2018届人教A版(理) 椭圆 检测卷
2018届人教A版 椭圆 单元测试
2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.5 椭圆真题演练集训理 新人教A 版1．[2016²新课标全国卷Ⅲ]已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34 答案：A解析：设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋ym＝1，由题意可知，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，m －mc a ，⎝⎛⎭⎪⎫0，m 2和B (a,0)三点共线，则m －mc a －m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝13.2．[2016²江苏卷]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：63解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →²CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2²⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 3．[2016²天津卷]设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|FA |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)设F (c,0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a a －c ，可得a 2－c 2＝3c 2，又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3，由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →²FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k. 设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2 ，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912 k 2＋1. 在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔|MA |≤|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1， 即20k 2＋912 k 2＋1 ≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以，直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.4．[2014²新课标全国卷Ⅰ]已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k ＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1²4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 5.(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，上顶点为B 2，右顶点为A 2，过点A 2作x 轴的垂线交直线F 1B 2于点P ，若|PA 2|＝3b ，则椭圆C 的离心率为________．(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[审题视角] 求椭圆的离心率利用方程思想，只需利用题目条件得到a ，b ，c 的一个关系式即可，若得到的关系式含b ，可利用a 2＝b 2＋c 2转化为只含a ，c 的关系式．[解析] (1)由题设知，|B 2O ||PA 2|＝|F 1O ||F 1A 2|＝b 3b ＝c a ＋c ＝13，则e ＝12.(2)依题意及正弦定理，得|PF 2||PF 1|＝ac (注意到P 不与F 1F 2共线)， 即|PF 2|2a －|PF 2|＝ac ，∴2a |PF 2|－1＝ca ， ∴2a|PF 2|＝c a ＋1>2aa ＋c， 即e ＋1>21＋e ，∴(e ＋1)2>2.又0<e <1，因此 2－1<e <1. [答案] (1)12 (2)(2－1,1)方法点睛离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．。
201X-2018年人教A版选修1-1《2.1-2椭圆》练习含答案
.第二章 2.1-2 椭圆A 级基础稳固一、选择题1．已知椭圆x2y24，则m等于 (D)＋＝ 1 的长轴在y轴上，若焦距为10－m m－ 2A． 4B． 5C． 7 D ． 8[分析 ]由题意知， c＝2， a2＝ m－2， b2＝10－ m，∴ m－2－10＋m＝4，∴ m＝8.2．椭圆的一个极点与两焦点构成等边三角形，则它的离心率 e 为(A) 11A．B．2312C．4 D ．2[分析 ]c 1由题意，得 a＝2c，∴ e＝＝.a 23．与椭圆 9x2＋ 4y2＝ 36 有同样焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( B) x2y2x2y2A．＋＝ 1B．＋＝ 125202025x2y2x2y2C．＋＝ 1 D ．＋＝ 120458085[分析 ]椭圆 9x2＋4y2＝ 36 的焦点为 (0，5)， (0，－ 5)，∵ b＝25，∴a2＝ 25，应选 B．4．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( A )A．5－ 1B．3－1 223D ．5＋ 1C．22[分析 ]设椭圆的焦距为2c，短轴长为2b，长轴长为 2a，由题意得 (2b)2＝4ac，即b2＝ac.又 b2＝ a2－ c2，∴ a2－c2＝ ac，－1± 5.∴ e2＋ e－1＝0，∴ e＝2∵ e∈(0,1)，∴ e＝5－ 1. 25．椭圆x2＋my2＝ 1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( A ) 11A．4B．2C． 2 D ． 4[分析 ] 由题意y21＋ x2＝1，且＝ 2，1mm1∴m＝.应选A．4x2y26． (2017 ·全国Ⅲ文， 11)已知椭圆C：a2＋b2＝ 1(a> b>0) 的左、右极点分别为A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则 C 的离心率为( A) 63A．3B．321C．3 D ．3[分析 ]由题意知以 A1 A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bx－ ay＋2ab＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝2ab＝，a2 ＋b2ab1解得＝3，∴ ＝，a b a3c a2－ b21－b16∴ e＝＝a ＝a2＝1－2＝ .a33二、填空题7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰巧将长轴三平分，则此椭圆x2y2x2y2标准方程为＋＝ 1 或＋＝ 1 .81727281[分析 ]∵椭圆长轴长为18，∴a＝ 9.又两个焦点将长轴三平分，∴ a－ c＝2c，∴ c＝3，∴ b2＝a2－ c2＝72.∵焦点地点不确立，x2y2x2y2∴方程为＋＝1或＋＝ 1.81727281x2y2116 8．椭圆4＋m＝ 1 的离心率为2，则m＝ 3 或3.[分析 ]4－m1当焦点在 x 轴上时， e＝＝，22∴＝3.mm－4 116当焦点在 y 轴上时， e＝m＝2，∴ m＝3.三、解答题9．(2016 ·江苏苏州高二检测 )已知椭圆x2y2F1、F2的＋＝ 1 上一点P与椭圆的两个焦点4924连线相互垂直 .(1)求椭圆的离心率；(2)求△1 2 的面积．PF F[分析 ](1)由题意可知a2＝ 49，b2＝ 24，5∴ a＝7， b＝26，c2＝a2－b2＝ 25，∴c＝ 5，e＝7.(2)由椭圆定义 | PF1| ＋ | PF2| ＝ 2a＝ 14，由题意可知在Rt△PF1F2中有： | PF1| 2＋ | PF2| 2＝(2c)2＝ 100，∴2| PF1|| PF2| ＝ (| PF1| ＋ | PF2|) 2－ (| PF1| 2＋ | PF2 | 2)＝142－ 100＝ 96，∴| PF1|| PF2| ＝ 48.1∴S△ PF1F2＝| PF1|| PF2|＝24.2B 级修养提高一、选择题11．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为( C )3x 2y 2 x 2y 2A ．144＋128＝ 1 或128＋ 144＝ 1x 2 y 2B ． 6＋ 4＝1x 2y 2 x 2 y 2C ．＋＝1或＋＝1 3632 32 36x 2 y 2 x 2 y 2D ． ＋ ＝1或＋ ＝ 1 4 6 6 4[分析 ]c1由条件知 a ＝ 6， e ＝ ＝ ，∴ c ＝ 2，∴ b 2＝a 2－ c 2＝ 32，应选 C ．a3x 2 y 232．已知椭圆 C ：a 2 ＋b 2＝ 1(a > b >0)的左、右焦点为 F 1、 F 2，离心率为3 ，过 F 2 的直线 l交 C 于 A 、B 两点，若△ AF 1B 的周长为 43，则 C 的方程为 ( C )x 2 y 2x 2A ． 3＋ 2＝1B ． 3 ＋ y 2 ＝ 1x 2 y 2x 2 y 2C ． 12＋ 8 ＝1D ．12＋ 4＝1c3[分析 ] 依据条件可知 a ＝ 3 ，且 4a ＝ 43，x 2 y 2∴ a ＝ 3，c ＝ 1， b 2＝ 2，椭圆的方程为 3 ＋ 2 ＝1.y 23．若直线 y ＝ x ＋ 6与椭圆 x 2＋ m 2 ＝1(m >0 且 m ≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为 ( D)A ． 1B ．5C ． 2D ． 2 5y ＝ x ＋ 6[分析 ] 由y 2，得2x＋m 2＝1(1＋ m 2 )x 2＋ 2 6x ＋ 6－ m 2＝0，由已知＝24－4(1＋ m 2)(6－ m 2)＝ 0，解得 m 2 ＝ 5，∴椭圆的长轴长为2 5.x 2 y 24．已知直线 l 过点 (3，－ 1)，且椭圆 C ： 25＋36＝ 1，则直线 l 与椭圆 C 的公共点的个数为(C)A ． 1B ．1或2C ． 2D ． 032－1 2[分析 ] 由于直线过定点 (3，－ 1)且25＋36<1 ，所以点 (3，－ 1)在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有 2 个公共点．5． (2015 ·江西八校联考 )已知圆 C 1： x 2＋2cx ＋ y 2＝ 0，圆 C 2： x 2－ 2cx ＋ y 2 ＝ 0，椭圆 C ：x 2 y 2a 2＋b 2＝ 1(a >b >0) ，若圆 C 1 ，C 2 都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )11A ． 2，1B ． 0，2C ．2D ．22 ， 10， 2[分析 ] 圆 C 1， C 2 都在椭圆内等价于圆 C 2 的右极点 (2c,0)，上极点 (c ， c )在椭圆内部，2c ≤ a ，c 1c2c2? 0<∴只要≤ .a 2 ＋b 2≤1a 21即椭圆离心率的取值范围是 0，2.二、填空题6．若椭圆的一个焦点将其长轴分红 3︰ 2两段，则椭圆的离心率为 5－26.[分析 ] 椭圆的一个焦点将其长轴分红＋ c 与 － 两段，aa ca ＋ c 3 ∴a －c ＝，2∴ ( 3－ 2)a ＝ ( 3＋ 2)c ，c∴ ＝ ＝5－2 6.e ax 2 y 27．(2017 ·全国Ⅰ文， 12)设 A ，B 是椭圆 C ： 3 ＋ m ＝ 1 长轴的两个端点．若 C 上存在点M 知足∠ AMB ＝ 120 °，则 m 的取值范围是 __(0,1]∪ [9，＋∞ )__.[分析 ] 方法 1：设焦点在 x 轴上，点 M (x ， y )．过点 M 作 x 轴的垂线，交x 轴于点 N ，则 N (x,0)．故 tan ∠ AMB ＝ tan(∠AMN ＋∠ BMN )3＋ x 3－ x| y |＋| y | 2 3| y |.＝＝223＋ x 3－ x x ＋ y － 31－||· | |yy又 tan ∠ AMB ＝ tan 120 °＝－ 3，x 2 y 2且由 3 ＋ m ＝ 1 可得2 3| y |则3y 2＝3－ m＋y 2 －32m解得 | y | ＝ 3－ m .又 0<| y | ≤m ，即3y 2x 2＝3－ m ，2 3| y |＝－ 3.31－ m y 22m0<3－ m ≤ m ，联合 0< m <3 解得 0<m ≤ 1.关于焦点在 y 轴上的状况，同理亦可得 m ≥ 9.则 m 的取值范围是 (0,1]∪[9，＋∞ )．方法 2：当 0< m <3 时，焦点在x 轴上，要使 C 上存在点 M 知足∠ AMB ＝ 120 °，a3则 b ≥ tan 60 °＝ 3，即 m ≥ 3，解得 0<m ≤ 1.当 >3 时，焦点在 y 轴上，m要使 C 上存在点 M 知足∠ AMB ＝ 120 °，am3，解得 m ≥ 9.则 b ≥ tan 60 °＝ 3，即3 ≥故 m 的取值范围为 (0,1]∪[9，＋∞ )．三、解答题8． (2017 ·北京文， 19)已知椭圆 C 的两个极点分别为 A (－ 2,0)， B (2,0)，焦点在 x 轴上，.3离心率为 2 .(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ，N ，过 D 作 AM的垂线交 BN 于点 E .求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为4︰ 5.x 2 y 2[分析 ](1)设椭圆 C 的方程为 a 2＋ b 2＝ 1(a >b >0) ，＝ 2，a由题意得c 3 解得 c ＝3，a ＝2，所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1，所以椭圆 C 的方程为x 2＋y 2＝1.4(2)设 M (m ， n )，则 D (m,0)， N (m ，－ n )，由题设知 m ≠± 2，且 n ≠ 0.n直线 AM 的斜率 k AM ＝ m ＋ 2，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n，m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－n(x － m )，n直线 BN 的方程为 y ＝ 2－ m (x －2)．y ＝－m ＋ 2 x － m ，n联立ny ＝2－m x －2，n 4－ m 2解得点E的纵坐标yE＝－4－ m 2 ＋n 2 .由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m 2 ＝ 4n 2，4 所以 y E ＝－ n .5.12又 S △ BDE ＝ 2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n | ，所以△ BDE 与△ BDN 的面积之比为4︰ 5.C 级 能力提高1．已知 B 1、B 2 为椭圆短轴的两个端点，F 1、 F 2 是椭圆的两个焦点，若四边形B 1 F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为2 . 2[分析 ] 如图，由已知得b ＝c ＝2 a ，2c2∴ e ＝a ＝ 2 .x 22． (2017 ·全国Ⅱ文， 20)设 O 为坐标原点，动点M 在椭圆 C ： ＋y 2 ＝1 上，过 M 作 x轴的垂线，垂足为→2 →N ，点 P 知足NP ＝NM .(1)求点 P 的轨迹方程；→→(2)设点 Q 在直线 x ＝－ 3 上，且 OP · PQ ＝ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C的左焦点 F .[分析 ] (1)设 P (x ， y )， M (x 0， y 0)，则 ( 0,0)， →＝ ( － 0， )， → ＝ (0， 0)．N xNPx xy NMy→→2由 NP ＝2 NM ，得 x 0＝ x ，y 0 ＝ 2 y .x 2y 2由于 M (x 0， y 0)在 C 上，所以 2 ＋ 2＝ 1.所以点 P 的轨迹方程为x 2＋ y 2＝ 2.(2)由题意知 F (－ 1,0)．设 Q (－ 3， t )， P (m ， n )，.→→→→则 OQ＝(－3， t)，PF＝(－1－ m，－ n)， OQ· PF＝3＋3m－ tn，→→OP＝(m， n)， PQ＝(－3－ m， t－ n)．→→22由 OP· PQ＝1得－3m－ m ＋tn－ n ＝1，又由 (1)知m2＋n2＝ 2，故 3＋ 3m－tn＝0.→→→→所以 OQ· PF＝0，即 OQ ⊥ PF.又过点 P 存在独向来线垂直于OQ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线 l 过 C 的左焦点F.。
最新-2018届高考数学一轮复习 椭圆调研课件 文 新人教A版 精品
【解析】 (1)∵ MF1⊥x轴，∴xM＝－c.
b2
b2
代入椭圆方程，得yM＝ a ，∴kOM＝－ac.
b 又∵kAB＝－a且OM∥ AB，
b2
b
2
∴－ac＝－a.故 b＝ c，从而e＝ 2 .
(2)设 |QF1|＝ r1，|QF2|＝ r2，∠F1QF2＝θ.
∵r1＋ r2＝2a，|F1F2|＝ 2c，
圆． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c
为常数； (1)若a>c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a<c，则集合P为空集． 2．椭圆的两种标准方程：
x2 y2
y2 x2
a2＋b2＝ 1，a2＋b2＝1.(其中a>b>0)
3．椭圆的几何性质
4．
方
程：
Ax2＋
By2＝
1或
x2 A
＋
y2 B
＝
1(A>0，
B>0，
A≠
B)也
表
示椭圆．
教材回归
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x2 3
＋ y2＝1上，顶点A
是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，
则△ABC的周长是(
)
A． 2 3
B．6
C． 4 3
D． 12
解析 ∵a2＝3，∴a＝ 3
定义式的平方 (2)对△F1PF2的处理方法 余弦定理
面积公式
(|PF1|＋ |PF2|)2＝(2a)2
⇔ 4c2＝ |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ 1 S△＝2|PF1||PF2|sinθ
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习课时跟踪检测56含答案
课时跟踪检测(五十六)1．已知椭圆x 2a 2＋错误!＝1(a 〉b >0）的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝错误!,点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.（1）求椭圆的方程；(2)若A ,B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，错误!·错误!＝0,求|错误!|＋|错误!｜的取值范围．解：（1）由题意，得当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝错误!·｜F 1F 2|·｜OP |＝bc ，∴bc ＝4错误!，∵e ＝12，∴b ＝23,a ＝4， ∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝1.（2）由（1)得，椭圆的方程为x 216＋错误!＝1, 则F 1的坐标为（－2，0），∵错误!·错误!＝0，∴AC ⊥BD 。
①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|错误!｜＋|错误!｜＝6＋8＝14。
②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k（x＋2）,设A（x1,y1)，C(x2，y2），联立错误!消去y，得（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－48＝0,∴错误!∴｜错误!|＝错误!|x1－x2｜＝错误!，此时直线BD的方程为y＝－错误!（x＋2），同理,由错误!可得|错误!|＝错误!,∴｜错误!｜＋｜错误!｜＝错误!＋错误!＝错误!，令t＝k2＋1（k≠0)，则t>1，∴｜错误!｜＋｜错误!|＝错误!，∵t>1,∴0<错误!≤错误!，∴|错误!｜＋｜错误!|∈错误!。
由①②可知,｜错误!｜＋|错误!｜的取值范围是错误!。
2．已知椭圆C1：错误!＋错误!＝1(a>b〉0)的离心率为e＝错误!，过C1的左焦点F1的直线l:x－y＋2＝0被圆C2：(x－3）2＋(y－3)2＝r2(r>0)截得的弦长为2错误!。
考试必备-2018届高考数学人教A版(理)二轮复习第九篇 第4讲 椭圆
第4讲 椭 圆A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1◎椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|＝( )◎A ◎72B ◎32C ◎3D ◎4解析 a 2＝4，b 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，不妨设F 1为左焦点，P 在x 轴上方，则F 1(－3，0)，设P (－3，m )(m >0)，则(－3)24＋m 2＝1，解得m ＝12，所以|PF 1|＝12，根据椭圆定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2×2－12＝72◎答案 A2◎(·江西)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2◎若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )◎A ◎14B ◎55C ◎12D ◎5－2解析 因为A ，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ◎又因为|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列， 所以(a －c )(a ＋c )＝4c 2，即a 2＝5c 2◎所以离心率e ＝c a ＝55，故选B ◎答案 B3◎(·嘉兴测试)已知椭圆x 2＋my 2＝1的离心率e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数m 的取值范围是( )◎A ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D ◎⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 解析 椭圆标准方程为x 2＋y 21m ＝1◎当m >1时，e 2＝1－1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得m >43；当0<m <1时，e 2＝1m －11m ＝1－m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，解得0<m <34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞◎答案 C4◎(·温州测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的中心为O ，左焦点为F ，A 是椭圆上的一点◎OA →·AF →＝0且OA →·OF→＝12OF →2，则该椭圆的离心率是 ( )◎A ◎10－22B ◎10＋22C ◎3－ 5D ◎3＋ 5解析 因为OA →·AF →＝0，且OA →·AF →＝OA →·(OF →－OA →)，所以OA →·OF →＝OA →2，所以|OA →|＝22|OF →|＝22c ，所以|AF →|＝22c ，且∠AOF ＝45°，设椭圆的右焦点是F ′，在△AOF ′中，由余弦定理可得AF ′＝ 52c ，由椭圆定义可得AF ＋AF ′＝12c ＋ 52c ＝2a ，即(1＋5)c ＝22a ，故离心率e ＝c a ＝221＋5＝10－22◎答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5◎(·青岛模拟)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________◎解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴m 2－n 2＝4①，e ＝12＝2m ，∴m ＝4，代入①得，n 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1◎答案 x 216＋y 212＝16◎(·佛山模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝11，a 2＋a 3＋a 4＝21，则椭圆C ：x 2a 6＋y 2a5＝1的离心率为________◎解析 由题意，得a 4＝10，设公差为d ，则a 3＋a 2＝(10－d )＋(10－2d )＝20－3d ＝11，∴d ＝3，∴a 5＝a 4＋d ＝13，a 6＝a 4＋2d ＝16>a 5，∴e ＝16－134＝34◎答案 34 三、解答题(共25分)7◎(12分)已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，AF 2→·F 1F 2→＝0，若椭圆的离心率等于22◎(1)求直线AO 的方程(O 为坐标原点)；(2)直线AO 交椭圆于点B ，若三角形ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程◎解 (1)由AF 2→·F 1F 2→＝0，知AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率等于22，∴c ＝22a ，可得b 2＝12a 2◎设椭圆方程为x 2＋2y 2＝a 2◎设A (x 0，y 0)，由AF 2→·F 1F 2→＝0，知x 0＝c ， ∴A (c ，y 0)，代入椭圆方程可得y 0＝12a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，12a ，故直线AO 的斜率k ＝22，直线AO 的方程为y ＝22x ◎(2)连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知，S △ABF 2＝S △ABF 1＝S △AF 1F 2， ∴12·2c ·12a ＝42◎又由c ＝22a ，解得a 2＝16，b 2＝16－8＝8◎故椭圆方程为x 216＋y 28＝1◎8◎(13分)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为23◎(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程◎解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2◎所以椭圆C 的焦距为4◎(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF 2→＝2F 2B →及l 的倾斜角为60°，知y 1<0，y 2>0， 直线l 的方程为y ＝3(x －2)◎由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －2)，x 2a 2＋y 2b2＝1消去x ，整理得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0◎解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2◎因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，解得a ＝3◎而a 2－b 2＝4，所以b 2＝5◎故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1◎B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1◎(·厦门质检)已知F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b29相切于点Q ，且PQ →＝2Q F →，则椭圆C 的离心率等于 ( )◎A ◎53B ◎23C ◎22D ◎12解析 记椭圆的左焦点为F ′，圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 32＋y 2＝b29的圆心为E ，连接PF ′，QE ◎∵|EF |＝|OF |－|OE |＝c －c 3＝2c 3，PQ →＝2Q F →， ∴|EF ||F ′F |＝13＝|QF ||PF |，∴PF ′∥QE ， ∴|QE ||PF ′|＝13，且PF ′⊥PF ◎又∵|QE |＝b3(圆的半径长)，∴|PF ′|＝b ◎据椭圆的定义知：|PF ′|＋|PF |＝2a ，∴|PF |＝2a －b ◎∵PF ′⊥PF ，∴|PF ′|2＋|PF |2＝|F ′F |2， ∴b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，∴2(a 2－c 2)＋b 2＝2ab ， ∴3b 2＝2ab ，∴b ＝2a 3，c ＝a 2－b 2＝53a ，c a ＝53， ∴椭圆的离心率为53◎答案 A2◎(·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32◎双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )◎A ◎x 28＋y 22＝1 B ◎x 212＋y 26＝1 C ◎x 216＋y 24＝1D ◎x 220＋y 25＝1解析 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2◎双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b 2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1◎答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3◎(·泰安一模)F 1，F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB ＝30°，则该双曲线的离心率为________◎解析 如图，以F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝c 2，双曲线的渐近线为y ＝b a x ◎由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，y ＝b ax ，得M (a ，b )，∴△MAB 为直角三角形◎∴在Rt △MAB 中，tan 30°＝|MB ||AB |＝b 2a ＝33◎∴b a ＝233◎∴e ＝1＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213◎答案2134◎如图，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为________◎解析 设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ，∴|BF |＝a ， ∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b ◎S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，∴b 2＝2，∴b ＝2，∴a ＝22，∴椭圆的方程为x 28＋y 22＝1◎答案 x 28＋y 22＝1 三、解答题(共25分)5◎(12分)(·南京二模) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切◎(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (0,1)，Q (0,2)◎设M ，N 是椭圆C 上关于y 轴对称的不同两点，直线PM 与QN 相交于点T ◎求证：点T 在椭圆C 上◎(1)解 由题意知，b ＝22＝2◎因为离心率e ＝c a ＝32，所以ba ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝12◎所以a ＝22◎所以椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1◎(2)证明 由题意可设M ，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(－x 0，y 0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1，① 直线QN 的方程为y ＝y 0－2－x 0x ＋2◎②法一 联立①②解得x ＝x 02y 0－3，y ＝3y 0－42y 0－3，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－3，3y 0－42y 0－3◎由x 208＋y 202＝1，可得x 20＝8－4y 20◎因为18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02y 0－32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y 0－42y 0－32＝x 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝8－4y 20＋4(3y 0－4)28(2y 0－3)2＝32y 20－96y 0＋728(2y 0－3)2＝8(2y 0－3)28(2y 0－3)2＝1，所以点T 的坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上◎法二 设T (x ，y )，联立①②解得x 0＝x2y －3，y 0＝3y －42y －3◎因为x 208＋y 22＝1，所以18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2y －32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3y －42y －32＝1◎整理得x 28＋(3y －4)22＝(2y －3)2，所以x 28＋9y 22－12y ＋8＝4y 2－12y ＋9，即x 28＋y 22＝1◎所以点T 坐标满足椭圆C 的方程，即点T 在椭圆C 上◎6◎(13分)(·重庆) 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形◎(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程◎解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)◎因△AB 1B 2是直角三角形， 又|AB 1|＝|AB 2|， 故∠B 1AB 2为直角， 因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2◎结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255◎在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2◎由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20◎因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1◎(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)◎由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l的方程为x ＝my －2◎代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0◎设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根， 因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)， 所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0， 即16m 2－64＝0，解得m ＝±2◎所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0◎。
人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆 习题课测试卷(含解析)
3.1椭圆测试卷（原卷版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝12．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12D.3－14.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝4237．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．8．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．11．过点M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为()A ．2B ．－2C.12D ．－1212．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，下顶点为B ，离心率为32，且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________，若点P 在椭圆C 上，且以AP 为直径的圆过B 点，则直线AP 的斜率为________．13．已知中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4，且椭圆M 过点(1，3)．(1)求椭圆M 的方程；(2)若过点C (0，1)的直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且AC →＝2CB →，求直线l 的方程．1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4D.433或433．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.34．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C的方程；(2)若AM→＝2MB→，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝47相切于点N，求MN的长．11．已知椭圆C过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．3.1椭圆测试卷（解析版）1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是()A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1答案D2．若椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为()A ．1－32B ．2－3C.3－12 D.3－1答案D解析在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°，不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2，则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1.所以离心率e ＝ca ＝21＋3＝3－1.故选D.4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为2sin 60°＝433，即长半轴长为233，所以半焦距为33，故离心率为12.5．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A ．(0，1)，12D.22，答案C解析依题意，以F 1，F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内，得c <b ，即c 2<b 2，c 2<a 2－c 2，2c 2<a 2.故－22＜e ＝c a <22，又0<e <1，所以0<e <22.6．【多选题】设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线l 不经过原点O ，且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．k AB ·k OM ＝－1B ．若点M 坐标为(1，1)，则直线l 的方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线l 的方程为y ＝x ＋1，则点M 的坐标为(13，43)D ．若直线l 的方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案BD解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)＋y 124＝1，＋y 224＝1，两式相减，得x 12－x 222＋y 12－y 224＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2，即k AB ·k OM ＝－2，所以A 不正确；对于B ，由k AB ·k OM ＝－2，M (1，1)，得k AB ＝－2，所以直线l 的方程为y －1＝－2(x －1),即2x ＋y －3＝0，所以B 正确；对于C ，若直线l 的方程为y ＝x ＋1，k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 不正确；对于D ，由x ＋2，＋y 24＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，所以|AB |＝1＋12|－43－0|＝423，所以D 正确．故选BD.7．与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．答案x 215＋y 210＝18．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．答案35解析2＋4y 2＝16，＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0，Δ＞0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－212所以弦长|MN |x 1－x 2|＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝54×（4＋24）＝35.9．椭圆C ：x 28＋y 24＝1的弦AB 的中点为点Q (2，1)，则弦AB 所在直线的方程为________，若点P 为椭圆上的任意一点，F 为左焦点，O 为原点，则OP →·FP →的取值范围为________．答案x ＋y －3＝0[2，8＋42]解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 124＝1，＋y 224＝1，即x 12－x 22＋2(y 12－y 22)＝0，变形为y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.又AB 的中点为点Q (2，1)，则有x 1＋x 22＝2，y 1＋y 22＝1，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，即直线AB 的斜率为－1，所以弦AB 所在直线的方程为y ＝－(x －2)＋1，即x ＋y －3＝0.设P (x 0，y 0)，又F (－2，0)，所以OP →＝(x 0，y 0)，FP →＝(x 0＋2，y 0)，所以OP →·FP →＝2x 0＋x 02＋y 02＝2x 0＋x 02＋4－x 022＝12(x 0＋2)2＋2.又－22≤x 0≤22，所以当x 0＝－2时，OP →·FP →有最小值2；当x 0＝22时，OP →·FP →有最大值8＋42，所以OP →·FP →∈[2，8＋42]．10．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)，斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3，2)．(1)求椭圆G 的方程；(2)求△PAB 的面积．解析(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝2 3.则b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，x ＋m ，＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①由Δ＝(6m )2－4×4×(3m 2－12)＞0，得m 2＜16.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－3m2，则x0＝x1＋x22＝－3m4，y0＝x0＋m＝m4.因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322.所以△PAB的面积S＝12|AB|·d＝92.11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆x22＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为()A．2B．－2C.12D．－12答案D解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)y12＝1，①y22＝1.①－②，得（x1＋x2）（x1－x2）2＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.即2x·（x1－x2）2＋2y(y1－y2)＝0.∴k1＝y1－y2x1－x2＝－x2y.又k2＝yx，∴k1·k2＝－12.12．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为32，且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．答案x24＋y2＝1310解析由题意可知ca＝32，S△BF1F2＝bc＝3.又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝3，a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.因为k AB＝－ba＝－12，所以k BP＝2.所以直线BP的方程为y＝2x－1.2x－1，y2＝1，＝0，＝－1＝1617，＝1517，所以点PAP的斜率k AP＝1517－01617＋2＝310.13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且AC→＝2CB→，求直线l的方程．解析(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.b2＝4，＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2.∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－6)和(0，6)，不满足AC→＝2CB→，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，kx＋1，＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵AC→＝2CB→，∴(－x 1，1－y 1)＝2(x 2，y 2－1)，∴x 1＝－2x 2，∴x 1＋x 2＝－x 2＝－2k3＋k 2，x 1x 2＝－2x 22＝－53＋k 2，∴8k 2（3＋k 2）2＝53＋k 2，即8k 23＋k 2＝5，解得k 2＝5，∴k ＝± 5.故直线l 的方程为y ＝±5x ＋1.1．设a >0，则椭圆x 2＋2y 2＝2a 的离心率是()A.12B.22C.13D ．与a 的取值有关答案B2．已知点P 是椭圆x 216＋y 24＝1上一点，其左、右焦点分别为F 1，F 2，若△F 1PF 2外接圆的半径为4，则△F 1PF 2的面积是()A.433B ．43C ．4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2＝2×4＝8，∴sin ∠F 1PF 2＝32.∴cos ∠F 1PF 2＝±12，符合题意．由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝8，∴|PF 1||PF 2|＝16或163.∴S △F 1PF 2＝12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2＝433或4 3.3．已知A ，B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)长轴的两个端点，M ，N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)．若椭圆的离心率为32，则|k 1|＋|k 2|的最小值为()A ．1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (－a ，0)，B (a ，0)．设M (x ，y )，N (x ，－y )(－a <x <a )，则k 1＝y x ＋a ，k 2＝y a －x.又椭圆的离心率为32，所以b a ＝1－e 2＝12，所以|k 1|＋|k 2|＝|y |x ＋a ＋|y |a －x≥2y 2a 2－x 2＝2b a ＝1(当且仅当|y |x ＋a ＝|y |a －x，即x ＝0时等号成立)．故选A.4．已知直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12，则这样的点P 共有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案B解析可求出|AB |＝5，设P (4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，则P 点到AB 的距离为d ＝|12（cos θ＋sin θ）－12|5＝245.∴θ＝π或3π2，∴这样的点P 有2个．5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为3，则这个椭圆的方程为________．答案x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1解析依题意可得a ＝2c ，a －c ＝3，∴c ＝ 3.∴a ＝23，b 2＝9.故椭圆的方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ，350km.设地球半径为R km ，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示)．答案75275＋R解析由题意得a －c ＝200＋R ，a ＋c ＝350＋R ，求得a ＝275＋R ，c ＝75.所以离心率e ＝c a ＝75275＋R.7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．答案22解析设椭圆的左焦点为F 1，O 为坐标原点，连接OQ ，QF 1，QF ，由F 关于直线l ：y ＝b c x 的对称点Q 在椭圆上，得|OQ |＝|OF |.又|OF 1|＝|OF |，所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|＝ck (k ＞0)，则|QF |＝bk ，|F 1F |＝ak ，因此2c ＝ak .又2a ＝ck ＋bk ，由以上二式可得2c a ＝k ＝2a b ＋c，即c a ＝a b ＋c ，即a 2＝c 2＋bc ，所以b ＝c ，e ＝22.8．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a.不妨令∴kBF 1＝－b 2a －0c －（－c ）＝－b 2a 2c＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac(x ＋c )．令x ＝0，则y ＝－b 22a.∴k AD ＝b 2a ＋b 22a c＝3b 22ac .∵AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac＝－1.∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac .∴3e 2＋2e －3＝0.∴e ＝－2±4－4×3×（－3）23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝33.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)4，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若OA →·OB →＝－32，求k 的值．解析(1)∵2a ＝4，∴a ＝2.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2b2＝1.∵椭圆C，∴14＋94b2＝1.∴b 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设O 到l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，则d ＝r ＝1.即|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2.①＋y 23＝1，kx ＋m ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.则Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝192k 2－48m 2＋144＝144k 2＋96＞0.设A ，B 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2－123＋4k2.∴y 1·y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝7m 2－12k 2－123＋4k 2.②将①代入②，得x 1x 2＋y 1y 2＝－5－5k 23＋4k 2.∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－32，∴－5－5k 23＋4k 2＝－32，∴k ＝±22.10.如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为(3，0)1M 是x 轴上的一点，过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM →＝2MB →，且直线l 与圆O (O 为坐标原点)：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求MN 的长．解析(1)2＝3，1，解得a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m ，0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，∴原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t 2＝47，即t 2＝74m 2－1.由AM →＝2MB →，得y 1＝－2y 2.y 2＝1，ty ＋m ，得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则Δ＝16(t 2－m 2＋4)＝12m 2＋48＞0.∴y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.∵y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2，∴y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，即m 2－4t 2＋4＝－，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2.m 2－4）（t 2＋4）＝－8t 2m 2，＝74m 2－1，消去t 2，得21m 4－16m 2－16＝0，即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，∴±233，连接ON ，在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121，∴MN 的长为42121.11．已知椭圆C 过点(－1，0)，(1，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解析(1)由题意，得c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1(b ＞0)．因为点A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3或b 2＝－34(舍去)．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AE 的方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋－12＝0.由Δ＝36(2k ＋1)2＞0，得k ≠－12.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A所以x E y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代替k ，可得k ≠12，且x F y F ＝－kx F ＋32＋k .所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k （x F ＋x E ）＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.。
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：32-椭圆(含答案)
+ +
������2 ������ ������2 ������
2 =1(a>b>0).
注意:焦点的位置由x2,y2项系数分母的大小决定,焦点在系数分母 大的项对应的坐标轴上. (3)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定是哪种标准方程时 ,可设 2 2 ������ ������ + =1 (m,n>0,m≠n),可以避免讨论和繁杂的计算,也 方程为___________ ������ ������ 可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
5 - ������ 3 5 3
+ ������ =
-2������������
2
2
- ������ × ������ =
������ +������ ������2 ������2 -������2 ������ +������
2 2
2,
,
2 1 2 2 2 解之,得 c = ,∴b =1-c = . 3 3 3 ∴椭圆方程为 x2+ y2=1. 2
sin∠������1 ������������2 ∠������ ������������ · b2=b2tan 1 2=c· |y0|. 1+cos∠������1������������2 2 1 2
当 y0=±b,即 P 为短轴端点时,������△������������1 ������2 有最大值 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a+c).
【答案】 A
=
3 . 3
又∵过 F2 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,△AF1B 的周长为 4 3, ∴4a=4 3,∴a= 3. ∴b=
【配套K12】2018年高中数学课时跟踪检测五椭圆及其标准方程新人教A版选修2_1
课时跟踪检测（五） 椭圆及其标准方程层级一 学业水平达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D ．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为43．3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．在直角坐标系xOy 中，“a >b ”是“方程x 2a 2＋y 2b2＝1表示椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件又不必要条件解析：选A 若a >b ，则a 2≠b 2，方程x 2a ＋y 2b ＝1表示椭圆，是充分条件，若方程x 2a ＋y 2b＝1表示椭圆，得不到a >b ，不是必要条件．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C ．x 29＋y 212＝1 D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝3． ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23．∴b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1． ∴m －4＝1，m ＝5．当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1， ∴m ＝3． 答案：3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16．所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1． 答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3． 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25． ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．答案：x 225＋y 29＝19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C 与椭圆x 2＋37y 2＝37的焦点F 1，F 2相同，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫572，－6． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P ∈C ，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)因为椭圆x 237＋y 2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－36＝1(a 2>36)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫572，－6的坐标代入整理得4a 4－463a 2＋6 300＝0，解得a 2＝100或a 2＝634(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为x 2100＋y 264＝1． (2)因为P 为椭圆C 上任一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 由(1)知c ＝6，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12， 所以由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|，所以122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以122＝202－3|PF 1||PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝32×83＝2563．S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433． 所以△F 1PF 2的面积为6433．层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为＋2＋32＋－2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C ．2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1·PF 2＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1·PF 2＝0， ∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ②②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9．3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1．因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0．又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2．4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132．答案：1326．已知椭圆C ：x 29 ＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________．解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12．答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5＋3，c 2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．法二：设所求的椭圆方程为x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)或y 2a ＋x 2b ＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2．由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4．在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ；在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a ．依题意有b 2a＝3，得b 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．8． 如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5．又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214．故点M的轨迹方程为x2254＋y2214＝1．。
高中数学人教A版选修4-4 2.2.1 椭圆的参数方程 测试(教师版)
2.2.1 椭圆的参数方程（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1、曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ为参数)的离心率为( )A.23 B.35 C.32D.53【解析】 由题设，得x 29＋y 25＝1， ∴a 2＝9，b 2＝5，c 2＝4， 因此e ＝c a ＝23. 【答案】 A2．已知曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22C ．(－3，－4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 【解析】 因为y －0x －0＝43tan θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，所以cos θ＝45，sin θ＝35，代入得P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.【答案】 D3、与参数方程为x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 是参数)等价的普通方程为（ ）A.2214y x += B.()221014y x x +=≤≤C.()221024y x y +=≤≤ D.()22101,024y x x y +=≤≤≤≤【答案】D【解析】22222,11,144y y x t t x x ==-=-+=,而由0,?0110,t t t ≥⎧≤≤⎨-≥⎩ ,从01,02x y ≤≤≤≤.故选D 。
4、椭圆上的点到直线20x y +=的最大距离为( )．A. 2B. 3C.D. 【答案】D 【解析】椭圆方程为221,164x y +=∴可设椭圆上的任意一点P 坐标为()4c o s ,2,s i n Pαα∴到直线220x y +-=的距离d ==，424παα⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭0d∴≤≤的最大，故选D.5．已知椭圆()222210,x y a b M a b+=>>为椭圆上一动点， 1F 为椭圆的左焦点则线段1MF 的中点P 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 圆C. 双曲线的一支D. 线段 【答案】A【解析】设10M acos bsin F c θθ-∴（，）（，），线段1MF 的中点22acos c bsin P θθ-（，），2{ 2acos cx bsin y θθ-=∴=， 22x c y cos sin a b θθ+∴==，， ∴点P 的轨迹方程为22222144c x y a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+＝， ∴线段1MF 的中点P 的轨迹是椭圆．故选A ．6．若动点在曲线上运动，则的最大值为（ ）A.B.C. D.【答案】A【解析】由题意得 ，选A.二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为________．【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2cos π3＝1，y ＝4sin π3＝23，得点M 的坐标为(1,23)直线OM 的斜率k ＝231＝2 3.【答案】 2 38、在直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为12x cos y sin αα⎧⎨⎩＝＝＋ (α为参数)，在极坐标系中，C 2的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝6，则C 1与C 2的交点个数为____. 【答案】0 【解析】曲线2C 的普通方程为()22y 1x 14-+=，2C 的直角坐标方程为3x 4y 6-= ，由()22y 1x 14346x y ⎧-⎪+=⎨⎪-=⎩ 得273x 60x 360-+= ，()260473360∆=--⨯⨯< ，故直线与椭圆无交点，交点个数为0.9. 已知椭圆的参数方程2?4?x costy sint =⎧⎨=⎩（t 为参数)点M 、N 在椭圆上，对应参数分别为π3，π6，则直线MN 的斜率为 【答案】-2【解析】当πt 3=时,2cos 1,?3π4sin 3x y π⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩即(M 同理)N,2.MN 2k =-=10、在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为x αy sin α⎧=⎪⎨=⎪⎩，(α 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πρsin θ4⎛⎫+= ⎪⎝⎭.设P 为曲线1C 上的动点，则P 到2C 上点的距离的最小值为_______【答案】【解析】本题考查极坐标参数方程以及三角函数求最值.曲线1C 的普通方程为22x y 13+= ，2C 的普通方程为x y 8+= ，利用点到直线的距离公式，将椭圆的参数方程代入直线x y 8+=中有d⎡==⎣，所以当πsinα13⎛⎫+=⎪⎝⎭时，d的最小值为，此时点P的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭.三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11、已知直线l的极坐标方程是ρcos θ＋ρsin θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是⎩⎨⎧x＝2cos θy＝sin θ(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．【答案】825.【解析】由题意知直线和椭圆方程可化为：x＋y－1＝0，①x24＋y2＝1，②①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，解得x1＝0，x2＝85.设直线与椭圆交于A、B两点，则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫85，－35，则|AB|＝⎝⎛⎭⎪⎫－35－12＋⎝⎛⎭⎪⎫852＝825，故所求的弦长为825.12、在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x＝3cos αy＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 【答案】(1)点P 在直线l 上 (2) 2【解析】 (1)把极坐标系下的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋22，由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.13、已知在直角坐标系x y O 中，圆锥曲线C 的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），定点()3,0-A ，21,F F 是圆锥曲线C 的左、右焦点．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点1F 且平行于直线2AF 的直线l 的极坐标方程；（2）设（1）中直线l 与圆锥曲线C 交于N M ,两点，求N F M F 11⋅． 【答案】（1）3)3sin(2=-πθρ （2）125【解析】（1）圆锥曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 2y x （θ为参数），所以普通方程为C ：13422=+y x ,)1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0(12+==∴--x y l k F F A∴直线极坐标方程为：3)3sin(23cos 3sin =-⇒+=πθρθρθρ（2）直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=2321t y t x （t 为参数）， 代入椭圆方程得012452=--t t51221-=∴t t 由t 的几何意义可得111212||||5F M F N t t ==。
05 椭圆(原卷版)(人教A版2019选择性必修第一册)
05椭圆一、典例精析拓思维（名师点拨）核心问题1椭圆的方程例1．（2021·河北·武安市第三中学高二阶段练习）曲线C 的方程是4=，则曲线C 的形状是（）A．圆B．椭圆C．线段D．直线练习1-1．（2021·江西赣州·高二阶段练习（理））已知()()4,0,4,0B C -，且ABC 的周长等于20，求顶点A 的轨迹方程_______.例2．（2021·重庆复旦中学高二期中）（1）已知曲线222()8(:5())C m x m y m R -+-=∈.若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）求满足下列条件的椭圆的标准方程：经过两点(2,，1,2⎛- ⎝⎭.练习2-1．（2021·全国·高二课时练习）求适合下列条件的椭圆标准方程：（1）经过点()30A -,,()0,2B -；（2）长轴长等于20,焦距等于12.核心问题2椭圆的离心率例1．（2021·北京市第三十五中学高二阶段练习）椭圆()222210x y a b a b +=>>的两顶点为(),0A a ，()0,B b ，左焦点为F ，在FAB 中，90B ∠=︒，则椭圆的离心率为（）C．14练习1-1．（2021·江苏·高二单元测试）已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左，右焦点，若椭圆上存在点P ，使1290F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A．2⎛ ⎝⎦B．2⎫⎪⎪⎣⎭C．0,2⎛ ⎝⎦D．2⎫⎪⎪⎣⎭练习1-2．（2021·北京医学院附属中学高二期末）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中，点2F 为椭圆的右焦点，点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的短轴上的顶点，若2F B AB ⊥，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（）A．2B．12核心问题3焦点三角形例1．（2022·全国·高三专题练习）设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F ∆的面积为（）A．6B．C．8D．练习1-1．（2021·重庆·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的坐标为()12,0,F 为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆上一点，若12124tan ,63PF F F PF S ∠== ，则椭圆C 方程为__________.练习1-2．（2021·黑龙江·哈师大附中高三期中（理））已知点P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上一点，点1F ､2F 是椭圆C 的左､右焦点，若12PF F ∆的内切圆半径的最大值为a c -，则椭圆C 的离心率为_________．核心问题4点差法例1．（2022·全国·高三专题练习）已知AB 是椭圆()222210x y a b a b+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.练习1-1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆221164x y +=内的一点(21)M ，引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.练习1-2．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知椭圆C ：22142x y +=，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点.若线段AB 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程：核心问题5椭圆的弦长例1．（2021·全国·高二专题练习）已知点()11,0F -，()21,0F ，动点P 到点1F ，2F 的距离和等于4.（1）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程；（2）若曲线C 与直线:1m y x =-相交于A 、B 两点，求弦AB 的长.练习1-1．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高二期末（理））已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>1的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B .（1）求椭圆M 的方程；（2）求AB 的最大值.核心问题6椭圆中的面积问题例1．（2021·福建省厦门集美中学高三阶段练习）椭圆2222:1(0)>>x y E a b a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，焦距为O 为原点.椭圆E 上任意一点到1F ，2F 距离之和为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点(02)P ，的斜率为2的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点，求OAB ∆的面积.练习1-1．（2021·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））若椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>过抛物线24x y =的焦点，且与双曲线221x y -=有相同的焦点.（1）求椭圆E 的方程；（2）不过原点O 的直线l ：y x m =+与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB ∆面积的最大值以及此时直线l 的方程.核心问题7直线与椭圆例1．（2021·江西·南昌大学附属中学高二期中（理））不论k 为何值，直线1y kx =+与椭圆2216x y m+=有公共点，则实数m 的取值范围是（）A．(]0,1B．[)1,+∞C．[)()1,6+∞D．()[)–,01,∞+∞ 例2．（2021·新疆·乌苏市第一中学高二阶段练习）已知点(),P x y 是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l :5y x =+的最大距离为（）A．2B．2C．D．例3．（2021·陕西·西安高级中学高二期中（理））已知点M 在椭圆C ：2222+=1x y a b ，0a b >>，且椭圆的离心率为3．（1）求椭圆C 的方程：（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求实数m 的取值范围．二、厚积薄发勤演练（题型归类练）一、单选题1．（2022·重庆·模拟预测）已知椭圆22:15x y C m+=的一个焦点坐标为()2,0，则m =（）A．1B．2C．5D．92．（2022·全国·高三专题练习）如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（）A．()1,+∞B．()1,2C．1(2，1)D．()0,13．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（）A．B．6C．4D．4．（2022·全国·高三专题练习（文））如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（）A．()2-∞-，B．(6)(3)-∞-+∞ ，，C．(62)(3)--+∞ ，，D．(3)+∞，5．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1245F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为()A．21-C．16．（2022·全国·高三专题练习）设F 1、F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A．14B．2C．34D．127．（2022·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（）A．5π6B．2π3C．π2D．π38．（2022·全国·高三专题练习）已知F 1，F 2分别是椭圆22x a +22y b=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，则椭圆的离心率e 的取值范围为（）A．0⎛ ⎝⎦B．12⎫⎪⎪⎣⎭C．0⎛ ⎝⎦D．1⎫⎪⎪⎣⎭二、填空题9．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________．10．（2022·全国·高三专题练习）经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，则线段AB 的长为___________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，关于原点对称的点A 、B 在椭圆上，且满足12||AB F F =，若令1F AB θ∠=且,124ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与椭圆221259x y +=有公共的左､右焦点分别为1F ，2F ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 及其渐近线在第一象限内分别交于M ，N 两点，且线段1NF 的中点在另一条渐近线上，则2OMF △的面积为___________.三、解答题13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 2与抛物线24y x =的焦点重合，且其离心率为12．（1）求椭圆C 的方程．（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与C 交于M ，N 两点，线段MN 中点为P ，问：MN OP k k ⋅(O 为坐标原点)是否为定值？请说明理由．14．（2022·全国·高三专题练习）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且2259a b =.（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.。
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[高考基础题型得分练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案：A解析：由题意知，a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ， ∴1m ＝4，∴m ＝14.2．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( )A.306B.7C.306或7 D.56或7 答案：C解析：因为实数4，m,9构成一个等比数列， 所以可得m 2＝36， 解得m ＝6或m ＝－6.当圆锥曲线为椭圆时，即x 2m ＋y 2＝1的方程为x 26＋y 2＝1， 所以a 2＝6，b 2＝1，则c 2＝a 2－b 2＝5， 所以离心率e ＝ca ＝56＝306.当曲线是双曲线时，可求得离心率为7.3．[2017·河北邯郸一模]椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍答案：A解析：设线段PF 2的中点为D ， 则|OD |＝12|PF 1|且OD ∥PF 1，OD ⊥x 轴， ∴PF 1⊥x 轴．∴|PF 1|＝b 2a ＝323＝32.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝43， ∴|PF 2|＝43－32＝732. ∴|PF 2|是|PF 1|的7倍．4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )A.32 B.332 C.94 D.154 答案：B解析：设向量F 1P →，F 2A →的夹角为θ.由条件知，|AF 2|为椭圆通径的一半，即|AF 2|＝b 2a ＝32，则F 1P →·F 2A →＝32|F 1P →|cos θ，于是F 1P →·F 2A →要取得最大值， 只需F 1P →在F 2A →上的投影值最大， 易知此时点P 为椭圆短轴的上顶点， 所以F 1P →·F 2A →＝32×|F 1P →|cos θ≤332.故选B.5．[2017·陕西西安质量检测]已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 2＝1答案：C解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的方程是x 24＋y 23＝1，故选C.6．[2017·甘肃兰州诊断]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22B.32C.23D.33答案：A解析：设椭圆C 的焦距为2c (c <a )， 由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0， ∴ab a 2＋b2＝63c ， ∵b 2＝a 2－c 2， ∴3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，∴e ＝22.7．[2017·江西师大附中模拟]椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba 的值为( )A.32B.233C.932D.2327答案：B解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，即ax 21－ax 22＝－(by 21－by 22)，by 21－by 22ax 21－ax 22＝－1， ∴b (y 1－y 2)(y 1＋y 2)a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－1，∴b a ×(－1)×32＝－1， ∴b a ＝233，故选B.8．[2017·山东青岛模拟]设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为________．答案：x 216＋y 212＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴m 2－n 2＝4，① e ＝12＝2m ，∴m ＝4， 代入①得，n 2＝12， ∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.9．[2017·湖南长沙一模]椭圆Г：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案：3－1解析：依题意得∠MF 1F 2＝60°， ∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，设|MF 1|＝m ，则有|MF 2|＝3m ，|F 1F 2|＝2m ， 该椭圆的离心率是e ＝|F 1F 2||MF 1|＋|MF 2|＝3－1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2,0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．解：(1)由已知可得，c a ＝63，c ＝2， 所以a ＝ 6.又由a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1. (2)设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ， 直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2， 也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎨⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP →＝QT →， 即(x 1，y 1)＝(－3－x 2，m －y 2)．所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－12m 2＋3－3，y 1＋y 2＝4mm 2＋3＝m ，解得m ＝±1.此时，S 四边形OPTQ ＝2S △OPQ ＝2×12·|OF ||y 1－y 2| ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝2 3.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·广东汕头一模]已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当点P 为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2.[2017·河北唐山模拟]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.3－12C.32D.3－1答案：D解析：解法一：设A (m ，n )，则⎩⎨⎧nm ＋c×(－3)＝－1，3×m －c 2＋n2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆C 中，有c 24a 2＋3c 24b 2＝1， ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)， ∴c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0， ∴e 2＝4±23， ∵0<e <1，∴e ＝3－1.解法二：设F ′是椭圆的右焦点，连接AF ，AF ′.由已知得△AFF ′是直角三角形，其中∠A ＝90°，∠AFF ′＝30°， ∵|FF ′|＝2c ，∴|AF |＝3c ，|AF ′|＝c ， ∴e ＝2c 2a ＝|FF ′||AF |＋|AF ′|＝2c c ＋3c＝3－1，故选D.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案：3解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2， ∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.4．[2017·河北保定一模]与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．答案：x 225＋y 216＝1解析：设动圆的半径为r ，圆心为P (x ，y )， 则有|PC 1|＝r ＋1，|PC 2|＝9－r . 所以|PC 1|＋|PC 2|＝10＞|C 1C 2|，即P 在以C 1(－3,0)，C 2(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，得点P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.5．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4， 解得a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝12(k 2＋1)3＋4k 2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k2， ∴△AF 2B 的面积为12|AB |·r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得17k 4＋k 2－18＝0，解得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.6．[2016·浙江卷]如图，设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k 2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2>0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2>0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)>1, 所以a > 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22 .。