人教版八年级数学下册第十六章二次根式全套课件PPT(完美版)
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人教版数学八年级下册 16.1 二次根式(共20张PPT)
拓展探究
04
总结与反思
总结与反思
谢谢！
第十六章 二次根式
16.1章前引言及二次根式
1. 理解二次根式的定义，并会用此定义判断 一个根式是否为二次根式； 2. 会运用二次根式中被开方数的非负性，求 被开方数中字母的取值范围； 3. 会运用二次根式的非负性解决简单的问题。
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从 而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位： km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间 存在近似关系 r = 2 Rh ，其中地球半径R≈6 400 km． 如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们 的传播半径之比是 观察 2 Rh 、r =
1
2 Rh 1 2 Rh2
2 Rh2
2 Rh
的特点？
02
知识建构
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念
二次根式概念双重非负性
二次根式概念双重非负性
03
题组练习，深化提高
题组一 二次根式的判定
题组一 二次根式的判定
题组二 二次根式有意义
题组二 二次根式有意义
题组三 二次根式的双重非负性
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
2021年人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》精品课件.ppt
THE END famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
。2021年1月9日星期六2021/1/92021/1/92021/1/9
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
谢谢观看 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/92021/1/9January 9, 2021
17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/9
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1
2
， ⑵ 16
（3） a2 2a 2 ，（4） x x 0
a9
（5） m 32
a2 1
3 -2
2a1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
。2021年1月9日星期六2021/1/92021/1/92021/1/9
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/92021/1/92021/1/91/9/2021
谢谢观看 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/92021/1/9January 9, 2021
17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/1/92021/1/92021/1/92021/1/9
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1
2
， ⑵ 16
（3） a2 2a 2 ，（4） x x 0
a9
（5） m 32
a2 1
3 -2
2a1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
人教版八年级数学下册第十六章二次根式.二次根式件+导,共份ppt
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3 .
情境引入
S
S
圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为____ ___.
活动探究
探究点一、二次根式的概念
问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2
、3 3
、
1 x
、
1 x （x>0）、 0 、 4 2 、- 2 、 x y 、 x y （x≥0，y≥0）．
解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y （x≥0，y≥0）．
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x3 x12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
试求当x=9时，二次根式 x 1 的值. 当x=9时， x 19 1822 思考：当x是怎样的实数时 x 3 ， 在实数范围内有意义？ x 2 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0.
人教版八年级数学下册第十六章二次 根式.二 次根式 件+导, 共份pp t（PPT 优秀课 件）
【最新】人教版八年级数学下册第十六章《二次根式的概念》公开课课件.ppt
16.1 二次根式
学科网
1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
7 表示什么？ 表示7的算术平方根
a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
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1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
7 表示什么？ 表示7的算术平方根
a 表示什么？a需要满足什么条件？为什么？
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
。2020年12月16日星期三2020/12/162020/12/162020/12/16
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2020年12月2020/12/162020/12/162020/12/1612/16/2020
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2020/12/162020/12/16December 16, 2020
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
谢谢观看
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式(共21张PPT)
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3在实数
范围内有意义？
解 由 x 3 ，0 得 x 。3 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5； （3） 3 。x
16.1 二次根式
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。 4、 7 表示什么？ 表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2n2 1,
2n2 1, ×
2n 1 ×
在实数范围内,负数没有平方根
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 有a1 意义,那么A(a,
) a
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
人教版数学八年级下册：第十六章-二次根式--课件(共88张)
3 2 3 1.5 5 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？ 你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
七、布置作业
• 1.教材第3页练习1.2题. • 2.教材第5页习题16.1第1题.
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时
一、提出问题
根据算术平方根的意义填空.
1. ( 4) 2 __4_;
1 ( 1 )2 _3__;
3
( 2 )2 _2__;
( 0)2 _0__ .
2. 22 __2_;
化
简
解：（2）（ 12 20）+（ 3- 5）
、
.
去
2 3 2 5+ 3- 5
括 号
、
3 3+ 5
合
并
巩固提高
练习1 计算:
（1） 2 7 6 7
仔细认 真哦！
-4 7
（2） 80- 20+ 5
.
（3） 18+（ 98- 27）
35 10 2-3 3
（4）（ 24+ 0.5）-（ 1 - 6） 8
5 2 5 1.5 7.5
木板够长
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教材图16.3-1的方式，在这块木 板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题4：观察 8 18的计算过程，你能总结
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归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足 被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分 母时，应同时考虑分母不为零.
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
（10） 3 是
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_5h____．
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
（5）m (m，n异号，n 0） （6）x2 4
n
；（73）15
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
1.下列各式是二次根式吗?
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型： (1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知归纳总结源自二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
km，那么它们的传播半径之比是
2Rh1 2Rh2
.
式子 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
素养目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次 根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
1. 理解二次根式的概念.
探究新知
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65，h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
第一课时
二次根式有意义的条件和非负性
返回
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 r= 2Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
h2
2020年春季人教版八年级数学下册 第16章二次根式全套教学课件目录：
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2020年春季人教版八年级数学下册 第16章 二次根式《16.1二次根式》
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人教版 数学 八年级 下册
16.1二次根式
第一课时 第二课时
探究新知
【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x2 2x 1;
（2） x2 2x 3.
解：(1)∵无论x为任何实数，x2 2x 1 x 12 ≤0，
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
（10） 3 是
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围 例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
知识点 1 二次根式的定义和有意义的条件
用带根号的式子填空，看一看写出的结果有何特点 （1）面积为3 的正方形的边长为___3____，面积为S 的正方形 的边长为____S___． （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它 的宽为____6_5_m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t （单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关 系 h =5t2， 如果用含有h 的式子表示 t ，则t 为_5h____．
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
（5）m (m，n异号，n 0） （6）x2 4
n
；（73）15
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
否
不是二次根式
根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
1.下列各式是二次根式吗?
探究新知
归纳总结
二次根式有意义的条件应用的不同类型： (1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如 B 有意义的条件：A＞0；
A
(3)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
x3 呢？ 因为x² ≥0，所以x可以为任意实数. 要使x³ ≥0，必须x ≥0 .
探究新知归纳总结源自二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知
知识点 2 二次根式的双重非负性 【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时，
在实数范围内有意义.
【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
1
（1） x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
探究新知 （2） x 3
x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴x+3≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
km，那么它们的传播半径之比是
2Rh1 2Rh2
.
式子 2Rh1 表示什么？
2Rh2
公式中r= 2Rh中的 2Rh 表示什么意义？
素养目标
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次 根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
1. 理解二次根式的概念.
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归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
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素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？ 分别表示3，S，65，h 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？ ①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
， h．
5
探究新知
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？ 我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
第一课时
二次根式有意义的条件和非负性
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电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 r= 2Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
h2
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2020年春季人教版八年级数学下册 第16章 二次根式《16.1二次根式》
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16.1二次根式
第一课时 第二课时