李雅普诺夫稳定性理论 (2)
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李雅普诺夫稳定性分析方法-文档资料
用泰勒展开,并取到一 次项,忽略高次项,故有 x 2 s i n x x 0 2 2 x 0 x s i n x 0 c o s x 0 x
• 从而有
y a y b y 0 b y x 0 2 s i n x 0 ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
1.自治系统
• 定义地:自治系统定义为不受外部影响即没 有输入作用的一类系统.
• 一般情形的系统描述: x f(x ,t),x (t0 ) x 0 ,t [t0 , ] • 线性时变系统的描述: x A (t)x ,x (t0 ) x 0 ,t t0 , • 线性时不变的描述: xA x ,x (t0 ) x 0 ,t [t0 , )
• 则有
y(s)2x0cosx0 x(s) s2asb
G(s)
• 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x 0 处 x 和 y 的运动特性,而Laypunov第一方法, 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性.
• 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
• 从而要讨论三个重要概念:
1.自治系统. 2.平衡状态. 3.受扰运动.
• 显然 by0x02sinx0代入后,得到
y a y b y ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
• 两边进行拉氏变换得(初始状态 y0 0 ),则
• 从而有
y a y b y 0 b y x 0 2 s i n x 0 ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
1.自治系统
• 定义地:自治系统定义为不受外部影响即没 有输入作用的一类系统.
• 一般情形的系统描述: x f(x ,t),x (t0 ) x 0 ,t [t0 , ] • 线性时变系统的描述: x A (t)x ,x (t0 ) x 0 ,t t0 , • 线性时不变的描述: xA x ,x (t0 ) x 0 ,t [t0 , )
• 则有
y(s)2x0cosx0 x(s) s2asb
G(s)
• 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x 0 处 x 和 y 的运动特性,而Laypunov第一方法, 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性.
• 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
• 从而要讨论三个重要概念:
1.自治系统. 2.平衡状态. 3.受扰运动.
• 显然 by0x02sinx0代入后,得到
y a y b y ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
• 两边进行拉氏变换得(初始状态 y0 0 ),则
现代控制理论习题之李雅普诺夫稳定判据
⎧ 1 = − x1 + x 2 + x1 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪x (2) ⎨ 2 = − x1 − x 2 + x 2 ( x1 2 + x 2 2 ) ⎪ ⎩x
【解】 ： （1）采用非线性系统线性化的方法，在平衡点原点处线性化得：
A= ∂f ∂x T ⎡ ∂f 1 ⎢ ∂x =⎢ 1 ⎢ ∂f 2 ⎢ ∂x ⎣ 1 ∂f 1 ⎤ ⎡1 − 3 x1 2 ⎡1 − 1⎤ −1 ⎤ ∂x 2 ⎥ ⎥ =⎢ =⎢ ⎥ 2⎥ ∂f 2 ⎥ 1 − 3x 2 ⎦ ⎢ 1 ⎥ x = 0 ⎣1 1 ⎦ ⎣ ∂x 2 ⎥ ⎦ x =0
t − t0 = − 1 1 0.05 v ( x, t ) =− ln = 10.955 v( x0 , t0 ) λ2 100
ηmin
ln
4-7
试确定下列非线性系统在原点处的稳定性。
6
第四章
Lyapunov 稳定性理论
⎧ 1 = x1 − x 2 − x1 3 ⎪x (1) ⎨ 2 = x1 + x 2 − x 2 3 ⎪ ⎩x
0.5 1
= 0.75 > 0 ， 0.5 0.5
v( x) = x T Px 正定。 ∆v (k ) = x T (k )(G T PG − P ) x (k )
3 0⎤ ⎡1 3 0⎤ ⎡1 − 3 1⎤ ⎡ 1 0.5 0.5⎤ ⎡ 1 ⎥ ⎢− 3 − 2 − 3⎥ − ⎢− 3 − 2 − 3⎥ ⎥ ⎢0.5 1 G T PG − P = ⎢ 3 − 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎢ ⎢ 1⎥ 0 0⎥ 0 0⎥ ⎦ ⎣1 ⎦ ⎢ ⎣1 ⎦⎢ ⎣0.5 0 ⎦⎢ ⎣0 − 3 0 ⎥ ⎡ 8 4.5 7 ⎤ ⎥ =⎢ ⎢4.5 6 1.5⎥ ⎢ 7 1.5 8 ⎥ ⎦ ⎣ 8 4.5 7
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
李雅普诺夫第二方法简介
定义1: 假设V(x)为在域x H内定义的一个连续函数,
V(0)0. (1)如果在此域内恒有V(x)0,则称函数V为半正定. (2)如果对一切x0,都有V(x)0,称函数V为正定. （3）如果函数V是定正(半正定), 则称函数V是负定(半负定).
例 V(x1，x2 ) x12 x22 2x1x2 半正定
x2
u2
u1
v0
ε x1
u3
例:考虑如下系统关于零解的稳定性： x 5x
首先构造一个正定函数：
V (x ) x 2
显 然 ， V ( x ) 0 x 0 ,且 V ( x ) 0 x 0 。
现 在 ， 我 们 考 虑 V 沿 上 述 微 分 方 程 的 解 对 时 间 t的 导 数 ， 有
x 1 2(t) x2 2(t) x 1 2(t0) x2 2(t0)。
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x1 x 2 x 2 x1 x 2
研 究 其 平 衡 状 态 x 1 0 , x 2 0 的 稳 定 性 。 若 取 v(x)x1 2x2 2,则 有
v x v 1 x 1 x v 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 2 2 0
V(x, y) x y2 y2.
正定
V(x, y) 1 y2 g (1 cos x). 2l
正定
V(x, y) ax2 bxy cy2
a 0, 4ac b2 0.
a 0,
4ac b2 0.
V(x, y) 1 y2 x g(s)ds,
2
0
xg(x) 0.
正定 负定
V (x1,x2)3 x1 22 x1 x22 x2 2
易于验证，这是一个正定函数。
李雅普诺夫稳定性分析(二)
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大 于零，故矩阵P为正定的。因此，系统为大范围 渐近稳定的。 此时，系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对 时间t的全导数分别为
1 T 3 1 V ( x ) = x Px = x x > 0 2 1 2 0 T T − 1 V ′(x) = −x Qx = x x < 0 0 − 1
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
例5-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳 定性。 ′ x1 0 1 x1 x′ = − 1 − 1 x 2 2 解: 设选取的李雅普诺夫函数为 V(x)=xTPx 由定理5-7可知，上式中的正定矩阵P满足李雅普 诺夫方程 PA+ATP=-I. 于是，令对称矩阵P为
由于V’(x)正半定，但其只在x1=0，x2=0时才恒为零， 而在其他状态不恒为零，因此由定理5-6的2)可知， 系统的该平衡态为不稳定的。
下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法 作一小结
V(x) 正定(>0) V’(x) 负定(<0) 结论 该平衡态渐近稳定
负半定(≤0)且不恒为0 正定(>0) 该平衡态渐近稳定 (对任意非零的初始状态的解) 正定(>0) 正定(>0) 正定(>0) 负半定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态的解) 正定(>0) 该平衡态稳定 但非渐近稳定 该平衡态不稳定
李雅普诺夫Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫
现代控制理论的稳定性判据
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性理论
李雅普诺夫，俄国数学力学专家， 俄罗斯科学院院士，意大利林琴 科学院 以及法国巴黎科学院的外籍院士。 1892年在他的博士论文《运动稳定性的一般 问题》（The general problem of the stability motion） 中系统地研究了由微分方程描述的一般运动系统的稳定性 问题，建立了著名的Lyapunov方法，为现代控制和非线性 控制奠定了基础。 Lyapunov稳定性理论对于控制理论学科的发展产生了深刻 的影响，已成为现代控制理论的一个非常重要的组成部分。
时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
初始状态有界，随时间
推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一 个确定的数值内，而到 达不了平衡状态。
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
任给一个球域S ( ) ，若存在一个球域S ( ) ，使得从 S ( )出发的 轨迹不离开S ( )，则称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定 的。 若 与初始时刻 t 0无关，则 称系统的平衡状态x e是一致
x2
S ( )
xe
S ( )
x1
近，直至到达平衡状态后
停止运动。
3、大范围渐近稳定 当初始条件扩展到整个状态空间，且平衡状态均具 有渐近稳定性时，称此平衡状态是大范围渐近稳定的。 几何意义：
李雅普诺夫稳定性分析(二)
但是，如果我们一时找不到这样的李雅普诺夫函 数，也并不意味着平衡态就不是渐近稳定的。 2) 对于渐近稳定的平衡态，满足条件的李雅普诺夫 函数总是存在的，但并不唯一。 3) 对于非线性系统，虽然具体的李雅普诺夫函数可 证明所讨论的系统在平衡态的邻域内是渐近稳定的， 但并不意味着在其他的区域系统是或不是渐近稳定 的; 4) 李雅普诺夫第二法的结论并没有指明寻找李雅普 诺夫函数的方法。 寻找李雅普诺夫函数的方法将依具体的系统和状 态方程而具体分析。
2 V (x) = x12 + x2 2 ′ ′ V ′(x) = 2 x1 x1 + 2 x2 x2 = −2 x2 ≤ 0
由于V’(x)是负半定函数，由定理5-5的1)可知， 系统为一致稳定的。
′ x1 = x2 ′ x2 = − x1 − x2
对例5-5，选取李雅普诺夫函数为
1 2 2 V ( x , t ) = ( x1 + x2 ) 2 + 2 x1 + x2 2
T
例5-10 控制系统方块图如下图所示。 要求系统渐近稳定，试确定增益的取值范围。
x3
k s +1
1 s+2
x2
1 s
x1
-
解: 由图可写出系统的状态方程为 ɺ 1 0 x1 x1 0 x = 0 x ɺ2 −2 1 2 x3 − k 0 − 1 x 3 ɺ
解出p11、p12和p22，得
p11 p12 1 3 1 P= = 2 1 2 p12 p22
为了验证对称矩阵P的正定性，用合同变换法 检验如下:
1 3 1 行( 2) −(1) / 3→( 2) 1 9 0 P= ⇒ 2 1 2 列( 2)−(1) / 3→( 2) 6 0 5
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上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
5.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
5.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据：
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李氏稳定的充要条件：
Re(i ) 0
i 1,2, n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半 部。
Байду номын сангаас
2.
非线性系统的稳定性分析： 假定非线性系统在平衡状态附近可展 开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。 设非线性系统状态方程： f ( x) f ( x) --非线性函数 x 在平衡状态 xe 0附近存在各阶偏导 数，于是：
如果对每个实数 0 都对应存在另 一个实数 ( , t0 ) 0 满足
x0 xe ( , t0 )
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0 , t0 )，在t 都满足：
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
当 与 t 0 无关 大范围一致渐近稳定。 必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态xe
有多小，只要 s( ) 4. 不稳定性：不管 ， 内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此 平衡状态是不稳定的。
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明存在局 发散的轨迹。至于是否趋 于无穷远 域外是否存在其它平衡状态。 s( ) 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
t
都有 lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) ,
x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必
是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初
始条件的大小无关)。 非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
定理1：若(1) V ( x, t ) 正定； . (2) V ( x, t ) 负定； 则原点是渐近稳定的。 . 说明： V ( x, t ) 负定 能量随时间连续单调 衰减。 定理2：若(1) V . ( x, t ) 正定； (2) V . ( x, t ) 负半定； (3) V [ x(t ; x0 , t ), t ] 在非零状态不 恒为零，则原点是渐近稳定的。
2 0 x
0 xe3 1
0 xe2 1
0
4.
孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
5.2 李雅普诺夫意义下的稳定 1.李氏意义下的稳定
奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据 非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非 线性系统)
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定
性定理采用了状态向量来描述，适用于单 变量，线性，非线性，定常，时变，多变 量等系统。 应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程 的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧 来构造李氏函数
与 t 0 有关 时变：
定常系统： 与t 0无关，xe 是一致稳定的。 注意： －向量范数(表示空间距离) 欧几里得范数。
2.渐近稳定 1）是李氏意义下的稳定
x(t ; x0 , t0 ) xe 0 2）lim t
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统
正常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。 稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据，
5.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0)
=f(x,t)的解为 x(t; x0 , t0 ) 2.初态 x
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe 系统的平衡状态 e f ( xe , t ) 0 x n Ax a.线性系统 xR x