李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
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11.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1 Lyapunov 关于稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的、可以用定量方法研究和 表示的定性指标。
它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变, 但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性
要掌握好Lyapunov稳定性理论，重要的是深刻掌握和理 解Lyapunov稳定性定义的实质和意义。
在这里，空间想象力对理解Lyapunov稳定性的实质和意 义非常有帮助。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即
线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统 转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内
此外，庞加莱还在1895年证明了“庞加莱 回归定理” ，并开创了动力系统理论。
在Routh和Poincare等工作的影响下，1892年，俄国数学力 学家A.M. Lyapunov（李亚普诺夫，1857–1918) 发表了博士 论文“The General Problem of the Stability of Motion 论运动 稳定性的一般问题”，建立了关于运动稳定性研究的一般性 理论，总结和发展了系统的经典时域分析法。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫稳定性理论
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe
Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
xe 1
0
0
0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述64页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
渐近稳定
A的所有特征值：
需 lim eAt 0. t
e1t
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
e3t
结论3：
不稳定
A有一个特征值：
或
的特征值有重根
e1t
te1t e1t
1 t 2e1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
稳定性： 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
1
经典控制理论对稳定性分析的局限性
（1）局限于描述线性定常系统
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
若
与初始时刻
t
无关，则
0
称系统的平衡状态 是一致
稳定的。
时变系统 与 t0有关
定常系统
与
t
无关
0
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 ，都存在另一实
数 ，使当初始状态位于以平衡状态 为球心， 为半径的
闭球域
内，即
A的所有特征值：
需 lim eAt 0. t
e1t
te1t e1t
1 t e2 1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
e3t
结论3：
不稳定
A有一个特征值：
或
的特征值有重根
e1t
te1t e1t
1 t 2e1t 2 te1t
0 0
0
0
e1t
0 0
e2t 0
稳定性： 控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
偏差逐渐变大，不能恢复到原来的平衡状态，则不稳定。 稳定性是动态系统的一个重要性能，保证系统的稳定性 通常是控制器设计的最基本要求。
1
经典控制理论对稳定性分析的局限性
（1）局限于描述线性定常系统
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
初始状态有界，随时间 推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
任给一个球域 ，若存在一个球域 ，使得从 出发的 轨迹不离开 ，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。
若
与初始时刻
t
无关，则
0
称系统的平衡状态 是一致
稳定的。
时变系统 与 t0有关
定常系统
与
t
无关
0
李雅普诺夫意义下稳定
考虑系统（4.1），如果对任意的实数 ，都存在另一实
数 ，使当初始状态位于以平衡状态 为球心， 为半径的
闭球域
内，即
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
表示向量 x 到x e的距离 n2 x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 c
表示状态空间中，以 x e为圆心，半径为c的圆
n3
x xe ( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( x3 x3e ) 2 c
0
方程的解（运动或状态轨线）为： x(t; x 初始状态向量
, t0 )
初始时刻
x(t0 ; x 0 , t0 ) x 0
f (x, t ) x
平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化
e f (x e , t ) 0 x
所有状态的变化速度为零，即是静止状态 线性定常系统：
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总
能回到平衡状态附近并且向平衡状态靠拢。 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只能有一个平 衡状态。
1
1
极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有 界输入有界输出稳定的。
（2）求系统的特征方程：
6 det(I A) ( 2)( 3) 0 1 1
求得：1 2，2 3
系统不是渐近稳定的。
例 : 用间接法判断下列系统的稳定性 x1 x2 x1 x1 x2 x1 x1 x2 1 ） , 2） , 3） x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2
李李雅普诺夫函数
1 李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。
因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。
自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。
无外部输入作用时的系统称为自治系统。
设系统状态方程为),(t x f x= ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。
故有下式成立0),(=t x f e 。
由此式在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x= 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。
解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。
当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。
如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。
换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。
大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。
对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。
在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。
对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。
2. 李雅普诺夫稳定性理论李雅普诺夫第一法又称间接法。
它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。
对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。
线性定常系统Ax x≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ李雅普诺夫第二法又称直接法。
运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统控制领域被广泛研究，并被广泛应用在科
学和工程中。
李雅普诺夫稳定性特征根分布是对一个系统的稳定性的影响因素的研究和分析。
李雅普诺夫稳定性特征根分布可以通过一个表达式来表示：λn=(-
βn)+(α+(2π/πn))^2，其中λn为特征根，εn为特征值，α为系统系数，和
πn为系统周期。
它表示了系统的稳定性特征根分布和稳定性特征值分布之间的关系。
由于特征根和特征值严格地反映了一个系统的稳定性，所以李雅普诺夫稳定性
特征根分布被用于分析一个系统的稳定性。
该分布一般包括一个特征根的实部和虚部，它们的关系可以描述为：如果特征根的实部都大于零，则系统是稳定的；如果特征根的实部小于零，则系统是不稳定的；如果特征根的实部有正有负，则系统就会出现振荡。
为了检验一个系统的稳定性，通常先用信号在控制系统上模拟，然后计算系统
的特征根和特征值，并绘制出李雅普诺夫稳定特征根分布图表。
通过该图表分析，如果特征根的实部均大于零，则系统的稳定性得到证明；如果有负特征根，则系统就是不稳定的。
通过李雅普诺夫稳定性特征根分布曲线，在一定程度上可以反映出系统稳定性，从而用于系统状态的判断，以此为基础，改正或调节系统，提高系统的效率，获得更好的性能。
因此，李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统应用和控制中有着重要的应用，为后续的系统控制工作提供了可取的依据。
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欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数，即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -x e )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
Lyapunov稳定性的基本定理
主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法
Lyapunov第一法 Lyapunov's first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov's second method 重点、难点!
若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时， 其能量达到最小值。
反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸 收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函 数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法（indirect method）, 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
在给出Lyapunov稳定性定理之前，下面先介绍 数学预备知识 然后介绍 Lyapunov稳定性定理的直观意义 最后给出 Lyapunov稳定性定理
1. 数学预备知识 preliminary knowledge 下面介绍在Lyapunov稳定性分析中需应用到的如下 数学预备知识: 函数的正定性 positive definiteness
其次，解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征 值，然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定 系统在零输入情况下的稳定性。
下面将讨论Lyapunov第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为
x’=f(x) 其中 f(x) 为与状态向量 x 同维的关于 x 的非线性向量函数, 其各元素对x有连续的偏导数。
通过线性化，将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换 到讨论线性系统 x’=Ax 的稳定性问题。
Lyapunov第一法的基本结论是:
1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定，而 且系统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有
例11-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x2 x1 x K ( x 2 1) x K x 2 2 1 2 1 1
试确定系统在原点处的稳定性。
K1 该系统的平衡态。 将系统在原点处线性化，则系统矩阵为
0 f (x) A x x xe K 2 1 K1
因此，系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0 2. 由Lyapunov第一法知，原非线性系统的原点为渐近稳定 的充分条件为:
K1>0 和 K2>0.
11.3 Lyapunov第二方法
由Lyapunov第一法的结论可知，该方法能解决部分 弱非线性系统的稳定性判定问题，但对强非线性系 统的稳定性判定则无能为力，而且该方法不易推广 到时变系统。
下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳
定性分析都适用的Lyapunov第二法。 Lyapunov's second method
Lyapunov第二法又称为直接法(direct method) 。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
雅可比矩阵(Jacobian matrix) A 定义为
f ( x ) A x τ
x xe
... 1 f / xn f1/x 1 ... ... ... f n /x1 ... f n /xn x xe
上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程
正实部，则原非线性系统的平衡态xe不稳定，而且该平 衡态的稳定性与高阶项R(x)无关。
3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外，
其余特征值都具有负实部，则原非线性系统的平衡态xe 的稳定性由高阶项R(x)决定。
由上述Lyapunov第一法的结论可知, 该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致, 需求解线性化状态方程或线性状
的一次近似式，如果用该一次近似式来表达原非线性方程的 近似动态方程，即可得如下线性化的状态方程:
x’=A(x-xe)
由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间 中的坐标平移，将平衡态xe移到原点。
因此, 上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程: x’=Ax 判别非线性系统平衡态xe稳定性的Lyapunov第一法的思想为:
态方程的特征值, 根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。
值得指出的区别是: 经典控制理论讨论在有界输入下的输出稳定性问题, 而Lyapunov方法讨论状态稳定性问题。 由于Lyapunov第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统，但是不能推广用于时变系统。