16章二次根式复习课件
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第十六章 二次根式整理与复习 课件(共21张PPT)2024-2025学年人教版八年级数学下册
a b
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
二次根式的乘法 积的算术平方根的性质
二次根式的除法 商的算术平方根的性质
ab (a≥0，b≥0), a (a≥0，b＞0) b
3种思想方法：整体思想，转化思想，分类讨论思想
回顾与思考
1．当 x 是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？
2．什么叫最简二次根式？你能举出一些最简二次根 式的例子吗？ 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得
a(a 0), 4个性质：( a )2=a(a≥0)；a2 =｜a｜=0(a 0), 积的平方根的性质
a(a 0); 商的平方根的性质 a a (a≥0，b＞0)
bb
ab a b (a≥0，b≥0)；
3种运算：二次根式的乘除运算，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算
2个互逆过程： a b
（3）原式 =(2 3 )2 ( 6 )2 （4）原式 =(8 3 - 9 3) 6
=12-6 =6
=- 2 2
复复习习巩巩固固
（5）（2 2 3 3）2 （5）原式 =(2 2)2 + 2 2 2 3 3 + (3 3)2
=8 + 12 6 + 27 =35 + 12 6
复习巩固
（6）（ 3 1 2 - 1 1）2 23 4
解：由题意得：I 2 5 1=30 即I = 6
I≈2.45
答：电流 I 的值约为2.45A.
拓广探索
【选自教材第19页 复习题16 第8题】
8. 已知 n 是正整数， 189n 是整数，求 n 的最小值.
解： 189n 3 3 21 n 又 n 是正整数， 189n也是正整数 所以 n 的最小值是21.
解：由题意得：
πr 2 =πOD2 π(OC 2 OD2 ) π(OB2 OC 2 ) 4
人教版八年级下册数学第十六章 《二次根式》复习课件
变式应用
1、比较 7 5与 5 3 的大小。
2、已知 x
3 3
2, 2
y 3 2, 3 2
求 x2 y xy2的值。
3、如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=Rt∠，已
知∠B=450，AB= 2 ,6CD= 3
求（1）四边形ABCD的周长；
C
（2）四边形ABCD的面积。 D
A
B
(11) 3 2 5
(8) 0.4
五、二次根式的加减
1、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方 数相同，这几个二次根就叫做同类二次根式 2、二次根式的加减 （1）先化简， （2）再合并。
例1、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 12 4 1 3 48 27
互为相反数，求a、b的值。
四、二次根的乘除
1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
例1、化简 (1) 16 81
例2、计算
(1) 21 7
(3) 4 15 ( 1 5) 2
(2) 2000
(2)3 5 2 15 (4) 10x 101 xy
第16章《二次根式》复习
一、二次根式的意义
二、典型例题
例1、找出下列各根式：3 27
(4)
√ √ 4 a2 2a 1
2a 1(a 1) 2
√ a2 2
中的二次根式。
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
(4) x2 1 (5) 3 2x 1
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
第16章二次根式单元复习ppt课件
知识点4.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
ab a b (a 0, b 0)
（2）、二次根式的乘法法则
a b ab (a 0, b 0)
（3）、商的算术平方根的性质
a a (a 0, b 0) bb
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用 基本 运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘 、除 、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母 连接 起 来 的 式 子 ，
我 们 称 这 样 的 式 子 为代 数 式 .
变式练习：
1、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
例10、计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)(3 5 4 2) (2 5 3 2)
(3) a2b ab2 a2 b ab a
例11、计算
(1)(2 6 7 2) (7 2 2 6)
(2)(2 3 5)(2 3 5) (3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
的式子叫做二次根式，“ ”称为二
次根号， a 称为被开方数。
二次根式
被开方数a≥0；
根指数为2. ( 双重非负性)
典型例题
例1、找出下列各根式中的二次根式。
4
a2 2a 1
3 27
a2 2
(4) 2a 1(a 1)
2
典型例题
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2x 3 (2) 1 3x (3) (x 5)2
a a (a 0,b 0) bb
人教版 八年级下册 数学 第十六章二次根式 16.2.3二次根式的乘除 复习课(共17张PPT)
考察点V 二次根式比较大小
(1)2 5与3 3；
方法一：比较被开方数法
2 5= 22 5= 20 3 3= 32 3= 27
方法二：平方法
2 5 2 =22
2
2
5 =20, 3 3 =3
又∵20＜27，
∴
2
52 ＜3
2
3
即 2 5＜3 3
考察点V 二次根式比较大小
（3）(x 2) 1 2x
（4）x - 1 x
原式 -(2 x) 1 2x
- (2 x)2 • 1 2x
- (2 x)2 • 1 2x
- 2x
原式 -(-x) - 1 x
- (-x)2 • - 1 x
- (-x)2 • (- 1 ) x
- -x
1.确定字母范围 2.根号外的式子变形平方 3.移进根号里并化简.
补充： 二次根式的化简
(2)x y ( y 0) x
x y•x x•x
x • 1 xy x
xy
练习提升
5、计算
（1）3 45 1 2 2 2 53 3
(2) 3 20 ( 1 4数，且 ������ =
������2−4+ 4−������2+1 ������+2
125
3
解：（1） 27 27 3 3 3 3 5 3 15 125 125 5 5 5 5 5 25
（2） 6 2 20 20 20 3 2 15
33
3
3 3
3
（3） 0.9 9 9 3 10 3 10 10 10 10 10 10
2 8
新人教版八年级下第16章《二次根式》复习课件
2
等于（ D ）
A、2a-b
C、b-2a
B、2c-b
D、b-2C
例4、把下列各式写成平方差的形式，
再分解因式；
(1)4 x 5
2
(2)a 9
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)3a 10
2
(4)a 6a 9
4 2
四、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0, b 0)
2、二次根式的除法法则
(1) 3a b
(3) x y
2 2
2
(2) 1.5ab (4) a b
练习：把下列二次根化为最简二次根式。
(1) 12
3 (5) 2
(2) 48
1 (6) 8
1 (10) 2 1
(3) 125
3 (7) 3 5
(4) 800 (8) 0.4
3 (9) 24
3 (11) 2 5
五、二次根式的加减 1、同类二次根式
三、二次根式的性质：
1.( a ) a (a 0)
2
a (a 0) 2. a a (a 0)
2
例3、计算
2 2 (1)( ) 3
1 2 (2)( 6) 2
2
(3)(2 3)
(4)(3 x )
2
变式应用
已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么
c a ( a c b)
几个二次根式化成最简二次根式以后，
如果被开方数相同，这几个二次根就叫 做同类二次根式 2、二次根式的加减 （1）化
（2）找
（3）合并
练习：计算
(1)( 48 50) 6
人教版数学八年级下册 第16章 二次根式的复习 第2课时 课件
1995 a 0.
a 1995 a 2 000 a．
a 2 000 1995．
a 2 000 19952．
a 19952 =2 000．
若实数x，y满足 x 2 y 2 2 3 y 3 0，求xy 的值．
二
次
根
式
的
性
质
应
用
解：原式 144 25 169 13．
• 典型错误
1
化简： 4 .
3
被开方数为带分数形式，应转化为假分数的形式．
1
3 2
3．
解：原式 4
2 2
3
3
3
13
解：原式
3
39
39
．
2
3
3
• 典型错误
1
化简： ab a
.
a
进行乘除混合运算时，应严格按照从左到右的顺序进行．
了解二次根式、最简二
次根式的概念，会确定
二次根式有意义的条件；
理解二次根式的性质，
能根据性质对二次根
式进行变形；
了解二次根式的加、
减、乘、除运算法则，
会用运算法则进行简
单运算．
• 典型错误
化简：122 52 .
在化简时应按照运算顺序先求出被开方数，再求算术平方根．
解：原式 122 52 12+5 17．
3.5 c 4．
c的整数部分为3 .
3+2
7<2c<8
×2
1.5+
+1.5
+1.5
3.5<c<4.5
人教版八年级下册数学第十六章_二次根式全章复习【课件】 (共20张ppt)
x＞ 0
x≥0且
（ 5 ） x x≥0
5
x （ 6） x 1
x≠1
复习回顾： 2、最简二次根式定义：
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
巩固练习
3、化简
(1) 24,
2 6
(2) 72,
6 2
(3) 50
5 2
(4) 9a,
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
2
提高练习：
4 、 已 知 ： x 31 , y 31 , x 2xy y 求 的 值 。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5 、 已 知 ： 4 x y4 x 6 y 1 0 0 ,
2 2
2 2 1 y 2 x 求 x y 3 5 x 的 值 。 x9 x 3 y x x
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
复习回顾： 4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
复习回顾： 二次根式的三个性质:
1 、 a 0 , a 0 （ . 双 重 非 负 性 ）
2 、 a aa ( 0 )
3、 a =∣a∣=
2
2
a -a
(a≥ 0) (a≤0)
32 7 、 计 算 ： (5 )= _ _ _ _ ； ( )= _ _ _ _ _ ; 4 2 2 (2 3 ) _ _ _ _ _ _ ； ( 3a ) _ _ _ _ _ _ _
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共27张)
第十六章 二次根式
锦囊妙计 解决图案类的规律探究题的技巧
应先观察图案的变化趋势, 然后从第一个图案开始进行分析, 运用从特殊到 一般的探索方式, 分析、归纳出函数解析式, 最后用代入法求出特殊情况下 的函数值.
谢 谢 观 看！
第十六章 二次根式
锦囊妙计 列代数式的常用方法
(1)直接法：根据问题的语言叙述直接列出代数式. (2)公式法：根据公式列出代数式. (3)探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的规律用代数式表示出来.
第十六章 二次根式
分析 物体的总数等于各层物体数之和, 每层物体的个数和它的层数有关. 设物体 的总数为 y. 从上往下数, 第 1 层放 1 个, 第 2 层放 2 个, 第 3 层放 3 个, …, 第 n 层放 n 个, 即 y=1+2+3+…+n. 求 1+2+3+…+n 需要一定的技巧. ∵y=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n, 又∵y=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1, ∴2y=(n+1)+(n+1)+ …+(n+1)= n(n+1), ∴y=n(n2+1).
第十六章 二次根式
题型三 二次根式中被开方数的非负性的应用
例 题 3 若 b=
1-2a +
2a-1
-1-
1 2
,
则 代 数 式 (a-b)2020 的 值 为
____1_____.
第十六章 二次根式
分析
第十六章 二次根式
锦囊妙计 求二次根式中字母的取值的技巧
人教版八年级数学下册第十六章_二次根式复习ppt课件
2、二次根式的加减
（1）先化简，
（2）再找同类二次根式。
（3）合并同类二次根式
例：计算
(1)2 18 1 18 1 32
2
4
(2)2 124 1 3 48 27
(3) a2b ab 2a2 b ab a
例：计算
二次根式的混合运算
(1)(48 50 ) 6
(2 )2 (6 72 )(72 26 )
(3 )3 (5 42 )(25 32 )
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
2019/7/8
最新中小学教学课件
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2019/7/8
最新中小学教学课件
第16章 二次根式
小结与复习
知识点：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，事实上
表示非负数的算术平方根。 a
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1 √9 2 a 3 √3 5 4 x √2 1 5 2 6 2 2
二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
2、二次根式的乘法法则
a ba(b a 0 ,b 0 )
3、商的算术平方根的性质
a a(a0,b0) bb
4、二次根式的除法法则
a a(a0,b0) bb
最简二次根式的条件：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式；
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人教版八年级下 第 16 章 二 次 根 式单元复习
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知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 二次根式 1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个性质
a 2、 b
1、
a b
2
(a 0, b 0)
两个公式
2、
a
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性质公式(
a )2 =a（a
0）逆用可以得到：
a=( a )2 （a
0）
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的形式。 例如：3= （ 3 )2 ，b= （ b )2 （b 0）
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a a 0
a2 a
aa 0
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
www.定义 1. 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ 根号。 二次根式
a（a≥0）
”称为二次
被开方数a≥0；
根指数为2.
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×
1 2 3 , 18, x 9 , 5 x y , 27abc, 2
×
√
×
×
ab 3xy 2 2 2 x y, , , 5(a 2ab b ) 2 5
2
√
×
√
×
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梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式. （3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
a≥0
（4）. a≥0,
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
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判断下列各式哪些是二次根式？
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
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注意的几点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
（ 2 ）二次根式的除法运算，通过采 用化去分母中的根号的方法来进行， 把分母中的根号化去叫做分母有理化.
练习2：计算
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8（１） (
3 3) ____
2
2 x 1 1 （２）当 时， (1 x) x____
（３） ( x 2) 2 x 2
，
x2 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
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梳理四.二次根的乘除
a
x 1
2
6
x
2
3
2
7
2
a b
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(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
3
(3) x
x0
4 x 3 6 x ∴3≤x≤6 2 5 x 2 x为任何实数.
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1 2 1 ( 2) 24 2 6 2 3 8
1 2 1 2 6 2 6 解：原式= 2 6 2 3 4
2 1 1 ( 2 1) 6 ( ) 2 3 2 4
5 3 6 2 3 4
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二次根式就叫做同类二次根式。
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判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
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梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理二．二次根式的性质
（1）．
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
(a≥0, )
a ,a 0 a ,a 0
a a {
2
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练习1：计算
(1) ( 4)
2
(2) 9
2
(3) x 2, 则 x 4 x 4
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计算
1 1 (1)2 8 18 32 2 4
1 2 1 ( 2) 24 2 6 2 3 8
加减混合运算，应从左向右依次计算。
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1 1 (1)2 8 18 32 2 4
3 化简 2 2 解：原式= 4 2 2 3 ( 4 1) 2 2 别漏了“1”. 9 2 2
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
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梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
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.下列根式中，哪些是最简二次根式？
（1）、积的算术平方根的性质
ab
a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a
b
ab(a 0, b 0) （
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（3）、商的算术平方根的性质
a b a (a 0, b 0) b
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
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二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥)
a b (a≥0 , b≥)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)
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知识结构
三个概念
最简二次根式
同类二次根式 二次根式 1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个性质
a 2、 b
1、
a b
2
(a 0, b 0)
两个公式
2、
a
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性质公式(
a )2 =a（a
0）逆用可以得到：
a=( a )2 （a
0）
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 一个数的平方的形式。 例如：3= （ 3 )2 ，b= （ b )2 （b 0）
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a a 0
a2 a
aa 0
aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
www.定义 1. 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ 根号。 二次根式
a（a≥0）
”称为二次
被开方数a≥0；
根指数为2.
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×
1 2 3 , 18, x 9 , 5 x y , 27abc, 2
×
√
×
×
ab 3xy 2 2 2 x y, , , 5(a 2ab b ) 2 5
2
√
×
√
×
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梳理六 .同类二次根式的定义。
几个二次根式化为最简二次根
式后，若被开方数相同，则这几个
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根 （2）. a可以是数,也可以是式. （3）. 二次根式有意义的条件 a≥0
a≥0
（4）. a≥0,
( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
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判断下列各式哪些是二次根式？
梳理八. 混合运算法则
1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的. 2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
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注意的几点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
（ 2 ）二次根式的除法运算，通过采 用化去分母中的根号的方法来进行， 把分母中的根号化去叫做分母有理化.
练习2：计算
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8（１） (
3 3) ____
2
2 x 1 1 （２）当 时， (1 x) x____
（３） ( x 2) 2 x 2
，
x2 则Ｘ的取值范围是＿＿＿
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梳理四.二次根的乘除
a
x 1
2
6
x
2
3
2
7
2
a b
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(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
3
(3) x
x0
4 x 3 6 x ∴3≤x≤6 2 5 x 2 x为任何实数.
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1 2 1 ( 2) 24 2 6 2 3 8
1 2 1 2 6 2 6 解：原式= 2 6 2 3 4
2 1 1 ( 2 1) 6 ( ) 2 3 2 4
5 3 6 2 3 4
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二次根式就叫做同类二次根式。
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判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法： 1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。 2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
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梳理七.二次根式加减法则
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。 注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理二．二次根式的性质
（1）．
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
(a≥0, )
a ,a 0 a ,a 0
a a {
2
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练习1：计算
(1) ( 4)
2
(2) 9
2
(3) x 2, 则 x 4 x 4
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计算
1 1 (1)2 8 18 32 2 4
1 2 1 ( 2) 24 2 6 2 3 8
加减混合运算，应从左向右依次计算。
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1 1 (1)2 8 18 32 2 4
3 化简 2 2 解：原式= 4 2 2 3 ( 4 1) 2 2 别漏了“1”. 9 2 2
ab ＝
a b
a b
＝
＝
a b
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梳理五.最简二次根式的定义.
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式.
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.下列根式中，哪些是最简二次根式？
（1）、积的算术平方根的性质
ab
a b (a 0, b 0)
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
a
b
ab(a 0, b 0) （
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（3）、商的算术平方根的性质
a b a (a 0, b 0) b
商的算术平方根等于被除式的算 术平方根除以除式的算术平方根
（4）、二次根式的除法法则
a b
a (a 0, b 0) b
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二次根式的乘除：
a b ＝
ab (a≥0 , b≥)
a b (a≥0 , b≥)
a b
(a≥0, b＞0) (a≥0, b＞0)