一类非线性异号源项波动方程弱解的存在性
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具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.29
1 引言
utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u为具有非线性阻尼及源项的波动方程.文献[1-2]中，对a=0时波动方程的Dirichlet初边值问题进行了讨论，并对其解在相应空间的存在性与爆破性作了阐述.对方程的Cauchy问题,文献[3-4]就其能量估计进行了深入讨论.文献[5-6]中对型如utt+δut-φ(x)Δu=λ u|u|p-1的非线性波动方程的第一类边值问题解的爆破作了深入讨论.文献[7]中利用能量方法和微分、积分不等式技巧，讨论半线性波动方程具非线性Neumann边界条件的混合问题解的爆破性质.文献[8]中讨论了当a=1、b=1时齐次Dirichlet初边值问题解的存在与爆破问题.本文主要讨论a=1、b=1时，在m和p满足一定条件情况下，如下初边值问题的波动方程解的存在性与爆破：
u(t,x)∈L ，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).
定理2 假设当N≥3时，当N≤2时，p>1;当1<m<p，且初值足够大，函数q(s)(s∈R1)满足λ Q(s)≤0及λ[q(s)-2Q(s)]≤0,问题(1)的解在有限时间内爆破.其中Q(s)=q(τ)பைடு நூலகம்τ.
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
李爱萍;杨慧
【摘 要】In this paper,the initial-boundary value problem of wave equation with nonlinear damped and source terms was considered and the existence of the weak solutions for the equation with nonlinear Neumann boundary value was proved by Faedo-Galerkin method. Moreover,the blowing-up conditions of the solution were given.%应用 Faedo-Galerkin方法，证明了一类具有非线性阻尼及源项的波动方程非线性 Neu-mann边界条件初边值问题弱解的存在性，并给出了此问题解的爆破条件。
【中图分类】O175.29
1 引言
utt+a|ut|m+1ut-Δu=b|u|p+1u为具有非线性阻尼及源项的波动方程.文献[1-2]中，对a=0时波动方程的Dirichlet初边值问题进行了讨论，并对其解在相应空间的存在性与爆破性作了阐述.对方程的Cauchy问题,文献[3-4]就其能量估计进行了深入讨论.文献[5-6]中对型如utt+δut-φ(x)Δu=λ u|u|p-1的非线性波动方程的第一类边值问题解的爆破作了深入讨论.文献[7]中利用能量方法和微分、积分不等式技巧，讨论半线性波动方程具非线性Neumann边界条件的混合问题解的爆破性质.文献[8]中讨论了当a=1、b=1时齐次Dirichlet初边值问题解的存在与爆破问题.本文主要讨论a=1、b=1时，在m和p满足一定条件情况下，如下初边值问题的波动方程解的存在性与爆破：
u(t,x)∈L ，ut(t,x)∈L(0,T;L2(Ω))∩Lm+1(0,T;Lm+1(Ω)).
定理2 假设当N≥3时，当N≤2时，p>1;当1<m<p，且初值足够大，函数q(s)(s∈R1)满足λ Q(s)≤0及λ[q(s)-2Q(s)]≤0,问题(1)的解在有限时间内爆破.其中Q(s)=q(τ)பைடு நூலகம்τ.
具有非线性阻尼及源项的波动方程解的存在性与爆破
李爱萍;杨慧
【摘 要】In this paper,the initial-boundary value problem of wave equation with nonlinear damped and source terms was considered and the existence of the weak solutions for the equation with nonlinear Neumann boundary value was proved by Faedo-Galerkin method. Moreover,the blowing-up conditions of the solution were given.%应用 Faedo-Galerkin方法，证明了一类具有非线性阻尼及源项的波动方程非线性 Neu-mann边界条件初边值问题弱解的存在性，并给出了此问题解的爆破条件。
一类非线性波动方程的扰动问题的解的存在唯一性
ｔ ｕ， ¨ ， ｕ‘
，
ｄ ）
Ｂ （ｕ ｌ）＝Ｂ １‘ ｌ）＋８ ｌ １‘ ） １‘ （ ｕ Ｂ （ ｌ 。 ｕ
下面考察扰动问题（ 的弱解的存在唯一性。 Ｐ） 首先 ， （ ， 满足假 设 （ 且 （ ， ） 若 Ｂ Ｂ） Ｈ ） ｆ ｆ 满
足假设 （ ， 当 Ｂ＝Ｂ ， ＝Ｆ ，８ ＜１时 ，讯
２ ０ 第４期 第 ｌ０ ８年 ７月 ８卷
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＹＵＵＮ Ｃ０Ｌ ＧＥ ＬＥ
榆 林 学 院 学 报
Ｊｌ：２ ０ ｕｙ ０ ８ Ｖｏ ． ８ Ｎ ． １ １ ｏ ４
一
类非线性波动方程 的扰动 问题的解的存在唯一性
．
中图分类 号 ： １５ ２ 文献 标识码 ： 文章编 号 ：０ ８— ８ １ ２ ０ ）４— ０ ０— ２ ０ ７ ．７ Ａ １０ ３ ７ （ ０ ８ ０ ０ ３ ０
１ 引言
・
Ｋ ＝Ｋ （ Ｗ， ）＝ｓｐ｛ ｆ （ ，， ， ， ｌ ０ ０ Ｍ， ｆ ｕ ｌ ｘ ｔｕ ｖ Ｗ） ： （ ，， ，， Ｅ （ Ｔ ｝ Ｘｔｕ ｖｗ）Ａ。 Ｍ， ） ； Ｋ ＝Ｋ （ Ｔ ｆ ） ｕ ｛ｆ ｌ ｌ ｌ Ｍ， ， ＝ｓｐ ｌ ＋ｌ ｆ ＋ｌ ｆ
王 祥， 陈金梅
（ 州师 范学院 数 学 系， 西 忻 州 ０４０ ） ‘ 忻 山 ３００
摘 要 ： 用 Ｇ ｌｒｉ 法和数 学 归纳法研 究 了一 类 非线 性 波动方 程 的初 边值 问题 的扰 动 问题 的弱 解 利 ａｅ ｎ方 ｋ
的存 在唯 一性 。
关 键词 ： 非线性 ； 波动 方程 ； 扰动 问题 ； ａｅ ｉ Ｇ ｌｒ ｎ方法 ｋ
Ｇ ｌｒｉ ａ ｋｎ方法不 难证 明 问题 （ 。 是有 唯一 弱解 ｕ ， ｅ Ｐ）
一类广义非线性的Sine—Gordon型方程弱解的存在及唯一性
√Ｚ
引理 ２ （ ｒｎ ａ 不 等式 ）设 口 ￡ ０， １ Ｇｏｗ ｌ ｌ （）≥ Ｑ（）＞０ Ｙ（）≤ 口 １ ， １ （）＋Ｑ ｔｙ １ ， ： （） （）则
，） ， ） 上（州ｅ（Ｑ下 ） ， ， ＋ 口 ） ｘ上（ 曲・ （ ｔ （ ０ 下 ｐ ）
引理 ３ 设 与Ｙ Ｈｌｅ 空间或可分的 Ｂ ｎｃ 空间 ， 为 ｉ ｒ ｂｔ ａ ａｈ 其对偶空间分别为 ， ｌ ｌ， ， ，设 连续稠密地嵌入 到 中， 若
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第２ ９卷第 ｌ 期
王银珠 ， 一类广义非线性的 Ｓ ｅ ｏ ｏ 型方程弱解的存在及唯一性 等： ｉ— ｒ ｎ ｎＧ ｄ
４ ７
（） ８
ｇｏ （ ）＝０ ｇ ｓ ， （ ）∈ Ｃ （ Ｒ）
Ｉ （ ）Ｉ Ｃ （ ； ｓ ｓ ≤ ｌ１＋Ｉ Ｉ ｇ ）≤ ｃ（ Ｉ （ 中 Ｃ ， ２ ｇ ｓ ） ２ １＋ Ｉ 其 ｓ ） ２Ｃ 为大 于或 等于零 的 常数 ）
文章 编号 ：６ ３２ ５ （０ ８ ０ —０ ４ ０ １ ７ －０ ７ ２ ０ ） １ ０ ６— ５
一
类广 义 非 线性 的 Ｓｎ ． ｏｄ ｎ型 方 程 ｉｅＧ ｒｏ 弱 解 的存 在 及 唯 一 性
王 银珠 ， 利 军 郭
（ 太原科 技 大 学应 用科 学学 院数 学 系， 太原 ００ ２ ） ３０ ４
（） ２ （） ３
ｌ 基本假设及 引理
对于方程（ ）我们有如下假设 ： Ｑ ＝ １， 设 力×［ ， ］ ＞０ ０Ｔ ， 为阻尼系数 ， ＞０ 为常数
项。 设 ， ｔ 足： ）满 ０ ｔ ＝ Ｚｔ ，） ，）＝０
，
， 为外力扰动 ｔ ）
（） ４
（） ５
ｔ ）∈ Ｌ ０ ； （ ， 日）ｎ Ｌ （ ； ２ ０， 日）
引理 ２ （ ｒｎ ａ 不 等式 ）设 口 ￡ ０， １ Ｇｏｗ ｌ ｌ （）≥ Ｑ（）＞０ Ｙ（）≤ 口 １ ， １ （）＋Ｑ ｔｙ １ ， ： （） （）则
，） ， ） 上（州ｅ（Ｑ下 ） ， ， ＋ 口 ） ｘ上（ 曲・ （ ｔ （ ０ 下 ｐ ）
引理 ３ 设 与Ｙ Ｈｌｅ 空间或可分的 Ｂ ｎｃ 空间 ， 为 ｉ ｒ ｂｔ ａ ａｈ 其对偶空间分别为 ， ｌ ｌ， ， ，设 连续稠密地嵌入 到 中， 若
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第２ ９卷第 ｌ 期
王银珠 ， 一类广义非线性的 Ｓ ｅ ｏ ｏ 型方程弱解的存在及唯一性 等： ｉ— ｒ ｎ ｎＧ ｄ
４ ７
（） ８
ｇｏ （ ）＝０ ｇ ｓ ， （ ）∈ Ｃ （ Ｒ）
Ｉ （ ）Ｉ Ｃ （ ； ｓ ｓ ≤ ｌ１＋Ｉ Ｉ ｇ ）≤ ｃ（ Ｉ （ 中 Ｃ ， ２ ｇ ｓ ） ２ １＋ Ｉ 其 ｓ ） ２Ｃ 为大 于或 等于零 的 常数 ）
文章 编号 ：６ ３２ ５ （０ ８ ０ —０ ４ ０ １ ７ －０ ７ ２ ０ ） １ ０ ６— ５
一
类广 义 非 线性 的 Ｓｎ ． ｏｄ ｎ型 方 程 ｉｅＧ ｒｏ 弱 解 的存 在 及 唯 一 性
王 银珠 ， 利 军 郭
（ 太原科 技 大 学应 用科 学学 院数 学 系， 太原 ００ ２ ） ３０ ４
（） ２ （） ３
ｌ 基本假设及 引理
对于方程（ ）我们有如下假设 ： Ｑ ＝ １， 设 力×［ ， ］ ＞０ ０Ｔ ， 为阻尼系数 ， ＞０ 为常数
项。 设 ， ｔ 足： ）满 ０ ｔ ＝ Ｚｔ ，） ，）＝０
，
， 为外力扰动 ｔ ）
（） ４
（） ５
ｔ ）∈ Ｌ ０ ； （ ， 日）ｎ Ｌ （ ； ２ ０， 日）
一类非线性偏微分方程弱解的存在性
一类非线性偏微分方程弱解的存在性摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程取足够小，则有，故是压缩映射。
由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。
定理得证。
3 结语由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。
事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。
这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。
满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。
在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。
这也是计算数学中常用的方法。
但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。
这就是理论数学研究的范畴。
参考文献[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。
一类非线性发展方程整体弱解的存在性
Ｙａ ｇＬｉ ｎ ，Ｘｉ ｎ ｑｎ ｅＹｏ ｇ ｉ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｄＣ ｍｐ ｔ ｇＳｉｎｅ ｈ ｇｈ ｎｖｒｉ ｆ ｃ ｎ ｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ｈ ｇｈ １０ ６ ｈｎ Ｓ ｈｏ ｈ ｍａｃ ｏ ｕ ｎ ｃ ｃ ，Ｃ ａ ｓａ ｉ ｅｓｙｏ ｉ ｃ ｄＴ ｃｎ ｌｇ ，Ｃ ａ ｓａ ０ ７ ，Ｃ ｉ ｏ Ｍａ ｉ ａ ｎ ｉ ｅ ｎ Ｕ ｔ Ｓｅ ａ ｎ ４ ａ）
第 ２卷 第 １ ４ 期
２ １年 １ ００ 月
湖 南
工
业
大
学
学
报
ＶＯ ．４ Ｎｏ １ １ ． ２ Ｊｎ ０ ０ ａ ．２ ｌ
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ ｃ ｎ ｌ ｇ ｏ ｒ ａ ｏ Ｈｕ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｈ ｏ ｏ ｙ ｙ Ｔｅ
ｗｈｃ ｅｎ ｎｉ ｅ ｒｔｒ ａ ｓ ｅ ｒｔｃ ｏ ｄ ｔ ｎ ｆ ｘ ｏ ｅ ｔ ｌ ｒ ｗｔ ． ｎ ｋ ｅ ｇ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｎｔ ｅｆｎ ｉｇｓ ｆ ｉｈ ｔ ｏ ｌｎ ａ ｍ ｓ ｔ ｆ ｓｃ ｉ ａ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓｏ ｅ ｐ ｎ ｎ ａ ｏ ｈ Ａ ｄ ｍａ ｓａｌ ｅｉ ｈ ｅ ｉｉ ｉ ｌ ｉ ｉ ｇ ｒ ａ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｄｎ ｏ ｈ ｉ ｏ
ｕ一 ｕ一 ｕ Ａ ． Ａ ＝ｆ．
收稿 日期 ：２０ —０ １ ０ ９ １— ２
巧 ，证 明方程 （ ）一（ 的整体弱解的存 在性 ，并得 １ ３） 到其解 是唯一 性 连续 的 ，且 依赖 于初始 值 。
ｕｘ０ ＝Ｕ（） ， ，） ｌ ） （，） ｏ ， （ ０ ＝Ｕ（ ， 甜
∈．。
（ ３）
其 中， ， ，１ 具有适当光滑边界ａ ． ３ －ｃＲ ２ 的有界
一类非线性弹性梁方程弱解存在的唯一性
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第３卷
理
工
大
学
学
２０ ０ ７年 １ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ＵＮ１ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨ Ｎ０Ｉ ０ＧＹ
在 本 报 文 ㈨
中
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １３ ． Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０ ７
和初 始 条 件 下 ， 明 了一 类 具 非 线 性 本 构 关 系 的 弹 性 粱 方 程 弱 解 的 存 在 性 ； 此 弹 性 梁 方 程 弱 解 存 证 在
在 的条 件 下 ， 明 了上述 方程 弱解 的唯一性 。 证 关 键 词 ： 线 性 弹 性 梁 方 程 ； ｌｒ ｉ 法 ｝ 解 ； 在 唯 一 性 非 Ｇａｅ ｋｎ 弱 存 中图分 类号 ： ７． ７ ｏ１ ５ ２ 文献标 识码 ： Ａ
一
文 章 编 号 ： ０ ７ ９ ３ （ ０ ７ ０ ０ 卜０ １ ０ － ４ ２ ２ ０ ） 卜０ ９ ４
舫 便．
起 一
Ｉ ｌ
一
记 ； 的唯一性 ～ 三 巩 类非线性弹 性梁方程弱解存在
闫 思青 ， 建 文 张
（ 太原 理 工 大 学 理 学 院 ， 西 太 原 ０ ０ ２ ） 山 ３ ０ ４
初始 条件 ：
ｕ ｘ， ）一 “ （ ） （ Ｏ ０ ，ｕ（ Ｏ ｘ， ）一 “ （ ． ｌ ） （） ２
边界 条件 ：
ｕ Ｏｆ （ ，）： Ｕ（ ，） 一 Ｕ （ ｆ ＝ ｆ￡ Ｏ，） ‘ （ ，）： ０ １￡ ＝ ． ＝ （） ３
２ 弱解 的存在性
首先证明初边值问题（） 式～（） 弱解的 ３式的 存
显然 ｘ 中 的范 数与 Ｈ ｎ） 的范数 相 同。 （ 中
第３卷
理
工
大
学
学
２０ ０ ７年 １ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＩ ＯＦ ＴＡＩ ＹＵＡＮ ＵＮ１ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨ Ｎ０Ｉ ０ＧＹ
在 本 报 文 ㈨
中
Ｖｏ ． ８ Ｎｏ １ １３ ． Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０ ７
和初 始 条 件 下 ， 明 了一 类 具 非 线 性 本 构 关 系 的 弹 性 粱 方 程 弱 解 的 存 在 性 ； 此 弹 性 梁 方 程 弱 解 存 证 在
在 的条 件 下 ， 明 了上述 方程 弱解 的唯一性 。 证 关 键 词 ： 线 性 弹 性 梁 方 程 ； ｌｒ ｉ 法 ｝ 解 ； 在 唯 一 性 非 Ｇａｅ ｋｎ 弱 存 中图分 类号 ： ７． ７ ｏ１ ５ ２ 文献标 识码 ： Ａ
一
文 章 编 号 ： ０ ７ ９ ３ （ ０ ７ ０ ０ 卜０ １ ０ － ４ ２ ２ ０ ） 卜０ ９ ４
舫 便．
起 一
Ｉ ｌ
一
记 ； 的唯一性 ～ 三 巩 类非线性弹 性梁方程弱解存在
闫 思青 ， 建 文 张
（ 太原 理 工 大 学 理 学 院 ， 西 太 原 ０ ０ ２ ） 山 ３ ０ ４
初始 条件 ：
ｕ ｘ， ）一 “ （ ） （ Ｏ ０ ，ｕ（ Ｏ ｘ， ）一 “ （ ． ｌ ） （） ２
边界 条件 ：
ｕ Ｏｆ （ ，）： Ｕ（ ，） 一 Ｕ （ ｆ ＝ ｆ￡ Ｏ，） ‘ （ ，）： ０ １￡ ＝ ． ＝ （） ３
２ 弱解 的存在性
首先证明初边值问题（） 式～（） 弱解的 ３式的 存
显然 ｘ 中 的范 数与 Ｈ ｎ） 的范数 相 同。 （ 中
一类非线性方程的解的存在性及其应用
一类非线性方程的解的存在性及其应用
许绍元
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2000(13)1
【摘要】设 A是 Amann意义下的凹 (凸 )算子 .本文提出序 Lipschitz条件 ,无需考虑任何紧性或连续性条件 ,由 Mann迭代技巧证明了方程 Ax =x的解的存在性 .将所得结果应用于无界域上的 Hammerstein积分方程。
【总页数】4页(P23-26)
【关键词】存在性;算子方程;积分方程;非线性方程;解
【作者】许绍元
【作者单位】韩山师范学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6;O175.5
【相关文献】
1.一类带有非线性阻尼项和源项的四阶波动方程整体解的存在性与不存在性 [J], 狄华斐;尚亚东
2.一类带非线性边界条件的非线性抛物方程的解的整体存在性与不存在性 [J], 陈友朋;谢春红
3.一类非线性发展方程整体解的存在性、渐近性与解的爆破 [J], 杨志坚
4.一类非线性波方程整体解的存在性和不存在性 [J], 王艳萍
5.黎曼流形上一类非线性反应扩散方程组解的存在性与不存在性(英文) [J], 汝强
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一类具有非线性异号源项波动方程的初边值问题
第２ ６卷 第 ２期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡ Ｃ Ｅ Ｅ ＯＵＲ ＡＴ Ｌ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｓ Ｊ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲ Ｉ ＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ ￣ ＮＩ ＲＳ Ｔ
Ｖ １ ６ Ｎ ． ００ ｏ． ， ｏ２２ １ ２
一
类 具 有 非 线 性 异 号 源 项 波 动 方 程 的 初 边 值 问题
一类具有非线性异号源项波动方程的初边值 问题
３ ３
（ ），（ ｔ ） ，）∈Ｌ ０ Ｔ Ｌ （ ） ， （ ， ； ） 对所 有 ｆ ∈
［ ，） ０Ｔ 成立 （ ）＋ｆ Ａ ，ｖｄ （ ｕ， （ ｕＡ ）Ｔ＋ ， ）＋
Ｉ ０ “ Ｐｕ— ｕ 一 ， ｄ Ｉ ｂ ｒ＝（１ ） （ｌ 一 Ｉ Ｉ Ｍ） ， ＋ 口
ｌ Ｉ－ １ 体解 的存在 性 、 ｐ “整 唯一性 及 光滑性 ， 造 构 不 稳定集 证 明 了解 在 有 限 时刻 发 生爆 破 ， 参 考 在
文献［ ］中利用整体迭代法证明了 ４ ＋ △ ¨＋／ ／ ， Ｆ “ 整体经典解的存在唯一性． （） 在此基础上 ，
＝
笔者研究如下具有两个异号非线性源项的梁振动 方程 的初 边值 问题 ：
ｕ ５ ＝一 一 ， 一１ ｕ Ｉｕｌ
一
ｕ ＋△ 盯
＋ Ｏｔ ｔ ｊ＋ ａ ｌ ｔ
Ｉ 一 — ｂ ｌ／ Ｉ 一 ｐ ２ ，Ｐ
＝
０ （） １
＞０
（） ３
（ ０ ， ）＝“ （ ， （） ， ）＝ （ ， ∈ ０ ） “ ｔ （ ０ ） （） ４
。
＾
∞ ； ≥ ５时 ， １＜ｑ＜Ｐ ＜
， 一
，ｏ ）∈ （ ，ｌ ）∈ （ ， 问题存 在一 个 “（ ） （ 力） 则
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宋玉坤(1982-)，男，黑龙江虎林人，副教授，博士。 优先出版地址：/kcms/detail/21.1567.T.20190926.1505.002.html
282
辽宁工业大学学报(自然科学版)
第 39 卷
2004 年刘亚成等[2]研究了此类问题的另一种模型：
Bernoulli、Lagrange 等很多科学家在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论做出过重要贡
献。
1980 年 Webb[1]提出并研究了如下强阻尼非线性波动方程的初边值问题：
utt ut u f u
0 ， x ，t 0
(1)
u x,0 u0 x,ut x, 0 u1 x x
utt ut u u p1 u
(5)
由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无法得到先验估计。所以用位势井方法解决了任意维数的
这类方程的整体弱解，强解的存在性及强解的唯一性。
如果在一个物理系统中同时存在符号相反的两个源项，源项为负，外力方向与位移方向相反；源项为
正，外力方向与位移方向相同。那么，就应该考虑如下具有两个异号非线性源项的波动方程，也是本文研
Key words: wave equation; potential well; global weak solution; existence
波动方程是主要描述各种各样的波动现象的一种重要的偏微分方程，包括声波、光波、水波等横波
和纵波。波动方程出现在声学、电磁学和流体力学等领域。在历史上，如 D'Alembert、Euler、Daniel
本文研究问题(1)~(3)，非线性项满足 f uu 0 ，首先得到了位势井深度 d 的值，并给出了位势井内外在
空间
H
1 0
Hale Waihona Puke 中的结构，最后用位势井方法的到了问题(1)~(3)整体弱解的存在性。
在本文中，记| ||Lp ( ) || ||p ， || ||2 || || ， (u,v)
uvdx 。
1 位势井的定义
在本文中研究问题(1)~(3)，其中 Rn 是有界域，且满足：
f (u) a u p1 u b u q1 u 1 p ， q 当 n 1, 2
(6)
定义：
1 p，q≤ n 2 当n≥3 n2
E
t
1 2
ut
2
1 2
u
2
a p
1
||
u
||pp
1 1
究的基本模型方程：
utt ut u a u p1 u b u p1 u t 0 ， x
其中 a 0 ， b 0 ， p q 。 1968 年，Sattinger[3]首次提出位势井理论，用以证明不具有正定能量方程的整体解存在性问题。至
此，有很多作者用位势井理论研究了非线性发展方程中整体解的性质，并被众多数学家推广应用至今[4]。
(2)
u 0
t≥0
(3)
其中 Rn n 1, 2,3 是有界域。此问题的基本模型方程是：
utt ut u u p1 u
(4)
由于能量是正定的，故用 Galerkin 方法与能量估计方法得到整体解。
收稿日期：2019-06-04 基金项目：国家自然科学基金项目(11572146) 作者简介：陈 帅(1994-)，男，辽宁沈阳人，硕士生。
第 39 卷第 5 期 2 0 1 9 年 10 月
辽宁工业大学学报(自然科学版)
Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)
Vol.39, No.5 Oct. 2019
DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.05.001
一类非线性异号源项波动方程弱解的存在性
陈 帅，宋玉坤
（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）
摘 要：研究了一类非线性异号源项波动方程的初边值问题。由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无 法得到先验估计。应用位势井方法得到了不具有正定能量情况下问题整体弱解的存在性。证明了对于非线性项 的指数在一定条件下，问题存在整体弱解，补充和推广了现有结论。
关键词：波动方程；位势井；整体弱解；存在性 中图分类号：O175.26 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)05-0281-04
Existence of Weak Solutions for a Class of Nonlinear Signs of Source Terms
CHEN Shuai, SONG Yu-kun
（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）
Abstract: In this paper, the initial boundary value problem for a class of nonlinear wave equation with different sign source terms is studied. However, the energy is non-positive, it is hard to obtain the priori estimate by using the traditional Galerkin method. Therefore, the application of the potential well method gives the existence of the overall weak solution of the problem without positive energy. It is proved that there is a global weak solution for the exponential of nonlinear term under certain conditions. The existing conclusions are supplemented and generalized.
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辽宁工业大学学报(自然科学版)
第 39 卷
2004 年刘亚成等[2]研究了此类问题的另一种模型：
Bernoulli、Lagrange 等很多科学家在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论做出过重要贡
献。
1980 年 Webb[1]提出并研究了如下强阻尼非线性波动方程的初边值问题：
utt ut u f u
0 ， x ，t 0
(1)
u x,0 u0 x,ut x, 0 u1 x x
utt ut u u p1 u
(5)
由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无法得到先验估计。所以用位势井方法解决了任意维数的
这类方程的整体弱解，强解的存在性及强解的唯一性。
如果在一个物理系统中同时存在符号相反的两个源项，源项为负，外力方向与位移方向相反；源项为
正，外力方向与位移方向相同。那么，就应该考虑如下具有两个异号非线性源项的波动方程，也是本文研
Key words: wave equation; potential well; global weak solution; existence
波动方程是主要描述各种各样的波动现象的一种重要的偏微分方程，包括声波、光波、水波等横波
和纵波。波动方程出现在声学、电磁学和流体力学等领域。在历史上，如 D'Alembert、Euler、Daniel
本文研究问题(1)~(3)，非线性项满足 f uu 0 ，首先得到了位势井深度 d 的值，并给出了位势井内外在
空间
H
1 0
Hale Waihona Puke 中的结构，最后用位势井方法的到了问题(1)~(3)整体弱解的存在性。
在本文中，记| ||Lp ( ) || ||p ， || ||2 || || ， (u,v)
uvdx 。
1 位势井的定义
在本文中研究问题(1)~(3)，其中 Rn 是有界域，且满足：
f (u) a u p1 u b u q1 u 1 p ， q 当 n 1, 2
(6)
定义：
1 p，q≤ n 2 当n≥3 n2
E
t
1 2
ut
2
1 2
u
2
a p
1
||
u
||pp
1 1
究的基本模型方程：
utt ut u a u p1 u b u p1 u t 0 ， x
其中 a 0 ， b 0 ， p q 。 1968 年，Sattinger[3]首次提出位势井理论，用以证明不具有正定能量方程的整体解存在性问题。至
此，有很多作者用位势井理论研究了非线性发展方程中整体解的性质，并被众多数学家推广应用至今[4]。
(2)
u 0
t≥0
(3)
其中 Rn n 1, 2,3 是有界域。此问题的基本模型方程是：
utt ut u u p1 u
(4)
由于能量是正定的，故用 Galerkin 方法与能量估计方法得到整体解。
收稿日期：2019-06-04 基金项目：国家自然科学基金项目(11572146) 作者简介：陈 帅(1994-)，男，辽宁沈阳人，硕士生。
第 39 卷第 5 期 2 0 1 9 年 10 月
辽宁工业大学学报(自然科学版)
Journal of Liaoning University of Technology(Natural Science Edition)
Vol.39, No.5 Oct. 2019
DOI:10.15916/j.issn1674-3261.2019.05.001
一类非线性异号源项波动方程弱解的存在性
陈 帅，宋玉坤
（辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）
摘 要：研究了一类非线性异号源项波动方程的初边值问题。由于能量是非正定的，传统的 Galerkin 方法无 法得到先验估计。应用位势井方法得到了不具有正定能量情况下问题整体弱解的存在性。证明了对于非线性项 的指数在一定条件下，问题存在整体弱解，补充和推广了现有结论。
关键词：波动方程；位势井；整体弱解；存在性 中图分类号：O175.26 文献标识码：A 文章编号：1674-3261(2019)05-0281-04
Existence of Weak Solutions for a Class of Nonlinear Signs of Source Terms
CHEN Shuai, SONG Yu-kun
（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）
Abstract: In this paper, the initial boundary value problem for a class of nonlinear wave equation with different sign source terms is studied. However, the energy is non-positive, it is hard to obtain the priori estimate by using the traditional Galerkin method. Therefore, the application of the potential well method gives the existence of the overall weak solution of the problem without positive energy. It is proved that there is a global weak solution for the exponential of nonlinear term under certain conditions. The existing conclusions are supplemented and generalized.