李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫第二法(2/3)
李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。
若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后,其储存的能 量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量 达到最小值。 反之,若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能 量,其储存的能量将越来越大。
2 a22 x2 ... a2 n x2 xn
...
2 ann xn
aij x i x j
i 1 j i
n
n
其中aij(i=1,2,…,n,j=i,…,n)为实常数。
二次型函数和对称矩阵的正定性(2/4)
由线性代数知识知,实二次型函数V(x)又可表示为 V(x)=xPx 其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
参看课本P168
李雅普诺夫第二法(1/3)
3.2.2 李雅普诺夫第二法
由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性 系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无 能为力,而且该方法不易推广到时变系统。
下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析 都适用的李雅普诺夫第二法。
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义
从定义可知,所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函 数。由正定函数的定义,我们相应地可定义 负定函数、 非负定(又称半正定或正半定)函数、 非正定函数(又称半负定或负半定)和
不定函数。
实函数的正定性(3/4)—函数定号性定义
定义3-6 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x,都有V(x)<0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0,则称函数V(x)为区域上的负定函数。 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≥0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非负定函数。 若对任意n维非零向量x,都有V(x)≤0,且V(0)=0,则称函 数V(x)为区域上的非正定函数。 若无论取多么小的原点的某个邻域,V(x)可为正值也可为 负值,则称函数V(x)为不定函数。
李雅普诺夫第一法(1/7)
3.2.1 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似 数学模型(线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是:
首先,对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态 附近进行线性化, 即在平衡态求其一次Taylor展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系 统稳定性。 其次,解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值, 然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统 在零输入情况下的稳定性。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理
定理3-1(塞尔维斯特定理) (1) 实对称矩阵P为正定的充要条 件是P的各阶顺序主子式均大于零,即
Δ1 p11 0
Δ2
p11 p21
p12 p22
0
... Δn | P | 0
其中pij为实对称矩阵P的第i行第j列元素。
(2) 实对称矩阵P为负定的充要条件是P的各阶顺序主子式满足
李雅普诺夫第一法(6/7)
由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论 中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态 方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是: 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺 夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值, 因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系 统,而不能推广至时变系统。
二次型函数和对称矩阵的正定性(4/4)--矩阵定号性定义
因此,由上述定义就可将判别二次型函数的正定性转换成为 判别对称矩阵的正定性。 对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定时,并可分别 记为 P>0, P<0, P≥0, P≤0。 (3) 矩阵正定性的判别方法 判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有 塞尔维斯特判别法、 矩阵特征值判别法和 合同变换法。 下面分别介绍。
f
x v h
渐近稳定 平衡态
wk.baidu.com
mg
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
在图中所示状态,v=-x’,由牛顿第二定律可知,其运动满足 如下方程: m(-x’’)=mgcos-fmgsin 其中f为摩擦阻尼系数。
实函数的正定性(4/4)
下面是几个在由变量x1和x2组成的2维线性空间中的正定函数、 负定函数等的例子。
2 2 1) 正定函数 x1 2x2 2 2 2) 负定函数 x1 2x2 2 2x2 2 ( x1 2x2 )2 x2 2 ( x1 2x2 )2 5x1
3) 非负定函数 4) 非正定函数
定理3-3 实对称矩阵P必定可经合同变换化成对角线矩阵,则 P为正定、负定、非负定与非正定的充分必要条件是的所有 对角线元素分别大于零、小于零、大于等于零与小于等于 零; P为不定的充分必要条件是的对角线元素有正有负。
矩阵正定性的判别方法(3/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-3中的合同变换是指对对称矩阵的同样序号的行和列 同时作同样的初等变换。
上述三种判别实对称矩阵P的定号性的方法,各有千秋。但总 的说来,
基于塞尔维斯特定理的方法计算量较大,若将该方法推广 到判别非负定性和非正定性,则计算量成指数性地增加。 特征值判别法需求解高阶特征方程以获得特征值,计算较 复杂,计算量也较大。 合同变换法对矩阵只作初等变换,计算简单,便于应用。
基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的 n维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随 时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。
李雅普诺夫第二法(3/3)
在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些 数学预备知识,然后介绍一些
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍
李雅普诺夫第一法(7/7)—例5-1
例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:
x2 x1 x K ( x 2 1) x K x 2 2 1 2 1 1
试确定系统在原点处的稳定性。
K1 , K 2 0
解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
0 i为偶数 i 0 i为奇数
i 1,2,...,n
矩阵正定性的判别方法(2/5)—矩阵定号性判定定理
定理3-2 实对称矩阵P为正定、负定、非负定与非正定的充 分必要条件是P的所有特征值分别大于零、小于零、大于等 于零与小于等于零;
实对称矩阵P为不定的充分必要条件是P的特征值有正 有负。 □
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x) 其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
( x1 2x2 )2
( x1 2x2 )2
2 3x1
5) 不定函数
2 2 3x1 2x2
( x1 2x2 )2 ( x1 2x2 )2
二次型函数和对称矩阵的正定性(1/4)
(2) 二次型函数和对称矩阵的正定性 二次型函数是一类特殊形式函数。 设V(x)为关于n维变量向量x的实二次型函数,则其可以表 示为 V ( x ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn
李雅普诺夫稳定性定理
数学预备知识(1/1)
1. 数学预备知识
下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预 备知识: 函数的正定性 二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法
实函数的正定性(1/4)—函数定号性定义
(1) 实函数的正定性 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下 恒为负的。 下面先给出n维向量x的标量实函数V(x)的正定性定义。 定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有 V(x)=0, 则称函数V(x)为区域上的正定函数。
因此,由定理3-3知,矩阵P为正定矩阵。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(1/5)
2. 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义
从平衡态的定义可知,平衡态是使得系统静止不动(导数为零, 即运动变化的趋势为零)的状态。 从能量的观点来说,静止不动即不存在运动变化所需要 的能量,即变化所需的能量为零。
通过分析状态变化所反映的能量变化关系可以分析出 状态的变迁或演变,可以分析出平衡态是否稳定或不稳 定。
下面通过一刚体运动的能量变化来简介李雅普诺夫稳 定性定理的直观意义。
李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在 一定范围内为渐近稳定的平衡态。 对该平衡态的邻域,可定义其 能量(动能+势能)函数如下:
1 2 V m v m gh 2 1 mx2 m g( x cos ) 0 2
a11 a12 / 2 a / 2 a 22 P 12 ... ... a / 2 a / 2 2n 1n
... a1n / 2 ... a2 n / 2 ... ... ... a nn
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非 正定和不定等定号性概念。 二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。 因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正 定性。 定义3-8 设对称矩阵P为二次型函数V(x)的权矩阵,当V(x)分 别为正定、负定、非负定、非正定与不定时,则称对称矩阵P 相应为正定、负定、非负定、非正定与不定。 □
将系统在原点处线性化,则系统矩阵为 1 0 f (x) A x x xe K 2 K1 因此,系统的特征方程为 |I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
2. 由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充 分条件为: K1>0 和 K2>0.
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 - 1 - 1 P 1 3 2 - 1 2 5
解 先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 - 1 - 1 行:( 2) (1)( 2) 1 0 - 1 0 2 1 P 1 3 2 列:( 2) (1)( 2) - 1 2 5 - 1 1 5 1 0 0 行:( 3) (1) ( 3) 0 2 1 列:( 3) (1) ( 3) 0 1 4 1 0 0 行:( 3) ( 2 ) / 2( 3) 0 2 0 列:( 3) ( 2 ) / 2( 3) 0 0 7 / 2