第六章 非线性微分方程和稳定性
非线性微分方程和稳定性
第六章 非线性微分方程和稳定性在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar é,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.§6.1 引言考虑微分方程(,)d f t dt=xx (6.1)其中函数(,)f t x 对n D R ∈⊆x 和t ∈(-∞,+∞)连续，对x 满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t 0,x 1)存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =.现在的问题是：当01x x -很小时，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小?本章向量1(,...,)Tn x x =x 的范数取1221()nii x ==∑x .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>，使得只要0x 满足01δ-<x x就有0001(,,)(,,)t t t t ϕε-<x x x对一切t ≥t 0成立，则称(6.1)的解01(,,)t t x ϕ=x 是稳定的.否则是不稳定的.假设01(,,)t t ϕ=x x 是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要0x 满足011δ-<x x就有0001lim((,,)(,,))0t t t t t ϕ→∞-=x x x则称(6.1)的解01(,,)t t ϕ=x x 是渐近稳定的.为了简化讨论，通常把解01(,,)t t ϕ=x x 的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)t t t =x x x ,01()(,,)t t t ϕϕ=x 作如下变量代换.令()()y t t ϕ=-x (6.2) 则d dt y =()()(,())(,())d t d t f t t f t t dt dtϕϕ-=-x x (,())(,())(,)df t t f t t F t ϕϕ=+-=y y于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成(,)d F t dt=yy (6.3)其中(,)(,())(,())F t f t t f t t ϕϕ=+-y y .这样关于(6.1)的解()t ϕ=x 的稳定性问题就化为(6.3)的零解y =O 的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x =O 的稳定性，即假设(,)f t O O ≡，并有如下定义:定义6.1 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)t δδε=，使当0δ<x 时有 00(,,)t t ε<x x (6.4)对所有的0t t ≥成立，则称(6.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的. 定义6.2 若(6.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0, 使当01δ<x 时有00lim (,,)0t t t →∞=x x则称(6.1)的零解是渐近稳定的.例1 考察系统⎪⎩⎪⎨⎧-==x dtdyydt dx的零解的稳定性.解 对于一切0t ≥，方程组满足初始条件0(0)x x =,22000(0)(0)y y x y =+≠的解为 0000()cos sin ()sin cos x t x t y ty t x t y t=+⎧⎨=-+⎩ 对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有112222220000122200[()()][(cos sin )(sin cos )]()x t y t x t y t x t y t x y δε+=++-+=+<=故该系统的零解是稳定的.然而，由于112222220lim[()()]()0t x t y t x y →∞+=+≠所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2 考察系统dxx dtdy y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 的零解的稳定性.解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：00()()ttx t x e y t y e--⎧=⎨=-⎩ 其中22000x y +≠对任一0ε>，取δε=，则当12220()x y δ+<时，有1122222222122200[()()]()()(0)t t x t y t x ey ex y t δε--+=+≤+<=≥故该系的零解是稳定的. 又因为1122222222lim[()()]lim()0t t t t x t y t x ey e --→∞→∞+=+=可见该系统的零解是渐近稳定的.例3 考察系统dxx dtdy y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 的零解的稳定性.解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为00()()ttx t x e y t y e ⎧=⎨=⎩(0)t ≥ 其中2200x y +≠. 111222222222220[()()]()()t t t x t y t x e y e x y e +=+=+由于函数e t 随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意0ε>，不管12220()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证1222[()()]x t y t +小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.例4 考虑常系数线性微分方程组dxAx dt= (6.5)其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明，若A 的所有特征根都具严格负实部，则(6.3)的零解是渐近稳定的.证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t )是(6.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成0()()x t t x =Φ (6.6)由A 的所有特征根都具负实部知lim ()0t t →∞Φ= (6.7)于是知存在t 1>0，使t >t 1时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当00x δ<时，由(6.6)有00()()x t t x x ε≤Φ≤<, 1t t >(6.8)当t ∈[0,t 1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述0ε>，存在δ1 >0，当01x δ<时()x t O ε-<, 1[0,]t t ∈取01min{,}δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有()x t ε<, [0,]t ∈+∞即0x =是稳定的.由(6.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →∞Φ=，故0x =是渐近稳定的.。
第6章 稳定性与李雅普诺夫方法
第六章稳定性与李雅普诺夫（Lyapunov）方法6.1 概述研究平衡状态及其稳定性介绍两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov 第一法和Lyapunov第二法。
第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解的非线性微分方程，通过构造一个Lyapunov函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。
一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。
虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov 稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，需要技巧和经验。
6.2 Lyapunov 意义下的稳定性问题一、 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点考虑如下非线性系统),(t x f x = (6.1)式中x 为n 维状态向量，),(t x f 是变量1x ,2x ,…,n x 和t 的n 维向量函数。
假设在给定初始条件下，式(6.1）有唯一解),;(00t x t Φ，且当0t t =时，0x x =。
于是0000),;(x t x t =Φ在式(6.1)的系统中，总存在0),(≡t x f e , 对所有t (6.2)则称e x 为系统的平衡状态或平衡点。
如果系统是线性定常的即 Ax t x f =),(当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态0=e x ；当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在e x x =）。
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动)(t x φ=都可通过坐标变换，统一化为扰动方程),~(~~t x f x = 之坐标原点，即0),0(~=t f 或0~=e x 。
在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。
非线性微分方程及稳定性
定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.12)的零解是不稳定的.
定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
定理 若特征方程
没有零根或零实部的根，则非
就有
则称系统(6.3)的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
是全局渐近
稳定的
. (3) 若
都
与
使
但
则称
是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
（6.5）
它的解
（6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：
为研究（6.1）的特解
邻近的解的性态，通常先利用
变换: 把方程（6.1）化为：
(6.28) （6.3）
其中 此时显然有：
（6.4）
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设
是系统(6.3)适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统(6.3)的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
）趋近于它时，称此极限圈为
稳定的。如果轨线是负向（即
第六章非线性微分方程
第六章 非线性微分方程教学目的：使学生重点掌握二维自治系统奇点的分类及其附近的轨线分布；理解稳定性概念及其判定定理，会应用稳定性概念、线性化系统的特征值、Liapunov 第二方法讨论自治系统的解的稳定性；了解周期解和极限环的概念．教学内容：1、存在唯一性定理、稳定性2、相平面相平面、奇点分类、按线性近似决定微分方程组的稳定性． 3、Liapunov 第二方法 Liapunov 第二方法． 4、极限圈 周期解、极限环．教学重难点：奇点的分类与相应零解的稳定性 教学过程：§6.1 稳定性6.1.1 常微分方程组的存在唯一性定理本章讨论非线性常微分方程组n R Y Y t G dtdY∈=),;( （6.1）的解的性态.设给定方程组（6.1）的初值条件为00)(Y t Y =， （6.2） 考虑包含点),,,;(),(02010000n y y y t Y t Λ=的某区域 b Y Y a t t R ≤-≤-00,:. 在这里Y 的范数Y 定义为∑==ni iyY 12. 所谓),(Y t G 在域G 上关于Y 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点),(00Y t ，存在闭邻域G R ⊂，而),(Y t G 于R 上关于Y 满足利普希茨条件，即存在常数0>L ，使得不等式Y Y L Y t G Y t G -≤-~);()~;( （6.3） 对所有R Y t Y t ∈),(),~,(成立. L 称为利普希茨常数.存在唯一性定理 如果向量函数),(Y t G 在域R 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6.1）存在唯一解),;(00Y t t Y ϕ=，它在区间h t t ≤-0上连续，而且0000),;(Y Y t t =ϕ 这里);(max ),,min(),(Y t G M Mba h G Y t ∈==.解的延拓与连续定理 如果向量函数),(Y t G 在域G 内连续，且关于Y 满足局部利普希茨条件，则方程组（6.1）的满足初值条件（6.2）的解),;(00Y t t Y ϕ=)),((00G Y t ∈可以延拓，或者延拓到∞+（或∞-）；或者使点)),;(,(00Y t t t ϕ任意接近区域G 的边界. 而解),;(00Y t t ϕ作为00,;Y t t 的函数在它的存在范围内是连续的.可微性定理 如果向量函数),(Y t G 及),,2,1,(n j i y G jiΛ∂∂在域G 内连续，那么方程组（6.1）由初值条件（6.2）确定的解),;(00Y t t Y ϕ=作为00,;Y t t 的函数，在它的存在范围内是连续可微的.6.1.2 李雅普诺夫稳定性考虑一阶非线性方程2By Ay dtdy-= （6.4）其中B A ,为常数且0>⋅B A ，初值条件为0)0(y y =.为研究方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换)(t Y X ϕ-= （6.6） 把方程组（6.1）化为);(X t F dtdX=， （6.7）其中))(;())(;()();();(t t G t X t G dtt d Y t G X t F ϕϕϕ-+=-=. 此时显然有 0)0;(=t F （6.8） 而把方程组（6.1）的特解)(t Y ϕ=变为方程组（6.7）的零解0=X . 于是，问题就化为讨论方程组（6.7）的零解0=X 邻近的解的性态.驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6.4）的特解)(),(21t y t y . 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解.考虑微分方程组（6.7），假设其右端函数),(X t F 满足条件（6.8）且在包含原点的域G 内有连续的偏导数，从而满足解的存在唯一性、延拓、连续性和可微性定理的条件.定义1 如果对任意给定的0>ε，存在)(00有关和一般与t εδδ>，使当任一0X 满足δ≤0X 时，方程组（6.7）的由初值条件00)(X t X =确定的解)(t X ，对一切0t t ≥均有ε<)(t X .则称方程组（6.7）的零解0=X 为稳定的.如果（6.7）的零解0=X 稳定，且存在这样的00>δ使当00δ≤X 时，满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为渐近稳定的.如果零解0=X 渐近稳定，且存在域0D ，当且仅当00D X ∈时满足初值条件00)(X t X =的解)(t X 均有0)(lim =+∞→t X t ，则域0D 称为（渐近）稳定或吸引域. 若稳定域为全空间，即+∞=0δ，则称零解0=X 为全局渐近稳定的或简称全局稳定的.当零解0=X 不是稳定时，称它是不稳定的. 即是说：如果对某个给定的0>ε不管0>δ怎样小，总有一个0X 满足δ≤0X ，使由初值条件00)(X t X =所确定的解)(t X ，至少存在某个01t t >使得ε=)(1t X ，则称方程组（6.7）的零解0=X 为不稳定的.二维情形零解的稳定性态，在平面上的示意图如图（6.2）（见254页）6.1.3 按线性近似决定稳定性 考虑一阶常系数线性微分方程组AX dtdX= （6.10） 由第五章5.3的（5.52）式可知，它的任一解均可由n i e t cii lm t m im≤≤∑=1,0λ （6.11）的线性组合，这里i λ为方程组（6.10）的系数矩阵A 的特征方程0)det(=-E A λ （6.12） 的根，i l 为零或正整数，由根i λ的重数决定.根据（6.11），与第五章相对应的可得如下结论.定理1 若特征方程（6.12）的根均具有负实部，则方程组（6.10）的零解是渐近稳定的；若特征方程（6.12）具有正实部的根，则方程组（6.10）的零解是不稳定的；若特征方程（6.12）没有正实部的根，但有零根或具有零实部的根，则方程组（6.10）的零解可能是稳定的也可能是不稳定的，这要看零根或具有零实部的根其重数是否等于1而定.考虑非线性方程组)(X R AX dtdX+=， （6.13）其中0)0(=R ，且满足条件0)(→XX R （当0→X 时）. （6.14）显然0=X 是方程组（6.13）的解. 亦是方程组的奇点.问题 在什么条件下，（6.13）的零解稳定性能由线性微分方程组（6.10）的零解的稳定性来决定. 这便是所谓按线性近似决定稳定性的问题.定理2 若特征方程（6.12）没有零根或零实部的根，则非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态与其线性近似的方程组（6.10）的零解的稳定性态一致. 这就是说，当特征方程（6.12）的根均具有负实部时，方程组（6.13）的零解是渐近稳定的，而当特征方程（6.12）具有正实部的根时，其零解是不稳定的.（6.2中再补充证明）该定理说明非线性微分方程组（6.13）的零解是否为渐近稳定的取决于其相应的特征方程（6.12）的全部的根是否具有负实部.临界情形至于特征方程（6.12）除有负实部的根外还有零根或具零实部的根的情形，非线性微分方程组（6.13）的零解的稳定性态并不能由线性近似方程组（6.10）来决定. 因为可以找到这样的例子，适当变动)(t R （条件（6.14）仍满足），便可使非线性微分方程组（6.13）的零解是稳定的或是不稳定的.例1 考虑有阻力的数学摆的振动，其微分方程为0sin 22=++ϕϕμϕl gdt d m dtd ， （6.15） 这里长度l ，质量m 和重力加速度g 均大于0，并设阻力系数0>μ. 令dtd y x ϕϕ==,，将方程（6.15）化为一阶微分方程组x lg y m dt dy y dt dx sin ,--==μ （6.16） 原点是方程组的零解.赫尔维茨（Hurwitz ）判别代数方程的根的实部是否均为负的法则. 定理3 设给定常系数的n 次代数方程0122110=+++++---n n n n n a a a a a λλλλΛ， （6.18）其中00>a ，作行列式,,0,,345123013231211Λa a a a a a a a a a a a a =∆=∆=∆ ,000142322212012301-----∆==∆n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM MM M M ΛΛ 其中0=i a （对一切n i >）.那么，方程（6.18）的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立： 0,0,,0,0,01321>>∆>∆>∆>-n n a a Λ. 证明见高等代数的课本，略.例2 考虑一阶非线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=),(,,222232z y e z y x dtdz z y x y x dtdy e x z y x dt dx x x 例3 对三次方程0)1(2)()1(23=-++++++c ab c a b b a λλλ，其中0,0,0>>>c b a ，考虑其根均具有负实部时参数c 的变化范围.习题6.1 第260页1（1），（3）；3（1），（3）；4（1），（3）；5§6.2 V 函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理对于数学摆的振动，当摆有阻力时可由其线性近似方程组决定它的稳定性. 但当摆无阻力时，方程组（6.16）变成x lg dt dy y dt dx sin ,-== （6.19） 属于临界情形，不能按线性近似决定其稳定性. 为判断其零解的稳定性态. 直接对方程组（6.19）进行处理. 李雅普诺夫第二方法的思想：构造一个特殊的函数),(y x V ，并利用函数),(y x V 及其通过方程组的全导数dty x dV ),(的性质来确定方程组解的稳定性. 具有此特殊性质的函数),(y x V 称为李雅普诺夫函数，简称V 函数.如何应用V 函数来确定非线性微分方程组的解稳定性态问题. 只考虑非线性驻定微分方程组)(X F dtdX= （6.20）定义2 假设)(X V 为在域H X ≤内定义的一个实连续函数，0)0(=V . 如果在此域内恒有0)(≥X V ，则称函数V 为常正的；如果对一切0≠X 都有0)(>X V ，则称函数V 为定正的；如果函数V -是定正的（或常正的），则称函数V 为定负（或常负）的.进而假设函数)(X V 关于所有变元的偏导数存在且连续，以方程（6.20）的解代入，然后对求t 导数i ni ii n i i f x Vdt dx x V dt dV ∑∑==∂∂=∂∂=11， 这样求得的导数dtdV称为函数V 通过方程（6.20）的全导数. 例1函数 2)(),(y x y x V +=是常正的；而函数42)(),(y y x y x V ++=是定正的；定理4 如果对微分方程组（6.20）可以找到一个定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为常负函数或恒等于零，则方程组（6.20）的零解是稳定的. 如果有定正函数)(X V ，其通过（6.20）的全导数dtdV为定负的，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的.如果存在函数)(X V 和某非负常数μ，而通过（6.20）的全导数dtdV可以表示为)(X W V dtdV+=μ， 且当0=μ时，W 为定正函数，而当0≠μ时W 为常正函数或恒等于零；又在0=X 的任意小邻域内都至少存在某个X ，使0)(>X V ，那么，方程组（6.20）的零解是不稳定的. 证明详见第265页.几何解释 由未知函数组成的空间称为相空间，二维相空间又称为相平面，微分方程的解在相空间中的轨迹称为轨线，轨线亦可定义为积分曲线在相空间中的投影.以平面微分方程组为例，从相平面上轨线与V 函数的关系来说明稳定性定理的几何意义.例2 考虑平面微分方程组33,ay x dtdyax y dtdx+=+-=， （6.26）定理4是李雅普诺夫稳定性的基本定理，对含有时间t 的非驻定的微分方程组及含有时间t 的V 函数),(X t V 也有相应的定理，其证明也一样.定理5 如果存在定正函数)(X V ，其通过方程组（6.20）的全导数dtdV为常负，但使 0)(=dtt dV 的点X 的集中除零解0=X 之外并不包含方程组（6.20）的整条正半轨线，则方程组（6.20）的零解是渐近稳定的. 定理5的证明与定理4的类似.例3 数学摆的稳定性问题 6.2.2 二次型V 函数的构造应用李雅普诺夫第二方法判断微分方程组零解的稳定性的关键是找到合适的V 函数. 如何构造满足特定性质的V 函数是一个有趣而复杂的问题. 这里考虑常系数线性微分方程组构造二次型V 函数的问题，并利用它来补充证明按线性近似决定稳定性的定理2定理6 如果一阶线性方程组AX dtdX= （6.10）的特征根i λ均不满足关系),,2,1,(0n j i j i Λ==+λλ，则对任何负定（或正定）的对称矩阵C ，均有唯一的二次型 )()(B B BXX X V T T== （6.27）使其通过方程组（6.10）的全导数有)(C C CX X dtdVT T ==. （6.28）且对称矩阵B 满足关系式C BA B A T=+， （6.29） 这里TA ，TB ，TC TX 分别表示X C B A ,,,的转置.如果方程组（6.10）的特征根均具有负实部，则二次型（6.27）是定正（或定负）的；如果方程组（6.10）有均正实部的特征根，则二次型（6.27）不是常正（或常负）的.例4 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 经过变换y dtdx= 习题6.2 1（1），（3），（5）；2（1），（3）；3（1），（3），（5）；4；5§6.3 奇点考虑二维（平面）一阶驻定微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(y x Y dtdy y x X dt dx（6.33）同时满足0),(,0),(==y x Y y x X 的点),(**y x 是微分方程组（6.33）的奇点，*=x x ，*=y y 是方程的解. 可从通过坐标平移将奇点移到原点)0,0(，此时0)0,0()0,0(==Y X .考虑驻定微分方程组是线性的情形下其轨线在相平面上的性态，并根据奇点邻域内轨线分布的不同性态来区分奇点的不同类型. 这时方程的形式为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.,dy cx dtdyby ax dt dx（6.36）显然，坐标原点0,0==y x 是奇点. 如果方程组的系数满足条件0≠dc b a （6.37）则此奇点还是唯一的. 以下假定条件（6.37）成立.按特征根为相异实根、重根或共轭复根，分五种情形进行讨论. 情形1 同号相异实根 这时方程的标准形式为ηληξλξ21,==dtd dt d ，（6.40） 其解为t tBe t Aet 21)(,)(λληξ==， （6.41）其中21,λλ为实特征根，而B A ,是任意实数.21,λλ同为负实数时，方程的零解是渐近稳定的，称对应的奇点为稳定结点. 21,λλ同为正实数时，方程的零解为不稳定的，而对应的奇点称为不稳定结点.情形2 异号实根, 奇点称为鞍点.鞍点是不稳定的. 情形3 重根 这时可分两种情况讨论：（1）0≠b 或0≠c . 如前面所指出的，这时方程可化为如下标准形式ληηηλξξ=+=dtd dt d ,， （6.42） 其解为t tAe t eB At t λληξ=+=)(,)()(， （6.43）其中λ为实特征根，而B A ,是任意实常数.当0<λ时，奇点称为稳定退化结点. 假如0>λ，奇点是不稳定退化结点.（2）0==c b ，这时方程组（6.36）取形式 d a y dtdy x dt dx ====λλλ,,， 其解为t tBe t y Ae t x λλ==)(,)(，于是 x ABy =. 奇点称为奇结点，且0<λ时为稳定的，而0>λ时为不稳定的.情形4 非零实部复根 这时方程的标准形式为αηβξηβηαξξ+-=+=dtd dt d ,，（6.44） 这里βα,分别为特征根的实部和虚部. 方程（6.44）的解的极坐标形式B t Ae r t +-==βθα,， （6.45） 其中0>A 和B 为任意常数.奇点为焦点，且0<α时为稳定的，而0>α时为不稳定的. 情形5 纯虚根奇点称为中心. 零解为稳定，但非渐近稳定的. 定理7 如果平面线性驻定方程组（6.36）的系数满足条件（6.37），则方程的零解（奇点）将依特征方程（6.39）的根的性质而分别具有如下的不同特性：（1）如果特征方程的根21λλ≠为实根，而021>λλ时奇点为结点，且当01<λ时结点是稳定的，而对应的零解为渐近稳定的，但当01>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当021<λλ时奇点为鞍点，零解为不稳定的.（2）如果特征方程具有重根λ，则奇点通常为退化结点，但在0==c b 的情形奇点为奇结点. 又当0<λ时，这两类结点均为稳定的，而零解为渐近稳定的，但当0>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的.（3）如果特征方程的根为共轭复根，即21λλ=，则当0Re 1≠λ时奇点为焦点，且当0Re 1<λ时焦点为稳定的，对应的零解为渐近稳定的，而当0Re 1>λ时奇点和对应的零解均为不稳定的；当0Re 1=λ时奇点为中心，零解为稳定但非渐近稳定的.程（6.36）的奇点)0,0(O ，当0det ≠A 时，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧中心—实部为零焦点—实部不为零复根退化结点临界结点重（非零）实根鞍点—异号结点—同号相异（非零）实根实根 A 的系数与奇点分类的关系1）042>-q p○1 0>q奇点为结点二根同负二根同正--⎭⎬⎫><00p p○2 奇点为鞍点二根异号--<0q 2）042=-q p结点奇点为临界结点或退化负的重根正的重根--⎭⎬⎫><00p p 3）042<-q p0≠p 复数根的实部不为零，奇点为焦点 0=p 复数根的实部为零，奇点为中心.综合上面的结论，由曲线q p 42=，q 轴及p 轴把q p 0平面分成几个区域，不同的区域，对应着不同类型的奇点（见288页（图6.10））.例1 考虑二阶线性微分方程02322=++x dt dxdtx d ， 通过变换y dt dx=可将它化为下列方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--==,32,y x dtdyy dt dx习题6.3 1；2；3.§6.4 极限环和平面图貌6.4.1 极限环对于二阶常系数微分方程组，除了在中心型奇点邻域内轨线是一族围绕原点的闭曲线（对应于方程组的周期解）外；其余的情形均是一端趋于奇点（+∞→t 或-∞→t ），另一端趋于无穷远（-∞→t 或+∞→t ）或两端都趋于无穷远的轨线，不存在其他的复杂情形. 对于非线性微分方程组，在6.1中利用线性近似方程组讨论了奇点邻域的轨线性态，至于全相平面的轨线图貌，情况就复杂多了.例1 对平面二阶非线性驻定方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-+-=+-+=)(),(2222y x y y x dtdy y x x y x dt dx （6.47） 如取极坐标θcos r x =，θsin r y =，则方程组（6.47）可化为)1(2r r dt dr -=，1-=dtd θ， 孤立的周期解（闭轨线），在相平面上称为极限环. 当极限环附近的轨线均正向（即+∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为稳定的. 如果轨线是负方向（即-∞→t 时）趋近于它时，称此极限环为不稳定的. 当此极限环的一侧轨线正向趋近于它时，称此极限环为半稳定的.不先求出特解（如上例的1=r ），而仅仅由构造出的环域D 便可以证明在此环域内必存在极限环. 这种构造特殊环域来寻求极限环的方法称为本迪克松（Bendixson ）方法. 定理8 如果G 内存在有界的环形闭域D ，在其内不含有方程组（6.33）的奇点，而（6.33）的经过域D 上点的解)(),(t y y t x x ==，当0t t ≥（或0t t ≤）时不离开该域，则或者其本身是一个周期解（闭轨线），或者它按正向（或负向）趋近于D 内的某一周期解（闭轨线）.通过构造有特殊性质的域D 可以确定周期解（极限环）的存在性，能否通过构造具有别的性质的域*D 来否定周期解（极限环）的存在呢？定理9 如果于G 内存在单连通域*D ，在其内函数yY x X ∂∂+∂∂不变号且在*D 内的任何子域上不恒等于零，则方程组（6.33）在域*D 内不存在任何周期解，更不存在任何极限环.例2 考虑6.1例1的数学摆，范德波尔微分方程 0)1(222=+-+x dt dx x dtx d μ， （6.49） 考虑所谓的李纳（Lienard ）微分方程0)()(22=++x g dt dx x f dt x d ， （6.50）如果记⎰=x dx x f x F 0)()(，并设)(x F dt dx y +=，则方程（6.50）可化为平面微分方程组 )(),(x g dtdy x F y dt dx -=-=. （6.51） 对于方程（6.50）或方程组（6.51），有下面的定理.定理10 假设（1）)(x f 及)(x g 对一切x 连续，)(x g 满足局部利普希茨条件；（2）)(x f 为偶函数，)(,0)0(x g f <为奇函数，当0≠x 时0)(>x xg ；（3）当±∞→x 时，)(;)(x F x F ±∞→有唯一正零点a x =，且对)(,x F a x ≥是单调增加的.那么，方程（6.50）有唯一周期解，即方程组（6.51）有一个稳定的极限环6.4.2 平面图貌奇点和极限环是相平面上两种特殊的轨线，希望在相平面上画出一般的轨线的图貌，以了解微分方程的解的性态.定理11 两种群竞争一般模型（6.53）的每一条轨线，当∞→t 时都趋于有限个平衡点之一.定理12 平面驻定微分方程（6.33）在平面有界区域上结构稳定的充要条件是（1） 只有有限个奇点，且均为双曲的；（2） 只有有限个闭轨，且均为单重极限环；（3） 没有鞍点之间的分界线.习题6.4 第307页 1（1），（3）；2（1），（3）.。
9-第六章 非线性微分方程(1)
当 f (t , x) 在某域 G 内 兹条件. 存在唯一性定理
∂f 存在且连续，则 f (t , x) 在 G 上关于 x 满足局部李普希 ∂x
如 f (t , x) 在某域 G 内连续,且关于 x 满足局部李普希茨条
件，则方程组(1)在区间 t − t0 ≤ h 上存在唯一解 x = ϕ (t , t0 , x0 ), ϕ (t0 , t0 , x0 ) = x0 ，其中
6 -- 4
dV 可表为 dt
dV = μV + W ( x) 且当 μ = 0 时 W 为定正函数，当 μ ≠ 0 时 W 为常负函数或恒为零， dt
又在 x = 0 的任意小邻域内至少存在某个 x 使得 V ( x ) > 0 ，则方程组（1）的零解是 不稳定的. (3) 二次型 V 函数的构造 如果 n 维一阶常系数线性微分方程组
∂f 在域 G 内连续， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） ∂x
的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续可微的. (2) 李雅普诺夫稳定性 (a) 零解 可以通过变换 x = y − ϕ (t ) 化为方程组 对方程组
dy = g (t , y ) 的某特解 y = ϕ (t ) ， dt
6 -- 1
⎛ b h = min ⎜ a, ⎝ M
⎞ f (t , x ) . ⎟ , M = (max t , x )∈R ⎠
解的延拓与连续性定理
如 f (t , x) 在某域 G 内连续且关于 x 满足局部李普希
茨条件， 则方程组(1)的满足初值条件 （2） 的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) ((t0 , x0 ) ∈ G ) 可以延拓， 或者延拓到 +∞ (或 −∞ )；或者延拓到使点( (t ,ϕ (t , t0 , x0 )) )任意接近 G 的边界.而方 程组(1)的解 x = ϕ (t , t0 , x0 ) 作为 t , t0 , x0 的函数在它的存在范围内是连续的. 可微性定理 如 f (t , x) 和
《常微分方程》第六章 非线性微分方程
定理6.1 (稳定性的Liapunov判别法) 设有定义在 D Rn
上的定正(定负)函数 V (x), dV dt
(6.2)
表示 V (x) 沿系统(6.2)的轨线
的全导数
dV (1) 若 dt (6.2)
dV (2) 若 dt (6.2)
在 D 上是常负(常正)的,则 x 0 是稳定的; 在 D 上是定负(定正)的,则 x 0 是渐近稳定的;
称为 x 0 吸引域;如果吸引域是全空间,则称 x 0 是全局渐近
稳定的.
(3) 若 0 0, 0, 都 x0 与 t1 t0 , 使 x0 ,
但 x(t;t0, x0 , 则称 x 0 是不稳定的;
例如, 微分方程 dx ax
dt
满足初值条件 x(t0 ) x0 ,
(a)
(b)
又知,对任意常数,函数x cos(t ), y sin(t ), 也是方程组的解,它的积分曲线是经过(,1, 0)的螺旋
线,但是它们与解x cos t, y sin t有同一条轨线 x2 y2 1.
同是,我们也可以看出, x cos(t ), y sin(t )
(6.1)称为非自治系统, (6.2)称为自治系统,
6.1.1 非自治系统与自治系统的主要区别
自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交. 而非自
治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.
定义6.1 若存在 x* D 使 f (x*) 0, 则点 x* 称为系统(6.2)
的解为
x x0ea(tt0 ) .
6.3 判定稳定性的Liapunov函数法
定义6.3 设 D x x H Rn,V C(1) (D).
《电力系统暂态分析》第六章提纲
第六章 电力系统静态稳定第一节 概述一、运动系统稳定性的一般定义运动系统都存在稳定性问题。
定义如下：一个运动系统处于平衡状态，若遭受某种扰动，经过一定的时间变化后，能恢复到原有平衡状态或新的平衡状态下运行，则称该运动系统是稳定的，否则是不稳定的。
【例6-1】b二、电力系统稳定性的特定含义电力系统中发电机都是同步发电机，电力系统的平衡状态是指所有发电机以同步（相同）速度运行。
当电力系统处于某种平衡状态（即发电机以相同速度）运行，遭受某种扰动后，发电机的速度发生变化，经历一定时间速度的变化，若所有发电机能恢复到同步（相同）速度下运行，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。
在正常运行时（平衡状态），发电机输入机械功率T P 等于发电机发出的电磁功率E P （机械损耗很小，因此忽略不计），即E T P P =，发电机保持恒定速度运行。
当受到某种扰动（例如：负荷波动，导线发热、电阻变化、短路、切除线路等），发电机输出功率E P 要发生变化，但T P 不能跟随变化（因为调速系统由机械组成，不能瞬间完成），导致输入与输出功率不平衡，从而引起速度的变化。
受扰动各发电机E P 变化不一样，因此各发电机速度变化不一样，经过一段时间调整，若能够恢复到相同速度下运行，则系统是稳定的，否则是不稳定的。
三、电力系统稳定性的分类按扰动量的大小，电力系统稳定分为⎩⎨⎧大扰动下的稳定—暂态稳定小扰动下的稳定—静态稳定小扰动—如负荷正常变化、导线发热引起参数变化等。
其扰动量很小，因而可以对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而可用线性系统稳定性理论进行分析。
大扰动—如短路、切机、投切线路、投切变压器等。
其扰动量大，因而不能对描述系统运动过程的非线性微分方程进行线性化处理，从而只能用非线性系统稳定性理论进行分析。
四、如何判别稳定1. 以速度，即各机组频率。
2. 以相对转子位置角)(ij t δ的变化过程，即摇摆曲线。
若)(ij t δ能够回复到某一个稳定值则系统是稳定的。
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
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第六章 非线性微分方程和稳定性
[教学目标]
1. 理解解的稳定性、零解稳定性及零解渐进稳定性的概念。
2. 掌握平面初等奇点的分类方法。
3. 了解拟线性近似决定微分方程组的稳定性及用李雅谱若夫第二方法判别稳定性的方法。
4. 了解周期解和极限环的概念。
[教学重难点] 奇点的分类与相应零解的稳定性。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学内容] 解的稳定性定义，相平面、相轨线与相图；平面自治系统的性质，奇点的分类及相应零解的稳定性；拟线性近似，李雅谱若夫第二方法判别稳定性，周期解和极限环的概念。
[考核目标]
1.奇点的分类及相应零解的稳定性。
2.李雅谱若夫第二方法判别稳定性。
3.会求周期解和极限环。
§6.1 相平面、相轨线与相图
把xoy 平面称为平面自治系统
⎩
⎨⎧==),(),(y x Q y y x P x （6.1） 的相平面.
把(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在xoy 平面上的轨迹称为(6.1)式的轨线或相轨线.
轨线族在相平面上的图象称为(6.1)式的相图.
注意：在上述概念中，总是假设(6.1)式中的函数(,),(,)P x y Q x y 在区域)(||,|:|+∞≤<<H H y H x D 上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.
(6.1)式的解(),()x x t y y t ==在相平面上的轨线，正是这个解在(,,)t x y 三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.
下面讨论二阶线性系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y a x a dt
dx y a x a dt dx 22211211 (6.2)
奇点(0,0)附近轨线的分布:上述系统写成向量形式为方程组)0(det d d ≠=A AX X t 它存在线性变换TX X =~，可化成标准型X J X ~d ~d =t
由A 的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
1．结点型
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-1的分布情形，我们就称这奇点为稳定结点.因此，当μ＜λ＜0时，原点O 是
⎪⎩⎪⎨⎧==y t
y x
t μλd d d dx (6.3) (5.4)式的稳定结点.
图 6-1 图 6-2
如果在某奇点附近的轨线具有如图5-2的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结点.因此，当μ＞λ＞0时，原点O 是(5.4)的不稳定结点.
如果在奇点附近的轨线具有如图5-3和图5-4的分布，就称这奇点为临界结点.
图 6-3 图 6-4
当λ＜0时，轨线在t →＋∞时趋近于原点. 这时，我们称奇点O 为稳定的临界结点；当λ＞0时，轨线的正向远离原点， 我们称奇点O 为不稳定的临界结点. 如果在奇点附近轨线具有如图5-5及图5-6的分布，就称它是退化结点.当λ＜0时，轨线在t →＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的退化结点；当λ＞0时，轨线在t →＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点.
图 6-5 图 6-6
2．鞍点型 如果在某奇附近的轨线具有如图5-7或图5-8的分布情形，我们称这奇点为鞍点.因此，当μ，λ异号时，原点O 是(5.25)的鞍点.
图 6-7 图 6-8
3．焦点型
如果在某奇附近的轨线具有如图5-9的分布情形，我们称原点O是稳定焦点；而当α＞0时，相点沿着轨线远离原点，这时，称原点是不稳定焦点 (见图5-10).
图 6-9
图 6-10
4．中心型
如α＝0，则轨线方程成为：
C =ρ 或 222C y x =+
它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.
图 6-11 图 6-12
综上所述，方程组 )0(det d d ≠=A AX X t (6.4)
经过线性变换TX X =~
，可化成标准型 X J X ~d ~d =t
(6.5) 由A 的特征根的不同情况，方程的奇点可能出现四种类型：结点型，鞍点型，焦点型，中心型.
当0det ≠A ，根据A 的特征根的不同情况可有如下的类型： 同号——结点
相异（非零）实根
实根 异号——鞍点
临界结点
重（非零）实根
退化结点
实部不为零——焦点
复根
实部为零——中心
因为A 的特征根完全由A 的系数确定，所以A 的系数可以确定出奇点的类型.。