微分方程稳定性理论简介

第五节 微分方程稳定性理论简介

这里简单介绍下面将要用到的有关内容：

一、 一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程

()dx

f x dt

= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程

()0f x = （2）

的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）

如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足

0lim ()t x t x →∞

= （3）

则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：

0'()()dx

f x x x dt

=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：

若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。 若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点

0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是

0'()0()f x t x t ce x =+ （5）

其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 二阶（平面）方程的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示为

112212

()

(,)()(,)

dx t f x x dt

dx t g x x dt

⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩ （6）

右端不显含t ，代数方程组

1212

(,)0

(,)0f x x g x x =⎧⎨

=⎩ （7） 的实根0012

(,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00

012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足

101lim ()t x t x →∞

= 20

2lim ()t x t x →∞

= （8） 则称平衡点00

012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐

近稳定）。

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程

11112

22122

()

()dx t a x b x dt

dx t a x b x

dt

⎧=+⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩ （9） 系数矩阵记作

1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

并假定A 的行列式det 0A ≠

于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程

det()0A I λ-=

的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：

2120()det p q p a b q A λλ⎧++=⎪

=-+⎨⎪=⎩

（10）

将特征根记作12,λλ，则

121

,(2

p λλ=- （11）

方程（9）的解一般有形式1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或12()t c c t e λ+（12λλλ==）

12,c c 为任意实数。由定义（8），当12,λλ全为负数或有负的实部时0(0,0)P 是稳定

的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正的实部时0(0,0)P 是不稳定的平衡点

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根12,λλ或相应的,p q 取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。

由上表可以看出，根据特征方程的系数,p q 的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若

0,0p q >> （12）

则平衡点稳定，若

0p <0q <或 （13）

则平衡点不稳定

以上是对线性方程（9）的平衡点0(0,0)P 稳定性的结论，对于一般的非线性

方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点00012

(,)P x x 的稳定性，在00012(,)P x x 点将12(,)f x x 和12(,)g x x 作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程

1212000000

112111222000000212111222

()(,)()(,)()()(,)()(,)()

x x x x dx t f x x x x f x x x x dt

dx t g x x x x g x x x x dt

⎧=-+-⎪⎪⎨

⎪=-+-⎪⎩ (14)

系数矩阵记作

1

200012

1

2(,)x x P x x x x f f A g g ⎡⎤

=∣⎢

⎥⎢⎥⎣⎦

特征方程系数为

00120

1

2

(,)

()x x P x x p f g =-+∣,det q A = 显然，00

012(,)P x x 点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12）、（13）决定，

而且已经证明了如下结论:

若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则00

012

(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。

这样，00

012(,)P x x 点对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。

第六节 种群的相互竞争与相互依存

当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic 模型来描述这个群数量的演变过程，即

(1)dx x

rx dt N

=- (1) x （t ）是种群在时刻t 的数量，r 是固有增长率，N 是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，0x =N 是稳定平衡点，即t →∞时x(t)→N ，从模型本身的意义看这是明显的结果。

如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。这里将