1微分方程及差分方程稳定性理论

称为积分曲线。
基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析.
t (x,y,t)
解曲线
t0
o
y
投影曲线
x
定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.
如何得到相轨线？方法：把时间t当作参数，只要 P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程
dx dt
dt
进而
x2
y2
1 ,(c 2t c
x(0)2
1
y(0)2 )
对该微分方程组的任一解 (x(t), y(t))
lim ( x2 y2 ) lim 1 0
t
t 2t c
故也有
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论.
其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0；
当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解
x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方 程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
则
① 当1, 2是两个不同实根时,二阶常系数线
xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r,
微分方程稳定性 与定性分析
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程.
在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 计方法).
x0
则称平衡点x0是稳定的.
稳定性判别方法
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ),在讨论方程(4-1)的
稳定性时，可用
来代替.
dx dt
f (x0 )(x x0 )
(4 2)
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论：
时, 平衡点x*是稳定的.
对于一阶非线性差分方程
xn+1 = f (xn ) 其平衡点x*由代数方程
x = f (x) 解给出.
为分析平衡点x*的稳定性, 将上述差分方程近 似为一阶常系数线性差分方程
xn1 f (x*)(xn x*) f (x*),
当 | f (x*) | 1时,上述近似线性差分方程与原 非线性差分方程的稳定性相同. 因此
这个结论对 于(4-1)也是
① 若 f (x0 ) 0, 则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f (x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定
性, 设
dx dt
f (x, y),
dy dt
g(x,
y).
(4 3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g
(
x,
y)
若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如
xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(4-6)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0,
则称 a是差分方程(4-6)的平衡点.
又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有
若有xn = x (n), 满足
(4-6)
F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意 常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时 称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始 条件确定后的解称为(4-6)的特解.
研究对象：驻定系统
若微分方程组
dxi dt
fi (x1, x2 ,
, xn ),
i 1, 2,
,n
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统).
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程
d2x dt 2
a1 ( x)
dx dt
a2
(x)
0
令 dx v, 得一个二维驻定系统
性差分方程的通解为
xn= x*+ C1(1)n + C2(2)n ; ② 当1, 2=是两个相同实根时,二阶常系数线
性差分方程的通解为
xn= x* + (C1 + C2 n)n; ③ 当1, 2= (cos + i sin ) 是一对共轭复根
时,二阶常系数线性差分方程的通解为
xn = x*+ n (C1cosn + C2sinn ). 易知,当且仅当特征方程的任一特征根 |i |＜1
dt
dx dt
v,
dv
dt
a1(x)v
a2 ( x).
一般二维驻定系统形式为
dx dt
P( x,
y),
dy
Q( x,
y).
(2)
dt
它的解
x y
x(t) y(t)
或者
x y
x(t,t0, x0, y(t,t0, x0,
y0 )（3） y0 )
在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线，这条曲线
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点,
记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
如果
lim x(t)
t
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 ,
则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设
f (P0 )
p
f
(P0 x
)
g ( P0 y
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解.
解
求微分方程的数值解
决
方
对微分方程进行定性分析
法
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态.
基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
)
,
q
x g(P0 )
x
f (P0 ) y
g(P0 ) y
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
例：求解微分方程组
Hale Waihona Puke dxdt dydt
x(x2 y2 ) y( x 2 y2 )
的平衡点， 并讨论其稳定性。 解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点； 由已知微分方程组可以得到 d( x2 y2 ) 2( x2 y2 )2
而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
微分方程平衡点与稳定点
设
dx f (x) dt
(4 1)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1) 的平衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果方程的解 x(t)
lim
t
x(t)
当 | f (x*) | 1 时, x*是稳定的； 当 | f (x*) | 1 时, x*是不稳定的.
P( x,
y),
dy
Q( x,
y).
(2)
dt
就可以变为dy
dx
=
Q(x,y)或者 P(x,y)
dx dx
=
P(x,y) Q(x,y)(4)
方程(4) 的积分曲线就可以看成是方程（2）在 在相平面上的轨线。
4.2 差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0