5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
第八章 李雅普诺夫稳定性理论
x
sin2
et
t
et
cos2t
x
令
sin2 t et
et
cos2t
x
0
得
x0
（2） 在x1,x2平面的一、三象限内 V(x1,x2)etx1x20
而在同一区域内 V e tx 1 x 2 e tx 1 x 2 e tx 1 x 2x12 x22 0
所以系统不稳定
❖推论. 1：当 V(x,t) 正定，V ( x, t ) 半正定， 且 V[x(t; x0,t),t]在非零状态不恒为零时,则
例
xx21
kx2 x1
k 0
V (x ,t)x 1 2 k2 2x(k 0 )
V ( x , t ) 2 x 1 x 1 2 k 2 x 2 x 2 k 1 x 2 x 2 k 1 x 2 x 0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
定理四 设系统的状态方程为 xf(x,t) f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：
定理一 设系统的状态方程为xf(x,t)
f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x，t)为正定； 2) V ( x, t ) 为负定 则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果随 x 有 V(x,t)，则在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如果 由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述64页PPT
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
李雅普诺夫稳定性的基本定理描述
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
李雅普诺夫稳定性理论 (2)
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
f A T x
x xe
x x xe
则线性化系统方程为：
x Ax
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线 性系统在 xe 处是渐进稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 Re( j ) 0 i j 1,, n 则不稳定。 3) 若 Re(i ) 0，稳定性与 g ( x)有关，
f x f ( xe ) T x
其中：
( x xe ) g ( x)
x xe
g ( x) --级数展开式中二阶以上各项之和)
f1 x f 1 T x f n x1 f1 x2 f n x2 f1 xn f n xn
g ( x) 0 则是李雅普诺夫意义下的稳定性。
5.4 李雅普诺夫第二法(直接法)
稳定性定理：
f ( x, t ) 设系统状态方程：x 其平衡状态满足 f (0, t ) 0 ，假定 状态空间原点作为平衡状态( xe 0)，并设 在原点领域存在 V ( x, t )对 x 的连续的一阶 偏导数。
A非奇异： A奇异：
Axe 0 xe 0 Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe x
eg. x 1 x1
2 x1 x2 x x
令
3 2
1 0 x
xe 1 0
5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义 矩阵定号性定义
因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为 判别对称矩阵的正定性。 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别 记为 P>0, P<0, P≥0, P≤0。
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法 判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。 下面分别介绍。
上面定义了时不变函数V(x)的定号性,相应地可以定义标量时 变函数V(x,t)的定号性。
实函数的正定性(6/4)
定义5-7 设x∈Rn,是Rn中包含原点的一个封闭有限区域,实函 定义 数V(x,t)是定义在[t0,∞)×上的一个标量函数且V(0,t)=0,标量 连续函数α(||x||)和β(||x||)为非减(函数值单调增加)的且满足 α(0)=β(0)=0, 1) 如果对任意t≥t0和x≠0, V(x,t)为有界正定的,即 0<α(||x||)≤V(x,t)≤β(||x||) 0<α(||x||)≤V(x,t)≤β(||x||)， 称函数V(x,t)为[t0,∞)×上的(时变)正定函数。 2) 如果对任意t≥t0和x≠0,分别为 有界负定，即0>-α(||x||)≥V(x,t)≥-β(||x||)； 有界非负定，即0≤V(x,t)≤β(||x||)； 有界非正定，即0≥V(x,t)≥-β(||x||)，
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识,然后介绍一些 数学预备知识 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义 李雅普诺夫稳定性定理
数学预备知识(1/1)
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
4非线性系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
v(x)=i/r (x)/(x)r严J] ar r ■ 1 as严), ar r • ■ r /(x)+/r (x) = /(xM r (x)/(.r) + /r (x)J(x)/(x) =-111 FV(x) = /r (x)/(x)^系统的一个李雅评诺夫曲数，即/f (X)/(X)正定。
■因此,若j(x)负定•则V(x.O = /r (x)j(x)/(x 必为负定。
x 所以，由泄理54知•该非线性系统的卩衡态叫=0是渐近稳 定的。
□ □ □ 丸人索人斯仏法(“7〉 □在应用克拉索夫斯基定理时，还应注意下血儿点。
-克拉索夫斯堆丘理只是渐近稳左的一个充分条件，不是必 耍条件。
丁如对于渐近稳定的线性定常连续系统j(x) = J(x) +J r (x) =不是负定矩阵，故由克拉索夫斯基定理判别不出该系统 为渐近稳定的。
/可见•该定理仅是一个充分条件判别定理。
x(/) = /(x) V(x}^ x T x^ 丸拉次先斯览7) -若V(x)=f(x}f(x)止定，为Ly叩unov函数•则说明只右'"|*0 时才有Wr)=O,即原点是唯一的平衡态。
“因此，只有原点是系统的唯一平衡态，才能用克拉索夫斯皋定理判别渐近稳运性，并且山该泄理判别出的渐近稳定的平衡态一定是大范国渐近稳定的。
-山克拉索夫斯基定理对知，系统的平衡态％=0是渐近稳定的条件IiJ(x)+Z(x)为负定矩阵函数。
"由负定矩阵的性质知，此时雅可比矩阵丿(x)的对角线元索恒取负值•因此向虽函数f(x)的第/个分量必须包禽变駁心含则•就不能应用克拉索夫斯基定理判别该系统的渐近稳定性。
”将克拉索夫斯卑定理推广到线性疋常连续系统可知:对称矩阵4+川负立，则系统的原点是大范用渐近稳定的。
丸拉索人斯肚注〔67>J例412试确定如下非线性系统的平衡态的忌定性:口解由于用)连续可导且/r(x)/(x) = (-3x| + x2)2 +(.V|-X2-X2)2 >0□町取作李雅普诺夫的数，因此•有兑拉廉夬浙临法(7/7)由塞尔维斯特准则有一6 2 5=-6<0> △?= 、二36x； + 8>02 2 61■，故矩阵函数j(x)负定，所以曲克拉索夫斯基定理可知，平衡态耳=0杲渐近稳定的。
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李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1
� 例5-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
⎡ ⎢ ⎣
x1′ x2′
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡
⎢ ⎣
K
1
(
x12
x2 − 1) x2
−
K
2
x1
⎤ ⎥ ⎦
K1, K2 > 0
试确定系统在原点处的稳定性。
� 解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
� 将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
∂f (x)
⎡0
A = ∂xτ x=xe = ⎢⎣− K 2
因此,系统的特征方程为
1⎤
−
K1Leabharlann ⎥ ⎦|λI-A|=λ2+K1λ+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.
李雅普诺夫第二法(1/3)
5.2.2 李雅普诺夫第二法
A = ∂f ( x) ∂x τ
x = xe
⎡ ∂f1/∂x1
=
⎢ ⎢
...
⎢⎣ ∂f n / ∂x1
... ... ...
∂f1/∂xn ⎤
...
⎥ ⎥
∂fn/∂xn ⎥⎦ x=xe
李雅普诺夫第一法(4/7)
� 上述线性化方程的右边第一项A(x-xe)代表原非线性状态方程 的一次近似式,如果用该一次近似式来表达原非线性方程的近 似动态方程,即可得如下线性化的状态方程: x’=A(x-xe) � 由于对如上式所示的状态方程总可以通过n维状态空间中 的坐标平移,将平衡态xe移到原点。 � 因此,上式又可转换成如下原点平衡态的线性状态方程: x’=Ax
李雅普诺夫第一法(1/7)
5.2.1 李雅普诺夫第一法
� 李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是: � 首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态附 近进行线性化, � 即在平衡态求其一次Taylor展开式, � 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 � 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有正 实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态的 稳定性与高阶项R(x)无关。
3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
李雅普诺夫第一法(6/7)
Ch.5 李雅普诺夫稳定性 分析
目录
� 概述 � 5.1 李雅普诺夫稳定性的定义 � 5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理 � 5.3 线性系统的稳定性分析 � 5.4 非线性系统的稳定性分析 � 5.5 Matlab问题 � 本章小结
目录(1/1)
李雅普诺夫稳定性的基本定理(1/2)
5.2 李雅普诺夫稳定性的基本定理
李雅普诺夫第一法(2/7)
� 下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态 稳定性中的应用。
� 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
李雅普诺夫第一法(3/7)
� 欲讨论系统在平衡态xe的稳定性,先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数,即有
� 判别非线性系统平衡态xe稳定性的李雅普诺夫第一法的思想 即为:
� 通过线性化,将讨论非线性系统平衡态稳定性问题转换到 讨论线性系统x’=Ax的稳定性问题。
李雅普诺夫第一法(5/7)
� 李雅普诺夫第一法的基本结论是:
1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都具 有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系统 的稳定性与高阶项R(x)无关。
� 本节主要研究李雅普诺夫意义下各种稳定性的判定定理和判 定方法。讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性(正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法 李雅普诺夫第一法
难点喔!
矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫稳定性的基本定理(2/2)
� 下面先讲述 � 李雅普诺夫第一法,然后讨论 � 李雅普诺夫第二法
x′ =
f ( xe ) +
∂f ( x) ∂x τ
x = xe
( x-xe ) + R( x-xe )
= A( x-xe ) + R( x-xe )x= xe
其中A为n×n维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。 雅可比矩阵A定义为
� 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。
� 基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫第二法(3/3)
� 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 � 数学预备知识,然后介绍一些 � 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍 � 李雅普诺夫稳定性定理
� 由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。 � 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。
李雅普诺夫第二法(2/3)
� 李雅普诺夫第二法又称为直接法。 � 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 � 若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。
� 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。
� 值得指出的区别是: � 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。
� 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
数学预备知识(1/1)