4.1常微分方程的定性与稳定性
常微分方程定性与稳定性方法
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第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其 中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具， 通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
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《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目 录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解 这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
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从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要 介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分 对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。 让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。 例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的 解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群 动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心 流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在 分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代 科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方 程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在 时滞微分方程中的应用和意义。
数学中的微分方程的稳定性与动力学
数学中的微分方程的稳定性与动力学微分方程是数学中的重要工具，用于描述自然界和社会科学中的各种现象。
在微分方程的研究中，稳定性与动力学是两个关键概念。
本文将介绍微分方程的稳定性分析方法和动力学概念，并以实例说明它们的应用。
1. 稳定性分析微分方程的稳定性分析是指对方程解的长期行为进行判断，即确定解是否会趋于稳定或者发散。
常用的稳定性分析方法包括线性稳定性分析和李雅普诺夫稳定性分析。
1.1 线性稳定性分析线性稳定性分析通过判断微分方程的线性化方程的解的行为来确定原方程解的稳定性。
线性化方程将非线性微分方程近似为线性微分方程，并利用线性微分方程的特征值来判断解的行为。
1.2 李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是通过构造李雅普诺夫函数来判断方程解的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个连续可微的正定函数，通过对函数进行变换和求导，可以判断解的长期行为。
2. 动力学系统动力学是研究物体运动和力学规律的科学领域。
在微分方程中，动力学系统是指由微分方程描述的物体或系统的状态随时间变化的规律。
动力学系统可以用相图来描述，相图是在相空间中绘制的系统状态随时间变化的轨迹。
2.1 平衡点与鞍点在动力学系统中，平衡点是指系统状态不再变化的点。
当微分方程的解趋于平衡点时，系统达到稳定状态。
鞍点是指系统状态处于不稳定平衡的点，解在该点附近不稳定。
2.2 相图与轨迹相图是用于描述动力学系统的状态变化的图形。
在相图中，每个点表示一个系统状态，而轨迹则表示系统状态随时间变化的路径。
相图能够直观地展示系统的稳定性和不稳定性。
3. 应用实例微分方程的稳定性与动力学在各个领域有广泛的应用。
以下是两个实例：3.1 生物学中的应用生物学中的许多现象都可以用微分方程来描述和分析。
例如，人口动态模型常用来研究不同群体之间的相互作用与竞争，利用稳定性分析和动力学方法可以预测不同物种的种群数量变化趋势以及生态系统的稳定性。
3.2 经济学中的应用经济学中的供需方程、投资方程等也可以通过微分方程来进行建模和分析。
定性和稳定性理论简介
第5章定性和稳定性理论简介在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时)一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性。
二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。
三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。
四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：1．稳定性的定义 考虑微分方程组(,)dxf t x dt= （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈⊆和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。
设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =。
现在的问题是：当01x x -很小是，差0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小？本章向量12(,,,)T n x x x x =的范数取1221ni i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑。
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
微分方程稳定性
微分方程稳定性微分方程是描述自然界或社会现象数学模型的重要工具，在许多领域都得到了广泛应用。
稳定性是微分方程中一个重要的性质，它决定了系统的长期行为。
本文将从微分方程的稳定性入手，探讨其原理及应用。
稳定性概述在微分方程中，稳定性描述了系统在扰动下的表现。
一个系统若具有稳定性，即在初始条件稍微改变时系统也不会产生很大的变化，保持在某种稳定的状态。
相反，若系统不稳定，则初始条件的微小变化可能引起系统行为的剧烈变化。
线性系统的稳定性对于线性微分方程，我们可以通过线性稳定性定理来判断系统的稳定性。
简言之，线性系统的稳定性与其特征根的实部有关。
如果所有特征根的实部都小于零，则系统是稳定的；如果存在实部大于零的特征根，则系统是不稳定的。
非线性系统的稳定性相比线性系统，非线性系统的稳定性分析更加复杂。
通常我们需要通过 Lyapunov 函数、相平面分析等方法来研究非线性系统的稳定性。
Lyapunov 函数是一种标量函数，通过分析 Lyapunov 函数的正负号可以确定系统的渐近稳定性、不稳定性或者随机稳定性。
应用案例分析举一个简单的应用案例，考虑如下的非线性微分方程：$$\frac{dx}{dt} = -x^3$$可以通过 Lyapunov 函数的方法来判断系统的稳定性。
定义Lyapunov 函数为 $V(x) = \frac{1}{2}x^2$，对 $V(x)$ 求导得：$$\dot{V}(x) = x \dot{x} = -x^4$$当 $x \neq 0$ 时，有 $\dot{V}(x) < 0$，因此系统是渐近稳定的。
这个简单的例子展示了Lyapunov 函数在非线性系统稳定性分析中的应用。
结论微分方程的稳定性是微分方程理论中的一个核心问题，它关乎系统的长期行为和稳定性。
通过线性稳定性定理和 Lyapunov 函数等方法，我们可以判断系统的稳定性，并进一步研究系统的动力学特性。
在实际应用中，对微分方程稳定性的研究有助于我们更好地理解系统的演化规律，为问题的求解提供重要参考。
常微分方程的线性化与稳定性
常微分方程的线性化与稳定性常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量的函数对其导数的依赖关系。
许多实际问题可以通过求解常微分方程来得到数学模型，并从中获得有关系统行为的重要信息。
其中，线性化和稳定性是常微分方程研究中的两个关键概念。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，并讨论稳定性的概念及其应用。
一、常微分方程的线性化线性化是一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，通过线性化，我们可以使得原方程的解与线性化方程的解近似相等，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，常常需要对非线性系统进行线性化，以便更好地研究其稳定性、解的性质等。
线性化的基本思想是利用泰勒展开将非线性函数在某点处进行线性近似。
设考虑的非线性方程为：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y, \frac{{dy}}{{dt}})$$在某点$(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0)$处，对$f(y,\frac{{dy}}{{dt}})$进行二阶泰勒展开得到：$$f(y, \frac{{dy}}{{dt}}) = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$其中，$\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0)$与$\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$为一阶的线性项。
将其代入原方程得到线性化方程：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$若将$\Delta y=y-y_0$和$\Delta \frac{{dy}}{{dt}}=\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0$作为新的变量，线性化的方程可以写成更简洁的形式：$$\frac{{d^2\Delta y}}{{dt^2}} = \frac{{df}}{{dy}}\Delta y +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}\Delta \frac{{dy}}{{dt}}$$这样，我们就将原非线性问题转化为了线性问题。
常微分方程平衡点及稳定性研究.
本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x=of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity摘要 (I)Abstract (I)目录 (II)第1章引言 (1)第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)2.1 平衡点及稳定性定义 (3)2.2 自治系统零解的稳定性 (4)2.2.1 V函数 (4)2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)2.3 非自治系统的稳定性 (8)2.3.1 V函数和k类函数 (8)2.3.2 零解的稳定性 (10)2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)2.4.1 相关定义 (14)2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)2.5.1 相关定义 (15)2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)第5章结论 (25)参考文献 (27)致谢 (29)第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。
微分方程的稳定性与局部解的存在性
微分方程的稳定性与局部解的存在性微分方程是描述自然界中各种变化规律的一种数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
在研究微分方程时，人们常常关注两个重要性质，即稳定性和局部解的存在性。
本文将介绍微分方程稳定性和局部解存在性的概念、判定方法和应用。
一、微分方程的稳定性稳定性是指当初始条件发生微小变化时，系统最终状态是否保持不变。
在微分方程中，稳定性有两种类型：稳定和不稳定。
稳定性的判定方法有多种，其中一种常用的方法是利用线性化原理。
对于非线性微分方程，在某一平衡点附近进行线性化处理，通过分析线性化方程的特征根，可以判断原方程在该平衡点附近的稳定性。
例如，考虑一阶常微分方程$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$，其中$f(t,y)$是关于$t$和$y$的函数。
如果该方程的一个平衡点$(t_0,y_0)$满足以下条件：当$t > t_0$时，$f(t,y)<0$；当$t < t_0$时，$f(t,y)>0$，则该平衡点是稳定的。
二、微分方程局部解的存在性局部解的存在性是指在微分方程中，是否存在一个具有一定条件的函数，能够满足方程的要求。
对于一阶微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，可以得到一个局部解的存在性的条件。
皮卡-林德洛夫定理指出，如果微分方程的右端函数满足局部利普希茨条件，即存在常数$L>0$和$M>0$，使得对于$t_0$附近任意两个点$(t,y)$和$(t,y')$，有$|f(t,y)-f(t,y')|\leq M|y-y'|$，则在$t_0$附近存在一个函数$y=\varphi(t)$，满足微分方程和初始条件$y(t_0)=y_0$。
三、稳定性与局部解的应用稳定性和局部解的存在性在科学研究和工程应用中具有重要意义。
在物理学中，通过研究微分方程稳定性，可以分析系统的运动趋势。
例如，在力学中，通过分析质点在势能场中的受力情况，可以判断系统的平衡点是否稳定，进而确定质点在该势能场中的稳定位置。
微分方程的稳定性理论概览
微分方程的稳定性理论概览微分方程是描述自然界中各种现象演化规律的数学工具，而微分方程的稳定性理论则是研究方程解的渐近行为的一个重要分支。
在动力系统中，稳定性理论是研究系统在微小扰动下的性质，以此来预测系统的长期行为。
本文将对微分方程的稳定性理论进行概述。
稳定性的概念在微分方程的稳定性理论中，稳定性是指当自变量（通常是时间）趋于无穷远时，因变量（方程解）的行为。
一个解在某些条件下可能会趋向一个有限值，这种情况被称为渐近稳定。
另一方面，如果解在微小扰动下会发生显著的变化，这种情况被称为不稳定。
稳定性的分类稳定性可以分为以下几种类型： 1. 渐近稳定：当时间趋于无穷时，解趋向于一个有限值。
2. 李亚普诺夫稳定：解在某种度量下趋向于零。
3. 指数稳定：解以某种指数速率趋近于零。
4. 分歧稳定：解在某些区域内保持稳定，但在其他区域内不稳定。
稳定性的判定方法判定微分方程解的稳定性是微分方程理论的关键问题。
常用的方法有： 1. 利雅普诺夫稳定性定理：通过证明存在一个李亚普诺夫函数，证明解在该函数下渐近稳定。
2. 极限环稳定性判据：利用系统的特征值研究系统的稳定性。
3. 稳定性的Lyapunov方法：通过构造Lyapunov函数判定系统的稳定性。
稳定性在实际问题中的应用微分方程的稳定性理论在生物学、化学、物理学等领域都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，稳定性理论用于研究行星轨道的长期性质；在生物学中，通过稳定性理论可以研究生态系统的稳定性。
稳定性理论为实际问题的预测和解决提供了有力的数学工具。
结语微分方程的稳定性理论是微分方程理论中的一个重要分支，对系统的稳定性进行分析是研究微分方程解的基础。
通过本文的概览，读者可以了解稳定性的概念、分类、判定方法和应用，进一步深入学习微分方程稳定性的理论。
愿本文能给读者带来启发和帮助。
马知恩周义仓编常微分方程定性与稳定性方法部分习题参考解答
马知恩周义仓编常微分⽅程定性与稳定性⽅法部分习题参考解答第⼀章 基本定理1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟⼀.证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.2试讨论下列⽅程解的存在区间:(1) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;(2) $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.解答:(1) 由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, ⽽由解的延拓定理, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$.(2) 直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, ⽽a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\bbR$;b.当 $y_0<0$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;c.当 $y_0>1$ 时, 原⽅程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.3 设有⼀阶微分⽅程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任⼀点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右⾏解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减,在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤解的延伸定理知解定与$\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应⽤延伸定理及⽐较定理即知结论.4设有⼀阶⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\(t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右⾏解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ ⽽由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时,由解的唯⼀性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应⽤延伸定理及惟⼀性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满⾜局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1}\int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ ⽆限延拓.证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$,则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\\sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与\eqref{1.5:1} ⽭盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意⼩, ⽽不等式左端有积分发散知可⼤于某⼀正常数).6设有微分⽅程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对$\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯⼀, 则解必对初值连续依赖.证明: 参考[家⾥蹲⼤学数学杂志第134期, 常微分⽅程习题集, 第1600页].7 试在定理 1.1 的假设下, 利⽤ Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.证明: 参考定理 1.7 的证明.8 设有⼀阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利⽤⽐较定理证明, 若设解的右⾏饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利⽤⽐较定理即知结论.第⼆章 动⼒系统的基本知识1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于⽆穷.证明: $\ra$ ⽤反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于⽆穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q,\eex$$ ⽽ $Q\in \Omega_P$, 这是⼀个⽭盾. $\la$ 亦⽤反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, ⽽设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex\exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于⽆穷⽭盾.2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟⼀奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.证明: ⽤反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq\ve_0. \eee$$ 则(1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的⼦列, 则适当抽取⼦列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in\Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} ⽭盾.(2)若 $\sed{t_n}$ ⽆有界的⼦列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, ⽽ $\infty\in\Omega_P=\sed{P^*}$, ⼜是⼀个⽭盾.3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ ⾮闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.证明: ⽤反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及$\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ ⾮闭轨⽭盾.4试证明: ⼀系统的圈闭奇点的集合是⼀闭集.证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含⼀个奇点?解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.6 设 $O(0,0)$ 是⼀平⾯⾃治系统的惟⼀奇点, 且是稳定的, 全平⾯没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任⼀轨线必负向⽆界; (2) 任⼀有界的正半轨闭进⼊奇点 $O$.证明:(1) ⽤反证法. 若有⼀轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平⾯没有闭轨线知 (3),(4) 不成⽴; 由 $O$ 为惟⼀奇点知 (1),(2),(5) 不成⽴. 这是⼀个⽭盾.(2) 对有界正半轨⽽⾔, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成⽴. 若 (1),(2) 成⽴, 则结论已证; ⽽由全平⾯没有闭轨线知 (5) 不成⽴.第三章 稳定性理论1 讨论⽅程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的⼀邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.2 证明⽅程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.证明: 解该微分⽅程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\\sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$由此, 原微分⽅程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bexx(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, ⽽零解不是全局渐近稳定的.3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的⼏何解释.解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的$\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \stL_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.4判断下列系统零解的稳定性:(1) $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alphax_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;(2) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;(3) $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.解答:(1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.(2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.(3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分⽅程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.5 若存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ ⽽可仿照定理 3.1 的证明.6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ ⽽由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由$$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有⽆穷⼩上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dotV(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ ⽽零解是渐近稳定的.。
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
i
(t
)
xi
*
(i 1,,n)，
则称 x *是稳定的（稳定性理论中称渐进稳定）；否
时 f ( x) 0，当0 x x0 时 f ( x) 0，则 x0是方程
(2)的稳定平衡点；否则，x0是方程(2)的不稳定平衡
点.
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三、一阶方程组的平衡点及稳定性
以二阶自治系统为例
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
则，称 x *是不稳定的（非渐进稳定的）。
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判定平衡点稳定性的两种方法：
(1) 间接法——求出解的表达式，再由稳定性的定义判 定平衡点的稳定性。
(2) 直接法——不求解，直接利用微分方程的性质判定 平衡点的稳定性
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二、一阶方程的平衡点及稳定性
x f (x)
(2)
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
记 p (a1 b2 ), q det A a1b2 a2b1 ,
2 p q 0
1 ,2
1( p 2
)
其中 p2 4q
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定理 3 对于二阶线性系统(3)，平衡点(0, 0)的类型由系数矩
阵 A的特征值1和 2决定： 当 1 2 0，即 p 0，q 0， p2 4q时，是稳定结点； 当0 1 2，即 p 0，q 0， p2 4q时，是不稳定结点； 当 1 0 2，即q 0时，是鞍点，不稳定； 当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时，
dy g( x, y) 当f ( x, y) 0时
(4a)
dx f ( x, y)
或
dx f ( x, y) 当g( x, y) 0时 dy g( x, y)
(4b)
由于 g( x, y) 或 f ( x, y) 与 f ( x, y)， g( x, y) 一样有 f (x, y) g(x, y)
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
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当方程组(0)的右端不显含t 时, 即
x F(x)，
(1)
称(1)为自治微分方程组(自治系统), Rn称为相空间.
方程组(1)在相空间中确定了一个速度场， fi ( x)
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
表示点 x 处速度的第i 个分量。 (t;t0 , x0 )是速度场中
的一个运动，这一表达式给出了动点在运动时的路
线，称为轨线。轨线也可理解为 x (t;t0 , x0 )在相空
间的投影。
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定义 1 若存在 x* Rn使得F( x*) 0，则称x *是 方程组(1)的平衡点（或奇点）。 x x *称为平衡解。
定理 1 设 x0是方程(2)的平衡点，即 f ( x0 ) 0. 当 f ( x0) 0 时 ， x0 是 方 程 (2) 的 稳 定 平 衡 点 ； 当 f ( x0) 0时， x 0是方程(2)的不稳定平衡点.
定理 2 设 x0是方程(2)在U ( x0)的唯一平衡点，
f ( x)在U ( x0)连续， f ( x0) 0. 如果当 x x0 0
A
a1 b1
a2 b2
称为系数矩阵
当det A 0时，方程组(5)只有唯一奇点O(0,0)，称为
初等奇点，其稳定性由(5)的特征方程det(A I ) 0 的根 （特征根）决定。
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det(A I ) a1 a2 0 b1 b2
2 (a1 b2 ) (a1b2 a2b1 ) 0
§4.1 常微分方程的定性与稳定 性
一、自治系统与相空间
一般方程
x F (t, x),
(0)
x1
f1(t, x)
其中
x
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意