡｒｈＲａｉｎｌｃ．ａ，９８３１８１２－ａｔｇｒ３ｉＤＯｎｇｏａｓｌｔｎｏｎｉａｙｅｂｌｑａｉｓＪ．ｃ．ｔａｈＡｎ１１６，０：４ —７ｏｎｎｃｏｏＭｅ［３ＴｏｏｏａＣｕｈｒｂｅｒａｎｎｉｅｒｗａｅｅｕｔｎｔｏｌｅｒａｉｇａｄｓｕｃｅｍｓＪ．ｎｉｅｒａ．４ｄｒｖａｃｙｐｏｌｍｓｆｏｌａｖｑａｉｓｗｉｎｎｉａｍｐｎｎｏｒｅｔｒ［］Ｎｏｌａ１，Ｇ．ｏｎｏｈｎｄ－ｎＡｎ
０ ‘
（）２
（）３
因此有
Ｅ（）＝一ＩＩ ≤ ０ｌｌ “ 。．
ｌ解的整体不存在性结果
首先给出一个引理：引理［假设函数（）．，４￡ ∈Ｃ（）且满足如下条件Ｒ
ｆ（）￡＋（）≥ ｃ（＋Ｌ）ｏ￡（）ｔ０，￡，＞
示以原点为中心，￡。为半径的球，以＋Ｌｗ为Ｒ中单位球的体积．而由（）进６有
ｌ ≥ ｌＵ
由Ｈ（）￡的定义和（），７知
ｌ（（＋Ｌ）．ＩＵｗＮ￡。）
（）７（）８
ｌ ≥ （Ｈ（）号（（＋Ｌ）．ＩＵ２￡）ｗＮ￡。）
ＬｅｒｎｓｕｃｔｒｏｅｎｄＲｅｏｍｅｄｄＳｒｔｇａｙｉａｎｉｇＲｅｏｒｅＮｅｗｏｋＭｄｌａｃｍｎｅｔａｅｙＡｎｌｓｓ
（＋＝ｐ（号ｌｌ生ＩＩ￡Ｈ￡：Ｅ）１）Ｕ。ＩＩ）（：（＋＋Ｉ）一ｔ＋ “；．
由假设Ｅ（）０４ｏ以及（）３可知
（）Ｈｆｆ＋（）≥
ｑ
『ｌ “
（）５
又由于ｕｘ，）（￡的有限传播速度以及Ｈ６ｄｒ等式知，１ｅ不
一ｌＩ＿・Ｉ
．
在（）１的方程两边乘以 “ ，再在Ｒ上对ｚ积分，则有
１ｆ＋ｌ＋ｌ＋ｌｌｌｌ吉ｄ丽ｄ“ ｌＩｌ吉ｌｄ“ｑＩ．
定义系统（）能量函数为１的
Байду номын сангаас
Ｅ￡一百ｌｌ＋｛ｌ￣（） “ｌ一Ｊ，（）１Ｉ地ＩＩ／ｘＶＪｆａ； “
收稿日期：０１０ — ５２１－９１
作者简介：利平（９２）女，士，何１７一，硕晋城职业技术学院讲师，要从事偏微分方程研究主
６２
太原师范学院学报（自然科学版）
第１卷１
Ｗ “ （）Ｒ）紧支急，ｏ，满足如下条件Ｒ ×Ｌ（有Ｕ ≠０且
０引言
我们研究考虑如下具有非线性源项的波动方程的Ｃｕｈａｃｙ问题
ｆ一ｄｖａｘ “ ｉ（（）ＩＶ“ｌ “ ＋＝ｌ。）＝ｌ＝Ｕ
， ∈Ｒｔ（， ’ ， ∈ ０Ｔ）
１（，）一 “（）地（，）ｌｚ， ∈Ｒ．ｘ０ｕｏｚ，ｚ０一（）Ｎ
其中Ｎ≥ １ ≥２ｇ２口ｚ ∈ＬＲ）存在正常数ｎ，，，≥ ，（）（，。使得ａｚ ≥ 口．（）。
、
关于非线性波动方程的Ｄｉｃｌ问题解的整体存在性和整体不存在性的讨论已经有很多结果．ｅｉｅｒｈｅｉｔＬｖｎ在文献［］１中利用凸性方法研究了具线性阻尼的系统当初始能量为负时，是整体不存在的．ｔｌｏ在文解Ｖｉｌｒｉａ献［］２中证明了初始能量为正时解的整体不存在性结果，ａｔｇｒ文献［］Ｓｔｉｅ在ｎ３中引入位势阱方法证明了解的整体存在性和解的整体不存在性．
，
ｒ
ＩＩ ≤ｃＩＩ ≤ｃＩＩ “ ｆ “Ｉ；ｆＩ
（ＢＬｌｘ一Ｃ “Ｉ（（＋Ｌ），、（ｄ）Ｊ件）ＩｆＩＩｗ。Ｉ ‘ ）
（）６
其中ｃ是嵌入常数使得Ｉ ≤ ｃＩ，。ｌＪＪＪＵＵＬ＞０为常数，ｓｐ｛。ｚ，ｚ）｛＜）Ｂ（＋Ｌ）且ｕｐ “ （）Ｕ（）ｊＪ，￡。表
（键词］非线性波动方程；ｕｃ关Ｃａｈｙ问题；线性源项；的爆破非解
［章编号］１７ — ０７２１）１０６－２（图分类号］文６２２２（０２０－０１０中
０１５２（献标识码）Ａ７．９文
Ｓｃｅｅ２０１８１２ — ９ｉｎｃ。０８，７（）：８６
Ｅ］余胜泉，２毛［］郁３［］张４ＥＪ谢ｓ
芳．正式学习一ｅｅｒｉｇ研究与实践的新领域［］电化教育研究，０５１）１ —３非 —ＬａｎｎＪ．２０（０：８２
２０４１８１９５００，：９－０
Ｅ］Ｚｏｎ．ｌｗｕｅｕｔｏｏｌｅｒｖｑａｉｎｗｉａｉｇａｄｖｎｓｉｇｉｉａｅｅｇ［］ＡｐｅＭａｈｓｈｕＹｏｇＡｂｏ — ｐｒｓｌｆｒｎｎｉａｅｅｕｔｔｄｍｐｎｎａｉｎｔｌｎｒｙｉＲＮＪ．ｐｌａｎｗａｏｈｈｎｉｎ．ｔ．
雪．于协同过滤技术的推荐方法研究［］天津：津大学，０９２ —８基Ｄ．天２０：７２驰，陈芳，王刚，慧敏．王基于混合推荐技术的推荐模型［］计算机工程，ｏＯ３（２：５ —５Ｊ．２ｌ，６２）２８２３波．于关联规则个性化推荐的改进算法［］计算机应用，０６２（２：４—５基Ｊ．２０，６ｓ）１９１１
１（＞ｏ，），０，（ ≥０）ｏ
其中常数Ｃ＞０Ｌ。，＞Ｏ一ｌｉ，＞Ｏ则函数（），＜ｆ￣Ｏ口．在有限时刻爆破．
定２设（）ｃ０）是统１解１＜，口＜．值‰ 。理 “，（，；（）系（的，＜ｑ（， ∈ ｚ ∈ ［ＴＨＲ））＜＿Ｎ初）
２２年３月０１
一
类具非线性源项的波动方程解的爆破研究
何利平
（晋城职业技术学院，山西晋城０８０）４００
（要］文章研究一类具有线性阻尼和非线性源项的波动方程的柯西问题．过构造合适的摘通辅助函数，构造合适的微分不等式，出了系统解的爆破的充分条件．并给
对于波动方程的Ｃｕｈａｃｙ问题解的性质的研究近年来也有一些结果［，］主要是方程具有线性主部的４５，
情形下讨论阻尼项和源项之间的关系，进而有解的整体存在性和解的整体不存在性结果．
注
为方便记：Ｉ・ｌ— ｌｌ，【ｌＩｌ・Ｉｚｌ・
ＲＮ
Ｉｌ一ＩＩｌ地。１
将两式相加，得
Ｕｔｚ＋ＩＩ，ＵｄＩ； “Ｉ
Ｈｎｔ＋Ｈ￡（）（）＝ｌｌ一ｌＩ＿ “ 。ｌ结合能量关系式（）（）得到２和４，
“Ｉ＋ｌｌ．ｌ；Ｉ： “ｌ
（４）
．
又由于Ｈ（），（），０＞ＯＨ０ ≥Ｏ因此由引理１知，函数Ｈ（）有限时刻爆破，在即解ｕｘ，）（在有限时刻爆破．参考文献：