11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第八章 李雅普诺夫稳定性理论
x
sin2
et
t
et
cos2t
x
令
sin2 t et
et
cos2t
x
0
得
x0
（2） 在x1,x2平面的一、三象限内 V(x1,x2)etx1x20
而在同一区域内 V e tx 1 x 2 e tx 1 x 2 e tx 1 x 2x12 x22 0
所以系统不稳定
❖推论. 1：当 V(x,t) 正定，V ( x, t ) 半正定， 且 V[x(t; x0,t),t]在非零状态不恒为零时,则
例
xx21
kx2 x1
k 0
V (x ,t)x 1 2 k2 2x(k 0 )
V ( x , t ) 2 x 1 x 1 2 k 2 x 2 x 2 k 1 x 2 x 2 k 1 x 2 x 0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
定理四 设系统的状态方程为 xf(x,t) f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：
定理一 设系统的状态方程为xf(x,t)
f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x，t)为正定； 2) V ( x, t ) 为负定 则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果随 x 有 V(x,t)，则在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如果 由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
李雅普诺夫稳定性分析
⑥ V(x)函数只表示了平衡状态附近的某领域内的局部 运动稳定状况。不能提供域外的运动信息。 ⑦ V(x)的构造需要较多技巧，可通过计算机来完成， 人力难以估测。因此，此方法常用于难以判定的复 杂问题。例如高阶时变非线性系统。
李雅普诺夫稳定性在线性系统中的应用
线性系统中的应用
线性连续定常系统稳定性分析 线性离散定常系统稳定性分析 线性连续时变系统稳定性分析 线性离散时变系统稳定性分析
V ( x) 0,V ( x) 0,V ( x) 0
李雅普诺夫函数讨论
⑤ V ( x) 0 V ( x) 0 V ( x) 0
能量的趋近速度是负的，所以能量最 终为0，趋向于原点，系统是渐进稳 定的。 能量最终为可能0，趋向于原点，也 有可能停止在ε内的某处。 能量是递增的，因此是不稳定的。
李雅普诺夫稳定性
上述定理的标量函数V(X,t)称为李亚普诺夫函数． 李亚普诺夫稳定性定理是判定系统稳定的充分条件， 但非必要条件。 一般李亚普诺夫函数对某个系统来说不止一个，即不 唯一。
状态 系统 能量函数
寻找的
？
系统 稳定
李雅普诺夫稳定性
示例有一个非线性状态方程，Xe=0为一个平衡状态
是否就一定不稳定呢？是否标量函数不合适呢？需要另外判断。 从李雅普诺夫第一方 法来看，解特征方程
s 1 1 2 sI A 1 s 1 s 2s 2 0
李雅普诺夫函数讨论
李雅普诺夫第二方法关键在于寻找一个满足条件的李 雅普诺夫函数。 ① V(x)是满足稳定性盘踞条件的一个正定标量函数，具 有连续一阶偏导。 ② 对于一个给定系统，如果V(x)能找到，那么通常是非 唯一的，但是不影响结论一致性。 ③ V(x)最简形式是二次型，但未必都是。 ④ 如果V(x)是标准二次型，V(x)可表示为从原点到x的 距离。V (x) 表征了系统相对原点运动的速度。
稳定性与李雅谱诺夫方法
（3）
成立，则称 为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用 那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心 为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当 很小时，则称 为 的邻域。因此，若有 位于球 ， 则意味着 域 内，便有： 同 理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即 （5） 式中
由稳定性判据可知，当 一个正定对称矩阵，则 定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态 证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P， 满足 则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；
11.4 绾挎
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
所以，对任意的t，下式均成立:
At e (P P )e 常数 1 2 ATt
令 t=0 和 t=T(0), 则有
P 1 -P 2 e
ATT
AT (P P )e 常数 1 2
由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方 程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
线性定常系统的Lyapunov稳定性分析线性定常系统的Lyapunov稳定性分析发布时间：2007-02-084.4.2 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析考虑如下线性定常自治系统(4.3)式中，。
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有式中为正定矩阵。
因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。
为了判断n′n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q 是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由确定的P是否也是正定的。
这可归纳为如下定理。
定理4.8 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。
此时，Lyapunov函数为，特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：(1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件则沿任意轨迹不恒等于零（见例4.18）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
李亚普诺夫稳定性分析
x1x1
0 x2
x23
0
的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。
0 xe,1 0
0 xe,2 1
0 xe,3 1
对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对 于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对 于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同 的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提 某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。
令
x 所 0求得的解 x ,便是平衡状态。
李亚普诺夫稳定性分析
➢ 由于导数表示的状态 的运动变化方向,因此 平衡状态即指能够保 持平衡、维持现状不 运动的状态,如图所示。
平衡态 平衡态
平衡态
李亚普诺夫稳定性分析
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0
当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态 xe=0;
李亚普诺夫稳定性分析
4 大范围(全局）渐近稳定性
当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态具有渐近稳定性时，
称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时 ,S() 。
对于线性定常系统,因为线性系统稳定性与初始条件的 大小无关，所以如果其平衡状态是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的。
✓ 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性 的概念,而非全局性的概念。
不定性:V ( x ) 在域S内可正可负，则称V ( x ) 不定。如 V(x)x1x2 是不定的。
二次型函数 是一类重要的标量函数，记
p11 p1nx1
V(x)xTP xx1 xn
其中，P 为对称矩阵，有 pij p ji 。 pn1 pnnxn
11.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
结论正定0该平衡态渐近稳定正定0对任意非零的初始状态的解该平衡态渐近稳定正定0对某一非零的初始状态的解该平衡态稳定但非渐近稳定正定0正定0该平衡态不稳定正定0半正定0且不恒为0对任意非零的初始状态的解该平衡态不稳定类似于线性定常连续系统对于线性定常离散系统有如下简单实用的渐近稳定判据
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
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11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
不难看出, 原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则
0 0 0 Q 0 0 0 0 0 1
由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态 轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的 Q，Lyapunov代数方程和相 应结论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入Lyapunov方程, 可得
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)
由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
方程的唯一解的推论。
推论11-1 如果线性定常系统 x’=Ax 在平衡态 xe=0是渐近稳 定的, 那么Lyapunov代数方程
PA+ATP=-Q 对给定的任意正定矩阵Q，存在唯一的正定矩阵解P。 证明 用反证法证明。
即需证明: Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解, 但该 系统是渐近稳定的。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
不难看出, 原点为系统的平衡状态。 选取Q为非负定实对称矩阵，则
0 0 0 Q 0 0 0 0 0 1
由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态 轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的 Q，Lyapunov代数方程和相 应结论依然成立。
设P为实对称矩阵并代入Lyapunov方程, 可得
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
证明 (1) 先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵P满足 方程 PA+ATP=-Q, 则平衡态xe=0是渐近稳定的。 证明思路： 由于P正定, 选择正定函数 V(x)=xTPx为 Lyapunov函数 计算 Lyapunov函 数V(x)对时间t 的全导数V’(x) 通过判定V’(x) 的定号性来判 定平衡态xe的 稳定性
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax
的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1