江苏省南京市板桥中学1213学年高一下学期期中数学(附答案)
江苏省南京市第一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷(解析版)
南京一中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1．复数4＋2i－1＋2i的虚部为( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i 【答案】B【考点】复数的运算及概念【解析】由题意可知，4＋2i －1＋2i ＝(4＋2i)(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)＝－10i5＝－2i ，则其虚部为－2，所以答案选B.2．已知向量→a ＝(1，2)，→b ＝(3，0)，若(λ→a －→b )⊥→a ，则实数λ＝( )A ．0B ．35 C ．1 D ．3【答案】B【考点】平面向量的垂直坐标运算【解析】由题意λ→a －→b ＝(λ－3，2λ)，因为(λ→a －→b )⊥→a ，所以(λ－3，2λ) (1，2)＝0，即λ－3＋4λ＝0，解得λ＝35，故答案选B.3．复数z 满足z －1＝(z ＋1)i ，则|z |的值是( )A ． 2B ．2C ．1D ．3 【答案】C【考点】复数的运算与共轭复数的模【解析】由题意可知，z ＝1＋i 1－i ＝(1＋i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝i ，所以z ＝－i ，|z |＝1，故答案选C.4．如图正方形OABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形面积( )A ．2 2B ．1C ． 2D ． 2(1＋2) 【答案】A【考点】斜二测画法的应用：直观图与原图【解析】由题意可知，原图为平行四边形，且底边OA ＝1，高OB ＝2×2＝22，所以原图形面积为22，故答案选A.5．若两个向量→a ，→b 的夹角是2π3，→a 是单位向量，|→b |＝2，→c ＝2→a ＋→b ，则向量→c 与→b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．3π4【答案】B【考点】平面向量的数量积应用：求夹角问题【解析】由题意可知，→a ⋅→b ＝|→a ||→b |cos 2π3＝1×2×(－12)＝－1，所以→c ⋅→b ＝(2→a ＋→b )⋅→b ＝2→a ⋅→b ＋→b 2＝－2＋4＝2，|→c |＝|2→a ＋→b |＝()2→a ＋→b 2＝4→a 2＋4→a ·→b ＋→b 2＝4×1＋4×(－1)＋22＝2，所以cos<→c ，→b >＝→c ·→b |→c ||→b |＝22×2＝12，又因为<→c ，→b >∈[0，π]，所以<→c ，→b >＝π3，故答案选B.6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海甲 【答案】A【考点】正余弦定理在实际问题中的应用【解析】由题意可画出草图，由题意可得∠MAB ＝40°，∠MAC ＝70°，∠NBC ＝65°，AB ＝20海里，则∠ABN ＝∠MAB ＝40°，则∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，则在△ABC 中，由正弦定理BC sin30°＝20sin45°，解得BC ＝102，故答案选A ．7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”，“夏(冬)至”的示 意图，图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．BA山历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角 23°41′ 23°57′ 24°13′ 24°28′ 2444′ 正切值 0. 439 0.444 0.450 0.455 0.461 年代公元 元年公元前 2000年公元前 4000年公元前 6000年公元前 8000年A ．早于公元前6000年B ．公元前2000年到公元元年C ．公元前4000年到公元前2000年D ．公元前6000年到公元前4000年 【答案】A【考点】新情景问题下的文化题：三角恒等变换中两角和与差的正切公式应用 【解析】由题意可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日与垂直线夹角为β，则α－β即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角．将图3近似画成如下平面几何图形：则tan α＝1610＝1.6，tan β＝16－9.410＝0.66，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝1.6－0.661＋1.6×0.66≈0.45．因为0.455＜0.457＜0.461，所以估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．8．在△ABC 中，角A 、B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若ac ＝4，a ·cos C ＋3c ·cos A ＝0，则△ABC 面积的最大值为( )A ．1B ． 3C ．2D ．4 【答案】A【考点】解三角形中的面积最值问题【解析】法一：对于a cos C ＋3c cos A ＝0，由正弦定理可得sin A cos C ＋3sin C cos A ＝0，则tan A ＝－3tan C ，可得A ，C 一个为锐角一个为钝角，则B 为锐角，所以tan B ＝tan(π－A －C )＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan C3tan 2C ＋1＝23tan C ＋1tan C ，由tan B ＞0可得tan C ＞0，则tan B ≤223＝33，所以sin B ≤12，则S ＝12ac sin B ≤1，当且仅当tan C ＝tan B ＝33时取到最值，所以△ABC 面积的最大值为1，故答案选A. 法二：对于a cos C ＋3c cos A ＝0，由余弦定理可得a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，则2b 2＋c 2－a 2＝0，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32c 2＋12a 22ac ≥234a 2c22ac ＝32，所以sin B ≤12，则S ＝12ac sin B ≤1，当且仅当a ＝3c 时取到最值；所以△ABC 面积的最大值为1，故答案选A ．二、多项选择题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分) 9．下列关于直线l ，点A ，B 与平面α的关系推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α∣ l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β ∣ α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ∣A →αD ．A ∈l ，l ⊂α∣A ∈α 【答案】ABD【考点】空间中点线面的位置关系【解析】由题意可知，对于选项A ，A ，B 两点均在直线l 上，且A ，B 两点均在平面内α，则可推出l ⊂α，所以选项A 正确；对于选项B ，A ，B 两点既在α内，又在β内，则必定在α与β交线上，所以可得到α∩β＝AB ，所以选项B 正确；对于选项C ，点A 在直线l 上，但是直线l 不在平面α内，则点A 可以在直线l 与平面α的交点处，即α∩l ＝A ，所以选项C 错误；对于选项D ，点A 在直线l 上，直线l 在平面α内，则A 必定在平面α内，所以可得到A ∈α，所以选项D 正确；综上，答案选ABD.10．对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是( )A ．sin(α＋β)＜sin α＋sin β；B ．sin(α＋β)＞cos α＋cos β；C ．cos(α＋β)＜sin α＋sin β；D ．cos(α＋β)＜cos α＋cos β； 【答案】AD【考点】三角恒等变换中公式的应用【解析】由题意，对于选项AB ，因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，且α，β均为锐角，所以sin α，cos α，sin β，cos β∈(0，1)，则sin αcos β＜sin α，cos αsin β＜sin β，所以sin(α＋β)＜sin α＋sin β，所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，可令α＝β＝15°，则可验证cos(α＋β)＞sin α＋sin β，所以选项C 错误；对于选项D ，因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，因为α＋β＞α，所以cos(α＋β)＜cos α，又cos β＞0，所以cos(α＋β)＜cos α＋cos β，所以选项D 正确；综上，答案选AD.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，下列△ABC 有关的结论，正确的是( )A ．若△ABC 为锐角三角形，则sin A ＋sinB ＋sinC ＞cos A ＋cos B ＋cos C ； B ．若a ＞b ，则cos2A ＜cos2B ； C ．若tan2A ＝tan2B ，则A ＝B ；D ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形； 【答案】AB【考点】正余弦定理的应用【解析】由题意可知，对于选项A ，若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B ＞π2，则A ＞π2－B ，所以可得sin A ＞sin(π2－B )＝cos B ，同理可得sin B ＞cos C ，sin C ＞cos A ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＞cos A ＋cos B ＋cos C ，所以选项A 正确；对于选项B ，若a ＞b ，则由正弦定理可得sin A ＞sin B ，则2sin 2A ＞2sin 2B ，所以1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ，即cos2A ＜cos2B ，所以选项B 正确；对于选项C ，若tan2A ＝tan2B ，则可得2A ＝2B 或2A －2B ＝π或2B －2A ＝π，所以选项C 错误；对于选项D ，若a cos A ＝b cos B ，则有正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，则△ABC 是等腰或直角三角形，所以选项D 错误；综上，答案选AB.12．任何一个复数z ＝a ＋b i(其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位)都可以表示成：z ＝r (cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n＝[r (cos θ＋isin θ)]n＝r n(cos nθ＋isin θ)(n ∈N +)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )A ．|z 2|＝|z |2B ．当r ＝1，θ＝π3时，z 3＝1C ．当r ＝1，θ＝π3时，z ＝12－32iD ．当r ＝1，θ＝π4时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数【答案】AC【考点】新情景问题下的复数的概念及运算【解析】对于选项A ，因为z ＝r (cos θ＋isin θ)，所以z 2＝r 2(cos2θ＋isin2θ)，则|z 2|＝r 2，|z |2＝r 2，所以|z 2|＝|z |2，所以选项A 正确；对于选项B ，当r ＝1，θ＝π3时，z ＝ cos ＋isin π3，z 3＝cos(3×π3)＋isin(3×π3)＝cosπ＋isinπ＝－1，所以选项B 错误；对于选项C ，当r ＝1，θ＝π3时，z ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，则z ＝12－32i ，所以选项C 正确；对于选项D ，当r ＝1，θ＝π4时，z n ＝cos n π4＋isin n π4，若n 为偶数，则当n ＝4时，z 4＝－1不是纯虚数，所以选项D 错误；综上，答案选AC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13．若cos2θ＝－34，sin 4θ＋cos 4θ＝______．【答案】2532【考点】三角恒等变换与同角三角函数关系式的应用【解析】由题意可知，若cos2θ＝－34，则cos 2θ－sin 2θ＝－34，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，则可解得sin 2θ＝78，cos 2θ＝18，则sin 4θ＋cos 4θ＝(78)2＋(18)2＝2532. 14．已知复数z 满足|z －1|＝1，则|z －1－2i|的最大值为______． 【答案】3【考点】复数的运算【解析】由题意可设z ＝a ＋b i ，因为|z －1|＝1，所以(a －1)2＋b 2＝1，即(a －1)2＋b 2＝1，则可令a －1＝cos θ，b ＝sin θ(θ为任意角)，即有z －1－2i ＝a ＋b i －1－2i ＝a －1＋(b －2)i ＝cos θ＋(sin θ－2)i ，所以|z －1－2i|＝cos 2θ＋(sin θ－2)2＝5－4sin θ≤9＝3，当sin θ＝－1时取到最大值，所以|z －1－2i|的最大值为3. 15．在△ABC 中，内角A 、B ．C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，则tan B ＝______． 【答案】4【考点】正余弦定理的应用 【解析】由题意可知，若cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，则有正弦定理可得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin Csin C＝1则通分可化简为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A sin B ，又b 2＋c 2－a 2＝65bc ，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，且A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，所以45cos B ＋35sin B ＝45sin B ，即化为45cos B ＝15sin B ，因为cos B ≠0，所以tan B ＝4.16．在平行四边形ABCD 中，已知E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且满足→BE ＝2→EC ，→CF ＝3→FD ， 若→AC ＝λ→AE ＋μ→AF (λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为__________；若AE ＝2，AF ＝3，∠EAF ＝60°，则AC 的长为________． 【答案】1310；3195【考点】平面向量的基本定理应用、余弦定理的应用【解析】由题意可知，在平行四边形ABCD 中，因为→BE ＝2→EC ，→CF ＝3→FD ，所以→AE ＝→AB ＋→BE ＝→AB ＋23→AD ，→AF ＝→AD ＋→DF ＝→AD ＋14→AB ，若→AC ＝λ→AE ＋μ→AF ＝λ(→AB ＋23→AD )＋μ(→AD ＋14→AB )＝(λ＋14μ)→AB ＋(23λ＋μ)→AD ，而→AC ＝→AB ＋→AD ，所以⎩⎨⎧λ＋14μ＝123λ＋μ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝910μ＝25，所以λ＋μ＝1310；由上述知→AC ＝λ→AE ＋μ→AF ＝910→AE ＋25→AF ，且→AE ⋅→AF ＝|→AE |⋅|→AF |cos60°＝2×3×12＝3，所以|→AC |＝⎝⎛⎭⎫910→AE 2＋2·910·25→AE ·→AF ＋⎝⎛⎭⎫25→AF 2＝81100×4＋2×910×25×3＋425×9＝3195，所以AC 的长为3195． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．(本小题满分10分)已知复数z ＝(a ＋i)2，w ＝4－3i ，其中a 是实数．(1)若在复平面内表示复数z 的点位于第一象限，求a 的范围；(2)若z w 是纯虚数，a 是正实数，①求a ；②求z w ＋(z w )2＋(z w )3＋…＋(z w )2021．【答案】(1)(1，＋∞)；(2) ①a ＝2；②i 【考点】复数的概念及运算 【解析】(1)由题意z ＝(a ＋i)2＝a 2－1＋2a i ，a ∈R 时对应点为(a 2－1，2a )，则由点位于第一象限可得a 2－1＞0，2a ＞0，则解得a ＞1，所以a 的范围是(1，＋∞)； (2)①由z w 是纯虚数，可设z w ＝b i ，b ∈R ，则a 2－1＋2a i ＝(4－3i)b i ＝3b ＋4b i ，由a ，b ∈R 可得a 2－1＝3b ，2a ＝4b ，联立解得a ＝2，b ＝1或a ＝－12，b ＝－14，BACDE F因为a ＞0，所以a ＝2，b ＝1；②由b ＝1可得z w ＝i ，所以z w ＋(z w )2＋…＋(z w )2021＝i －1－i ＋1－1－i ＋1＋…＋i ＝i ．18．(本小题满分12分)已知α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且cos(α－β)－cos(α＋β)＝813， tan β2＋1 tan β2＝265．(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值． 【答案】(1)－725；(2) 3356【考点】三角恒等变换的应用 【解析】(1)由cos(α－β)－cos(α＋β)＝813，可得2sin αsin β＝813，则解得sin αsin β＝413；由tan β2＋1tan β2＝265，可得 sinβ2cos β2＋cos β2sin β2＝265，则sin 2β2＋cos 2β2sin β2cos β2＝265，则sin β＝2sin β2cos β2＝513，则sin α＝45，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×1625＝－725；(2)由α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，可得cos α＞0，cos β＞0，由sin α＝45，sin β＝513，可得cos α＝1－sin 2α＝35，cos β＝1－sin 2β＝1213，则tan α＝43，tan β＝512，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－5121＋43×512＝3356.19．(本小题满分12分)在①sin C ＋3cos C ＝2，②C ＝2A ，③b ＝2a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上， 若问题中的三角形存在，求a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(3c －2b )cos A ＝2a cos B ， c ＝1，__________?【答案】选①，答案为253；选②，答案为34；选③，三角形不存在【考点】结构不良题：正余弦定理的应用 【解析】由(3c －2b )cos A ＝2a cos B 及正弦定理，可得3sin C cos A －2sin B cos A ＝2sin A cosB ， 则3sin C cos A ＝2sin(A ＋B )，由A ＋B ＋C ＝π可得sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 在△ABC 中，因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，则3cos A ＝2，解得cos A ＝23，又A ∈(0，π)，可得sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53， 若选①：可化简得sin C ×12＋cos C ×32＝1，即sin(C ＋π3)＝1，由C ∈(0，π)，可得C ＋π3＝π2，解得C ＝π6，由正弦定理a sin A ＝c sin C ，则a ＝1×53×2＝253； 若选②：可化简得sin C ＝sin2A ＝2sin A cos A ＝459，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ，则a ＝1×53×945＝34； 若选③：则由余弦定理可得，23＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由c ＝1，b ＝2a ，可化简得23＝3a 2＋14a，即9a 2－8a ＋3＝0，其中 ＝64－108＜0，则无解，所以该三角形不存在．20．(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ⊥AC ，AB ＝23． (1)若∠ABC ＝30°，CD ＝3AD ，求BD 的长； (2)若AC ＝2，∠ADB ＝30°，求sin ∠CAD 的值． 【答案】(1)19；(2)277【考点】正余弦定理在平面几何中的应用 【解析】(1)由AB ⊥AC ，∠ABC ＝30°，可得AC AB ＝tan30°＝33，由AB ＝23，可得AC ＝2，由AD ⊥CD 且CD ＝3AD ，可得tan ∠CAD ＝CDAD ＝3，则∠CAD ＝60°，则AD ＝AC cos60°＝1，则∠BAD ＝∠CAB ＋∠CAD ＝150°，所以在△ABD 中，由余弦定理可得 BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD cos ∠BAD ＝12＋1－2×23×1×(－32)＝19，则BD ＝19； (2)设∠CAD ＝θ，由AD ⊥CD ，则AD ＝AC cos θ＝2cos θ，由AB ⊥AC ，可得∠BAD ＝θ＋π2，由∠ADB ＝30°，可得∠ABD ＝π－∠ADB －∠DAB ＝π3－θ，在△ABD 中，由正弦定理可得AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB，即2cos θsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝2312，则cos θ＝23(32cos θ－12sin θ)，则3sin θ＝2cos θ， 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得sin 2θ＋34sin 2θ＝1，由θ∈(0，π)，可得sin θ＞0，sin θ＝277．21．(本小题满分12分)如图1，某景区是一个以C 为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路l 1，l 2成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在l 1和l 2上，修建的木栈道AB 与道路l 1，l 2围成三角地块OAB ．(注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等)．(1)当△OAB 为正三角形时，求修建的木栈道AB 与道路l 1，l 2围成的三角地块OAB 面积； (2)若△OAB 的面积S ＝103，求木栈道AB 长；(3)如图2，若景区中心C 与木栈道A 段连线的∠CAB ＝α， ①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域； ②求木栈道AB 的最小值．图1 图2【答案】(1)9 3 (2)7；(3)①AB ＝3tan α＋3tan(π3－α)，α∈(0，π3)；②6；【考点】解三角形在实际问题中的应用OA【解析】(1)当△ABC 是等边三角形时，∠ACB ＝120°，CA ＝CB ，则BM ＝AM ＝3CM ＝3，则AB ＝6，△ABC 面积为S ＝12×6×6×sin π3＝93； (2)在△OAB 中，因为S ＝12OA ·OB sin ∠AOB ，则解得OA ⋅OB ＝40， 所以S ＝S △OCA ＋S △OCA ＋S △OAB ＝12(OA ＋OB ＋AB )3，则OA ＋OB ＋AB ＝20， 所以OA 2＋OB 2＋2OA ·OB ＝AB 2－40AB ＋400，则OA 2＋OB 2＝AB 2－40AB ＋320，由余弦定理可得，AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB ，即AB 2＝OA 2＋OB 2－OA ·OB ，则OA 2＋OB 2＝AB 2＋40，则AB 2－40AB ＋320＝AB 2＋40，则解得AB ＝7：(3)设圆与AO ，OB 分别切于N ，P ，则AM ＝AN ，BM ＝BP ，∠CMA ＝∠CNA ＝∠CMB ＝∠CPB ＝90°，则△CMA ≌△CNA ，△CMB ≌△CPB ，则∠CAM ＝∠CAN ，∠CBM ＝∠CBP ，由∠CAB ＝α，可得∠MAP ＝2α，由∠BAO ＋∠OBA ＝π－∠AOB ＝2π3， 可得∠OBA ＝2π3－2α，则∠CBM ＝π3－α， 则AB ＝AM ＋BM ＝CM tan ∠CAM ＋CM tan ∠CBM ＝3tan α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π3－α； ①AB ＝3tan α＋3tan ⎝⎛⎭⎫π3－α；α∈(0，π3)； ②AB ＝3tan α＋3(1＋3tan α)3－tan α＝3tan α＋3tan α＋33－tan α＝3tan α＋433－tan α－3 ＝(1tan α＋43－tan α)(tan α＋3－tan α)－3＝3－tan αtan α＋4tan α3－tan α＋2≥6， 当且仅当tan α＝33时等号成，则AB 的最小值6.22．(本小题满分12分) 已知向量→a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，→b ＝(cos x 2，－sin x 2)，函数f (x )＝→a ⋅→b －m |→a ＋→b |＋1，x ∈[－π3，π4]，m ∈R ． (1)当m ＝0时，求f (π6)的值： (2)若f (x )的最小值为－1，求实数m 的值；(3)是否存在实数m ，使函数g (x )＝f (x )＋2449m 2，x ∈[－π3，π4]有四个不同的零点?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)32；(2)m ＝2；(3)[726，74). 【考点】【解析】(1) f (x )＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2－m (cos 3x 2＋cos x 2)2＋(sin 3x 2－sin x 2)2＋1 ＝cos(3x 2＋x 2)－m 2＋2cos(3x 2＋x 2)＋1＝cos2x －m 2＋2cos2x ＋1＝cos2x －m 4cos 2x ＋1， 由x ∈[－π3，π4]，可得cos x ＞0，则f (x )＝cos2x －2m cos x ＋1； 当m ＝0时，f (π6)＝cos π3＋1＝32； (2)由(1)可知f (x )＝cos2x －2m cos x ＋1＝2cos 2x －2m cos x ＝2(cos x －m 2)2－m 22， 当x ∈[－π3，π4]时，cos x ∈[12，1]， 当m 2∈[12，1]，即m ∈[1，2]，cos x ＝m 2时，f (x )取到最小值－m 22， 则－m 22＝－1，则m ＝±2，由m ∈[1，2]可得m ＝2； 当m 2＜12，即m ＜1时，cos x ＝12时，f (x )取到最小值12－m ， 则12－m ＝－1，m ＝32，不满足m ＜1，故舍去； 当m 2＞1，即m ＞2时，cos x ＝1时f (x )取到最小值2－2m ， 则2－2m ＝－1，则m ＝32不满足m ＞2，故舍去； 综上m ＝2；(3)g (x )＝f (x )＋2449m 2＝2cos 2x －2m cos x ＋2449m 2＝2(cos x －3m 7)(cos x －4m 7)， 令g (x )＝0，则cos x ＝3m 7或cos x ＝4m 7， 由g (x )在x ∈[－π3，π4]有四个不同零点，即cos x ＝3m 7或cos x ＝4m 7有四个解， 因为cos x 在[－π3，0]上单调递增，在[0，π4]上单调递减，且cos (－π3)＝12，cos0＝1，cos π4＝22， 则22≤3m 7＜1，22≤4m 7＜1，则726≤m ＜74，所以实数m 的取值范围是[726，74)．。
2023-2024学年江苏省南京十三中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京十三中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x＞0，x2+x＞0B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞02．设全集U＝{0，1，2，4，6}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪（∁U N）＝（）A．{0，2，4，6}B．{0，1，4，6}C．{1，2，4，6}D．U3．﹣1000°的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．函数f（x）＝ln（1﹣2x）的定义域为（）A．(−∞，12]B．(−∞，12)C．(0，12)D．(12，+∞)5．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件6．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为（）A．5B．6C．8D．97．设a＝log23，b=√2，c=√55，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a8．一种药在病人血液中的量保持在500mg以上时才有疗效，而低于100mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．5小时后B．7小时后C．9小时后D．11小时后二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分）9．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x2+2x B．y=−1x C．y＝|x﹣1|D．y=x1210．下列式子正确的是（）A．sin2＞0B．cos3＞0C．tan4＞0D．sin6＞0 11．已知a＞0，b＞0，a2+b2+ab＝1，则（）A ．ab ≤13 B ．a +b ≤2√33 C ．a 2+b 2≤23D ．1a +1b≤2√312．f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +2）是偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝4x ﹣1，则（ ） A ．f(−12)=−12B ．f(52)=7C ．f(112)=−7 D ．f(log 25)=23125三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13．点P （﹣1，2）是角α终边上一点，则cos α＝ ．14．函数y ＝a x +b （a ＞0且a ≠1）的图象如图所示，则a +b ＝ ．15．已知f （x ）是定义域为R 的偶函数，在（﹣∞，0]上为单调增函数，且f （2）＝0，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为 ． 16．已知函数f(x)={x +2，x ≤02x，x ＞0，①满足f [f （a ）]＝1的实数a 的取值集合为 ；（用列举法表示） ②若f （x 1）＝f （x 2），且x 1＜x 2，则x 1+x 2的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17．（10分）已知A ＝{x |﹣x 2+x +6＞0}，B ={x|2x+1x≥1}，C ＝{x |2x ﹣a ≤0}． （1）当a ＝﹣1时，求A ∩（B ∪C ）；（2）在“①A ∩C ＝A ”；“②A ∩C ＝∅”；“③B ∪C ＝R ”这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若_____，求实数a 的取值范围． 18．（12分）计算：（1）(lg2)2+lg5×lg20+(12)log 25； （2）2√3×√1.53×√126． 19．（12分）（1）已知tan α＝﹣2，求sinα+cosαsinα−3cosα的值；（2）已知sin α+2cos α＝2，求tan α的值．20．（12分）如图，用面积140m 2的铁皮制作一个长为am ，宽为2m ，高为bm 的无盖盒子．制作要求如下：①铁皮全部用完，且不计拼接用料；②2≤b ≤4a3． （1）求a 的取值范围；（2）当a ，b 分别为多少时，箱子的容积V 最大，并求出最大值．21．（12分）已知关于x 的不等式ax 2﹣b ≥2x ﹣ax （a ，b ∈R ）解集为A ． （1）若A ＝{x |﹣2≤x ≤﹣1}，求a ，b 的值； （2）当b ＝2时，求A ．22．（12分）已知f(x)=ax 2+bx 1−x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f(12)=43． （1）求a 和b 的值；（2）判断f （x ）在（﹣1，1）上的单调性，并证明你的结论； （3）求证：f （x ）的值域为R ．2023-2024学年江苏省南京十三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．命题“∀x＞0，x2+x＞0”的否定是（）A．∃x＞0，x2+x＞0B．∃x＞0，x2+x≤0C．∀x＞0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x＞0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞0，x2+x≤0，故选：B．2．设全集U＝{0，1，2，4，6}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪（∁U N）＝（）A．{0，2，4，6}B．{0，1，4，6}C．{1，2，4，6}D．U解：因为全集U＝{0，1，2，4，6}，集合N＝{0，1，6}，所以∁U N＝{2，4}，所以M∪（∁U N）＝{0，2，4，6}．故选：A．3．﹣1000°的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：﹣1000°的终边与﹣1000°+360°×3＝80°相同，则终边在第一象限．故选：A．4．函数f（x）＝ln（1﹣2x）的定义域为（）A．(−∞，12]B．(−∞，12)C．(0，12)D．(12，+∞)解：函数f（x）＝ln（1﹣2x），令1﹣2x＞0，解得x＜1 2．故选：B．5．已知a，b为实数，则“a＞b”是“a＞|b|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也非必要条件解：当a＝1，b＝﹣2时，满足a＞b，但a＞|b|不成立，即充分性不成立，若a＞|b|，当b≥0，满足a＞b，当b＜0时，a＞|b|＞b，成立，即必要性成立，故“a＞b”是“a＞|b|”必要不充分条件，故选：B．6．扇形的圆心角为0.5弧度，周长为15，则它的面积为（）A．5B．6C．8D．9解：设半径为r，则周长15＝2r+0.5r，则r＝6，所以扇形面积S=12×0.5r2=9．故选：D．7．设a＝log23，b=√2，c=√55，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：因为b10＝25＝32，c10＝52＝25，所以b＞c，而b=√2＜1.5=log22√2＜log23=a，则c＜b＜a．故选：D．8．一种药在病人血液中的量保持在500mg以上时才有疗效，而低于100mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：lg2≈0.3010）（）A．5小时后B．7小时后C．9小时后D．11小时后解：设t小时后减少到500mg，则0.8t=5002500=15，两边取对数得lg0.8t=lg 15，即tlg0.8＝﹣lg5，则t（3lg2﹣1）＝﹣（1﹣lg2），则t≈0.6090.097≈7.2，则注射时间需小于7.2小时．故选：B．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分）9．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．y＝x2+2x B．y=−1x C．y＝|x﹣1|D．y=x12解：根据二次函数性质可知，y＝x2+2x在（0，+∞）上为增函数，A符合题意；根据反比例函数的性质可知，y=−1x在（0，+∞）上为增函数，B符合题意；根据函数图象的变换可知，y＝|x﹣1|在（0，1）上单调递减，C不符合题意；根据幂函数性质可知，y =x 12在（0，+∞）上为增函数，D 符合题意． 故选：ABD ．10．下列式子正确的是（ ） A ．sin2＞0B ．cos3＞0C ．tan4＞0D ．sin6＞0解：2∈(π2，π)，则sin2＞0，A 正确； 3∈(π2，π)，则cos3＜0，B 错误； 4∈(π，3π2)，则tan4＞0，C 正确； 6∈(3π2，2π)，sin6＜0，D 错误． 故选：AC ．11．已知a ＞0，b ＞0，a 2+b 2+ab ＝1，则（ ） A ．ab ≤13 B ．a +b ≤2√33 C ．a 2+b 2≤23D ．1a +1b≤2√3解：由a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，由1＝a 2+b 2+ab ≥3ab ，即ab ≤13，1≤32(a 2+b 2)，即a 2+b 2≥23，则A 正确，C 错误； 由a 2+b 2+ab ＝1可得（a +b ）2﹣ab ＝1，由a ，b ＞0可得，a +b ≥2√ab ，则(a +b)2−1≤(a+b)24，则(a +b)2≤43，即a +b ≤2√33，B 正确； 1a +1b ≥2√1ab ，由ab ≤13可得1ab ≥3，则1a +1b≥2√3，当且仅当a ＝b 时取等，D 错误． 故选：AB ．12．f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x +2）是偶函数，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝4x ﹣1，则（ ） A ．f(−12)=−12 B ．f(52)=7C ．f(112)=−7 D ．f(log 25)=23125解：根据题意，由f （x +2）是偶函数，可得f （x +2）＝f （﹣x +2），则f （x ）的图象关于直线x ＝2对称， 由此分析选项：A 选项，由于f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f(−12)=−f(12)=−(412−1)=−1，A 错误；B 选项，由f （x ）的图象关于x ＝2对称，则有f(52)=f(32)=432−1=7，B 正确；C 选项，由f （x ）的图象关于x ＝2对称，则有f(112)=f(−32)，由奇函数可得f(−32)=−f(32)=−7，C 正确；D 选项，由f （x ）的图象关于x ＝2对称，则有f （log 25）＝f （4﹣log 25）， 又由log 25∈（2，3），则4﹣log 25∈（1，2），f(4−log 25)=44−log 25−1=444log 25−1=25625−1=23125，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13．点P （﹣1，2）是角α终边上一点，则cos α＝ ． 解：由题意得，cosα=−1√(−1)+2=−√55．故答案为：−√5514．函数y ＝a x +b （a ＞0且a ≠1）的图象如图所示，则a +b ＝ ．解：由图可得f （﹣1）＝a ﹣1+b ＝0，f （0）＝a 0+b ＝﹣2，则a =13，b ＝﹣3，a +b =−83． 故答案为：−83．15．已知f （x ）是定义域为R 的偶函数，在（﹣∞，0]上为单调增函数，且f （2）＝0，则不等式（x ﹣1）f （x ）＞0的解集为 ．解：由题意可得f （x ）＞0时﹣2＜x ＜2，f （x ）＝0时x ＝±2，f （x ）＜0时x ＜﹣2或x ＞2， 由（x ﹣1）f （x ）＞0可得{x ＜1f(x)＜0或{x ＞1f(x)＞0，则x ＜﹣2或1＜x ＜2，故不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，2）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（1，2）．16．已知函数f(x)={x +2，x ≤02x，x ＞0，①满足f [f （a ）]＝1的实数a 的取值集合为 ；（用列举法表示） ②若f （x 1）＝f （x 2），且x 1＜x 2，则x 1+x 2的最小值为 ． 解：①令t ＝f （a ），则f （t ）＝1， 则t ＝﹣1或2，由f （a ）＝﹣1可得a ＝﹣3， 由f （a ）＝2可得a ＝0，1， 则实数a 的取值集合是{﹣3，0，1}； ②画出f （x ）的大致图象，如图所示：结合函数草图可知存在f （x 1）＝f （x 2）时，f （x 1）＝f （x 2）∈（0，2]， 此时x 1∈（﹣2，0]，x 2∈[1，+∞），x 1+2=2x 2，则x 1+x 2=x 2+2x 2−2≥2√2−2，x 2=√2时取等，所以x 1+x 2的最小值为2√2−2． 故答案为：①{﹣3，0，1}；②2√2−2．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17．（10分）已知A ＝{x |﹣x 2+x +6＞0}，B ={x|2x+1x≥1}，C ＝{x |2x ﹣a ≤0}． （1）当a ＝﹣1时，求A ∩（B ∪C ）；（2）在“①A ∩C ＝A ”；“②A ∩C ＝∅”；“③B ∪C ＝R ”这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．若_____，求实数a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |（x ﹣3）（x +2）＜0}＝（﹣2，3），B ={x|2x+1−xx≥0}=(−∞，−1]∪(0，+∞)，C =(−∞，a2]，a ＝﹣1时，C =(−∞，−12]，则B ∪C =(−∞，−12]∪(0，+∞)，A ∩(B ∪C)=(−2，−12]∪(0，3)； （2）①由A ∩C ＝A 可得A ⊆C ，则a2≥3，即a ≥6，所以实数a 的取值范围是[6，+∞）； ②由A ∩C ＝∅，可得a2≤−2，即a ≤﹣4，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，﹣4]； ③由B ∪C ＝R ，可得a2≥0，即a ≥0，所以实数a 的取值范围是[0，+∞）． 18．（12分）计算：（1）(lg2)2+lg5×lg20+(12)log 25； （2）2√3×√1.53×√126．解：（1）原式=(lg2)2+(lg10−lg2)(lg10+lg2)+(2log 25)−1=1+15=65； （2）原式=2×312×313213×(22)16×316=21−13+13×312+13+16=6．19．（12分）（1）已知tan α＝﹣2，求sinα+cosαsinα−3cosα的值；（2）已知sin α+2cos α＝2，求tan α的值． 解：（1）因为tan α＝﹣2， 原式=tanα+1tanα−3=−2+1−2−3=15；（2）由sin α＝2﹣2cos α，sin 2α+cos 2α＝1，可得（2﹣2cos α）2+cos 2α＝1， 即5cos 2α﹣8cos α+3＝0， 则cos α＝1或35，cos α＝1时，sin α＝0，tan α＝0； cosα=35时，sinα=45，tanα=43； 则tan α＝0或43．20．（12分）如图，用面积140m 2的铁皮制作一个长为am ，宽为2m ，高为bm 的无盖盒子．制作要求如下：①铁皮全部用完，且不计拼接用料；②2≤b ≤4a3． （1）求a 的取值范围；（2）当a ，b 分别为多少时，箱子的容积V 最大，并求出最大值．解：（1）由铁皮面积为140m 2，可得2a +2（ab +2b ）＝140， 则ab +a +2b ＝70，b =70−aa+2， 由2≤b ≤4a3，可得2≤70−aa+2≤4a 3， 由a ＞0，可得2a +4≤70−a ≤43a 2+83a ， 即3a ≤66，4a 2+11a ﹣210≥0，则a ≤22，（a ﹣6）（4a +35）≥0，则6≤a ≤22； a 的取值范围是[6，22]；（2）V ＝2ab ，由a ＞0，b ＞0，可得a +2b ≥2√2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 则70−ab ≥2√2ab ， 即ab +2√2×√ab −70≤0，则√ab ≤5√2，即ab ≤50，a ＝2b 即a ＝10，b ＝5时等号成立，V ＝2ab 的最大值为100， 故a ＝10，b ＝5时，箱子的容积V 最大，最大值为100m 3．21．（12分）已知关于x 的不等式ax 2﹣b ≥2x ﹣ax （a ，b ∈R ）解集为A ． （1）若A ＝{x |﹣2≤x ≤﹣1}，求a ，b 的值； （2）当b ＝2时，求A ．解：（1）由题意可得﹣2，﹣1为ax 2+（a ﹣2）x ﹣b ＝0两根， 则−2+(−1)=−a−2a ，−2×(−1)=−ba ， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（2）b ＝2时，不等式即ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≥0，即（x +1）（ax ﹣2）≥0， ①a ＝0时，不等式即x +1≤0，解得x ≤﹣1， 所以A ＝（﹣∞，﹣1]；②a ＞0时，2a＞0＞−1，解得x ≥2a 或x ≤﹣1， 所以A =(−∞，−1]∪[2a ，+∞)；③a ＜0时，①当2a ＜−1即﹣2＜a ＜0时，解得2a ≤x ≤−1， 所以A =[2a，−1]，②当2a =−1即a ＝﹣2时，﹣2（x +1）2≥0，解得x ＝﹣1， 所以A ＝{﹣1}，③当2a＞−1即a ＜﹣2时，解得−1≤x ≤2a ， 所以A =[−1，2a ]，综上，a ＜﹣2时，A =[−1，2a ]；a ＝﹣2时，A ＝{﹣1}；﹣2＜a ＜0时，A =[2a ，−1]；a ＝0时，A ＝（﹣∞，﹣1]；a ＞0时，A =(−∞，−1]∪[2a ，+∞)．22．（12分）已知f(x)=ax 2+bx 1−x 2是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f(12)=43． （1）求a 和b 的值；（2）判断f （x ）在（﹣1，1）上的单调性，并证明你的结论；（3）求证：f （x ）的值域为R ．解：（1）由f （x ）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），即ax 2−bx1−x 2=−ax 2+bx1−x 2，即x ∈（﹣1，1）时ax 2＝0，则a ＝0， 由f(12)=43，则b 21−14=43，则b ＝2， 则a ＝0，b ＝2；（2）f(x)=2x 1−x 2在（﹣1，1）上为增函数，证明如下： 对任意x 1，x 2∈（﹣1，1），x 1＜x 2，可得1−x 12＞0，1−x 22＞0，x 1﹣x 2＜0，x 1x 2＞﹣1，f(x 1)−f(x 2)=2x 11−x 12−2x 21−x 22=2×x 1−x 1x 22−x 2+x 12x 2(1−x 12)(1−x 22)=2(x 1x 2+1)(x 1−x 2)(1−x 12)(1−x 22)＜0， 则f （x 1）＜f （x 2），则f （x ）在（﹣1，1）上为增函数；证明：（3）对任意t∈R，考虑f（x）＝t，即2x1−x2=t，即tx2+2x﹣t＝0，今g（x）＝tx2+2x﹣t，则g（﹣1）＝﹣2＜0，g（1）＝2＞0，g（x）图象在（﹣1，1）不间断，则存在x0∈（﹣1，1），满足g（x0）＝0，即f（x0）＝t，则t在f（x）值域内，则f（x）的值域为R．。
江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.57365.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ） A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c =+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ）A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ） A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ）A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数122z =-+，则41122z ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .16.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF的面积为3-，则AB =________，sin△BEC =________.四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =___________，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =___________，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值.南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由题意可知，()321sin105sin6045sin60cos45cos60sin4522224=+=+=⨯+⨯=，故答案选D2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知，()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-，故答案选B . 3.在△ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =3：5：7，则其最大角的大小为（ ）A.60°B.75°C.120°D.150°【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】由题意可知，c 为最大边，且设3,5,7a b c ===，则在ABC 中，由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab+-= 22235712352+-==-⨯⨯，又()0,C π∈，所以23C π=，即最大角的大小为120，故答案选.C 4.托勒密(C.Ptolemy ，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.5736【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解【解析】由题意可知，查表可得3436︒'的正弦值为0.5678，故答案选C.5.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B 中，a //b ，所以排除；选项C 中，b =2a ，即a //b ，所以排除；选项D 中，a =-b ，即a //b ，所以排除；选项A 中，a 与b 不共线，则向量m =(-1，3)可以用a 与b 表示出来，所以选项A 正确，故答案选A.6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（ ）A.1B.1- D.【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】在ABC 中，由2AB a =，可得1a =，则()2224242AB AC a a b a a b a b ⋅=+=+⋅=+⋅，且AB AC ⋅=1cos602222AB AC ⋅=⨯⨯=∣，所以422a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，故答案选.B 7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ）A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【考点】三角恒等变换：二倍角公式､诱导公式的应用 【解析】由题意可知，22222sin sin sin cos cos2cos 2cos 3633333πππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+--=+-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2)sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故答案选.B 8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c=+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ） A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 【答案】A【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题【解析】由题意可知，在ABC 中，因为22222222212sin 2sin 2sin ab C S ab C C a b c a b c a b c⋅===+-+-+-，因为()0,C π∈，所以sin 0C >，所以222ab a b c =+-，则由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又()0,C π∈，所以C 3π=，则23A B π+=，在ABC中，由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ====2,,3c a A b ==3B =，所以ABC 周长()434343432sin sin 2sin sin 2sin sin 33333l a b c A B A B A π⎡⎛=++=++=++=+- ⎢⎝⎣143)]2sin sin 2sin cos 24sin 23223226A A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 5,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则ABC 周长(]4sin 24,66l a b c A π⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭，故答案选.A 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ）A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立【答案】BC【考点】两角和与差的公式应用【解析】由题意可知，对于选项A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302+=+==，所以选项A 错误；对于选项()1,cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602B +=-==，所以选项B 正确；对于选项C ，当，,36ππαβ==时()1,sin sin sin 1,sin sin sin sin 1362362πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立，所以选项C 正确；对于选项D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭2cos cos 02ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以选项D 错误；综上，答案选.BC 10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =【答案】CD【考点】平面向量的运算律应用【解析】由题意可知，对于选项A ，满足数量积的交换律，所以选项A 正确；对于选项B ，满足数量积的分配律，所以选项B 正确；对于选项C ，a ·b 与b ·c 的结果均为数，则(a ·b )·c 与a ·(b ·c )的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C 错误；对于选项D ，若a =0，则b 与c 不一定相等，所以选项D 错误；综上，答案选C D. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ） A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =， 【答案】BCD【考点】解三角形的综合应用【解析】由题意可知，对于选项AB ，因为3A B C =+，且A B C π++=，所以联立解得24,22B C A C ππ+=-=，则2,22B C A C ππ=-=+，又因为()()0,,0,B A ππ∈∈，所以()()()20,20,,20,C C C πππππ⎧-∈⎪⎪⎪+∈⎨⎪∈⎪⎪⎩解得0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，由0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可得sin 0,2C ⎛∈ ⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，当6c b =时，由正弦定理可得，sin 6sin C B =，又22B C π=-，所以sin C ()26sin 6sin 26cos2612sin 2B C C C π⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭，则解得2sin 3C =，所以选项D 正确；综上，答案选BCD .12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数12z =-+，则4112z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A ，可设z a bi =+，则)222222222||,()2z b a b z a bi a abi b ==+=+=-+，若，22||z z =，则0b =，所以z a R =∈，所以选项A 正确；对于选项B ，设12,z a bi z c di =+=+，则12z z+12z z =-=1212z z z z +=-，则0ac bd +=，而()12(z z a bi c =++()1d ac bd ac bd i ac bd =-++=-，不一定得到120z z =，所以选项B 错误；对于选项C，若12z =-+，所以234111,22z z z =--==-+，所以41111222222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，若()()()()cos25sin25cos6565cos25sin25sin2525sin2525z i isin i icos cos =++=++=-()22sin25cos25sin 25cos 25i i ++=，所以选项D 正确；综上，答案选ACD 第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】17【考点】同角三角函数关系､两角和与差的正切公式【解析】由题意可知，α为锐角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==，则sin 4tan cos 3ααα==，所以tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭41tan 11341tan 713αα--===++ 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.【答案】2+【考点】复数的运算以及综合应用【解析】由题意可设，z a bi =+，由122z i --=，可得()122a b i -+-=，2=，即22(1)(2)4a b -+-=，可令12cos ,22sin a b θθ-=-=，所以z ==ϕ=为任意角，且1tan )2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时取到最大值，所以z=2=15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知，三个力123,,F F F 平衡，则1F 与2F 的合力F 与3F 等大反向，所以在1OFF 中，由余弦定理可得，2245245cos12061F ==+-⨯⨯⋅=，即3.F =16.如图，在矩形ACD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF 的面积为3AB =________，sin△BEC =________.【答案】 【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意，因为120BFE ∠=，所以18012060CFE ∠=-=，则在CEF 中，可得12CEF SEF CF =⋅⋅sin 3CFE ∠=-2EF =，可解得2CF =，在CEF 中，可得132CEF S CF h =⋅⋅=，所以h =231AB -===又12BF CF =，所以1,3BF BC BF CF ==+=，在BEF 中，由余弦定理可得，)222222cos 1)2212cos1206BE BF EF BF EF BFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⋅=，解得BE 6=，在CEF 中，由余弦定理可得，()222222cos 2)222CE CF EF CF EF CFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯)222cos60241]⨯⋅=-==，解得CE =BCE 中，12BCE S BC h =⋅⋅=1sin 2BE CE BEC ∠⋅⋅，则3sin BC h BEC BE CE ∠⋅====⋅ 四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值. 【考点】平面向量的数量积的坐标运算､模的求解【解析】（1）由题意，因为(2,m =--，所以m =所以23cos ,43cos 6m n m n m n π⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=-； （2）由（1）知6m n ⋅=-，所以|2m +()2224441646949n m m n n =+⋅+=⨯+⨯-+=，所以|2m +7n =∣.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.【考点】复数的运算､几何意义【解析】（1）由题意可设z a bi =+，则(),333z a bi z i a bi i a b i =-+=-+=+-，又因为3z i +为实数，所以3b =，因为z =2245a b +=，解得6a =±，所以63;z i =±+（2）若z 和2()z mi +在复平面内对应的点都在第一象限，则()22263,()(63)36(3)123z i z mi i mi m m i =++=++=-+++， 所以有236(3)0m -+>，且()1230m +>，解得一33m <<，则实数m 的取值范围为()3,3.- 19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】在ABC 中，因为()cos cos B A C C +-=，且A B C π++=，所以()()cos cos A C A C C -++-=，即2sin sin A C C =，又因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin 2A =， 在ABC 中，由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=， 选△：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即214964162b b =+-⨯，解得3b =或5b =，所以1sin 2ABC S bc A ==或103；选△：sin 84c A ==≠，故该三角形不存在； 选△：由512B π=可得，4C A B ππ=--=，则由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即sin sin c A a C ==且5sin sin sin sin cos cos sin 12464646B πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 824224ABC S ac B ==⨯⨯=+20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 【考点】三角函数的图像与性质､三角恒等变换给值求值问题【解析】（1）由题意，()1cos212cos212sin 2126f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()f x 的最小正周期为22;2T πππω=== （2）由（1）知()2sin 21,6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以方程()52f x =可化为：3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由12,x x 为方程3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根可得，13sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且23sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，即123x x π=-，所以()1222223cos cos cos 2sin 23364x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =①，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =②，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明【解析】（1）由题意可知，在直角三角形PHM 中，sin cos sin ;PM PH βαβ=⋅=在直角三角形HQT 中，QT =()()sin sin HQ αβαβ⋅+=+（2）由题意可知，在ABE 中，cos cos ,sin sin BE AE AB AE ββββ=⋅==⋅=，且AB BE ⊥， 所以11sin cos 22ABE S AB BE ββ=⋅⋅=， 在ADE 中，()ADE ∠παβ=-+，所以()()11111sin sin 222ADE S AE DE παβαβ⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅⋅-+=+⎣⎦， 在CDE 中，cos cos ,sin sin CE DE CD DE αααα=⋅==⋅=，所以11sin sin cos 22CDE S DE CE ααα=⋅⋅⋅=， 又()()()()()111sin sin cos cos 222ABCD S AB CD BC AB CD BE CE βαβα=⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅+⋅+四边形， 所以()()()12111sin sin cos cos sin cos sin sin cos 222βαβαββαβαα⋅+⋅+=+++， 化简可得，()sin sin cos cos sin .αβαβαβ+=+得证.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值. 【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用【解析】（1）当2,3a b ==时()(),2,3,3,0OB OC =-=-，所以()()()()()()2,31,41,1,3,01,44,4AB OB OA AC OC OA =-=---==-=---=-则()()()1,14,414140AB AC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==；（2）若,,A B C 三点共线，则//AB AC ，又因为()()()()()(),31,41,1,,01,41,4AB OB OA a a AC OC OA b b =-=---=-=-=---=--， 则()()14110a b -⨯-⨯--=，解得43a b +=，则4133a b +=， 因为0,0a b >>，所以130,0a b>>，所以131344474712333333a b a b a a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当43a b b a =，即b =时取等号，所以13a b +。
江苏省南京市高一下学期数学期中考试试卷
江苏省南京市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高二下·桂林期末) 复数z=﹣3+2i的实部为（）A . 2iB . 2C . 3D . ﹣32. （2分） (2017高二上·汕头月考) 如图，空间四边形中，点分别在上，，，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量且，则m等于（）A . 2B .C . -2D . -4. （2分）棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1 ， DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）A .B . 1C .D .5. （2分）已知平面向量,且,则（）A .B .C .D .6. （2分）某三角形两边之差为2，它们的夹角正弦值为，面积为14，那么这两边长分别是（）A . 3和5B . 4和6C . 6和8D . 5和77. （2分）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A . 直角三角形B . 等腰或直角三角形C . 不能确定D . 等腰三角形8. （2分） (2016高二上·商丘期中) 已知三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为3，当三角形ABC的面积最大时，AB的长为（）A .B . 3C . 2D . 39. （2分）在中，若,则是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，，则棱锥S—ABC 的体积为（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2016·上海文) 设，期中为虚数单位，则 =________.12. （1分） (2018高一上·桂林期中) 已知球的表面积为 ,则该球的体积为________.13. （1分）如图，球O的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心O在圆台的两底面之间），则圆台的体积为________．14. （1分） (2017高二下·高淳期末) 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为________ m．15. （1分） (2018高二下·中山月考) 已知复数，若复数满足，则的最大值为________16. （1分） (2017高一上·如东月考) 已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共55分)17. （15分） (2016高二下·上海期中) 已知复数z1= +（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．18. （10分） (2016高一下·深圳期中) 已知向量 =（3，﹣4）， =（6，﹣3）， =（5﹣m，﹣（3+m））．（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．19. （10分）(2017·河南模拟) 已知向量 =（2cosx，sinx）， =（cosx，2 cosx），函数f（x）=• ﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanB= ，对任意满足条件的A，求f （A）的取值范围．20. （10分）已知：平面上两个不相等向量，=（3，4），=（x+1，2x）（1）若（+）⊥（﹣），求实数x；（2）若•=14，求与的夹角的余弦值．21. （10分）(2017·浦东模拟) 如图，已知直线l：x+ y﹣c=0（c＞0）为公海与领海的分界线，一艘巡逻艇在O处发现了北偏东60°海面上A处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮B航行，以使上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，且两者都是沿直线航行，但走私船可能向任一方向逃窜．（1）如果走私船和巡逻船相距6海里，求走私船能被截获的点的轨迹；（2）若O与公海的最近距离20海里，要保证在领海内捕获走私船（即不能截获走私船的区域与公海不想交）．则O，A之间的最远距离是多少海里？参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、。
南京市高一下学期期中数学试卷A卷
南京市高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若sin（π+α）=﹣，则sin（4π﹣α）的值是（）A .B . -C . -D .2. （2分）已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a+b互相垂直，则k的值是（）A . 1B . -1C .D .3. （2分） (2016高二上·上杭期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的面积的最大值为4 ，则此时△ABC的形状为（）A . 等腰三角形B . 正三角形C . 直角三角形D . 钝角三角形4. （2分） (2019高一上·宾县月考) 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·自贡模拟) △ABC中，∠C=90°，且CA=3，点M满足 =2 ，则• 的值为（）A . 3B . 6C . 9D . 不确定6. （2分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A . a=80，b=61，A=60°B . a=10，b=14，A=30°C . b=23，A=45°，B=30°D . a=61，c=47，A=120°7. （2分） (2017高二下·穆棱期末) 已知，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知向量,,则等于（）A . 3B . -3C .D .9. （2分）在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为（）A . 1B .C .D .10. （2分） =（）A . -B . -C .D .11. （2分） (2018高一下·山西期中) 在梯形中，已知，，，动点和分布在线段和上，且的最大值为，则的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·晋江期中) 在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知，则C=（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：3：4，则cosC的值为________14. （1分）(2012·江苏理) 设α为锐角，若cos（α+ ）= ，则sin（2α+ ）的值为________．15. （1分）若向量，满足：||=1，||=2，（-），则,的夹角是________16. （1分） (2018高一下·应县期末) 已知向量，，若，则 ________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （20分） (2017高一下·赣州期末) 已知向量 =（3，4）， =（﹣1，2）．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求向量与夹角的余弦值；（3）若向量﹣λ 与 +2 平行，求λ的值．（4）若向量﹣λ 与 +2 平行，求λ的值．18. （5分） (2016高一下·桃江开学考) 函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴相邻两个交点间的距离为，且图象上一个最低点为M（，﹣2）．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当x∈[ ， ]时，求f（x）的值域．19. （20分） (2016高二下·大庆期末) 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）cos（x﹣）．（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程．（2）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程．（3）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域．（4）求函数f（x）在区间[﹣， ]上的值域．20. （5分）已知点O（0，0）、A（1，2）、B（4，5），向量 = +t ．（Ⅰ）t为何值时，点P在x轴上？（Ⅱ）t为何值时，点P在第二象限？（Ⅲ）四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．21. （10分）如图，A ， B ， C ， D为平面四边形ABCD的四个内角.（1）证明：tan=（2）若A+C=180°， AB=6， BC=3， CD=4， AD=5，求tan+tan+tan+tan的值.22. （5分）在平面直角坐标系中，已知A（ cosx，1），B（l，﹣sinx），X∈R，（Ⅰ）求|AB|的最小值；（Ⅱ）设，将函数f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象求函数g（x）的对称中心．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、答案：略17-2、答案：略17-3、答案：略17-4、答案：略18-1、19-1、答案：略19-2、答案：略19-3、答案：略19-4、答案：略20-1、21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、答案：略。
江苏省南京市第十三中学-度第二学期高一数学期中考试卷
江苏省南京市第十三中学2006-2007年度第二学期高一数学期中考试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂到答题卡上）1．下列说法正确的是 （ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．523．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个 ( ) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．都不对4．设｛a n ｝是由正数组成的等比数列，且a 5a 6=81，log 3a 1+ log 3a 2+…+ log 3a 10的值是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．2或45．若a ，b 是异面直线，直线c∥a，则c 与b 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交6．设x ，y 是正实数，且满足x + 4y = 40，则lgx+lgy 的最大值是 ( ) A ．2 B ．4 C ．10 D ．407．已知等差数列{a n }的公差d≠0,若a 5、a 9、a 15成等比数列,那么公比为 ( )A ．34 B ．23 C ．32 D ．438．a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个9．在正方体1111ABCD A BC D -中，所有与直线AB 1成60的正方体的面对角线有（ ） A ．4条 B ．6条C ．8条D ．10条10．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ） A ．a 11 B ．a 10 C ．a 9 D ．a 8 二、填空题（本大题共6小题，每题6分，共36分）11．已知等差数列{a n }满足56a a +=28，则其前10项之和为 ．12．如图，矩形''''C B A O 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中''A O =6, ''C O =2,则原图形的面积为 ．13．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 ． 14．在等比数列{}n a 中，若312S =，636S =，则9S = ．15．如图正方体ABCD-A’B’C’D’中，它的棱长是a ，则点Ｂ到平面ＡCC ’A ’的距离 是 ．16．设120,021.x y x y x y>>+=+且，求的最小值 ．第Ⅱ卷三、解答题17．（本题满分12分）已知不等式x 2－px －q<0的解集是{x|2<x<3}，求不等式qx 2＋px －1>0的解集．18．（本题满分14分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知,153,1193==S a （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设2n an b =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n .’AB D A ’B ’D ’ CC ’第15题19 ．（本题满分14分）某村计划建造一个室内面积为1800 m 2的矩形蔬菜温室，在温室内沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大，最大面积是多少？20．（本题满分16分）如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，E 是1AA 的中点， （1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：BD⊥A 1C ；（3）求证：A 1C⊥面BC 1DA 1ED 1C 1B1DCBA21．（本小题满分18分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，12b =，点1(,)n n P b b +在直线2y x =+上．⑴求1a 和2a 的值；⑵求数列{}{},n n a b 的通项n a 和n b ；⑶ 设n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．[参考答案]一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．A 二、填空题（本大题共6小题，每题6分，共36分）11． 140． 12．． 13．40a -<≤． 14．84． 15．2a ． 16．9． 三、解答题17．解：由题意得方程x 2－px －q=0的两根为2，3．5,5,,,66p p q q ==⎧⎧∴∴⎨⎨-==-⎩⎩ …………6分 ∴不等式在－6x 2＋5x －1>0的解集为11{|}32x x <<． …………12分 18．解：（1）111211,3,5,3 2.9891532n a d d a a n a d +=⎧⎪==∴=+⎨⨯+=⎪⎩,解得 …………4分 （2）113122,228,{}2n nn n n a a a a n n n a n b b b b ++-+=====∴是公比为8的等比数列.……8分又有).18(73281)81(3232211-=--=∴==nn n a T b …………14分19． 解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则 ab=1800．…………2分蔬菜的种植面积 S=（a －4）(b －2)=ab-4b-2a+8 =1808－2(a+2b) ， …………8分∴ S ≤1808－1448（m 2） …………12分当且仅当 a=2b, 即a=40,b=20时取等号 …………13分答：当矩形温室的左侧边长为40m ，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m …………14分 20．证明：（1）连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点，∴1//EO AC ． …………2分 又EO ⊂面BDE ，1AC ⊄面BDE …………3分 ∴1//AC 平面BDE ． …………5分 （2）在正方体1111ABCD A BC D -中，A 1A ⊥AB ，A 1A ⊥AD ，且AB ∩AD=A ． ∴A 1A ⊥面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ． …………7分 又∵AC ⊥BD 且AC ∩A 1A=A ，∴BD ⊥面A 1AC ， …………9分∴BD ⊥A 1C ． …………11分 （3）仿（2）同理可证：A 1C ⊥C 1D ， …………14分 ∵BD ∩C 1D=D ，∴A 1C ⊥面BC 1D ． …………16分 21．解：（1）∵n a 是n S 与2的等差中项，∴22-=n n a S ． …………2分 ∴111122,2a S a a ==-=解得． …………4分 ∵1222222,4a a S a a +==-=解得． …………6分 （2）1122,22,n n n n S a S a --=-=- *12,)n n nS S a n n N -≥∈又－＝（， …………8分 122,0,n n n n a a a a -∴=-≠.{}*12,(2,),nn n a n n N a a -∴=≥∈即数列是等比数列. ∵a 1＝2 ，∴n n a 2= ． …………10分11,)2,n n n n P b b b b ++∴点（在直线y=x+2上，＝＋∴{}112,,2,2n n n n b b b b b n +-==∴=即数列是等差数列又． …………12分 （3）12,n n c n +＝ …………14分2341222322,n n T n +∴+⨯+⨯++＝ ……①34122222(1)22n n n T n n ++∴=+⋅++-+⋅．……②①－②得：2312=2222n n n T n ++--⋅＋＋＋ …………16分 即：24(1)2n n T n +=+-． …………18分。
江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案
南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知O ，A ，B ，C 是平面内的四个点，满足30AC CB +=，则OB =（ ）A ．1233OA OC -B ．2133OA OC + C ．2133OA OC - D ．1233OA OC +2．已知正方形ABCD 的边长为3，若2DE EC =，AE BD ⋅=（ ） A ．3B ．3-C ．6D ．6-3．已知平面向量()2,4a =，()1,2b =-，若()c a a b b =-⋅，则实数c =（ ）A ．B ．C ．8D ．4．已知2π3αβ-=，且1cos cos 3αβ+=，则()cos αβ+=（ ） A ．15B ．15-C ．79-D ．795．若3sin 5θ=，5π3π2θ<<，则tan cos 22θθ+=（ ）A ．3B ．3-C ．3+D ．3-6．已知a 为正整数，tan 1lg a α=+，tan lg a β=，且π4αβ=+，则当函数()[]()sin 0,πf a θθθθ=-∈取最大值时，θ=（ ）A ．π2B ．2π3C ．5π6D ．4π37．在ABC △中sin sin sin cos cos A BC A B+=+，则此三角形的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．如图，在平行四边形ABCD 中，12DE EC =，F 为BC 的中点，G 为线段EF 上一点，且满足79AG AB mAD =+，则实数m =（ ） A ．23B ．13C ．13-D ．23-二、多项选择题:本大题共4小题，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分．9．已知复数z 1=2+i ，z 2在复平面内对应的点在直线1x =上，且满足12z z ⋅是纯虚数，则（ ）A ．212z i =-B ．212z i =+C ．2z 的虚部为2-D ．2z 的虚部为210．下列四个等式中正确的是（ ）A ．tan 25tan 353tan 25tan 353︒+︒+︒︒=B ．2tan 22.511tan 22.5︒=-︒ C ．221cossi πn π882-= D ．134sin10cos10-=︒︒11．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，以下说法中正确的是（ ） A ．若5a =，10b =，π4A =，则符合条件的三角形不存在 B ．若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC △为直角三角形 C ．若A B >，则tan tan A B >D ．若A B >，则cos2cos2B A >12．已知()2122cos f x x x ωω=-+，（0ω>）那么下列结论正确的是（ ） A ．若()y f x =的最小正周期是π，则2ω= B ．若()y f x =在()0,π内无零点，则106ω<≤ C ．若()y f x =在()0,π内单调，则203ω<≤ D ．当2ω=时，直线2π3x =-是函数()y f x =图像的一条对称轴 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在复平面内，AB 对应的复数是1i -，AD 对应的复数是2i 3-，则DB 对应的复数是______．14．22cos 71cos 49cos71cos49︒+︒+︒︒=______．15．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则BC ______海里，cos θ=______．16．对于集合{}123,,,,n θθθθ⋅⋅⋅和常数0θ，定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ-+-+⋅⋅⋅+-=为集合{}123,,,,n θθθθ⋅⋅⋅相对0θ的“余弦方差”．集合π2π,,π33⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对常数0θ的“余弦方差”是一个常数T ，则T =______．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（10分）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A =︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若CD =BC ．18．（12分）已知平面向量()1,2a =，()3,2b =--． （1）若()//2c a b +，且25c =，求c 的坐标；（2）当k 为何值时，ka b +与3a b -垂直；（3）若a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．19．（12分）已知平面向量()cos 2sin a αβα=+，()sin 2cos b αβα=-，且//a b ． （1）求()cos αβ+的值；（2）若α，π0,2β⎛∈⎫ ⎪⎝⎭，且1tan 3α=，求2αβ+的值． 20．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin a A b B =，)222ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求()sin 2B A -的值．21．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知πsin 62bA c⎛⎫ ⎪⎝=⎭+． （1）求角C 的大小；（2）若ABC △是锐角三角形，且1b =，求ABC △面积的取值范围．22．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos C A B =． （1）求tan tan A B +的值；（2）求22cos cos A B +的最大值．南师附中2020~2021学年度第二学期期中考试试卷高一数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
江苏省南京市玄武2022-2023学年高一下学期期中数学试题【含答案】
【详解】解：因为
25
5，
sin A 24 ,cos B 3 B 0,
所以
25
5
，
cos B 3
当
5 时，
因为
3 2
3 5
1 2
，且
B
2
,
，
2π B 5π
所以 3
6，
sin A 24
3 24 1
又因为
25 ，且 2 25 ，
π A π
所以 3
2，
cos B 3
所以 A+B>π，所以
所以， a c ，因此， ABC 为等边三角形，C 对；
对于 D 选项，因为 A 30 ， b 10 ， a 4 ，
由正弦定理
a sin A
b sin B
sin 得
B
b sin a
A
10 4
1 2
5 4
1 ，所以，
ABC
不存在，D
错.
故选：AC.
11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小
斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约
之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即
S
1 4
c2a2
c2
a2 2
b2
2
（S
为三角形的面积，a，b､c
为三角形的三边）.现有△
ABC 满足 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 7 ，且△ABC 的面积 S△ABC 6 3 ，则下列结论正确
π 3
=
π 3
可知
=
π 3
π 3
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2012-2013学年度第二学期高一数学期中试卷
一、填空题：每小题3分
1．不等式022xx的整数解共有 个．
2. 若集合}01|{2xxA，集合}0|{xxB，则BA .
3．在ABC中，如果4:3:2::cba，那么Ccos= ．
4．在等差数列}{na中，当292aa时，它的前10项和10S= ．
5．在ABC中，CBA,,所对的边分别是,,abc，已知1,3,3baA，则
ABC
的形状是 ．
6．若△ABC的内角CBA,,的对边分别为cba,,，且cba,,成等比数列，ac2，则
Bcos
的值为
7.若等差数列na的前5项和525S，且23a，则7a _
.
8．若nS为等比数列}{na的前n项的和，0852aa，则36SS= ．
9.在等比数列{}na中，若22a，632a，则4a
10.在ABC中,5,8,7abc, 则BCCA的值为 .
11．已知等比数列na满足0na，nl，2，…，且252523nnaan，则当
3n
时， 212223221loglogloglognaaaa ．
12．在ABC中，CBA,,所对的边分别是,,abc，若2223bcbca，且
2ba
，则C= 或 ．
13．设na是正项数列，它的前n项和nS满足：314nnnaaS，则
1005a
．
14. 若正实数yx,满足1yx,且yxt412. 则当t取最大值时x的值为 .
二、解答题：（第15题8分，16-20题每题10分）
15.函数)0(3)2()(2axbaxxf，若不等式0)(xf的解集为)3,1(．（Ⅰ）求
ba,的值；（Ⅱ）若函数)(xf
在]1,[mx上的最小值为1，求实数m的值．
16．已知1tan,tan2.3
（１）求tan(),tan()；
（２）求的值（其中18090,900）．
17． 如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求
AB
的长．
18．等差数列na中，410a且3610aaa，，成等比数列，
(1)求数列na的通项公式； （2）求前20项的和20S。
19.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年维修费为1万元，以后每年增加2
万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元。（1）n年利润是多少？第几年该楼年平均利
润最大？最大是多少？
20.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B,C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c。
（1）求cosA的值； （2）若△ABC面积为3154，求b的值
C
A
B
D
南京市板桥中学2012-2013学年度高一年级期中考试
数 学 参 考 答 案
一、填空题：本大题共14小题,每小题3分,计42分.不需写出解答过程,请把答案写在答题
纸的指定位置上.
1． 4 2． （0,1） 3．41 4．11 5．直角三角形6．34
7．13 8． -7 9．4 10．-25
11．n（2n-1） 12．0010515或 13． 2011 14．12
二、解答题：本大题共6小题，计58分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,
请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分8分)
解：（Ⅰ）由条件得032390320301babaff， 3分
解得：4,1ba． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得32)(2xxxf， 5分
xfy
的对称轴方程为1x，)(xf在]1,[mx上单调递增， 6分
mx
时，132,2minmmmfxf， 7分
解得31m．31,1mm． 8分
16、（1）-1,7各给3分。（2）135°2分
17、求出∠ADC或∠C的正弦，5分。AB=56，5分.
18、na=n+6，5分。（2）330,5分.
19、列式5分，结果3分答2分
20、（1）14。（2）b=3各5分
南京市板桥中学2012~2013学年第二学期
期中检测高一年级数学学科答题卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。请把答案填写在答题卡相应
．．．．．
位置上．．．.
1. ；2. ；3. ；
4. ；5. ；6. ；
7. ；8. ；9. ；
10. ；11. ；
12. ；
13. ；14. ；
二、解答题：本大题共6小题，共58分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题8分）
16. （本小题10分）
17. （本小题10分）
18．（本小题10分）
19．（本小题10分）
C
A
B
D
20．（本小题10分）