微分方程稳定性理论简介

第五节 微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、 一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()dxf x dt= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程()0f x = （2）的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0'()()dxf x x x dt=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。

0x 也是（4）的平衡点。

关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。

若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是0'()0()f x t x t ce x =+ （5）其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)dx t f x x dtdx t g x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）右端不显含t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012(,)x x 称为方程（6）的平衡点。

记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐近稳定）。

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程1111222122()()dx t a x b x dtdx t a x b xdt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （9） 系数矩阵记作1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦并假定A 的行列式det 0A ≠于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程det()0A I λ-=的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：2120()det p q p a b q A λλ⎧++=⎪=-+⎨⎪=⎩（10）将特征根记作12,λλ，则121,(2p λλ=- （11）方程（9）的解一般有形式1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或12()t c c t e λ+（12λλλ==）12,c c 为任意实数。

由定义（8），当12,λλ全为负数或有负的实部时0(0,0)P 是稳定的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正的实部时0(0,0)P 是不稳定的平衡点微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根12,λλ或相应的,p q 取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。

由上表可以看出，根据特征方程的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若0,0p q >> （12）则平衡点稳定，若0p <0q <或 （13）则平衡点不稳定以上是对线性方程（9）的平衡点0(0,0)P 稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点00012(,)P x x 的稳定性，在00012(,)P x x 点将12(,)f x x 和12(,)g x x 作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程1212000000112111222000000212111222()(,)()(,)()()(,)()(,)()x x x x dx t f x x x x f x x x x dtdx t g x x x x g x x x x dt⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩ (14)系数矩阵记作120001212(,)x x P x x x x f f A g g ⎡⎤=∣⎢⎥⎢⎥⎣⎦特征方程系数为0012012(,)()x x P x x p f g =-+∣,det q A = 显然，00012(,)P x x 点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12）、（13）决定，而且已经证明了如下结论:若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则00012(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。

这样，00012(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。

第六节 种群的相互竞争与相互依存当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic 模型来描述这个群数量的演变过程，即(1)dx xrx dt N=- (1) x （t ）是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，0x =N 是稳定平衡点，即t →∞时x(t)→N ，从模型本身的意义看这是明显的结果。

如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。

这里将从稳定状态的角度分别讨论这些关系。

一、种群的相互竞争当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。

人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。

模型建立 有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic 规律，记12(),()x t x t 是两个种群的数量，12,r r 是它们的固有增长率，N 1、N 2是它们的最大容量， 于是对于种群甲有1111(1)dx xrx dt N =- 其中因子11(1)x N -反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，11x N 可解释为相对于N 1而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1）。

当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子11(1)x N -中再减去一项，该项与种群乙的数量2x （相对于N 2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程11211112(1)dx x xr x dt N N σ=-- (2) 这里1σ的意义是，单位数量乙（相对N 2而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N 1）消耗的供养甲的食物量的1σ倍。

类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是21222212(1)dx x xr x dt N N σ=-- (3) 对2σ可作相应的解释。

在两种群的相互竞争中1σ、2σ是两个关键指标，从上面对它们的解释可知，1σ＞1表示在消耗供养甲的资源中，乙的消耗多于甲，因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对2σ＞1可作相应的理解。

一般地说，1σ与2σ之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞作用相同，具体地说就是，因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲方食物量之比是1：1σ，消耗的供养甲方食物量之比是2σ：1，所谓阻滞作用相同即 1：1σ=2σ：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为1σ2σ=1 （4）即1σ、2σ互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的1σ=k 倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的2σ=1/k 。

下面我们仍然讨论1σ、2σ相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的分析留给大家讨论。

稳定性分析 为了研究两个种群相互竞争的结局，即t →∞时12(),()x t x t 的趋向，不必要解方程（2）、（3）,只需对它的平衡点进行稳定性分析。

首先根据微分方程（2）、（3）解代数方程组121211112121222212(,)(1)0(,)(1)0x x f x x r x N N x x g x x r x N N σσ⎧=--=⎪⎪⎨⎪=--=⎪⎩（5）得到4个平衡点： 11221122341212(1)(1)(,0),(0,),(,),(0,0)11N N P N P N P P σσσσσσ----因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时（12,0x x ≥）才有实际意义，所以对3P 而言要求1σ、2σ同时小于1，或同时大于1。

按照判断平衡点性的方法（见前面）计算1212112111112222221221122(1)2(1)x x x x x x r x r f f N N N A g g r x x x r N N N σσσσ⎡⎤---⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦---⎢⎥⎣⎦ 12(),1,2,3,4i x x P p f g i =-+ = det ,1,2,3,4iP q A i = = 将4个平衡点p 、q 的结果及稳定条件列入下表*）注：表中最后一列“稳定条件”除了要求p>0,q>0以外，还有其他原因，见下面的具体分析。

为了便于对平衡点P 1、P 2、P 3的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。

在代数方程组（5）中记1212112(,)10x xx x N N ϕσ=--= 1212212(,)10x x x x N N ψσ=--= 对于1σ、2σ的不同取值范围，直线ϕ=0和ψ=0在相平面上的相对位置不同，下面给出它们的4种情况;并对这4种情况进行分析1、121,1σσ<>。

由表1知对于11(,0)P N 有p ＞0，q ＜0，1P 稳定；1P 的稳定性还可以从t →∞时相轨线的趋向来分析，图1中 ϕ=0和 ψ=0两条直线将相平面（120,0x x ≥≥）划分为3个区域：图1 121,1σσ<> 1P 稳定112:/0,/0S dx dt dx dt >> (6) 212:/0,/0S dx dt dx dt >< (7) 312:/0,/0S dx dt dx dt << (8)可以证明，不论轨线从哪个区域出发，t →∞时都将趋向P 1（N 1，0）。